Уравнения, неравенства и их системы · урок 2 из 25

Уравнения 3-й и 4-й степеней: три метода

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-042

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 2/25, единица R03.2 «Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-041 — биквадратные уравнения (замена t = x²); следующий ALG9U-043 — дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (схема трёх методов) 2 · 5 (разложение на множители) 2 · 7 (подбор целого корня) 2 · 9 (замена: типы уравнений) 2 · 12 (графический метод) 2 · 14 (сводка: как выбрать метод) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11, 13) 2 + 3 + 3 + 2 + 3 · типичные ошибки (сл. 15) 1 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 3 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на множители

группировкой и подбором целого корня, сводить к $A \cdot B = 0$ (ПР-11, ПР-5)

Вводить новую переменную

повторяющееся выражение, произведение четырёх скобок (ПР-11)

Решать графически

находить число корней и единственный корень по графикам (ПР-11, ПР-14)

Оформлять задание 20 ОГЭ

и задачу из жизни, сводящуюся к уравнению 3-й степени (ПР-6, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-11 (ФРП дословно): «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». ПР-5: «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-14: «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)». ПР-6: «Решать… уравнения, сводящиеся к ним». ПР-16: «Использовать уравнения… для составления математической модели реальной ситуации».
Кодификатора у курса нет (codes пусты) — цели только из результатов.

разминка · R03.1, 8 класс

Разминка · устно

Множители, корни, замена

x^{3} - 4 x

разложите

x (x - 2) (x + 2)

x^{3} + 8

= (x + 2) (\dots)

x^{2} - 2 x + 4

x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)

разложите

(x - 3) (x^{2} - 4)

(x + 1) (x + 4)

раскройте

x^{2} + 5 x + 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

корни

\pm 1; \pm 2

(x^{2} + x)^{2} - 3 (x^{2} + x)

через

t = x^{2} + x

t^{2} - 3 t

x^{3} - 3 x - 2

2

— корень?

да

y = x^{3}

при

x = - 2

- 8

R03.2

Схема · три метода

Как решить уравнение 3-й или 4-й степени

2 мин · теория
Общей формулы корней, как у квадратного уравнения, в школе нет. Поэтому уравнение 3-й или 4-й степени сводят к уравнениям степени не выше 2: разложением, заменой; график помогает найти число корней и угадать корень.
Вопрос классу: каким методом решали биквадратные уравнения на прошлом уроке? (Замена t = x².)
«Равносильные преобразования» — те, что не меняют множество корней: перенос слагаемых, умножение на число ≠ 0, разложение на множители. Деление на выражение с x равносильным не является.

R03.2

Метод 1 · равносильные преобразования

Разложить на множители — и приравнять каждый к нулю

A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 или B = 0

вынести общий множитель
группировка членов
формулы: $a^{2} - b^{2}$ , $a^{3} \pm b^{3}$

Делить на множитель с

x

нельзя — потеряете корни.

Пример учителя

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2) = 0$ группировка

$(x - 2) (x^{2} - 9) = 0$ общий множитель

$(x - 2) (x - 3) (x + 3) = 0$

$x = 2, x = 3, x = - 3$

R03.2

Образец → сам · группировка

Решите уравнение разложением на множители

Образец

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$

$x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = 0$ группировка

$(x + 3) (x^{2} - 4) = 0$ вынесли $x + 3$

$(x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0$ $a^{2} - b^{2}$

$x = - 3; \pm 2$ каждый множитель $= 0$

Сам

база $x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 = 0$ $5; \pm 1$
база $2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4 = 0$ $- 0, 5; \pm 2$
повыш. $x^{4} - x^{3} - 8 x + 8 = 0$ $1; 2$

R03.2

Метод 1 · подбор целого корня

Целый корень ищут среди делителей свободного члена

x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

, числа

b, c, d

— целые. Если

x_{0}

— целый корень, то

d

делится на

x_{0}

.

$x_{0} (x_{0}^{2} + b x_{0} + c) = - d$

слева — произведение целых чисел, одно из них $x_{0}$

Пример учителя

$x^{3} - 7 x + 6 = 0$

делители $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$x = 1$ : $1 - 7 + 6 = 0$ корень найден

$x^{3} - x - 6 x + 6 = x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1)$

$(x - 1) (x^{2} + x - 6) = 0$

$x = 1; 2; - 3$

2 мин · теория
Доказательство: подставим x₀: x₀³ + bx₀² + cx₀ + d = 0 ⇒ x₀(x₀² + bx₀ + c) = −d. Скобка — целое число, значит, −d (и d) делится на x₀.
Утверждение верно для старшего коэффициента 1 (и для любой степени). Если старший коэффициент не 1, корень может быть дробным — тогда подбор не гарантирован.
Выделение множителя x − 1: «расщепляем» −7x = −x − 6x, чтобы каждая группа содержала x − 1. Корни x² + x − 6: по Виета 2 и −3. Проверка x = 2: 8 − 14 + 6 = 0 ✓; x = −3: −27 + 21 + 6 = 0 ✓.
Деление многочлена «уголком» не обязательно — достаточно группировки.

R03.2

Образец → сам · подбор корня

Подберите корень и разложите

Образец

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

$x = 2$ : $8 + 8 - 10 - 6 = 0$ делитель $6$

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 3 x - 6 = 0$ расщепили

$(x - 2) (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

$x = 2; - 1; - 3$ Виета

Сам

база $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ $1; 2; 3$
база $x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0$ $1; - 2$
повыш. $x^{3} + x^{2} + x - 3 = 0$ $1$

R03.2

Метод 2 · замена переменной

Увидеть повторяющееся выражение

вид уравнения	замена	получаем
$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$	$t = x^{2}, t \geq 0$	$a t^{2} + b t + c = 0$
$a (x^{2} + p x)^{2} + b (x^{2} + p x) + c = 0$	$t = x^{2} + p x$	$a t^{2} + b t + c = 0$
$(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m$ , $a + d = b + c$	$t = x^{2} + (a + d) x$	$(t + a d) (t + b c) = m$
$a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$	$: x^{2}$ , $t = x + \frac{1}{x}$	$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$

Решили по

t

— вернитесь к $x$ : значения

t

ещё не ответ.

2 мин · теория
Строка 1 — прошлый урок (биквадратное). Строка 2 — главный тип в ОГЭ. Строка 3: скобки группируют в пары с одинаковой суммой свободных членов, тогда после раскрытия пар повторяется x² + (a + d)x.
Строка 4 — возвратное (симметричные коэффициенты) уравнение, углублённый уровень. x = 0 не корень (свободный член a ≠ 0), поэтому делить на x² можно — это равносильно. (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x², отсюда x² + 1/x² = t² − 2.
Вопрос: почему при t = x² пишут t ≥ 0, а при t = x² + px ограничения нет? (x² + px может быть отрицательным; лишние t отсеются, когда квадратное уравнение по x не будет иметь корней.)

R03.2

Образец → сам · замена переменной

Повторяющееся выражение — новая переменная

Образец

$(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3 = 0$

$t = x^{2} + 2 x$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

$t = 3$ или $t = - 1$ Виета

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $x = 1; - 3$

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ : $x = - 1$

Ответ: $- 3; - 1; 1$

Сам

база $(x^{2} - x)^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$ $- 2; - 1; 2; 3$
база $(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) = 8$ $- 4; - 2; - 1; 1$
повыш. $(2 x^{2} + x)^{2} - 4 (2 x^{2} + x) + 3 = 0$ $- 1, 5; - 1; 0, 5; 1$

R03.2

Образец → сам · произведение четырёх скобок

Сгруппируйте скобки в пары

Образец

$(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24$

$(x + 1) (x + 4) \cdot (x + 2) (x + 3)$ $1 + 4 = 2 + 3$

$(x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} + 5 x + 6) = 24$

$t = x^{2} + 5 x$ : $t^{2} + 10 t = 0$ , $t = 0; - 10$

$x^{2} + 5 x = 0$ : $x = 0; - 5$

$x^{2} + 5 x + 10 = 0$ : $D < 0$

Ответ: $- 5; 0$

Сам

база $x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 24$ $- 4; 1$
повыш. $(x - 1) (x - 3) (x + 5) (x + 7) = 297$ $- 8; 4$

R03.2

Метод 3 · графический метод

Корни — абсциссы точек пересечения графиков

$x^{3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 2 - x$

точка пересечения: $x = 1$

проверка: $1 + 1 - 2 = 0$

y = x^{3}

возрастает,

y = 2 - x

убывает — общая точка не больше одной. Ответ:

1

.

График даёт число корней и «кандидата»; корень подтверждают подстановкой.

2 мин · теория
Алгоритм: 1) уединить части так, чтобы графики были знакомыми (y = x³, прямая, парабола); 2) построить; 3) прочитать абсциссы точек пересечения; 4) проверить подстановкой; 5) обосновать, что других корней нет (монотонность или разложение).
Почему не больше одной точки: если x₁ < x₂, то x₁³ < x₂³, а 2 − x₁ > 2 − x₂ — равенство не может выполняться в двух точках.
Алгебраическая проверка: x³ + x − 2 = (x − 1)(x² + x + 2), D = 1 − 8 < 0 — корень один.
Чертёж точный: 87 px на единицу по оси x, 50 px — по оси y.

R03.2 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

$x^{3} = 3 x + 2$ : сколько корней и какие?

Образец

две общие точки: $x = - 1$ (касание) и $x = 2$

проверка: $- 1 = - 3 + 2$ ; $8 = 6 + 2$

$x^{3} - 3 x - 2 = (x + 1)^{2} (x - 2)$ — других нет

Сам

база $x^{3} = 10 - x$ $2$
база $x^{3} + 2 x + 3 = 0$ $- 1$
повыш.Сколько корней у $x^{3} = 4 x - 3$ ? три

3 мин · практика
Образец: прямая y = 3x + 2 касается кривой y = x³ в точке (−1; −1) и пересекает её в (2; 8). Проверка: (−1)³ = −1 = 3·(−1) + 2 ✓; 2³ = 8 = 3·2 + 2 ✓. Разложение: (x + 1)²(x − 2) = (x² + 2x + 1)(x − 2) = x³ − 3x − 2 ✓. Ответ: −1; 2.
1) y = x³ возрастает, y = 10 − x убывает — не более одного корня; подбор x = 2: 8 = 8 ✓. Ответ: 2.
2) x³ = −2x − 3: возрастающая и убывающая функции — один корень; x = −1: −1 − 2 + 3 = 0 ✓. Ответ: −1.
3) Прямая y = 4x − 3 (через (1; 1) и (0; −3)) пересекает y = x³ в трёх точках. Алгебраически: x = 1 — корень, x³ − 4x + 3 = (x − 1)(x² + x − 3), D = 13 > 0, ещё два корня (−1 ± √13)/2 ≈ 1,30 и −2,30. Ответ: три корня. Можно предложить провести прямую на этом же чертеже.
Чертёж точный: 87 px на единицу по x, ≈ 28,7 px — по y (масштабы по осям разные).

R03.2

Сводка · как выбрать метод

Смотрим на уравнение — выбираем путь

Пары членов с общим множителем

группировка, формулы → $A \cdot B = 0$

Целые коэффициенты, старший — 1

подбор корня среди делителей $d$ , сумма коэффициентов $= 0$ → $x = 1$

Выражение повторяется, четыре скобки

замена $t$ → квадратное уравнение → вернуться к $x$

Нужно число корней

графики двух частей, монотонность, проверка подстановкой

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые теряют корни

Деление на $x$

$x^{3} = 9 x$ $∣ : x$

$x^{2} = 9$ , $x = \pm 3$

$x (x^{2} - 9) = 0$ : $0; \pm 3$

при делении потерян корень $0$

Не отброшено $t < 0$

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

$t = 1, t = - 4$ ; $x = \pm 1; \pm 2$

$x^{2} = - 4$ — корней нет; $x = \pm 1$

$t = x^{2} \geq 0$

Знак при группировке

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 =$ $x^{2} (x - 2) - (x + 2)$

$x^{2} (x - 2) - (x - 2)$ $= (x - 2) (x^{2} - 1)$

ответ: $2; \pm 1$

R03.2

Найди ошибку

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1) $(x^{2} - 4 x)^{2} + 7 (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$

$t = x^{2} - 4 x$ , $t^{2} + 7 t + 12 = 0$

$t = - 3$ , $t = - 4$

Ответ: $- 4; - 3$

Ошибка: не вернулся к $x$

$x^{2} - 4 x = - 3$ : $1; 3$ ; $x^{2} - 4 x = - 4$ : $2$ . Ответ: $1; 2; 3$

2) $x^{3} + x^{2} = 4 x + 4$

$x^{2} (x + 1) = 4 (x + 1)$

$x^{2} = 4$ (разделил на $x + 1$ )

Ответ: $\pm 2$

Ошибка: деление на $x + 1$ теряет корень

$(x + 1) (x - 2) (x + 2) = 0$ . Ответ: $- 1; \pm 2$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение (выберите метод)

$x^{3} - 9 x = 0$ $0; \pm 3$
$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ $- 2; \pm 3$
$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ $\pm 2; \pm 3$

$x^{3} - 8 = 0$ $2$
$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ $- 1; 2; 3$
$(x^{2} + x)^{2} - 3 (x^{2} + x) + 2 = 0$
$- 2; 1; \frac{- 1 \pm 5}{2}$

R03.2 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена посложнее и параметр

повыш. $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ $2 \pm 3$
повыш. $(x^{2} + x) (x^{2} + x - 4) = 12$ $- 3; 2$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + a = 0$ имеет ровно четыре корня? $0 < a < 6, 25$
повыш. $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 3$ $\frac{5 \pm 13}{2}$

2 мин · практика
1) Возвратное; x = 0 не корень, делим на x²: (x² + 1/x²) − 5(x + 1/x) + 6 = 0; t = x + 1/x: t² − 2 − 5t + 6 = 0, t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или 4. x + 1/x = 1 ⇒ x² − x + 1 = 0, D < 0; x + 1/x = 4 ⇒ x² − 4x + 1 = 0, x = 2 ± √3.
2) t = x² + x: t(t − 4) = 12, t² − 4t − 12 = 0, t = 6 или −2. x² + x − 6 = 0: 2, −3; x² + x + 2 = 0: D < 0.
3) Это уравнение при любом a (старший коэффициент 1). t = x²: t² − 5t + a = 0 должно иметь два различных положительных корня: D = 25 − 4a > 0 ⇒ a < 6,25; t₁t₂ = a > 0; t₁ + t₂ = 5 > 0. Ответ: 0 < a < 6,25. Граничные значения: a = 0 — x⁴ − 5x² = 0, корни 0, ±√5 (три корня); a = 6,25 — t = 2,5, корни ±√2,5 (два корня). Оба не подходят.
4) Пары (x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4 и (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6; t = x² − 5x: (t + 4)(t + 6) = 3, t² + 10t + 21 = 0, t = −3 или −7. x² − 5x + 3 = 0: x = (5 ± √13)/2; x² − 5x + 7 = 0: D < 0. Если не успеваете — 3 и 4 в ДЗ.

R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — с полной записью

$x^{3} + 3 x^{2} = 16 x + 48$ $- 4; - 3; 4$
$x^{4} = (4 x - 5)^{2}$ $- 5; 1$
$(x^{2} - 25)^{2} + (x^{2} + 2 x - 15)^{2} = 0$ $- 5$

1: перенесите всё влево и группируйте

2:

A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = B

или

A = - B

3: сумма квадратов

= 0 \Leftrightarrow

оба равны

0

3 мин · практика
1) x³ + 3x² − 16x − 48 = 0; x²(x + 3) − 16(x + 3) = 0; (x + 3)(x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ −3, 4, −4. Проверка x = −3: −27 + 27 = 0 = −48 + 48 ✓.
2) x² = 4x − 5: x² − 4x + 5 = 0, D = 16 − 20 < 0 — нет корней; x² = −(4x − 5): x² + 4x − 5 = 0: 1, −5. Проверка x = −5: 625 = (−25)² ✓; x = 1: 1 = 1 ✓.
3) x² − 25 = 0 и x² + 2x − 15 = 0 одновременно: {±5} ∩ {3; −5} = {−5}. Проверка: 0 + (25 − 10 − 15)² = 0 ✓.
Задание 20 ОГЭ — 2 балла; нужна полная запись: разложение, совокупность «или», ответ. Типичная потеря балла — деление на x + 3 или на x² вместо разложения.

R03.2 · ПР-16

Задача из жизни

Коробка из квадратного листа $12 \times 12$ см

практикаСоставьте уравнение: объём $128$ см³. $x (12 - 2 x)^{2} = 128$
практикаНайдите $x$ (подберите корень). $x = 2$ см
повыш.Можно ли получить объём $130$ см³? нет

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{3} - 16 x = 0$ $0; \pm 4$
база $x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50 = 0$ $2; \pm 5$
база $(x^{2} + 4 x)^{2} - 2 (x^{2} + 4 x) - 15 = 0$ $- 5; - 3; - 1; 1$
повыш. $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ $- 2; - 1; 3$

Вариант 2

база $x^{3} - 25 x = 0$ $0; \pm 5$
база $x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48 = 0$ $3; \pm 4$
база $(x^{2} + 2 x)^{2} - 7 (x^{2} + 2 x) - 8 = 0$ $- 4; - 1; 2$
повыш. $x^{3} - 13 x - 12 = 0$ $- 3; - 1; 4$

4 мин · практика
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x(x − 4)(x + 4): 0, ±4. 2) x²(x − 2) − 25(x − 2) = (x − 2)(x − 5)(x + 5): 2, ±5. 3) t = x² + 4x: t² − 2t − 15 = 0, t = 5; −3. x² + 4x − 5 = 0: 1, −5; x² + 4x + 3 = 0: −1, −3. 4) x = −1: −1 + 7 − 6 = 0; (x + 1)(x² − x − 6): −1, 3, −2.
В-2. 1) x(x − 5)(x + 5): 0, ±5. 2) x²(x − 3) − 16(x − 3) = (x − 3)(x − 4)(x + 4): 3, ±4. 3) t = x² + 2x: t² − 7t − 8 = 0, t = 8; −1. x² + 2x − 8 = 0: 2, −4; x² + 2x + 1 = 0: −1. 4) x = −1: −1 + 13 − 12 = 0; (x + 1)(x² − x − 12): −1, 4, −3.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему нельзя делить на выражение с $x$ ?
Где искать целый корень?
Что сделать после того, как нашли $t$ ?
Когда у уравнения не больше одного корня?

Домашнее задание

$x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 20 = 0$
$(x^{2} - 5 x)^{2} + 10 (x^{2} - 5 x) + 24 = 0$
$x^{3} + 3 x - 4 = 0$ — графически и подбором
* $x (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 24$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) (x + 5)(x − 2)(x + 2): −5, ±2. 2) t = x² − 5x: t² + 10t + 24 = 0, t = −4; −6. x² − 5x + 4 = 0: 1, 4; x² − 5x + 6 = 0: 2, 3. Ответ: 1, 2, 3, 4. 3) x³ = 4 − 3x — возрастающая и убывающая, x = 1 (1 + 3 − 4 = 0), единственный; (x − 1)(x² + x + 4), D < 0. 4) Пары x(x − 3) и (x − 1)(x − 2): t = x² − 3x, t(t + 2) = 24, t = 4; −6. x² − 3x − 4 = 0: 4, −1; x² − 3x + 6 = 0: D < 0. Ответ: −1; 4.
Тренажёр строки R03 (системы, замена переменных) — по trainers.json.
Следующий урок ALG9U-043 — дробно-рациональные уравнения и неравенства: та же замена и разложение, но с ОДЗ.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-042 · Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 2/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 → 2, 4–22 · опора R03.1 (биквадратные) и 8 класс (разложение на множители) → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 10, 11, 13, 15–22)
Результаты	ПР-11 (методы равносильных преобразований, замены, графический для уравнений 3-й и 4-й степеней) → 2, 4–22 · ПР-5 (разложение трёхчлена) → 6–8 · ПР-14 (исследование числа корней) → 12, 13, 18 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 19 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные уравнения и неравенства — ALG9U-043; системы с двумя переменными — ALG9U-044; деление многочленов уголком, схема Горнера, теорема Безу — не включены (подбор корня — через группировку)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнения 3-й и 4-й степеней: три метода

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на множители

Вводить новую переменную

Решать графически

Оформлять задание 20 ОГЭ

Множители, корни, замена

Как решить уравнение 3-й или 4-й степени

Разложить на множители — и приравнять каждый к нулю

Пример учителя

Решите уравнение разложением на множители

Образец

Сам

Целый корень ищут среди делителей свободного члена

Пример учителя

Подберите корень и разложите

Образец

Сам

Увидеть повторяющееся выражение

Повторяющееся выражение — новая переменная

Образец

Сам

Сгруппируйте скобки в пары

Образец

Сам

Корни — абсциссы точек пересечения графиков

x3=3x+2: сколько корней и какие?

Образец

Сам

Смотрим на уравнение — выбираем путь

Пары членов с общим множителем

Целые коэффициенты, старший — 1

Выражение повторяется, четыре скобки

Нужно число корней

Три ошибки, которые теряют корни

Деление на x

Не отброшено t<0

Знак при группировке

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1) (x2−4x)2+7(x2−4x)+12=0

2) x3+x2=4x+4

Решите уравнение (выберите метод)

Замена посложнее и параметр

Решите уравнение — с полной записью

Коробка из квадратного листа 12×12 см

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-042 · Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

$x^{3} = 3 x + 2$ : сколько корней и какие?

Деление на $x$

Не отброшено $t < 0$

1) $(x^{2} - 4 x)^{2} + 7 (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$

2) $x^{3} + x^{2} = 4 x + 4$

Коробка из квадратного листа $12 \times 12$ см