Квадратные неравенства · урок 15 из 15 · обобщение

Квадратные
неравенства:
обобщение

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-040

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 15/15, единицы R02.1–R02.11 (вся строка). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Прошлый урок ALG9U-039 — практикум по квадратным неравенствам; следующий ALG9U-041 — биквадратные уравнения (строка R03).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (знак трёхчлена: 6 случаев, вопросы классу) 3 · 7 (модуль и системы) 2 · 10 (неравенства с двумя переменными) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) 2,5 · 2,5 · 2,5 · 2,5 · 2,5 · 2,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 1,5 · ОГЭ 13 (сл. 17) 1 · ОГЭ 20 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Урок обобщения: сводки короткие, всё правило класс уже знает — задача учителя напомнить схему и сразу дать «образец → сам». Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.1–R02.11

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему целиком

Выбирать метод

эскиз параболы или метод интервалов — по виду неравенства (ПР-8)

Модуль и системы

сводить к двойному неравенству, пересекать множества решений (ПР-12, ПР-13)

Плоскость

изображать решения неравенств и систем с двумя переменными (ПР-14)

Параметр и задачи

«при всех $x$ », длина промежутка, модели из жизни (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14 — исследования с графическими представлениями. ПР-15, ПР-16 — текстовые задачи и модели реальных ситуаций.
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать квадратное неравенство графическим методом и методом интервалов… Решать неравенства, содержащие знак модуля… Применять графический метод решения систем неравенств с двумя переменными».

разминка · R02.1–R02.6

Разминка · устно

Решите в уме

x^{2} < 16

решите

(- 4; 4)

x^{2} + 5 > 0

решите

все

x

(x - 1)^{2} \leq 0

решите

x = 1

∣ x ∣ \leq 2

решите

[- 2; 2]

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

[- 2; 3)

сколько целых?

5

(1; 2)

и

y > x^{2}

точка — решение?

да

x > 1

и

x < 4

общая часть

(1; 4)

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику. Каждая карточка — одна единица строки: 1–3 квадратные неравенства (R02.3), 4 модуль (R02.5), 5 корни для метода интервалов (R02.4), 6 множество решений (R02.2), 7 неравенство с двумя переменными (R02.9), 8 система (R02.6).
1) |x| < 4. 2) x² + 5 ≥ 5 > 0 при любом x. 3) Квадрат не бывает отрицательным, равен нулю только при x = 1. 4) −2 ≤ x ≤ 2.
5) Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6. 6) −2, −1, 0, 1, 2 — пять (3 не входит). 7) 2 > 1² = 1 — да. 8) пересечение лучей: (1; 4).

R02.3 · R02.4

Сводка · знак квадратного трёхчлена

Ответ читаем по эскизу параболы: знак $a$ и знак $D$

зелёный:

> 0

· красный:

< 0

· кружок:

= 0

a x^{2} + b x + c > 0

при всех

x

\Leftrightarrow

a > 0, D < 0

3 мин · теория
Сводка всей строки в одной картинке: решить квадратное неравенство = найти, где парабола выше или ниже оси Ox. Нужны только знак a (куда ветви) и корни (или их отсутствие).
Вопросы классу по таблице: «Когда x² − 2x + 1 > 0?» (D = 0, a > 0: все x, кроме 1). «Когда −x² + x − 1 < 0?» (D = −3 < 0, a < 0: при всех x). «Сколько решений у −(x − 2)² ≥ 0?» (одно: x = 2).
Правая выноска — опора для задач с параметром (сл. 12): «при всех x» для «> 0» нужно a > 0 и D < 0; для «< 0» — a < 0 и D < 0; для «≥ 0» — a > 0 и D ≤ 0.
Эскизы схематичные: корни при D > 0 рисуются симметрично относительно вершины x₀ = −b/(2a).

R02.3

Образец → сам · квадратное неравенство

Решите неравенство

Образец

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 \geq 0$

$2 x^{2} - 5 x - 3 \leq 0$ умножили на $- 1$ , знак сменили

$D = 49, x = \frac{5 \pm 7}{4}$ : $3; - \frac{1}{2}$ корни

ветви вверх, $\leq 0$ — между корнями эскиз

$x \in [- \frac{1}{2}; 3]$ концы входят: $\leq$

Сам

база $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ $(- 3; 5)$
база $3 x^{2} - 7 x + 2 \geq 0$ $(- \infty; \frac{1}{3}] \cup [2; + \infty)$
повыш. $4 x^{2} - 4 x + 1 > 0$ все $x$ , кроме $\frac{1}{2}$

R02.4

Образец → сам · метод интервалов

Дробное неравенство: нули числителя и знаменателя

Образец

$\frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 5} \leq 0$

$\pm 2$ — закрашены, $5$ — выколота знаменатель $\neq = 0$

$x \in (- \infty; - 2] \cup [2; 5)$ знак «−»

Сам

база $\frac{x + 3}{x - 1} > 0$ $(- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$
база $(x - 1)^{2} (x + 4) \leq 0$ $(- \infty; - 4] \cup {1}$
повыш. $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 1} \geq 0$ $(- \infty; - 2] \cup (- 1; 1) \cup [3; + \infty)$

2,5 мин · практика
Образец: нули числителя −2 и 2 (≤ — входят), нуль знаменателя 5 — всегда выколот. Справа от 5 все множители положительны — «+», дальше чередуем: −, +, −, + (слева направо). Нужен «−»: (−∞; −2] ∪ [2; 5). Проверка x = 3: 5 · 1 / (−2) < 0 ✓.
1) Нули −3 и 1, оба выколоты: «+» снаружи. 2) (x − 1)² ≥ 0 — двойной корень, знак не меняется; x + 4 ≤ 0 или x = 1. Ошибка: потерять точку 1.
3) (x − 3)(x + 2) / ((x − 1)(x + 1)) ≥ 0. Нули −2, 3 закрашены, ±1 выколоты. Знаки справа: +, −, +, −, +. Ответ (−∞; −2] ∪ (−1; 1) ∪ [3; +∞). Проверка x = 0: −6 / (−1) = 6 ≥ 0 ✓.

R02.5 · R02.6

Сводка · модуль и системы

Модуль — к двойному неравенству, система — к пересечению

Модуль ( $a > 0$ )

$∣ f ∣ < a \Leftrightarrow - a < f < a$

$∣ f ∣ > a \Leftrightarrow f < - a$ или $f > a$

$∣ f ∣ < g \Leftrightarrow - g < f < g$

$∣ f ∣ < ∣ g ∣ \Leftrightarrow f^{2} < g^{2}$

Системы и совокупности

${\dots \dots$ — «и»: пересечение решений

$[\dots \dots$ — «или»: объединение

Область определения — тоже система: под корнем $\geq 0$ , знаменатель $\neq = 0$

2 мин · теория
Напоминание без вывода (выводы — уроки ALG9U-030, 031). |f| < a: расстояние от f до 0 меньше a. При a ≤ 0 неравенство |f| < a решений не имеет, а |f| > a при a < 0 верно при всех x из области определения.
|f| < g ⇔ −g < f < g: при g ≤ 0 двойное неравенство само решений не даёт, поэтому отдельное условие g > 0 не нужно. |f| < |g| ⇔ f² < g² ⇔ (f − g)(f + g) < 0 — удобно для метода интервалов.
Вопрос классу: что получится, если в системе один промежуток (−∞; 1), а другой (3; +∞)? (Пустое множество — решений нет.) А в совокупности? (Объединение двух лучей.)

R02.5

Образец → сам · неравенство с модулем

Решите неравенство

Образец

$∣ x^{2} - 5∣ < 4$

$- 4 < x^{2} - 5 < 4$ $∣ f ∣ < a$

$1 < x^{2} < 9$ прибавили $5$

$1 < ∣ x ∣ < 3$ $x^{2} = ∣ x ∣$

$x \in (- 3; - 1) \cup (1; 3)$ два промежутка

Сам

база $∣2 x - 3∣ \leq 5$ $[- 1; 4]$
база $∣ x^{2} - 2 x ∣ > 3$ $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$
повыш. $∣ x - 1∣ < 2 x + 4$ $(- 1; + \infty)$

R02.6 · ПР-13

Образец → сам · система неравенств

Решите систему, найдите целые решения

Образец

${x^{2} - x - 12 \leq 0 2 x - 3 > 0$

$[- 3; 4]$ корни $- 3$ и $4$ , между

$x > 1, 5$ линейное

$x \in (1, 5; 4]$ пересечение

целые: $2; 3; 4$ ровно три

Сам

база ${x^{2} \geq 4 x < 5$ $(- \infty; - 2] \cup [2; 5)$
базаОбласть определения функции $y = 6 - x - x^{2} + \frac{1}{x}$ $[- 3; 0) \cup (0; 2]$
повыш.Сколько целых решений у системы ${x^{2} - 6 x + 5 < 0 ∣ x - 3∣ \geq 1$ ? $2$ (это $2$ и $4$ )

R02.8–R02.11

Сводка · неравенства с двумя переменными

Решение — пара $(x; y)$ , множество решений — область

1. Граница: линия

y = f (x)

; сплошная при

\leq, \geq

, пунктир при

<, >

2. Сторона:

y > f (x)

— выше графика,

y < f (x)

— ниже; проверка пробной точкой

3. Система: пересечение областей

${y \geq x^{2} - 4 y \leq x + 2$

3 мин · теория
Демонстрация учителя. Граница области — графики y = x² − 4 и y = x + 2, обе сплошные (знаки нестрогие). Точки пересечения: x² − 4 = x + 2 ⇔ x² − x − 6 = 0, x = −2 и x = 3, т. е. (−2; 0) и (3; 5).
y ≥ x² − 4 — над параболой (внутри «чаши»), y ≤ x + 2 — под прямой. Пересечение — закрашенный «сегмент» между ними для −2 ≤ x ≤ 3. Пробная точка (0; 0): 0 ≥ −4 ✓, 0 ≤ 2 ✓ — лежит в области.
Чертёж точный: 1 клетка = 1 единица, парабола и прямая построены по координатам.
Вопрос классу: принадлежит ли области точка (−3; 4)? (4 ≥ 5 — нет, она под параболой.) Точка (3; 5)? (Да, это угол области, граница входит.)

R02.9 · R02.11

Образец → сам · область на плоскости

Изобразите множество решений, посчитайте точки и площадь

Образец

${x^{2} + y^{2} \leq 25 y \geq x + 1$

окружность $R = 5$ , центр $O$ сплошная

прямая $y = x + 1$ сплошная

$(0; 0)$ : $0 \geq 1$ — неверно пробная

часть круга выше прямой с границей

Сам

базаЯвляется ли $(1; - 2)$ решением неравенства $y > x^{2} - 4$ ? да: $- 2 > - 3$
базаСколько точек с целыми координатами у системы ${y \geq x^{2} y \leq 2$ ? $7$
повыш.Площадь фигуры ${y \geq ∣ x ∣ y \leq 4$ $16$

2,5 мин · практика
Образец: x² + y² ≤ 25 — круг с границей; y ≥ x + 1 — полуплоскость над прямой. Пробная точка (0; 0) в круге, но под прямой, значит, нужная часть круга — та, где центра нет: «шапка» над прямой. Ученики рисуют в тетради (клетка = 1).
1) x² − 4 = −3, −2 > −3 — да.
2) x = 0: y = 0, 1, 2 (3 точки); x = ±1: y = 1, 2 (по 2); x = ±2: y ≥ 4 и y ≤ 2 — нет. Итого 3 + 4 = 7 (проверено перебором в python).
3) y ≥ |x| — «угол» над графиком модуля; срезан прямой y = 4: треугольник с вершинами (0; 0), (−4; 4), (4; 4). S = 8 · 4 / 2 = 16.

R02.3 · ПР-14

Образец → сам · неравенство с параметром

При каких значениях параметра…

Образец

… $x^{2} - 2 m x + m + 6 > 0$ при всех $x$ ?

$a = 1 > 0$ ветви вверх

$D_{1} = m^{2} - m - 6 < 0$ нет корней

$(m - 3) (m + 2) < 0$ разложили

$- 2 < m < 3$ ответ

Сам

база… $x^{2} + 4 x + c \geq 0$ при всех $x$ ? $c \geq 4$
повыш.…неравенство $a x^{2} + 4 x + a < 0$ верно при всех $x$ ? $a < - 2$
повыш.…множество решений $x^{2} - (p + 1) x + p \leq 0$ — отрезок длины $3$ ? $p = - 2$ или $p = 4$

2,5 мин · практика
Образец опирается на выноску сл. 4. Проверка границ: m = 3 — x² − 6x + 9 = (x − 3)², при x = 3 равно 0, «> 0» нарушается — 3 не входит ✓; m = −2 — x² + 4x + 4 = (x + 2)², то же ✓.
1) D₁ = 4 − c ≤ 0 ⇔ c ≥ 4. Граница c = 4: (x + 2)² ≥ 0 верно при всех x ✓.
2) Это «неравенство», а не квадратный трёхчлен: разбираем a = 0 — 4x < 0 верно не при всех x, не подходит. При a ≠ 0 нужно a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0 ⇔ a² > 4. Вместе: a < −2. Граница a = −2: −2x² + 4x − 2 = −2(x − 1)², при x = 1 равно 0, «< 0» нарушено — −2 не входит ✓.
3) x² − (p + 1)x + p = (x − 1)(x − p): корни 1 и p, решение — отрезок между ними, длина |p − 1| = 3 ⇔ p = 4 или p = −2. Проверка p = 4: [1; 4] ✓; p = −2: [−2; 1] ✓.

R02.3–R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на $- 1$ , знак тот же

$- x^{2} + 4 < 0$ $\Rightarrow x^{2} - 4 < 0$

$x^{2} - 4 > 0$ : $x < - 2$ или $x > 2$

на отрицательное число — знак меняется

«Корень» из неравенства

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$∣ x ∣ > 3$ : $x < - 3$ или $x > 3$

$x^{2} = ∣ x ∣$ , а не $x$

Нуль знаменателя закрасили

$\frac{x - 3}{x + 1} \geq 0$ : $(- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$

$(- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)$

нуль знаменателя всегда выколот

R02.4 · R02.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $(x - 2) (3 - x) > 0$

Нули: $2$ и $3$ .

Справа «+», чередуем: $+, -, +$ .

Ответ: $(- \infty; 2) \cup (3; + \infty)$

Ошибка: у $(3 - x)$ коэффициент $- 1$ — справа знак «−»

Верно: $(2; 3)$

Задача 2. ${x^{2} \leq 16 x^{2} - 3 x > 0$

$x^{2} \leq 16$ : $[- 4; 4]$

$x (x - 3) > 0$ : $(0; 3)$

Ответ: $(0; 3)$

Ошибка: $> 0$ — снаружи корней: $x < 0$ или $x > 3$

Верно: $[- 4; 0) \cup (3; 4]$

2 мин · практика
Пары, по минуте на задачу, затем ответы по клику. Подсказка «проверьте подстановкой одной точки» — обе ошибки ловятся сразу.
1) (x − 2)(3 − x) = −(x − 2)(x − 3) > 0 ⇔ (x − 2)(x − 3) < 0 ⇔ 2 < x < 3. Проверка x = 0: (−2) · 3 = −6 < 0 — 0 не решение, а в «ответе» ученика он есть.
2) x(x − 3) > 0 — парабола ветвями вверх, > 0 снаружи корней: (−∞; 0) ∪ (3; +∞). Пересечение с [−4; 4]: [−4; 0) ∪ (3; 4]. Проверка x = 1: 1 − 3 = −2 < 0 — 1 не решение, а в «ответе» ученика он есть.

R02.3–R02.6

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство или систему

$x^{2} - 9 x + 20 \leq 0$ $[4; 5]$
$x^{2} > 5 x$ $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$
$- x^{2} + x + 6 > 0$ $(- 2; 3)$

$∣ x + 1∣ \geq 3$ $(- \infty; - 4] \cup [2; + \infty)$
$\frac{x - 4}{x + 2} < 0$ $(- 2; 4)$
${x^{2} < 9 x \geq 1$ $[1; 3)$

R02.4–R02.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кратные корни, модуль, целые точки, параметр

повыш. $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + 4) \leq 0$ $[- 1; 1] \cup {2}$
повыш. $∣ x^{2} - 3 x ∣ \leq 2 x$ ${0} \cup [1; 5]$
повыш.Наибольшее целое решение $\frac{x ^{2} - 9}{x + 5} < 0$ $2$
повыш.Сколько точек с целыми координатами у системы $y > x^{2} - 2, y \leq 3$ ? $15$
повыш.При каких $a$ система $x^{2} - 4 x + 3 \leq 0, x \geq a$ имеет ровно одно решение? $a = 3$

1,5 мин · практика
1) x² − 4x + 4 = (x − 2)² ≥ 0: либо x = 2, либо x² − 1 ≤ 0 ⇔ [−1; 1]. 2) −2x ≤ x² − 3x ≤ 2x (при x < 0 решений нет): x² − x ≥ 0 и x² − 5x ≤ 0 ⇒ (x ≤ 0 или x ≥ 1) и 0 ≤ x ≤ 5 ⇒ {0} ∪ [1; 5]. Проверка x = 0: 0 ≤ 0 ✓.
3) Нули ±3, полюс −5; знаки справа: +, −, +, −. Решение (−∞; −5) ∪ (−3; 3); наибольшее целое 2.
4) x = 0: y от −1 до 3 — 5 точек; x = ±1: y от 0 до 3 — по 4; x = ±2: y > 2, y ≤ 3 — по 1. Итого 5 + 8 + 2 = 15 (перебор в python).
5) Первое: [1; 3]. Пересечение с [a; +∞) — одна точка только при a = 3. При a > 3 решений нет, при a < 3 — отрезок.

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Выберите верный ответ

1. Укажите решение неравенства $25 x^{2} \geq 4$

1) $[- 0, 4; 0, 4]$

2) $(- \infty; - 0, 4] \cup [0, 4; + \infty)$

3) $(- \infty; 0, 4]$

4) $[0, 4; + \infty)$

ответ: 2

2. Какое неравенство не имеет решений?

1) $x^{2} + 6 x - 7 < 0$

2) $x^{2} + 6 x + 10 > 0$

3) $x^{2} + 6 x + 10 < 0$

4) $x^{2} + 6 x - 7 > 0$

ответ: 3

R02.3 · R02.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство — с полной записью

$(x - 3)^{2} < 5 (x - 3)$ $(3; 3 + 5)$
$\frac{- 14}{x ^{2} + 2 x - 15} \leq 0$ $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

1: не делите на

x - 3

, а вынесите

2: числитель

< 0

⇒ знаменатель

> 0

3:

- x^{2} - 64 < 0

при всех

x

2 мин · практика
1) (x − 3)² − √5(x − 3) < 0 ⇔ (x − 3)(x − 3 − √5) < 0 ⇔ 3 < x < 3 + √5. Если поделить на x − 3, теряется случай x − 3 < 0 и знак может перевернуться.
2) Дробь ≤ 0 при отрицательном числителе ⇔ знаменатель > 0 (равенство нулю невозможно): (x + 5)(x − 3) > 0 ⇔ x < −5 или x > 3.
3) Перенесём: (−x² − 64)(x² − 64) ≤ 0. Так как −x² − 64 < 0 при всех x, делим на него со сменой знака: x² − 64 ≥ 0 ⇔ x ≤ −8 или x ≥ 8.
Линия 20 — 2 балла. Критерий ФИПИ: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера. Все ответы проверены в python.

R02.7 · ПР-16

Задача из жизни

Загон из $40$ м сетки и брошенный мяч

практикаПрямоугольный загон огораживают сеткой длиной $40$ м. Какой может быть сторона $x$ , чтобы площадь была не меньше $96 м^{2}$ ? $8 \leq x \leq 12$
практикаВысота мяча $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Сколько секунд мяч выше $15$ м? $2$ с

R02.3–R02.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ $(- 2; 5)$
база $\frac{x + 1}{x - 3} \geq 0$ $(- \infty; - 1] \cup (3; + \infty)$
база $∣ x^{2} - 13∣ \leq 12$ $[- 5; - 1] \cup [1; 5]$
повыш.При каких $m$ неравенство $x^{2} + m x + 4 > 0$ верно при всех $x$ ? $- 4 < m < 4$

Вариант 2

база $x^{2} + 2 x - 8 \geq 0$ $(- \infty; - 4] \cup [2; + \infty)$
база $\frac{x - 2}{x + 4} < 0$ $(- 4; 2)$
база $∣ x^{2} - 10∣ \leq 6$ $[- 4; - 2] \cup [2; 4]$
повыш.При каких $m$ неравенство $- x^{2} + m x - 9 < 0$ верно при всех $x$ ? $- 6 < m < 6$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) Корни −2 и 5, между. 2) Нули −1 (закрашен) и 3 (выколот), «+» снаружи. 3) −12 ≤ x² − 13 ≤ 12 ⇔ 1 ≤ x² ≤ 25 ⇔ 1 ≤ |x| ≤ 5. 4) a = 1 > 0, D = m² − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4; при m = ±4 — (x ± 2)², равен 0 в точке, не подходит.
В-2. 1) Корни −4 и 2, снаружи. 2) Нули 2 и −4, оба выколоты, между. 3) −6 ≤ x² − 10 ≤ 6 ⇔ 4 ≤ x² ≤ 16 ⇔ 2 ≤ |x| ≤ 4. 4) a = −1 < 0, D = m² − 36 < 0 ⇔ −6 < m < 6; при m = ±6 — −(x ∓ 3)², равен 0 в точке, не подходит.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что решает ответ: знак $a$ или знак $D$ ?
Почему нуль знаменателя всегда выколот?
Как выбрать сторону от границы на плоскости?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 9} \leq 0$
Изобразите решения системы $y \leq - x^{2} + 4$ , $y \geq x - 2$
При каких $a$ неравенство $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 3 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: нужны оба — a задаёт направление ветвей, D — есть ли пересечения с осью; знаменатель не может быть равен 0; пробной точкой, не лежащей на границе.
Ответы ДЗ: 1) x(x − 4) / ((x − 3)(x + 3)) ≤ 0; нули 0, 4 закрашены, ±3 выколоты; знаки справа +, −, +, −, +: (−3; 0] ∪ (3; 4]. 2) Граница — парабола y = −x² + 4 и прямая y = x − 2, пересечения (−3; −5) и (2; 0); область — между ними при −3 ≤ x ≤ 2. 3) a = 1: −2x + 4 > 0 не при всех x. a ≠ 1: нужно a − 1 > 0 и D₁ = a² − (a − 1)(a + 3) = 3 − 2a < 0 ⇔ a > 1,5. Ответ a > 1,5.
Следующий урок ALG9U-041 — биквадратные уравнения (строка R03): замена t = x², t ≥ 0 — опять понадобится знак и отбор корней.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-040 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 15/15 · тип О
Единицы → слайды	R02.1, R02.2 → 3, 9 · R02.3 → 4, 5, 12, 15, 17, 18, 20 · R02.4 → 4, 6, 14, 16, 18 · R02.5 → 7, 8, 13, 15, 20 · R02.6 → 7, 9, 14, 15 · R02.7 → 19 · R02.8–R02.11 → 10, 11, 16 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14–21)
Результаты	ПР-8 → 3–6, 13–18, 20 · ПР-12 → 7, 9, 14 · ПР-13 → 9, 11, 16 · ПР-14 → 10–12, 16 · ПР-15, ПР-16 → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	биквадратные уравнения и уравнения 3–4-й степени — ALG9U-041, 042 (строка R03)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратныенеравенства:обобщение

Сегодня вы соберёте тему целиком

Выбирать метод

Модуль и системы

Плоскость

Параметр и задачи

Решите в уме

Ответ читаем по эскизу параболы: знак a и знак D

Решите неравенство

Образец

Сам

Дробное неравенство: нули числителя и знаменателя

Образец

Сам

Модуль — к двойному неравенству, система — к пересечению

Модуль (a>0)

Системы и совокупности

Решите неравенство

Образец

Сам

Решите систему, найдите целые решения

Образец

Сам

Решение — пара (x; y), множество решений — область

Изобразите множество решений, посчитайте точки и площадь

Образец

Сам

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на −1, знак тот же

«Корень» из неравенства

Нуль знаменателя закрасили

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. (x−2)(3−x)>0

Задача 2. {x2≤16x2−3x>0​

Решите неравенство или систему

Кратные корни, модуль, целые точки, параметр

Выберите верный ответ

1. Укажите решение неравенства 25x2≥4

2. Какое неравенство не имеет решений?

Решите неравенство — с полной записью

Загон из 40 м сетки и брошенный мяч

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-040 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства»

Квадратные
неравенства:
обобщение

Ответ читаем по эскизу параболы: знак $a$ и знак $D$

Модуль ( $a > 0$ )

Решение — пара $(x; y)$ , множество решений — область

Умножили на $- 1$ , знак тот же

Задача 1. $(x - 2) (3 - x) > 0$

Задача 2. ${x^{2} \leq 16 x^{2} - 3 x > 0$

1. Укажите решение неравенства $25 x^{2} \geq 4$

Загон из $40$ м сетки и брошенный мяч