Уравнения, неравенства и их системы · урок 4 из 25

Решение систем
уравнений
с двумя переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-044

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 4/25, единица R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-043 — дробно-рациональные уравнения и неравенства; следующий ALG9U-045 — простейшие системы нелинейных уравнений.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (уравнение с двумя переменными, система) 2 · 5 (три случая на графике) 2 · 6 (признак по коэффициентам) 1,5 · 8 (способ подстановки) 2 · 10 (способ сложения, равносильность) 1,5 · 12 (замена переменных) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 9, 11, 13, 14) по 2 · параметр (сл. 15) 3 · типичные ошибки (сл. 16) 1 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка база (сл. 18) 2 · повышенный (сл. 19) 2 · ОГЭ (сл. 20) 3 · задача из жизни (сл. 21) 2 · самостоятельная (сл. 22) 4 · итог (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 и задача 2 сл. 21 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть решение на графике

решение системы — общая точка графиков (ПР-14)

Решать тремя способами

подстановка, сложение, замена переменных (ПР-9)

Считать число решений

по коэффициентам — не решая систему; с параметром (ПР-10, ПР-14)

Строить модель

текстовая задача → система → ответ (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-10: «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром» — здесь только первый шаг: линейная система с параметром. ПР-15, ПР-16 — текстовые задачи и модели.
Вид деятельности ФРП: «Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными».

разминка · R03.3, 7 класс

Разминка · устно

Пары, прямые и выражения

(2; - 1)

решение

3 x + 2 y = 4

?

да

2 x + y = 7

выразите

y

y = 7 - 2 x

x - 3 y = 4

выразите

x

x = 4 + 3 y

(3 x + y) + (2 x - y)

упростите

5 x

y = x

и

y = 4 - x

точка пересечения

(2; 2)

y = 2 x + 1

,

y = 2 x - 3

как расположены?

параллельны

\frac{1}{x} = 4

найдите

x

0, 25

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0

корни

- 2

R03.4

Новый материал · понятия

Решение системы — общее решение обоих уравнений

Решение уравнения $a x + b y = c$

пара $(x; y)$ , обращающая его в верное равенство; их бесконечно много, график — прямая

Решение системы

пара, которая удовлетворяет каждому уравнению; на графике — общая точка

Решить систему

найти все решения или доказать, что их нет

R03.4

Схема · сколько решений

Две прямые: три возможных случая

2 мин · теория
1) x + y = 3, x − y = 1 → одна общая точка (2; 1). 2) y = x + 1 и y = x − 2: одинаковый наклон, разные сдвиги — параллельны, общих точек нет. 3) Второе уравнение — первое, умноженное на 2: прямые совпадают (пунктир лежит на сплошной), решений бесконечно много: (2 − 2t; t), например (2; 0), (0; 1), (−2; 2).
Других случаев у двух прямых нет. Поэтому линейная система не может иметь ровно два решения — вопрос «на засыпку».
Графический способ — для оценки и числа решений; точный ответ получаем аналитически (сл. 8–13).

R03.4

Сводка · число решений по коэффициентам

${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ — сравниваем отношения

Отношения коэффициентов	Прямые	Решений
$\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$	пересекаются	одно
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	параллельны	нет
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	совпадают	бесконечно много

Без деления: одно решение

\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0

— удобно, если в знаменателе мог бы оказаться

0

.

R03.4

Образец → сам · число решений

Сколько решений? Не решая систему

Образец

${2 x - 3 y = 5 4 x - 6 y = 7$

$\frac{2}{4} = \frac{- 3}{- 6} = \frac{1}{2}$ прямые параллельны или совпадают

$\frac{5}{7} \neq = \frac{1}{2}$ свободные члены — не в той же пропорции

решений нет прямые параллельны

Сам

база ${x + 3 y = 4 2 x - y = 1$ одно
база ${3 x - y = 2 6 x - 2 y = 4$ бесконечно много
повыш.При каком $a$ нет решений?
${a x + 2 y = 3 3 x + y = 1$ $a = 6$

R03.4

Новый материал · способ подстановки

Выразить → подставить → решить → вернуться

1

выразить одну переменную через другую

2

подставить в другое уравнение в скобках

3

решить уравнение с одной переменной

4

найти вторую переменную, записать пару

Демонстрация: ${2 x + y = 4 x - 3 y = 9$

$y = 4 - 2 x$ шаг 1: коэффициент при $y$ равен 1

$x - 3 (4 - 2 x) = 9 \Rightarrow 7 x = 21, x = 3$ шаги 2–3

$y = 4 - 6 = - 2$ ; ответ: $(3; - 2)$

Новая система равносильна исходной: решения не теряются и не появляются.

R03.4

Образец → сам · подстановка

Решите способом подстановки

Образец

${x - 2 y = 1 3 x + y = 10$

$x = 1 + 2 y$ из первого

$3 (1 + 2 y) + y = 10$ подставили

$7 y = 7, y = 1$ решили

$x = 3$ ; ответ $(3; 1)$ вернулись

Сам

база ${y = 2 x - 3 3 x + 2 y = 8$ $(2; 1)$
база ${x + 3 y = 7 2 x - y = 0$ $(1; 2)$
повыш. ${4 x - y = 5 3 x + 2 y = 12$ $(2; 3)$

R03.4

Новый материал · способ сложения

Уравнять коэффициенты и сложить уравнения

Утверждение. Если одно уравнение системы заменить суммой уравнений, получится равносильная система.

Умножаем уравнения на числа $\neq = 0$ так, чтобы при сложении одна переменная исчезла.

Демонстрация: ${x + y = 5 x - y = 1$

$2 x = 6, x = 3$ сложили

$2 y = 4, y = 2$ вычли

ответ: $(3; 2)$

R03.4

Образец → сам · сложение

Решите способом сложения

Образец

${3 x + 2 y = 7 ∣ \cdot 3 5 x - 3 y = - 1 ∣ \cdot 2$

$9 x + 6 y = 21, 10 x - 6 y = - 2$ уравняли

$19 x = 19, x = 1$ сложили

$3 + 2 y = 7, y = 2$ ; ответ $(1; 2)$

Сам

база ${2 x + 3 y = 4 3 x - y = 17$ $(5; - 2)$
база ${5 x + 2 y = 1 3 x + 4 y = 9$ $(- 1; 3)$
повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4 \frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1$ $(6; 4)$

R03.4

Новый материал · замена переменных

Повторяющиеся выражения — новые переменные

$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ → $u, v$ при $x \neq = 0, y \neq = 0$

$x + y, x - y$ → $u, v$

Система для

u, v

— линейная. Решаем её, затем возвращаемся к

x, y

.

Демонстрация: $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

$u + v = \frac{3}{4}, u - v = \frac{1}{4}$

$u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{4}$ сложили, вычли

$x = 2, y = 4$ ; ответ $(2; 4)$

R03.4

Образец → сам · замена переменных

Введите новые переменные и решите

Образец

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2 \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1$

$u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$ $x \neq = 0, y \neq = 0$

$2 u + 3 v = 2, 4 u - 3 v = 1$

$6 u = 3$ : $u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{3}$ сложили

$x = 2, y = 3$ ; ответ $(2; 3)$

Сам

база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 1 \frac{6}{x} + \frac{1}{y} = 7$ $(1; 1)$
повыш. ${2 (x + y) - 3 (x - y) = 1 3 (x + y) + (x - y) = 7$ $(1, 5; 0, 5)$

R03.4

Образец → сам · одно уравнение нелинейное

Подстановка из линейного уравнения

Образец

${y = x + 1 x^{2} + y^{2} = 25$

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$ подставили $y$

$x^{2} + x - 12 = 0$ привели

$x = 3$ или $x = - 4$ Виета

$(3; 4), (- 4; - 3)$ $y = x + 1$

Сам

база ${x + y = 7 x y = 12$ $(3; 4), (4; 3)$
база ${y = x^{2} y = 2 x + 3$ $(- 1; 1), (3; 9)$
повыш. ${x - 2 y = 1 x y = 3$ $(3; 1), (- 2; - 1, 5)$

2 мин · практика
Образец: 2x² + 2x + 1 = 25 ⇒ x² + x − 12 = 0, x = 3 или −4. Проверка: 9 + 16 = 25 ✓; 16 + 9 = 25 ✓. Геометрически: окружность x² + y² = 25 (радиус 5) и прямая y = x + 1 — две общие точки; можно набросать на доске. Подробно такие системы — на следующем уроке ALG9U-045.
1) y = 7 − x; x(7 − x) = 12 ⇒ x² − 7x + 12 = 0: x = 3 или 4 ⇒ (3; 4), (4; 3).
2) x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0: x = 3 или −1 ⇒ (3; 9), (−1; 1). Проверка: 9 = 6 + 3 ✓; 1 = −2 + 3 ✓.
3) x = 1 + 2y; (1 + 2y)y = 3 ⇒ 2y² + y − 3 = 0, D = 25, y = 1 или −1,5 ⇒ (3; 1), (−2; −1,5). Проверка: −2 + 3 = 1 ✓, (−2)(−1,5) = 3 ✓.
Ответ — все пары; одна найденная пара — неполный ответ.

R03.4 · R03.8

Образец → сам · система с параметром

Исследуйте число решений при всех $a$

Образец

${a x + 4 y = 8 x + a y = a + 2$

$a \cdot a - 4 \cdot 1 \neq = 0 \Leftrightarrow a \neq = \pm 2$ одно решение

$a = 2$ : $x + 2 y = 4$ дважды бесконечно много

$a = - 2$ : $x - 2 y = - 4$ и $x - 2 y = 0$

параллельны — нет решений

Сам

базаПри каком $a$ нет решений?
${2 x + a y = 3 4 x + 6 y = 5$ $a = 3$
повыш.При каком $b$ бесконечно много решений?
${3 x - y = b 6 x - 2 y = 4$ $b = 2$
повыш.При каких $k$ ровно одно решение?
${k x + y = 2 x + k y = 2$ $k \neq = \pm 1$

3 мин · практика
Образец: определитель a·a − 4·1 = a² − 4. При a = 2: 2x + 4y = 8 ⇔ x + 2y = 4, второе x + 2y = 4 — совпадают. При a = −2: −2x + 4y = 8 ⇔ x − 2y = −4, второе x − 2y = 0 — параллельны. Ответ: a ≠ ±2 — одно решение; a = 2 — бесконечно много; a = −2 — нет решений. Граничные значения проверены подстановкой.
1) 2·6 − 4a = 0 ⇒ a = 3; при a = 3: 2/4 = 3/6 = 1/2, а 3/5 ≠ 1/2 — решений нет ✓. При a ≠ 3 решение одно. Ответ: a = 3.
2) коэффициенты пропорциональны при любом b (3/6 = (−1)/(−2)); бесконечно много ⇔ b/4 = 1/2 ⇒ b = 2. При b ≠ 2 решений нет.
3) k² − 1 ≠ 0 ⇒ k ≠ ±1. Проверка границ: k = 1 — x + y = 2 дважды (бесконечно много); k = −1 — −x + y = 2 и x − y = 2 ⇔ −x + y = −2 — нет решений.

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
умножение уравнения	$x + 2 y = 5 ∣ \cdot 3$ : $3 x + 6 y = 5$	$3 x + 6 y = 15$ — и правую часть
подстановка без скобок	$y = 7 - 2 x$ : $3 x - 7 - 2 x = 3$	$3 x - (7 - 2 x) = 3, 5 x = 10$
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ — «решений нет»	$x + 2 y = 3, 2 x + 4 y = 6$ : нет	$c$ тоже в отношении $\frac{1}{2}$ — бесконечно много
ответ	« $x = 2$ » или $(3; 2)$ вместо $(2; 3)$	пара $(x; y)$ : $(2; 3)$

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) ${3 x - 2 y = 4 2 x + y = 5$

$y = 5 - 2 x$

$3 x - 2 \cdot 5 - 2 x = 4$

$x = 14, y = - 23$

$3 x - 2 (5 - 2 x) = 4$

$7 x = 14$ : $(2; 1)$

б) ${4 x + 3 y = 10 2 x - 5 y = - 8$

второе $\cdot 2$ : $4 x - 10 y = - 8$

вычли: $13 y = 18$

$4 x - 10 y = - 16$

$13 y = 26$ : $(1; 2)$

в) ${2 x + a y = 1 4 x + 6 y = 2$

нет решений при $a = 3$

при $a = 3$ : $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ — совпадают

бесконечно много; «нет решений» — ни при каком $a$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) потеряны скобки при подстановке: 3x − 10 + 4x = 4, 7x = 14, x = 2, y = 1. Проверка: 6 − 2 = 4 ✓; 4 + 1 = 5 ✓.
б) правую часть не умножили: 4x − 10y = −16; вычитая из первого: 13y = 26, y = 2; 4x + 6 = 10, x = 1. Проверка: 2 − 10 = −8 ✓.
в) не сравнили свободные члены: при a = 3 и 1/2 = 1/2 — уравнения равносильны, решений бесконечно много; при a ≠ 3 определитель 12 − 4a ≠ 0 — одно решение. Значит, решений нет ни при каком a.

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите любым способом и проверьте

${x + y = 8 x - y = 2$ $(5; 3)$
${y = 3 x - 1 2 x + y = 9$ $(2; 5)$
${3 x + 4 y = 11 5 x - 2 y = 1$ $(1; 2)$

Сколько решений: ${2 x - y = 3 6 x - 3 y = 9$ ? бесконечно много
${x + y = 5 x y = 4$ $(1; 4), (4; 1)$
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2 \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 2$ $(1; 2)$

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите удобный способ

повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6 \frac{x + y}{4} - \frac{x - y}{6} = 1$ $(7; 1)$
повыш. ${x^{2} - y^{2} = 16 x + y = 8$ $(5; 3)$

повыш.При каком $a$ бесконечно много решений?
${a x + y = 1 9 x + a y = 3$ $a = 3$
повыш.Прямая $y = k x + b$ проходит через $(1; 3)$ и $(- 2; - 3)$ . Найдите $k$ и $b$ . $k = 2, b = 1$

R03.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений — с полным оформлением

${4 x^{2} + y = 9 8 x^{2} - y = 3$ $(1; 5), (- 1; 5)$
${2 x^{2} + y = 4 2 x + y = 4$ $(0; 4), (1; 2)$
${3 x^{2} + 2 y^{2} = 11 x^{2} + 2 y^{2} = 9$ $(\pm 1; \pm 2)$ — 4 пары

1–2: сложите или вычтите —

y

исчезнет

3: способ сложения для

x^{2}

и

y^{2}

Ответ — все пары и запись решения

R03.4 · R03.7

Задача из жизни

Составьте систему и решите

2 кг яблок и 3 кг груш стоят 520 ₽, а 3 кг яблок и 2 кг груш — 480 ₽. Сколько стоит 1 кг каждого фрукта?

${2 x + 3 y = 520 3 x + 2 y = 480$

яблоки 80 ₽, груши 120 ₽

Лодка прошла 36 км по течению за 2 ч, а против течения — за 3 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

${2 (v + u) = 36 3 (v - u) = 36$

15 км/ч и 3 км/ч

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база ${x + 2 y = 7 3 x - y = 7$ $(3; 2)$
база ${4 x + 3 y = 2 2 x - 5 y = 14$ $(2; - 2)$
базаСколько решений: ${3 x - 6 y = 4 x - 2 y = 1$ ? нет
повыш. ${x - y = 2 x y = 15$ $(5; 3), (- 3; - 5)$

Вариант 2

база ${2 x + y = 1 x - 3 y = 11$ $(2; - 3)$
база ${3 x + 2 y = 1 5 x - 4 y = 31$ $(3; - 4)$
базаСколько решений: ${2 x + 5 y = 3 4 x + 10 y = 6$ ? бесконечно много
повыш. ${x + y = 6 x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$

4 мин · практика
3,5 мин работы, затем взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x = 7 − 2y; 21 − 6y − y = 7, y = 2, x = 3. 2) второе ·2: 4x − 10y = 28; вычесть из первого: 13y = −26, y = −2, x = 2 (8 − 6 = 2 ✓; 4 + 10 = 14 ✓). 3) 3/1 = (−6)/(−2) = 3, 4/1 = 4 ≠ 3 — нет решений. 4) x = y + 2; y² + 2y − 15 = 0: y = 3 или −5 ⇒ (5; 3), (−3; −5).
В-2. 1) y = 1 − 2x; x − 3 + 6x = 11, x = 2, y = −3. 2) первое ·2: 6x + 4y = 2; сложить: 11x = 33, x = 3, y = −4 (9 − 8 = 1 ✓; 15 + 16 = 31 ✓). 3) 2/4 = 5/10 = 3/6 — бесконечно много. 4) x² − 6x + 8 = 0 ⇒ (2; 4), (4; 2).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое решение системы? Как оно выглядит на графике?
Когда выгоднее подстановка, а когда сложение?
Как узнать число решений, не решая?

Домашнее задание

${3 x - 2 y = 12 x + 4 y = - 10$
Исследуйте число решений ${x + a y = 1 a x + y = 1$ при всех $a$
${x + y = 5 x^{2} - y^{2} = 15$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-044 · Решение систем уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 4/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными» → 2, 4–23 · опора R03.3 и 7 класс → 3 · пропедевтика R03.5, R03.8 → 14, 15 · применение R03.7 → 21 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7, 9, 11, 13–23)
Результаты	ПР-9 (системы двух линейных уравнений и с одним нелинейным) → 4, 8–14, 16–20, 22 · ПР-14 (исследование систем, графические представления) → 4–7, 15, 17, 19 · ПР-10 (системы с параметром) → 15, 19 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, модели) → 19, 21 · кодификатора у курса нет
Вне урока	простейшие нелинейные системы (симметричные, однородные) — ALG9U-045; графический метод для нелинейных систем — ALG9U-046; модели реальных ситуаций — ALG9U-047; нелинейные системы с параметром — ALG9U-048; неравенства с двумя переменными — ALG9U-049
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение системуравненийс двумя переменными

Сегодня вы научитесь

Видеть решение на графике

Решать тремя способами

Считать число решений

Строить модель

Пары, прямые и выражения

Решение системы — общее решение обоих уравнений

Решение уравнения ax+by=c

Решение системы

Решить систему

Две прямые: три возможных случая

{a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​ — сравниваем отношения

Сколько решений? Не решая систему

Образец

Сам

Выразить → подставить → решить → вернуться

Решите способом подстановки

Образец

Сам

Уравнять коэффициенты и сложить уравнения

Решите способом сложения

Образец

Сам

Повторяющиеся выражения — новые переменные

Введите новые переменные и решите

Образец

Сам

Подстановка из линейного уравнения

Образец

Сам

Исследуйте число решений при всех a

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) {3x−2y=42x+y=5​

б) {4x+3y=102x−5y=−8​

в) {2x+ay=14x+6y=2​

Решите любым способом и проверьте

Выберите удобный способ

Решите систему уравнений — с полным оформлением

Составьте систему и решите

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-044 · Решение систем уравнений с двумя переменными

Решение систем
уравнений
с двумя переменными

Решение уравнения $a x + b y = c$

${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ — сравниваем отношения

Исследуйте число решений при всех $a$

а) ${3 x - 2 y = 4 2 x + y = 5$

б) ${4 x + 3 y = 10 2 x - 5 y = - 8$

в) ${2 x + a y = 1 4 x + 6 y = 2$