Уравнения и неравенства · урок 3 из 25

Дробно-рациональные
уравнения
и неравенства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-043

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 3/25, единица R03.3 «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-042 — уравнения 3-й и 4-й степеней (равносильные преобразования, замена переменной); следующий ALG9U-044 — системы уравнений с двумя переменными.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (дробь равна нулю) 2 · 5 (алгоритм, посторонние корни) 2 · 9 (метод интервалов для дробей) 2 · 10 (пример учителя) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 11, 12) 2 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать дробные уравнения

сводить к целому, отбрасывать посторонние корни (ПР-6)

Применять замену

$t = \frac{1}{x}$ , $t = \frac{x}{x + 1}$ и другие (ПР-6, ПР-11)

Решать дробные неравенства

методом интервалов, без умножения на знаменатель (ПР-8)

Моделировать и исследовать

текстовые задачи, уравнения с параметром (ПР-14, ПР-15)

1 мин · теория
ПР-6 (ФРП дословно): «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-8: «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-11: «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной…»; ПР-14: «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение решения, если имеет, то сколько)»; ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать дробно-рациональные уравнения и неравенства».

разминка · R02, R03.2

Разминка · устно

Дроби, нули и знаки

\frac{5}{x - 3}

при каком

x

нет смысла?

x = 3

\frac{x - 5}{x + 1} = 0

корень

5

\frac{x ^{2} - 4}{x + 2}

сократите

x - 2

\frac{x - 2}{x + 3}

знак при

x = 0

«−»

\frac{1}{x - 1}, \frac{1}{x ^{2} - 1}

общий знаменатель

x^{2} - 1

x^{2} - 5 x + 6

разложите

(x - 2) (x - 3)

(x - 1) (x + 4) < 0

решите

(- 4; 1)

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0

корни

- 3

R03.3

Новый материал · дробь равна нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0, B \neq = 0

Дробно-рациональное уравнение — уравнение с рациональными частями, где есть деление на выражение с переменной

\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 0

: числитель

0

при

x = 3

и

x = - 2

, но

x = 3

— не корень

2 мин · теория
Определение: уравнение, обе части которого — рациональные выражения, причём хотя бы одно содержит деление на выражение с переменной, называют дробно-рациональным (дробным). Целые уравнения (без деления на переменную) решали на прошлых уроках.
Условие: дробь равна нулю ⇔ числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю (на 0 делить нельзя).
График: y = (x² − x − 6)/(x − 3) = (x − 3)(x + 2)/(x − 3) = x + 2 при x ≠ 3 — прямая с «выколотой» точкой (3; 5). Ось Ox пересекает только в точке x = −2. Вопрос классу: почему точка (3; 5) выколота? (При x = 3 функция не определена.)

R03.3

Новый материал · алгоритм решения уравнения

Четыре шага и проверка знаменателей

Шаг	Что делаем	Пример: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$
1. ОДЗ	знаменатели $\neq = 0$	$x \neq = \pm 2$
2. К целому	умножить на общий знаменатель	$x (x - 2) + (x + 2)^{2} = 8$
3. Решить	целое уравнение	$x^{2} + x - 2 = 0$ : $1; - 2$
4. Отбор	выбросить корни вне ОДЗ	$- 2$ — посторонний; ответ: $1$

Умножение на выражение с переменной даёт уравнение-следствие: могут появиться посторонние корни

2 мин · теория
Шаг 2 подробно: общий знаменатель (x − 2)(x + 2) = x² − 4. x(x − 2) + (x + 2)² = 8 ⇔ x² − 2x + x² + 4x + 4 = 8 ⇔ 2x² + 2x − 4 = 0 ⇔ x² + x − 2 = 0 (a + b + c = 0: корни 1 и −2).
Почему появляется посторонний корень: умножая на (x − 2)(x + 2), мы приписываем уравнению значения, при которых множитель равен 0 и исходная дробь не существует. Целое уравнение — следствие исходного, а не равносильное ему.
Другой путь (равносильный): перенести всё в одну часть, привести к виду A/B = 0 и применить условие сл. 4. Оба пути заканчиваются проверкой B ≠ 0.
Проверка x = 1: 1/3 + 3/(−1) = −8/3; 8/(−3) = −8/3 ✓.

R03.3

Образец → сам · дробь равна нулю

Решите уравнение

Образец

$\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x ^{2} - 9} = 0$

$x^{2} - 9 \neq = 0 : x \neq = \pm 3$ ОДЗ

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 : 3; - 1$ числитель $= 0$

$3$ — вне ОДЗ отбор

Ответ: $- 1$

Сам

база $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$ $2$
база $\frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = 0$ $0$
повыш. $\frac{2 x ^{2} - 5 x + 2}{x ^{2} - 4} = 0$ $0, 5$

R03.3

Образец → сам · общий знаменатель

Сведите к целому уравнению и сделайте отбор

Образец

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$

$x \neq = \pm 1$ ОДЗ

$x (x + 1) - 2 (x - 1) = 4$ $\cdot (x^{2} - 1)$

$x^{2} - x - 2 = 0 : 2; - 1$ Виета

Ответ: $2$ $- 1$ — посторонний

Сам

база $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ $- 5$
база $\frac{6}{x} - \frac{6}{x + 1} = 1$ $2; - 3$
повыш. $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$ нет корней

R03.3 · R03.2

Образец → сам · замена переменной

Повторяющееся выражение — новая переменная

Образец

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

$t = \frac{x}{x + 1} : t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ замена

$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 : t = 2; \frac{1}{2}$

$\frac{x}{x + 1} = 2 \Rightarrow x = - 2$ обратная замена

$\frac{x}{x + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1$ ответ: $- 2; 1$

Сам

база $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{3}{x} + 2 = 0$ $1; 0, 5$
повыш. $x^{2} + 2 x - \frac{15}{x ^{2} + 2 x} = 2$ $- 1 \pm 6$
повыш. $\frac{x - 1}{x} + \frac{2 x}{x - 1} = 3$ $- 1$

R03.3 · опора R02

Новый материал · метод интервалов для дробей

Знак дроби = знак произведения, но знаменатель $\neq = 0$

\frac{A}{B} > 0 \Leftrightarrow A \cdot B > 0

\frac{A}{B} \geq 0 \Leftrightarrow {A \cdot B \geq 0, B \neq = 0

Нули числителя — по знаку неравенства; нули знаменателя — всегда выколотые

2 мин · теория
Обоснование: дробь A/B и произведение A·B при B ≠ 0 имеют один знак (делим и умножаем на число одного знака). Поэтому A/B > 0 ⇔ A·B > 0; для нестрогого знака добавляем B ≠ 0.
Пример: нули числителя 1 (закрашена, неравенство нестрогое), нуль знаменателя −2 (выколота). Правее 1 дробь положительна (x = 2: 1/4 > 0), знаки чередуются: +, −, +. Ответ (−∞; −2) ∪ [1; +∞).
Вопрос классу: можно ли умножить неравенство на x + 2? (Нет: знак x + 2 неизвестен — при отрицательном множителе знак неравенства меняется.)

R03.3

Новый материал · пример учителя

$\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$\frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \leq 0$ разложили

нули: $- 2, 3$ (●), $\pm 1$ (○)

справа от $3$ — «+», дальше чередуем

$[- 2; - 1) \cup (1; 3]$

Множитель в чётной степени,

(x - a)^{2}

, — знак в точке

a

не меняется

2 мин · теория
Учитель решает сам, класс следит. Числитель x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) (Виета), знаменатель x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Точки −2 и 3 закрашены (числитель может быть 0, неравенство нестрогое), ±1 выколоты (знаменатель). При x > 3 все множители положительны — «+»; каждый множитель в первой степени, знаки чередуются: +, −, +, −, +.
Берём «−» и закрашенные концы: [−2; −1) ∪ (1; 3]. Проверка x = 0: −6/(−1) = 6 > 0 — 0 не входит ✓; x = 2: −4/3 < 0 ✓. Проверено в python.
Чётная степень: (x − 2)² ≥ 0, знак множителя по обе стороны от 2 одинаков — чередование в этой точке пропускаем (образец сл. 12, задание 3).

R03.3

Образец → сам · неравенство с дробью

Решите неравенство методом интервалов

Образец

$\frac{x + 3}{x - 2} \leq 0$

$- 3$ (●), $2$ (○) нули числителя и знаменателя

$+ - +$ справа от $2$ — «+»

$x \in [- 3; 2)$ знак «−», $2$ выколота

Сам

база $\frac{x - 5}{x + 1} > 0$ $(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$
база $\frac{2 x - 1}{x + 4} \geq 0$ $(- \infty; - 4) \cup [0, 5; + \infty)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$ $[- 2; 1) \cup [2; + \infty)$

R03.3

Образец → сам · перенос и общая дробь

Справа не ноль? Перенесите и приведите к одной дроби

Образец

$\frac{2 x - 5}{x - 3} \geq 1$

$\frac{2 x - 5 - ( x - 3 )}{x - 3} \geq 0$ перенесли $1$

$\frac{x - 2}{x - 3} \geq 0$ $2$ (●), $3$ (○)

$(- \infty; 2] \cup (3; + \infty)$ знаки $+ - +$

Сам

база $\frac{1}{x - 1} < 1$ $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$
база $\frac{x}{x + 2} \leq 2$ $(- \infty; - 4] \cup (- 2; + \infty)$
повыш. $\frac{( x - 2 ) ^{2} ( x + 1 )}{x - 4} < 0$ $(- 1; 2) \cup (2; 4)$

3 мин · практика
Образец: проверка x = 0: −5/(−3) = 5/3 ≥ 1 ✓; x = 2,5: 0/(−0,5) = 0 < 1 — не входит ✓.
1) (1 − x + 1)/(x − 1) < 0 ⇔ (2 − x)/(x − 1) < 0 ⇔ (x − 2)/(x − 1) > 0: x < 1 или x > 2.
2) (x − 2x − 4)/(x + 2) ≤ 0 ⇔ (−x − 4)/(x + 2) ≤ 0 ⇔ (x + 4)/(x + 2) ≥ 0: (−∞; −4] ∪ (−2; +∞). Ошибка: при умножении на −1 не поменять знак.
3) Точки −1, 2 (чётная степень), 4 — все выколоты (неравенство строгое). Справа от 4 — «+»; на (2; 4) «−»; в точке 2 знак не меняется — на (−1; 2) тоже «−»; при x < −1 «+». Сама точка 2 даёт 0, не входит. Ответ (−1; 2) ∪ (2; 4). Проверено в python.

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли ОДЗ

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$

ответ: $x = 2$

верно: корней нет

при $x = 2$ знаменатели равны $0$

Умножили неравенство на знаменатель

$\frac{1}{x - 1} < 1$

$1 < x - 1, x > 2$

верно: $x < 1$ или $x > 2$

знак $x - 1$ неизвестен

Закрасили нуль знаменателя

$\frac{x + 3}{x - 2} \leq 0$

ответ: $[- 3; 2]$

верно: $[- 3; 2)$

при $x = 2$ дробь не существует

R03.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите уравнение

$\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = 0$

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 3$ . Ответ: $1; - 3$

Ошибка: нет отбора, $x = 1$ — нуль знаменателя

Ответ: $- 3$

Задача 2. Решите неравенство

$\frac{x - 4}{x + 1} \geq 2$

$x - 4 \geq 2 x + 2, x \leq - 6$

Ошибка: умножили на $x + 1$ , знак которого неизвестен

$\frac{- x - 6}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x + 6}{x + 1} \leq 0$ : $[- 6; - 1)$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение или неравенство

$\frac{x ^{2} - 16}{x + 4} = 0$ $4$
$\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x + 2}$ $- 8$
$\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$ нет корней

$\frac{x + 4}{x - 3} < 0$ $(- 4; 3)$
$\frac{3 x - 6}{x + 5} \geq 0$ $(- \infty; - 5) \cup [2; + \infty)$
$\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$ $(- 2; 1]$

R03.3 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отбор корней, кратные точки, параметр

повыш. $\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x} = \frac{4 - x}{x ^{2} + 2 x}$ $3$
повыш. $\frac{x ^{2} - 3 x - 4}{x ^{2} - 9} \geq 0$ $(- \infty; - 3) \cup [- 1; 3) \cup [4; + \infty)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x + 1} \leq 0$ $(- \infty; - 1) \cup {3}$
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 2} = 0$ имеет ровно один корень? $a \in {- 2; 0; 2}$

2 мин · практика
1) ОДЗ x ≠ 0, ±2; общий знаменатель x(x − 2)(x + 2): 2x − (x + 2) = (4 − x)(x − 2) ⇔ x − 2 = (4 − x)(x − 2) ⇔ (x − 2)(x − 3) = 0. x = 2 вне ОДЗ, ответ 3. Проверка: 2/5 − 1/3 = 1/15 = 1/15 ✓.
2) (x − 4)(x + 1)/((x − 3)(x + 3)): −3 (○), −1 (●), 3 (○), 4 (●); знаки справа +, −, +, −, +. Ответ (−∞; −3) ∪ [−1; 3) ∪ [4; +∞).
3) (x − 3)²/(x + 1) ≤ 0: при x ≠ 3 числитель > 0, нужно x + 1 < 0; плюс точка x = 3 (дробь равна 0). Ответ (−∞; −1) ∪ {3}. Типичная ошибка — потерять изолированную точку 3.
4) x² = a², x ≠ 2. Корни ±a. Один корень, если a = 0 (корень 0) или один из ±a равен 2, т. е. a = ±2 (остаётся −2). Проверка: a = 1 — два корня ±1; a = 3 — два корня ±3. Ответ a ∈ {−2; 0; 2}. Проверено перебором в python.

R03.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Часть 2: полное решение с обоснованием

Решите уравнение $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - 12 = 0$ $\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}$
Решите неравенство $\frac{- 11}{( x - 2 ) ^{2} - 3} \geq 0$ $(2 - 3; 2 + 3)$
Решите неравенство $\frac{x - 1}{x + 2} \geq \frac{x + 3}{x - 1}$ $(- \infty; - 2) \cup [- \frac{5}{7}; 1)$

1: замена

t = \frac{1}{x}

2: числитель

< 0

⇒ знаменатель

< 0

3: всё влево, одна дробь, интервалы

3 мин · практика
1) x ≠ 0, t = 1/x: t² + t − 12 = 0, t = 3 или −4 ⇒ x = 1/3 или −1/4.
2) Числитель −11 < 0 и не равен 0, значит дробь ≥ 0 ⇔ знаменатель < 0: (x − 2)² < 3 ⇔ |x − 2| < √3 ⇔ 2 − √3 < x < 2 + √3.
3) ((x − 1)² − (x + 3)(x + 2)) / ((x + 2)(x − 1)) ≥ 0 ⇔ (−7x − 5)/((x + 2)(x − 1)) ≥ 0 ⇔ (7x + 5)/((x + 2)(x − 1)) ≤ 0. Точки −2 (○), −5/7 (●), 1 (○); знаки справа +, −, +, −. Ответ (−∞; −2) ∪ [−5/7; 1). Проверено в python.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла: ОДЗ, равносильные переходы, отбор, ответ. Потеря балла — «умножили на знаменатель» и нуль знаменателя в ответе.

R03.3 · ПР-15

Задача из жизни · линия 21

Лодка прошла $12$ км по течению и $12$ км обратно за $2, 5$ ч. Течение — $2$ км/ч

	$v$ , км/ч	$t$ , ч
по течению	$v + 2$	$\frac{12}{v + 2}$
против	$v - 2$	$\frac{12}{v - 2}$

$\frac{12}{v + 2} + \frac{12}{v - 2} = 2, 5$

практикаНайдите собственную скорость лодки $10$ км/ч
повыш.При какой скорости вся поездка займёт не больше $2$ ч? $v \geq 6 + 210 \approx 12, 3$ км/ч

2 мин · практика
1) v > 2 (иначе лодка не идёт против течения). 12(v − 2) + 12(v + 2) = 2,5(v² − 4) ⇔ 24v = 2,5v² − 10 ⇔ 5v² − 48v − 20 = 0: D = 2304 + 400 = 2704 = 52², v = (48 ± 52)/10: 10 или −0,4. Ответ 10 км/ч. Проверка: 12/12 + 12/8 = 1 + 1,5 = 2,5 ✓.
2) 24v/(v² − 4) ≤ 2 при v > 2 (знаменатель положителен — здесь умножать можно!) ⇔ v² − 12v − 4 ≥ 0 ⇔ v ≥ 6 + 2√10 ≈ 12,32 км/ч (второй корень 6 − 2√10 < 0). Проверено в python.
Акцент: умножать неравенство на знаменатель можно, только когда его знак известен (здесь v² − 4 > 0 по смыслу задачи).

R03.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 0$ $- 5$
база $\frac{4}{x + 1} = \frac{3}{x - 2}$ $11$
база $\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$ $(- 2; 3]$
повыш. $\frac{x}{x - 1} \geq 2$ $(1; 2]$

Вариант 2

база $\frac{x ^{2} - 36}{x + 6} = 0$ $6$
база $\frac{5}{x - 3} = \frac{2}{x + 3}$ $- 7$
база $\frac{x + 4}{x - 1} > 0$ $(- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$
повыш. $\frac{x + 1}{x + 3} \leq 2$ $(- \infty; - 5] \cup (- 3; + \infty)$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) ±5, 5 — нуль знаменателя: −5. 2) 4(x − 2) = 3(x + 1) ⇔ x = 11. 3) −2 (○), 3 (●), «−» между. 4) (x − 2x + 2)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (2 − x)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x − 2)/(x − 1) ≤ 0: (1; 2].
В-2. 1) ±6, −6 — нуль знаменателя: 6. 2) 5(x + 3) = 2(x − 3) ⇔ 3x = −21 ⇔ x = −7. 3) −4 (○), 1 (○), «+» по краям. 4) (x + 1 − 2x − 6)/(x + 3) ≤ 0 ⇔ (x + 5)/(x + 3) ≥ 0: (−∞; −5] ∪ (−3; +∞).
Все ответы проверены в python (sympy). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда дробь равна нулю?
Откуда берутся посторонние корни?
Почему нельзя умножать неравенство на знаменатель?

Домашнее задание

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$
$\frac{x ^{2} - x - 12}{x - 1} \leq 0$
При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - ( a + 1 ) x + a}{x - 3} = 0$ имеет ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) x ≠ ±3: x(x − 3) − 3(x + 3) = 18 ⇔ x² − 6x − 27 = 0: 9 и −3; −3 вне ОДЗ. Ответ 9.
2) (x − 4)(x + 3)/(x − 1) ≤ 0: −3 (●), 1 (○), 4 (●). Ответ (−∞; −3] ∪ (1; 4].
3) Числитель (x − 1)(x − a), x ≠ 3. Один корень при a = 1 (корень 1) или a = 3 (корень 3 отбрасывается, остаётся 1). Проверка a = 0: корни 0 и 1 — два. Ответ a ∈ {1; 3}. Проверено перебором в python.
Следующий урок ALG9U-044 — системы уравнений с двумя переменными; подстановка там часто приводит к дробным уравнениям.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-043 · Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 3/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств» → 2, 4–20 · опора R02 (метод интервалов), R03.2 (замена) → 3, 8, 9 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6–8, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 4–8, 15–17, 19 · ПР-8 (метод интервалов) → 9–13, 15–17, 19 · ПР-11 (замена переменной) → 8, 17 · ПР-14 (исследование, параметр) → 16, 20 · ПР-15 (текстовые задачи) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы уравнений с двумя переменными — ALG9U-044; системы нелинейных уравнений — ALG9U-045 и далее
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробно-рациональныеуравненияи неравенства

Сегодня вы научитесь

Решать дробные уравнения

Применять замену

Решать дробные неравенства

Моделировать и исследовать

Дроби, нули и знаки

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет

Четыре шага и проверка знаменателей

Решите уравнение

Образец

Сам

Сведите к целому уравнению и сделайте отбор

Образец

Сам

Повторяющееся выражение — новая переменная

Образец

Сам

Знак дроби = знак произведения, но знаменатель =0

x2−1x2−x−6​≤0

Решите неравенство методом интервалов

Образец

Сам

Справа не ноль? Перенесите и приведите к одной дроби

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли ОДЗ

Умножили неравенство на знаменатель

Закрасили нуль знаменателя

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите уравнение

Задача 2. Решите неравенство

Решите уравнение или неравенство

Отбор корней, кратные точки, параметр

Часть 2: полное решение с обоснованием

Лодка прошла 12 км по течению и 12 км обратно за 2,5 ч. Течение — 2 км/ч

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-043 · Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств

Дробно-рациональные
уравнения
и неравенства

Знак дроби = знак произведения, но знаменатель $\neq = 0$

$\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 1} \leq 0$

Лодка прошла $12$ км по течению и $12$ км обратно за $2, 5$ ч. Течение — $2$ км/ч