Квадратные неравенства · урок 14 из 15 · практикум

Практикум:
квадратные
неравенства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-039

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 14/15, единица R02.3 «Квадратные неравенства с одной переменной». Тип урока — П (практикум). Новая теория на уроке Н — ALG9U-028 (понятие, графический способ), ALG9U-029 (метод интервалов), ALG9U-031 (системы). Прошлый урок ALG9U-038 — практикум «множество решений неравенства»; следующий ALG9U-040 — обобщение по всей строке R02.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: алгоритм) 3 · 5 (выбор способа) 2 · 9 (знак трёхчлена при всех x) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ-13 (сл. 17) 1 · ОГЭ-20 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Новое по сравнению с уроком ALG9U-028: иррациональные корни, целые решения, «при всех x» со случаем a = 0, область определения с двумя условиями, системы, полное оформление ОГЭ-20.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать уверенно

любое квадратное неравенство: иррациональные корни, $a < 0$ , неполные (ПР-8)

Находить целые решения

сначала промежуток, потом целые числа в нём (ПР-13)

Решать системы

с квадратным неравенством и находить область определения (ПР-12)

Рассуждать с параметром

когда неравенство верно при всех $x$ (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…» — здесь в виде исследования знака трёхчлена с параметром. Задача из жизни — ПР-16.

разминка · R02.1–R02.3

Разминка · устно

Корни, знаки, промежутки

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

x^{2} < 4

решите

(- 2; 2)

(x - 1) (x - 4) \leq 0

решите

[1; 4]

x^{2} + x + 1

найдите

D

- 3

9 - x^{2}

знак при

x = 5

минус

(x + 2)^{2} > 0

решите

x \neq = - 2

x^{2} \geq 0

решите

все

x

[- 2; 3)

сколько целых?

5

R02.3

Сводка · алгоритм решения

Знак трёхчлена читаем по параболе

Привести к виду $a x^{2} + b x + c \lor 0$
Если $a < 0$ — умножить на $- 1$ и сменить знак неравенства
Найти корни: $D$ , $D_{1}$ , Виета
Эскиз параболы: ветви вверх
$> 0$ — снаружи корней, $< 0$ — между; нестрогое — корни входят

R02.3

Схема · выбор способа

Сначала посмотрите на вид неравенства

Вид	Способ	Пример
$x^{2} < k, k > 0$	$- k < x < k$	$x^{2} < 7$ : $(- 7; 7)$
$x^{2} > k, k > 0$	$x < - k$ или $x > k$	$x^{2} > 9$ : $(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$
$a x^{2} + b x \lor 0$	вынести $x$ , корни $0$ и $- \frac{b}{a}$	$x^{2} \leq 5 x$ : $[0; 5]$
$(x - m)^{2} \lor 0$	$> 0$ : $x \neq = m$ ; $\leq 0$ : $x = m$	$(x + 2)^{2} \leq 0$ : $x = - 2$
$D < 0$	знак трёхчлена всюду как у $a$	$x^{2} + 2 x + 5 < 0$ : нет решений

R02.3

Образец → сам · иррациональные корни

Решите неравенство

Образец

$x^{2} - 2 x - 4 \leq 0$

$D_{1} = 1 + 4 = 5$ $k = - 1$ , $k^{2} - a c$

$x_{1, 2} = 1 \pm 5$ $(- k \pm D_{1}) : a$

ветви вверх, $\leq 0$ — между корни входят

$[1 - 5; 1 + 5]$ ответ

Сам

база $3 x^{2} \geq 12 x$ $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$
база $x^{2} + 6 x + 7 > 0$ $(- \infty; - 3 - 2) \cup (- 3 + 2; + \infty)$
повыш. $- x^{2} + 4 x - 1 > 0$ $(2 - 3; 2 + 3)$

R02.3 · R02.1

Образец → сам · сначала преобразовать

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c \lor 0$ и решите

Образец

$(x - 1)^{2} > 2 (x + 3)$

$x^{2} - 2 x + 1 > 2 x + 6$ раскрыли скобки

$x^{2} - 4 x - 5 > 0$ всё влево

$x_{1} = - 1, x_{2} = 5$ $a - b + c = 0$

$(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$ снаружи

Сам

база $x (x + 4) \leq 2 x + 3$ $[- 3; 1]$
база $3 (x^{2} - 1) < 2 x^{2} + 2 x$ $(- 1; 3)$
повыш. $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{3} \geq \frac{1}{6}$ $(- \infty; - \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$

R02.3 · ПР-13

Образец → сам · целые решения

Сначала промежуток, потом целые числа в нём

Образец

Сколько целых решений у $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ ?

$x_{1} = - 2, x_{2} = 5$ Виета

$[- 2; 5]$ между, концы входят

$- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ выписали

$8$ ответ

Сам

базаНаибольшее целое решение $2 x^{2} + x - 15 < 0$ $2$
базаСумма целых решений $x^{2} \leq 7$ $0$
повыш.Наименьшее натуральное решение $x^{2} - 7 x + 6 > 0$ $7$

R02.3 · ПР-14

Сводка · знак трёхчлена на всей прямой

Парабола целиком по одну сторону от оси

Верно при всех $x$	Условие
$a x^{2} + b x + c > 0$	$a > 0, D < 0$
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$a > 0, D \leq 0$
$a x^{2} + b x + c < 0$	$a < 0, D < 0$

Параметр при

x^{2}

в «неравенстве» — сначала отдельно случай

a = 0

3 мин · теория
Демонстрация учителя: x² − 2x + 3 > 0 при всех x, так как a = 1 > 0 и D₁ = 1 − 3 = −2 < 0 (или x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2 ≥ 2). А x² − 2x + 1 ≥ 0 при всех x, но «> 0» нарушается в точке 1 — поэтому для «> 0» нужно D < 0 строго.
Аналогично «≤ 0 при всех x» ⇔ a < 0, D ≤ 0 (четвёртую строку ученики выводят сами по третьей).
Если параметр стоит при x² и задача сформулирована как «неравенство» (а не «квадратное неравенство»), то значение параметра, при котором a = 0, разбираем отдельно: неравенство становится линейным или числовым. Образец — сл. 10, задание 2.

R02.3 · ПР-14

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…неравенство $x^{2} - 2 a x + 4 > 0$ верно при всех $x$ ?

при $x^{2}$ число $1 > 0$ ветви вверх

$D_{1} = a^{2} - 4 < 0$ нет общих точек с осью

$- 2 < a < 2$ ответ

Сам

база…неравенство $x^{2} + 6 x + c \geq 0$ верно при всех $x$ ? $c \geq 9$
повыш.…неравенство $(a - 1) x^{2} - 2 (a - 1) x + 3 > 0$ верно при всех $x$ ? $1 \leq a < 4$
повыш.…неравенство $x^{2} + b x + 9 \leq 0$ имеет ровно одно решение? $b = \pm 6$

3 мин · практика
Образец: старший коэффициент равен 1, вырожденного случая нет. Граница a = ±2: x² ∓ 4x + 4 = (x ∓ 2)², в точке x = ±2 равно 0, «> 0» нарушено — границы не входят.
1) D₁ = 9 − c ≤ 0 ⇔ c ≥ 9. Граница c = 9: (x + 3)² ≥ 0 — верно при всех x, входит.
2) Случай a = 1: неравенство 3 > 0 верно при всех x — a = 1 входит в ответ. Случай a ≠ 1: нужно a − 1 > 0 и D₁ = (a − 1)² − 3(a − 1) = (a − 1)(a − 4) < 0 ⇒ 1 < a < 4. Граница a = 4: 3(x − 1)² > 0 нарушено при x = 1 — не входит. Ответ: 1 ≤ a < 4 (проверено перебором значений параметра).
3) Ровно одно решение у «≤ 0» при a > 0 — парабола касается оси: D = b² − 36 = 0, b = ±6 (решение x = ∓3).

R02.3 · R02.6

Образец → сам · область определения

Найдите область определения функции

Образец

$y = 12 + x - x^{2}$

$12 + x - x^{2} \geq 0$ под корнем $\geq 0$

$x^{2} - x - 12 \leq 0$ умножили на $- 1$

$x_{1} = - 3, x_{2} = 4$ Виета

$[- 3; 4]$ ответ

Сам

база $y = x^{2} - 5 x + 4$ $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$
база $y = \frac{1}{2 x ^{2} + 3 x - 2}$ $(- \infty; - 2) \cup (0, 5; + \infty)$
повыш. $y = x^{2} - 9 + 4 - x$ $(- \infty; - 3] \cup [3; 4]$

R02.3 · R02.6 · ПР-12

Образец → сам · система с квадратным неравенством

Решите систему неравенств

Образец

${x^{2} - 4 x - 5 \leq 0 2 x - 3 > 0$

$[- 1; 5]$ корни $- 1$ и $5$

$x > 1, 5$ линейное

$(1, 5; 5]$ общая часть

Сам

база ${x^{2} \geq 9 x < 5$ $(- \infty; - 3] \cup [3; 5)$
база ${x^{2} + x - 6 > 0 x^{2} - 16 \leq 0$ $[- 4; - 3) \cup (2; 4]$
повыш. ${x^{2} - 2 x - 8 < 0 x^{2} - x > 0$ $(- 2; 0) \cup (1; 4)$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

«Корень» из неравенства

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$x < - 3$ или $x > 3$

$x^{2} > 9 \Leftrightarrow ∣ x ∣ > 3$

Не сменили знак

$- x^{2} + 2 x + 8 < 0$ $\Rightarrow x^{2} - 2 x - 8 < 0$

$x^{2} - 2 x - 8 > 0$ : $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$

умножили на $- 1$ — знак меняется

$D = 0$ — «нет решений»

$x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ : нет решений

$(x + 2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 2$

в точке касания трёхчлен равен $0$

R02.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите $x^{2} > 3 x$

Разделим обе части на $x$ :

$x > 3$ . Ответ: $(3; + \infty)$

Ошибка: знак $x$ неизвестен, делить нельзя

$x (x - 3) > 0$ : $(- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

Задача 2. Область определения
$y = x^{2} - 4 + 3 - x$

$x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$ ; $3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$

Ответ: $[2; 3]$

Ошибка: потерян луч $x \leq - 2$

$(- \infty; - 2] \cup [2; 3]$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство (выберите способ)

$x^{2} - 8 x + 12 < 0$ $(2; 6)$
$2 x^{2} - 7 x + 3 \geq 0$ $(- \infty; 0, 5] \cup [3; + \infty)$
$- x^{2} - 2 x + 15 > 0$ $(- 5; 3)$

$4 x^{2} - 4 x + 1 > 0$ $x \neq = 0, 5$
$x^{2} + 2 x + 5 < 0$ нет решений
$x^{2} \leq 5 x$ $[0; 5]$

R02.3 · ПР-12 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразования, целые решения, параметр

повыш.Решите: $(x + 2)^{2} \leq 2 x^{2} + 4$ $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$
повыш.Число целых решений $x^{2} - 2 x - 9 < 0$ $7$
повыш.Область определения $y = 6 - x - x^{2} + \frac{1}{x}$ $[- 3; 0) \cup (0; 2]$
повыш.При каких $b$ квадратное неравенство $x^{2} + b x + 4 < 0$ не имеет решений? $- 4 \leq b \leq 4$
повыш.Решение $x^{2} + b x + c \leq 0$ — отрезок $[- 2; 6]$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 4, c = - 12$

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Выберите верный вариант

1. Какое неравенство имеет решение, изображённое на рисунке?

1)

x^{2} - 9 \geq 0

2)

x^{2} - 9 \leq 0

3)

x^{2} + 9 \leq 0

4)

x^{2} + 9 \geq 0

Ответ: 2

2. Укажите решение неравенства $x^{2} - 5 x > 0$

$(0; 5)$
$(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$
$(5; + \infty)$
$(- \infty; 5)$

Ответ: 2

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство — с полным оформлением

$(x - 5)^{2} < 7 (x - 5)$ $(5; 5 + 7)$
$\frac{- 11}{( x - 2 ) ^{2} - 3} \geq 0$ $(2 - 3; 2 + 3)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

1: перенесите и вынесите

x - 5

2: числитель

< 0

— нужен знаменатель

< 0

3:

- x^{2} - 64 < 0

при всех

x

2 мин · практика
1) (x − 5)² − √7(x − 5) < 0 ⇔ (x − 5)(x − 5 − √7) < 0: корни 5 и 5 + √7, ветви вверх, между: (5; 5 + √7). Делить на x − 5 нельзя.
2) −11 < 0, дробь ≥ 0 ⇔ знаменатель < 0 (равенство нулю невозможно): (x − 2)² < 3 ⇔ |x − 2| < √3 ⇔ 2 − √3 < x < 2 + √3.
3) Перенесём: (−x² − 64)(x² − 64) ≤ 0. Множитель −x² − 64 < 0 при всех x, делим на него с переменой знака: x² − 64 ≥ 0 ⇔ x ≤ −8 или x ≥ 8.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла: нужны все переходы с обоснованием (почему знак сменился, почему делить можно). Ответы проверены sympy.

R02.3 · R02.7 · ПР-16

Задача из жизни

Неравенство как модель

практикаПрямоугольный огород: периметр $40$ м, площадь — не меньше $96 м^{2}$ . Какой может быть длина стороны? от $8$ до $12$ м

практикаМяч брошен вверх: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Сколько секунд он находится выше $15$ м? $2$ с

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ $[- 1; 4]$
база $- 2 x^{2} + 5 x - 2 < 0$ $(- \infty; 0, 5) \cup (2; + \infty)$
базаНаибольшее целое решение $x^{2} + 2 x - 24 < 0$ $3$
повыш.При каких $c$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 4 x + c$ положителен при всех $x$ ? $c > 4$

Вариант 2

база $x^{2} + 2 x - 8 \geq 0$ $(- \infty; - 4] \cup [2; + \infty)$
база $- 3 x^{2} + 7 x - 2 > 0$ $(\frac{1}{3}; 2)$
базаНаименьшее целое решение $x^{2} - x - 20 < 0$ $- 3$
повыш.При каких $c$ квадратный трёхчлен $x^{2} + 6 x + c$ положителен при всех $x$ ? $c > 9$

4 мин · практика
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) Корни −1 и 4: [−1; 4]. 2) 2x² − 5x + 2 > 0, D = 9, корни 2 и 0,5: снаружи. 3) Корни −6 и 4, решение (−6; 4), наибольшее целое 3. 4) D₁ = 4 − c < 0 ⇔ c > 4 (c = 4: (x − 2)², в точке 2 равен 0 — не входит).
В-2. 1) Корни −4 и 2: снаружи, концы входят. 2) 3x² − 7x + 2 < 0, D = 25, корни 2 и 1/3: между. 3) Корни −4 и 5, решение (−4; 5), наименьшее целое −3. 4) D₁ = 9 − c < 0 ⇔ c > 9.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делаем первым, если $a < 0$ ?
Почему нельзя делить $x^{2} > 3 x$ на $x$ ?
Когда $a x^{2} + b x + c > 0$ при всех $x$ ?

Домашнее задание

Решите $3 x^{2} - 10 x + 3 \leq 0$
Область определения $y = x^{2} - 3 x - 18 + 8 - x$
При каких $a$ неравенство $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x + 1 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-039 · Практикум: Квадратные неравенства с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 14/15 · тип П
Единицы → слайды	R02.3 «Квадратные неравенства с одной переменной» → 2, 4–21 · опора R02.1–R02.2 → 3, 7 · R02.6 (системы) → 11, 12 · R02.7 (задачи) → 19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6–8, 10–12, 14–21)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, запись решения) → 2–8, 13–18, 20 · ПР-12 (системы с квадратным неравенством) → 11, 12, 16 · ПР-13 (целые решения) → 8, 16, 20 · ПР-14 (исследование с параметром) → 9, 10, 16, 20 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	метод интервалов для дробных неравенств высших степеней — ALG9U-029, ALG9U-043; модуль — ALG9U-030; обобщение строки — ALG9U-040
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратныенеравенства

Сегодня вы научитесь

Решать уверенно

Находить целые решения

Решать системы

Рассуждать с параметром

Корни, знаки, промежутки

Знак трёхчлена читаем по параболе

Сначала посмотрите на вид неравенства

Решите неравенство

Образец

Сам

Приведите к виду ax2+bx+c∨0 и решите

Образец

Сам

Сначала промежуток, потом целые числа в нём

Образец

Сам

Парабола целиком по одну сторону от оси

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Найдите область определения функции

Образец

Сам

Решите систему неравенств

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

«Корень» из неравенства

Не сменили знак

D=0 — «нет решений»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите x2>3x

Задача 2. Область определенияy=x2−4​+3−x​

Решите неравенство (выберите способ)

Преобразования, целые решения, параметр

Выберите верный вариант

Решите неравенство — с полным оформлением

Неравенство как модель

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-039 · Практикум: Квадратные неравенства с одной переменной

Практикум:
квадратные
неравенства

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c \lor 0$ и решите

$D = 0$ — «нет решений»

Задача 1. Решите $x^{2} > 3 x$

Задача 2. Область определения
$y = x^{2} - 4 + 3 - x$