Квадратные неравенства · урок 12 из 15 · практикум

Практикум:
решение неравенства
с одной переменной

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-037

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 12/15, единица R02.1 «Понятие о решении неравенства с одной переменной». Тип урока — П (практикум). Понятие введено на уроке ALG9U-026; с тех пор пройдены квадратные, дробные, с модулем неравенства, системы (ALG9U-027…036) — сегодня понятие «решение» применяем к этим классам. Следующий урок ALG9U-038 — практикум «Множество решений неравенства».
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: решение и ОДЗ) 3 · 6 (равносильные и опасные преобразования) 3 · 9 (параметр: две постановки) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) 2 + 2 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 11 и задание 4 сл. 15 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять число

является ли $x_{0}$ решением дробного, квадратного неравенства, неравенства с модулем — с учётом ОДЗ (ПР-8)

Не терять решений

отличать равносильные преобразования от опасных (ПР-8)

Считать целые решения

наибольшее, наименьшее, их число и сумму (ПР-13)

Рассуждать с параметром

«число — решение», «неравенство верно при всех $x$ » (ПР-8, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». Задача из жизни — ПР-16 (модель реальной ситуации).
Вид деятельности ФРП по строке: «Читать, записывать, понимать, интерпретировать неравенства; использовать символику и терминологию. Выполнять преобразования неравенств…».

разминка · R02.1–R02.11

Разминка · устно

Решение или нет?

x^{2} - 5 x + 4 < 0

x = 2

— решение?

да

∣ x - 3∣ \leq 1

x = 4

— решение?

да

\frac{x + 1}{x - 2} > 0

x = 2

— решение?

нет

x^{2} \geq 9

x = - 3

— решение?

да

- 2 x > 6

решите

x < - 3

x^{2} + 1 > 0

решите

любое

x

(x - 1)^{2} \leq 0

решите

x = 1

y > x^{2}, x + y < 4

(1; 2)

— решение системы?

да

R02.1

Сводка · решение неравенства

Решение — число из ОДЗ, дающее верное неравенство

x_{0}

— решение

f (x) > g (x)

, если обе части определены при

x_{0}

и

f (x_{0}) > g (x_{0})

верно.

Решить — найти все решения: промежуток, объединение, точки,

\emptyset

или

R

Проверка числа: 1) ОДЗ; 2) подстановка; 3) верно ли.

3 мин · теория
Определение (ALG9U-026) повторяем в общем виде: для дробных неравенств и неравенств с корнем важно, что обе части имеют смысл при x₀. Точка x = 1 «выколота» — знаменатель 0, это не решение, хотя рядом все решения.
Рисунок: (x − 2)(x + 2)/(x − 1) ≥ 0, нули числителя −2 и 2 (закрашены — неравенство нестрогое), ноль знаменателя 1 (выколот). Знаки справа налево: +, −, +, −. Ответ [−2; 1) ∪ [2; +∞) — проверено sympy.
Вопрос классу: может ли множество решений быть одной точкой? (Да: (x − 1)² ≤ 0 из разминки.) Пустым? (x² + 4 ≤ 0.)

R02.1

Образец → сам · проверка подстановкой

Какие числа — решения?

Образец

Какие из чисел $- 2; 1; 3; 3$ — решения $\frac{x ^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$ ?

$x = - 2$ : $\frac{0}{- 3} = 0 \geq 0$ верно

$x = 1$ : знаменатель $0$ не в ОДЗ

$x = 3$ : $\frac{- 1}{3 - 1} < 0$ неверно

$x = 3$ : $\frac{5}{2} \geq 0$ Ответ: $- 2; 3$

Сам

база $- 1$ — решение $∣2 x + 1∣ < x + 3$ ? да: $1 < 2$
базаКакие из $0; 2; 5$ — решения $\frac{x - 5}{x - 2} \leq 0$ ? только $5$
повыш. $1 - 2$ — решение $x^{2} - 2 x - 1 \leq 0$ ? да: значение $0$

R02.1

Сводка · равносильные преобразования

Что сохраняет решения, а что — нет

Преобразование	Равносильно?	Пример
перенос слагаемого с другим знаком	всегда	$x^{2} > 4 x ⟺ x^{2} - 4 x > 0$
умножить на число $\neq = 0$	да; при $< 0$ знак меняется	$- \frac{x}{2} \leq 3 ⟺ x \geq - 6$
умножить, разделить на выражение	только если знак известен	$\frac{x - 3}{x ^{2} + 1} > 0 ⟺ x > 3$
сократить дробь	ОДЗ расширяется	$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} > 0 \neq \Leftrightarrow x + 1 > 0$
возвести в квадрат	если обе части $\geq 0$	$∣ x ∣ < 3 ⟺ x^{2} < 9$

3 мин · теория
Равносильные неравенства — с одинаковыми множествами решений. Цепочка равносильных переходов гарантирует: ни одно решение не потеряно и не добавлено.
Строка 3: x² + 1 > 0 при всех x, поэтому умножаем на него без смены знака. Делить на x, x − 1 и т. п. нельзя — знак неизвестен (ошибка разобрана на сл. 12).
Строка 4: после сокращения x = 1 становится «решением» (1 + 1 = 2 > 0), хотя в исходном неравенстве дробь при x = 1 не определена. Исправление — сохранить условие x ≠ 1.
Строка 5: |x| ≥ 0 и 3 > 0, возведение в квадрат равносильно; для x < 3 и x² < 9 — нет (x = −5).

R02.1

Образец → сам · равносильны ли неравенства

Сравните множества решений

Образец

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} > 0$ и $x + 1 > 0$

$x \neq = 1$ , $x + 1 > 0$ сократили с условием

$(- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ первое

$(- 1; + \infty)$ второе

нет: $x = 1$ решение только второго

Сам: равносильны?

база $2 x - 6 > 0$ и $x > 3$ да
база $(x^{2} + 4) (x - 1) \leq 0$ и $x \leq 1$ да
повыш. $x^{2} < 4$ и $x < 2$ нет: $x = - 3$

R02.1 · ПР-13

Образец → сам · целые решения

Сначала множество решений, потом целые

Образец

Сумма целых решений $\frac{x + 3}{x - 2} \leq 0$

нули: $- 3$ ; $x \neq = 2$ 2 выколота

$[- 3; 2)$ метод интервалов

$- 3, - 2, - 1, 0, 1$ целые

Ответ: $- 5$ сумма

Сам

базаЧисло целых решений $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ $8$
базаНаименьшее целое решение $\frac{x - 4}{x + 1} < 0$ $0$
повыш.Сумма целых решений $(x^{2} - 9) (x^{2} - 1) \leq 0$ $0$

R02.1 · R02.3

Сводка · неравенство с параметром

Две постановки — два разных хода

«

x_{0}

— решение» — подставить

x_{0}

, решить неравенство относительно параметра, учесть ОДЗ.

Квадратное (

a \neq = 0

):

a x^{2} + b x + c > 0

при всех

x

⟺ a > 0, D < 0

.

«Неравенство» с параметром при

x^{2}

: случай

a = 0

— отдельно.

3 мин · теория
Постановка 1 — это определение решения: x₀ подставили, получили неравенство с одной переменной a. Не забыть: при x₀ обе части должны иметь смысл (образец сл. 10).
Постановка 2: парабола целиком выше оси ⇔ ветви вверх и нет общих точек с осью. Для нестрогого ≥ 0 при всех x: a > 0, D ≤ 0 (касание допустимо). «Нет решений у ax² + bx + c > 0» ⇔ ax² + bx + c ≤ 0 при всех x ⇔ a < 0, D ≤ 0.
Если в условии «квадратное неравенство» — a ≠ 0 по определению. Если просто «неравенство» и параметр стоит при x² — проверяем a = 0: неравенство становится линейным или числовым (образец сл. 11, задание 3).

R02.1

Образец → сам · параметр: число — решение

При каких $a$ число — решение?

Образец

При каких $a$ число $2$ — решение неравенства $\frac{a - x}{x + a} \geq 0$ ?

$\frac{a - 2}{a + 2} \geq 0$ подставили $x = 2$

$a \neq = - 2$ ОДЗ: $2 + a \neq = 0$

$a < - 2$ или $a \geq 2$ метод интервалов

Сам

база $- 1$ — решение $x^{2} + a x - 3 < 0$ $a > - 2$
повыш. $3$ не является решением $∣ x - a ∣ < 2$ $a \leq 1$ или $a \geq 5$
повыш. $1$ и $- 1$ — оба решения $x^{2} - a x + a - 3 \leq 0$ $a \leq 1$

R02.1 · R02.3

Образец → сам · параметр: верно при всех x

Когда решение — любое число?

Образец

При каких $m$ неравенство $x^{2} - 2 m x + m + 6 > 0$ верно при всех $x$ ?

$a = 1 > 0$ ветви вверх

$D_{1} = m^{2} - m - 6 < 0$ нет корней

$- 2 < m < 3$ корни $- 2; 3$

Сам: верно при всех $x$

база $x^{2} + 4 x + c > 0$ $c > 4$
повыш.квадратное неравенство $a x^{2} + 4 x + a < 0$ $a < - 2$
повыш.неравенство $(a - 1) x^{2} - 2 (a - 1) x + 3 > 0$ $1 \leq a < 4$

3 мин · практика
Образец, граница: m = 3 — x² − 6x + 9 = (x − 3)², при x = 3 значение 0, «> 0» неверно — m = 3 не входит. Ответ (−2; 3).
1) D₁ = 4 − c < 0 ⇔ c > 4 (при c = 4: (x + 2)² = 0 при x = −2 — не подходит).
2) Квадратное, a ≠ 0: a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0 ⇔ a² > 4; с a < 0: a < −2. Граница a = −2: −2(x − 1)² ≤ 0, при x = 1 равно 0 — не подходит.
3) «Неравенство»: a = 1 даёт 3 > 0 — верно при всех x, a = 1 входит. a ≠ 1: a − 1 > 0 и D₁ = (a − 1)² − 3(a − 1) = (a − 1)(a − 4) < 0 ⇒ 1 < a < 4. При a = 4: 3(x − 1)², при x = 1 равно 0 — нет. Ответ [1; 4). Проверено sympy. Если не успеваете — в ДЗ.

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Три способа потерять или добавить решения

Сократили — забыли ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} \geq 0 \Rightarrow x \geq - 2$

$[- 2; 2) \cup (2; + \infty)$

при $x = 2$ дробь не определена

Разделили на $x - 1$

$(x - 1) (x + 2) \geq 3 (x - 1)$ $\Rightarrow x + 2 \geq 3$ , $x \geq 1$

$(x - 1)^{2} \geq 0$ : любое $x$

знак $x - 1$ неизвестен

Строгое вместо нестрогого

$x^{2} - 6 x + m \geq 0$ при всех $x$ : $m > 9$

$D_{1} = 9 - m \leq 0$ : $m \geq 9$

при $m = 9$ : $(x - 3)^{2} \geq 0$ — верно

R02.1

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{x + 1}{x - 3} \leq 0$

Знак дроби = знак произведения:

$(x + 1) (x - 3) \leq 0$

Ответ: $[- 1; 3]$

Ошибка: $x = 3$ не в ОДЗ

Ответ: $[- 1; 3)$

Задача 2. $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$

$(x - 2)^{2} > 0$ , делю на него:

$x + 1 > 0$

Ответ: $(- 1; + \infty)$

Ошибка: при $x = 2$ квадрат равен $0$

Ответ: $(- 1; 2) \cup (2; + \infty)$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Проверьте число и решите

$- 3$ — решение $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ ? да
$x^{2} - 16 \leq 0$ $[- 4; 4]$
$\frac{x - 1}{x + 5} \geq 0$ $(- \infty; - 5) \cup [1; + \infty)$
Число целых решений $∣ x - 1∣ \leq 2$ $5$
$(x^{2} + 3) (2 - x) > 0$ $(- \infty; 2)$
$x^{2} - 6 x + 9 > 0$ $x \neq = 3$

R02.1 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

ОДЗ, целые решения, параметр

повыш.Наибольшее целое решение $\frac{x ^{2} - 9}{x + 1} \leq 0$ $3$
повыш.При каких $a$ число $- 2$ — решение $a x^{2} - (a + 1) x + 2 \leq 0$ ? $a \leq - \frac{2}{3}$
повыш.При каких $k$ неравенство $x^{2} + k x + 4 < 0$ не имеет решений? $- 4 \leq k \leq 4$
повыш.Число целых решений $x^{2} \leq ∣ x ∣ + 6$ $7$

R02.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 13 и 20

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 13Какое неравенство верно при любом $x$ ? 3
1) $x^{2} - 40 > 0$ 2) $x^{2} + 40 < 0$ 3) $x^{2} + 40 > 0$ 4) $x^{2} - 40 < 0$
ОГЭ 13Решите $x^{2} - 9 x \leq 0$ $[0; 9]$
ОГЭ 20 $\frac{- 11}{( x - 2 ) ^{2} - 3} \geq 0$ $(2 - 3; 2 + 3)$
ОГЭ 20 $(x - 7)^{2} < 11 (x - 7)$ $(7; 7 + 11)$

3: числитель

< 0

— знаменатель

< 0

, не

\leq 0

4: не делите на

x - 7

— вынесите

R02.1 · R02.7 · ПР-16

Задача из жизни

Прибыль цеха: $P (x) = - x^{2} + 30 x - 200$ (тыс. ₽)

$x$ — объём выпуска, сотен штук

практикаВыпуск $12$ сотен — решение $P (x) \geq 0$ ? да: $16$
практикаПри каком выпуске нет убытка? $[10; 20]$
повыш.При каком $P (x) \geq 21$ ? $[13; 17]$

R02.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаКакие из $- 1; 2; 4$ — решения $\frac{x - 4}{x - 2} \leq 0$ ? только $4$
базаРешите $x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ $[1; 4]$
базаЧисло целых решений $\frac{x + 2}{x - 3} < 0$ $4$
повыш.При каких $a$ неравенство $x^{2} + 2 a x + 9 > 0$ верно при всех $x$ ? $- 3 < a < 3$

Вариант 2

базаКакие из $- 3; 1; 5$ — решения $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0$ ? $- 3$ и $5$
базаРешите $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ $(- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$
базаЧисло целых решений $\frac{x - 4}{x + 1} \leq 0$ $5$
повыш.При каких $c$ неравенство $x^{2} - 4 x + c \geq 0$ верно при всех $x$ ? $c \geq 4$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x = −1: (−5)/(−3) = 5/3 > 0 — нет; x = 2 — не в ОДЗ; x = 4: 0 ≤ 0 — да. 2) Корни 1 и 4: [1; 4]. 3) (−2; 3): −1, 0, 1, 2 — четыре. 4) D₁ = a² − 9 < 0 ⇔ −3 < a < 3.
В-2. 1) x = −3: 0 ≥ 0 — да; x = 1 — не в ОДЗ; x = 5: 8/4 = 2 — да. 2) Корни −3 и 1, ветви вверх: (−∞; −3) ∪ (1; +∞). 3) (−1; 4]: 0, 1, 2, 3, 4 — пять. 4) D₁ = 4 − c ≤ 0 ⇔ c ≥ 4 (при c = 4: (x − 2)² ≥ 0 — верно).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены sympy.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему ноль знаменателя — не решение?
На какое выражение можно делить обе части?
Когда $a x^{2} + b x + c > 0$ при всех $x$ ?

Домашнее задание

Сумма целых решений $\frac{x ^{2} - 9}{x + 1} \leq 0$ на $[- 5; 5]$
При каких $a$ число $2$ — решение $\frac{x + a}{x - a} \leq 0$ ?
При каких $a$ неравенство $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x + 1 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-037 · Практикум: Понятие о решении неравенства с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 12/15 · тип П
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о решении неравенства с одной переменной» → 2, 4–19 · опора R02.3–R02.6, R02.11 → 3, 8, 11, 16 · применение R02.7 → 17 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов, запись решения) → 2–16, 18 · ПР-13 (ограничения, целые решения) → 8, 14, 15, 18 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	операции над множествами решений, совокупности — ALG9U-038; обобщение темы — ALG9U-040
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:решение неравенствас одной переменной

Сегодня вы научитесь

Проверять число

Не терять решений

Считать целые решения

Рассуждать с параметром

Решение или нет?

Решение — число из ОДЗ, дающее верное неравенство

Какие числа — решения?

Образец

Сам

Что сохраняет решения, а что — нет

Сравните множества решений

Образец

Сам: равносильны?

Сначала множество решений, потом целые

Образец

Сам

Две постановки — два разных хода

При каких a число — решение?

Образец

Сам

Когда решение — любое число?

Образец

Сам: верно при всех x

Три способа потерять или добавить решения

Сократили — забыли ОДЗ

Разделили на x−1

Строгое вместо нестрогого

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. x−3x+1​≤0

Задача 2. (x−2)2(x+1)>0

Проверьте число и решите

ОДЗ, целые решения, параметр

Короткий ответ и развёрнутое решение

Прибыль цеха: P(x)=−x2+30x−200 (тыс. ₽)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-037 · Практикум: Понятие о решении неравенства с одной переменной

Практикум:
решение неравенства
с одной переменной

При каких $a$ число — решение?

Сам: верно при всех $x$

Разделили на $x - 1$

Задача 1. $\frac{x + 1}{x - 3} \leq 0$

Задача 2. $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$

Прибыль цеха: $P (x) = - x^{2} + 30 x - 200$ (тыс. ₽)