Уравнения, неравенства и их системы · урок 5 из 25

Простейшие системы нелинейных уравнений

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-045

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 5/25, единица R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-044 — системы уравнений с двумя переменными (решение — пара, подстановка и сложение для линейных систем); следующий ALG9U-046 — графический метод.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие, иллюстрация) 2 · 5 (подстановка) 2 · 7 (сложение) 2 · 9 (замена $u = x + y$ , $v = x y$ ) 2 · 11 (схема выбора способа) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 3 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задача 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать подстановкой

системы, где одно уравнение линейное (ПР-9)

Решать сложением

исключая $x^{2}$ , $y^{2}$ или $x y$ (ПР-9)

Вводить новые переменные

$u = x + y$ , $v = x y$ в симметричных системах (ПР-6, ПР-9)

Записывать ответ парами

и находить все решения — для задания 20 ОГЭ (ПР-13)

разминка · R03.4, R01.5

Разминка · устно

То, что сегодня понадобится

решение ли пара $(1; 2)$ ?

$x^{2} + y^{2} = 5$

да

выразите $y$

$3 x + y = 8$

$y = 8 - 3 x$

корни

$t^{2} - 7 t + 10 = 0$

$2; 5$

все $y$

$y^{2} = 9$

$\pm 3$

раскройте

$(5 - x)^{2}$

$25 - 10 x + x^{2}$

$x + y = 5, x y = 4$

$x^{2} + y^{2}$

$17$

два числа: сумма 5, произведение 4

$x, y$ — ?

$1$ и $4$

разложите

$x^{2} - 4 y^{2}$

$(x - 2 y) (x + 2 y)$

R03.5

Понятие · нелинейная система

Решение системы — пара чисел

{x + y = 7 x^{2} + y^{2} = 25

Решение — пара

(x; y)

, при которой оба уравнения верны.

Решить систему — найти все пары или доказать, что их нет.

Система нелинейная: хотя бы одно уравнение не первой степени.

2 мин · теория
x² + y² = 25 — окружность с центром (0; 0) радиуса 5; x + y = 7 — прямая. Решения системы — общие точки графиков: (3; 4) и (4; 3). Проверка: 3 + 4 = 7, 9 + 16 = 25 ✓.
Вопрос классу: сколько решений может иметь такая система? (0, 1 или 2 — прямая может не пересекать окружность, касаться или пересекать.) Подробно графический метод — следующий урок ALG9U-046; сегодня — алгебраические способы.
Важно: (3; 4) и (4; 3) — разные решения; порядок в паре — сначала x, потом y.

R03.5

Способ подстановки

Одно уравнение линейное — выражаем и подставляем

1из линейного выразить одну переменную

2подставить во второе уравнение

3решить уравнение с одной переменной

4найти вторую переменную из линейного

$y = 7 - x$ из первого

$x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ подставили

$2 x^{2} - 14 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 12 = 0$

$x = 3 \Rightarrow y = 4; x = 4 \Rightarrow y = 3$

Ответ:

(3; 4), (4; 3)

— две пары, как на графике.

R03.5

Образец → сам · подстановка

Решите систему способом подстановки

Образец

${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 13$

$x = y + 1$ выразили $x$

$(y + 1)^{2} + y^{2} = 13$ подставили

$y^{2} + y - 6 = 0$ : $y = 2, y = - 3$ Виета

$(3; 2), (- 2; - 3)$ $x = y + 1$

Сам

база ${x + y = 5 x y = 6$ $(2; 3), (3; 2)$
база ${y = x + 2 x^{2} + y = 8$ $(2; 4), (- 3; - 1)$
повыш. ${2 x + y = 7 x^{2} - y = 1$ $(2; 3), (- 4; 15)$

R03.5

Способ сложения

Складываем уравнения — одно слагаемое исчезает

${x^{2} + y^{2} = 10 x^{2} - y^{2} = 8$

$2 x^{2} = 18$ сложили: $y^{2}$ исчез

$x^{2} = 9$ , $y^{2} = 10 - 9 = 1$

$x = \pm 3$ , $y = \pm 1$ знаки независимы

$(3; 1), (3; - 1), (- 3; 1), (- 3; - 1)$

Работает, когда

x^{2}

,

y^{2}

или

x y

входят в оба уравнения.

Иногда сначала умножают одно уравнение на число.

Новое уравнение заменяет одно из старых, второе остаётся.

R03.5

Образец → сам · сложение

Исключите одно слагаемое сложением или вычитанием

Образец

${x^{2} + x y = 12 y^{2} + x y = 4$

$(x + y)^{2} = 16$ сложили

$x + y = 4$ или $x + y = - 4$

$x (x + y) = 12$ , $y (x + y) = 4$ вынесли

$(3; 1), (- 3; - 1)$ $x = \frac{12}{x + y}$

Сам

база ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7$ $(\pm 4; \pm 3)$ — 4 пары
база ${x^{2} - 3 y = 1 x^{2} + y = 5$ $(2; 1), (- 2; 1)$
повыш. ${x y + x = 10 x y - x = 2$ $(4; 1, 5)$

R03.5 · опора R01.5

Замена переменных · симметричные системы

Если $x$ и $y$ можно поменять местами — вводим $u$ и $v$

u = x + y, v = x y

x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 v

x^{3} + y^{3} = u^{3} - 3 uv

x

и

y

— корни

t^{2} - u t + v = 0

(теорема Виета).

${x + y = 5 x^{2} + y^{2} = 13$

$u = 5$ , $25 - 2 v = 13$

$v = 6$

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$ : $t = 2; 3$

$(2; 3), (3; 2)$

R03.5

Образец → сам · замена u = x + y, v = xy

Решите симметричную систему

Образец

${x^{2} + y^{2} + x + y = 18 x y = 6$

$u^{2} - 12 + u = 18$ $v = 6$

$u^{2} + u - 30 = 0$ : $u = 5; - 6$

$u = 5$ : $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ → $2; 3$

$u = - 6$ : $t^{2} + 6 t + 6 = 0$ → $- 3 \pm 3$

$(2; 3), (3; 2),$
$(- 3 + 3; - 3 - 3), (- 3 - 3; - 3 + 3)$

Сам

база ${x + y = 6 x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$
база ${x + y = 4 x^{2} + y^{2} = 10$ $(1; 3), (3; 1)$
повыш. ${x + y + x y = 11 x y (x + y) = 30$ $(2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1)$

R03.5

Схема · выбор способа

Посмотрите на систему — и выберите способ

Если в системе…	способ	первый шаг
одно уравнение линейное	подстановка	$x + y = 7 \Rightarrow y = 7 - x$
одинаковые $x^{2}$ , $y^{2}$ , $x y$ в обоих	сложение	$(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2})$
$x$ и $y$ можно поменять местами	замена $u$ , $v$	$x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 v$
одна часть уравнения — произведение, другая — $0$	разложение	$(x - y) (x - 2 y) = 0 \Rightarrow$ две системы
$a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0$ (однородное)	разложение	корни $\frac{x}{y}$ из $a t^{2} + b t + c = 0$

R03.5

Образец → сам · разложение на множители

Произведение равно нулю — система распадается на две

Образец

${x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 x^{2} + y^{2} = 20$

$(x - y) (x - 2 y) = 0$ разложили

$x = y$ : $2 y^{2} = 20$ , $y = \pm 10$

$x = 2 y$ : $5 y^{2} = 20$ , $y = \pm 2$

$(10; 10), (- 10; - 10), (4; 2), (- 4; - 2)$

Сам

база ${(x - 2) (y + 1) = 0 x^{2} + y^{2} = 5$ $(2; 1), (2; - 1), (- 2; - 1)$
база ${x^{2} - y^{2} = 0 x^{2} + x y = 8$ $(2; 2), (- 2; - 2)$
повыш. ${x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0 x + y = 8$ $(6; 2), (\frac{16}{3}; \frac{8}{3})$

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Где теряют решения и получают лишние

Ошибка	Неверно	Верно
второе неизвестное — из квадратного уравнения	$x - y = 1$ , $x = 3$ ; из $x^{2} + y^{2} = 13$ : $y = \pm 2$	из $x - y = 1$ : $y = 2$ ; пара $(3; - 2)$ лишняя
потеряли знак	$y^{2} = 4 \Rightarrow y = 2$	$y = 2$ или $y = - 2$
деление на выражение с переменной	$x^{2} y = 4 x \Rightarrow x y = 4$	$x (x y - 4) = 0$ : ещё $x = 0$
ответ не парами	$x = 2; 3$ , $y = 3; 2$	$(2; 3), (3; 2)$

R03.5

Найди ошибку

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1: ${x^{2} + y^{2} = 17 x - y = 3$

$x = y + 3$ ; $9 + y^{2} + y^{2} = 17$

$y^{2} = 4$ , $y = \pm 2$

Ответ: $(5; 2), (1; - 2)$

$(y + 3)^{2} = y^{2} + 6 y + 9$ — потеряно $6 y$

$y^{2} + 3 y - 4 = 0$ : $(4; 1), (- 1; - 4)$

Система 2: ${x^{2} y = 4 x x + y = 5$

$x y = 4$ (разделил на $x$ )

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$ : $t = 1; 4$

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$

Делить на $x$ нельзя: $x (x y - 4) = 0$

$x = 0 \Rightarrow y = 5$ : ещё пара $(0; 5)$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите систему — ответ парами

${x + y = 4 x y = 3$ $(1; 3), (3; 1)$
${y = x^{2} y = 2 x + 3$ $(3; 9), (- 1; 1)$
${x - 2 y = 1 x y = 3$ $(3; 1), (- 2; - 1, 5)$

${x^{2} + y^{2} = 5 x^{2} - y^{2} = 3$ $(\pm 2; \pm 1)$
${x + y = 1 x^{2} + y^{2} = 1$ $(0; 1), (1; 0)$
${y - x = 2 x^{2} + y^{2} = 2$ $(- 1; 1)$

R03.5 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите способ сами

повыш. ${x^{2} + x y = 15 y^{2} + x y = 10$ $(3; 2), (- 3; - 2)$
повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x + y = 3$ $(2; 1), (1; 2)$

повыш. ${x^{3} + y^{3} = 9 x + y = 3$ $(1; 2), (2; 1)$
повыш.При каких $k$ система ${y = x^{2} y = k x - 1$ имеет единственное решение? $k = \pm 2$

2 мин · практика
1) Сложение: (x + y)² = 25, x + y = ±5; x(x + y) = 15 → x = ±3, y(x + y) = 10 → y = ±2 (знаки одинаковые). Проверка: 9 + 6 = 15, 4 + 6 = 10 ✓.
2) x, y ≠ 0; t = x/y: t + 1/t = 5/2 → 2t² − 5t + 2 = 0 → t = 2 или 1/2. x = 2y: 3y = 3 → (2; 1); y = 2x → (1; 2).
3) u = 3: u³ − 3uv = 27 − 9v = 9 → v = 2; t² − 3t + 2 = 0: 1 и 2.
4) x² = kx − 1 → квадратное уравнение x² − kx + 1 = 0 (старший коэффициент 1 ≠ 0); каждому x соответствует одно y = x², поэтому решение единственно ⇔ D = k² − 4 = 0 ⇔ k = ±2. Проверка: k = 2 — x = 1, (1; 1); k = −2 — x = −1, (−1; 1). При |k| > 2 решений два, при |k| < 2 — нет. Это предварение уроков ALG9U-046 и ALG9U-048 (параметр).

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений — с полной записью

${4 x^{2} - 3 x = y 8 x - 6 = y$ $(2; 10), (0, 75; 0)$
${3 x^{2} + 2 y^{2} = 11 x + 2 y = 3$ $(- 1; 2), (\frac{13}{7}; \frac{4}{7})$
${2 x^{2} + y^{2} = 36 8 x^{2} + 4 y^{2} = 36 x$ $(4; 2), (4; - 2)$

2 балла: верный ход и ответ всеми парами.

3: умножьте первое на 4 — левые части совпадут.

2 мин · практика
1) 4x² − 3x = 8x − 6 → 4x² − 11x + 6 = 0, D = 121 − 96 = 25, x = (11 ± 5)/8 = 2 или 0,75; y = 8x − 6 = 10 или 0. Проверка: 16 − 6 = 10 ✓; 2,25 − 2,25 = 0 ✓.
2) x = 3 − 2y; 3(9 − 12y + 4y²) + 2y² = 11 → 14y² − 36y + 16 = 0 → 7y² − 18y + 8 = 0, D = 324 − 224 = 100, y = 2 или 4/7; x = −1 или 13/7. Проверка (−1; 2): 3 + 8 = 11 ✓.
3) 4 · (2x² + y²) = 144 = 36x → x = 4; y² = 36 − 32 = 4, y = ±2. Проверка: 128 + 16 = 144 = 36 · 4 ✓.
Критерии ОГЭ (задание 20): 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — верный ход, но одна вычислительная ошибка или потеряна часть ответа. Задача 3 при нехватке времени — в ДЗ.

R03.5 · опора R03.7

Задача из жизни

Экран: площадь $60 дм^{2}$ , диагональ $13$ дм. Найдите стороны

практикаСоставьте систему. ${x y = 60 x^{2} + y^{2} = 169$
практикаНайдите $x + y$ . $17$
практикаНайдите стороны. $12$ дм и $5$ дм

R03.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 3 системы

Вариант 1

база ${x + y = 7 x y = 10$ $(2; 5), (5; 2)$
база ${x - y = 2 x^{2} - 2 y = 7$ $(3; 1), (- 1; - 3)$
повыш. ${x^{2} - 4 y^{2} = 0 x + y = 3$ $(2; 1), (6; - 3)$

Вариант 2

база ${x + y = 8 x y = 15$ $(3; 5), (5; 3)$
база ${x + y = 3 x^{2} + 2 y = 9$ $(3; 0), (- 1; 4)$
повыш. ${x^{2} - 9 y^{2} = 0 x - y = 4$ $(6; 2), (3; - 1)$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (по клику).
В-1. 1) t² − 7t + 10 = 0: 2 и 5. 2) x = y + 2: y² + 4y + 4 − 2y = 7 → y² + 2y − 3 = 0 → y = 1, −3; x = 3, −1. Проверка: 9 − 2 = 7 ✓; 1 + 6 = 7 ✓. 3) (x − 2y)(x + 2y) = 0. x = 2y: 3y = 3 → (2; 1). x = −2y: −y = 3 → y = −3, x = 6 → (6; −3). Проверка: 36 − 36 = 0 ✓, 6 − 3 = 3 ✓.
В-2. 1) t² − 8t + 15 = 0: 3 и 5. 2) y = 3 − x: x² + 6 − 2x = 9 → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3, −1; y = 0, 4. Проверка: 9 + 0 = 9 ✓; 1 + 8 = 9 ✓. 3) (x − 3y)(x + 3y) = 0. x = 3y: 2y = 4 → (6; 2). x = −3y: −4y = 4 → y = −1, x = 3 → (3; −1). Проверка: 9 − 9 = 0 ✓, 3 + 1 = 4 ✓.
Критерий: 3 верно — «5», 2 — «4», 1 и верный ход во втором — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из какого уравнения находим вторую переменную при подстановке?
Когда удобна замена $u = x + y$ , $v = x y$ ?
Почему нельзя делить на $x$ ?

Домашнее задание

${x + y = 9 x y = 20$ ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$
${x^{2} + y^{2} = 29 x^{2} - y^{2} = 21$ и задача 3 сл. 17
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-045 · Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 5/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R03.4, R01.5 → 3, 9 · применение R03.7 → 18 · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-9 (системы, в которых одно уравнение не линейное) → 2, 4–20 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 6, 8, 10, 12 · ПР-13 (уравнения и системы) → 15–17, 19 · ПР-14 (исследование: сколько решений) → 4, 15, 16 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графический метод — ALG9U-046; система как модель реальной ситуации — ALG9U-047; системы с параметром — ALG9U-048; неравенства с двумя переменными — ALG9U-049
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Простейшие системы нелинейных уравнений

Сегодня вы научитесь

Решать подстановкой

Решать сложением

Вводить новые переменные

Записывать ответ парами

То, что сегодня понадобится

Решение системы — пара чисел

Одно уравнение линейное — выражаем и подставляем

Решите систему способом подстановки

Образец

Сам

Складываем уравнения — одно слагаемое исчезает

Исключите одно слагаемое сложением или вычитанием

Образец

Сам

Если x и y можно поменять местами — вводим u и v

Решите симметричную систему

Образец

Сам

Посмотрите на систему — и выберите способ

Произведение равно нулю — система распадается на две

Образец

Сам

Где теряют решения и получают лишние

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1: {x2+y2=17x−y=3​

Система 2: {x2y=4xx+y=5​

Решите систему — ответ парами

Выберите способ сами

Решите систему уравнений — с полной записью

Экран: площадь 60 дм2, диагональ 13 дм. Найдите стороны

Два варианта · 3 системы

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-045 · Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Если $x$ и $y$ можно поменять местами — вводим $u$ и $v$

Система 1: ${x^{2} + y^{2} = 17 x - y = 3$

Система 2: ${x^{2} y = 4 x x + y = 5$

Экран: площадь $60 дм^{2}$ , диагональ $13$ дм. Найдите стороны