Квадратные неравенства · урок 11 из 15

Системы неравенств
с двумя
переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-036

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 11/15, единица R02.11 «Системы неравенств с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-035 — графический метод решения систем неравенств с двумя переменными (линейные границы); следующий ALG9U-037 — практикум по неравенствам с одной переменной.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (решение системы = пересечение) 3 · 5 (алгоритм) 2 · 7 (нелинейные границы) 2 · 11 (параметр: как рассуждать) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 9, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Нужны тетради в клетку: все области ученики рисуют сами (единичный отрезок — 2 клетки). Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать решения системы

пересечение областей с прямыми, окружностями, параболами; вершины и площадь (ПР-12)

Задавать область системой

по рисунку или описанию записать систему неравенств (ПР-12)

Искать целые решения

перебирать точки области с целыми координатами (ПР-13)

Исследовать систему с параметром

есть ли решения и сколько их — по рисунку (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП дословно): «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-16 (модель реальной ситуации) — на сл. 18.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать неравенство с двумя переменными. Применять графический метод решения систем неравенств с двумя переменными».

разминка · R02.9–R02.10

Разминка · устно

Неравенство с двумя переменными

(1; 2)

и

y > 2 x - 1

решение?

да

(0; 0)

и

x + y > 2

решение?

нет

y \leq 3

где точки?

прямая

y = 3

и ниже

x > - 1

граница сплошная?

нет, пунктир

x^{2} + y^{2} < 9

какая фигура?

круг

R = 3

, граница — пунктир

(2; 3)

и

y \geq x^{2}

решение?

нет

y = x, y = 4 - x

точка пересечения

(2; 2)

катеты

4

и

3

площадь треугольника

6

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2 > 2 · 1 − 1 = 1 — да. 2) 0 > 2 — нет. 3) Все точки с ординатой не больше 3: прямая y = 3 и полуплоскость под ней. 4) Знак строгий — граница x = −1 пунктиром.
5) Внутренность круга с центром O радиуса 3, окружность не входит. 6) 3 ≥ 4 — неверно, нет. 7) x = 4 − x, x = 2, точка (2; 2). 8) ½ · 4 · 3 = 6.
Карточки 1, 2, 6 — пробная точка (сл. 5); 4, 5 — граница сплошная или пунктир; 7 — вершины области (сл. 6); 8 — площадь области.

R02.11

Новый материал · определение

Решение системы — общая часть решений всех неравенств

Решение системы неравенств с двумя переменными — пара $(x; y)$ , которая удовлетворяет каждому неравенству системы.

{y \leq 3 - x y \geq x - 1

Множество решений системы — пересечение множеств решений её неравенств

Точка

(2; 1)

— на обеих границах; она решение (знаки нестрогие)

3 мин · теория
Клики: розовая полуплоскость (y ≤ 3 − x, ниже прямой; пробная точка (0; 0): 0 ≤ 3 — верно), затем сиреневая (y ≥ x − 1, выше прямой; (0; 0): 0 ≥ −1 — верно), затем пересечение — угол с вершиной (2; 1).
Вершина: 3 − x = x − 1, x = 2, y = 1. Подставим: 1 ≤ 1 и 1 ≥ 1 — верно, точка входит в множество решений.
Вопрос классу: (0; 0) — решение системы? (Да: оба неравенства верны.) А (4; 0)? (0 ≤ −1 — неверно; первое не выполнено — уже не решение системы.) Слово-ключ: система — это «и … и».
Сравнить с одной переменной: там пересекали промежутки на прямой, здесь — области на плоскости.

R02.10–R02.11

Алгоритм · изобразить систему

Четыре шага для любой системы

Шаг	Что делаем	Пример: $x^{2} + y^{2} \leq 4$
1. Граница	знак → « $=$ », строим линию: прямую, окружность, параболу	окружность, $O (0; 0)$ , $R = 2$
2. Вид линии	$\leq, \geq$ — сплошная; $<, >$ — пунктир	сплошная
3. Пробная точка	точка не на границе; неравенство верно — её часть	$(0; 0)$ : $0 \leq 4$ — внутри
4. Пересечение	штрихуем общую часть; вершины — из систем уравнений границ	с другими неравенствами

Удобная пробная точка —

(0; 0)

, если граница через неё не проходит

2 мин · теория
Шаг 1 — уравнения границ: ax + by = c (прямая), (x − a)² + (y − b)² = r² (окружность), y = ax² + bx + c (парабола), y = |x − a| + b («галочка»).
Шаг 3: граница делит плоскость на части; во всех точках одной части неравенство либо верно, либо неверно. Поэтому достаточно одной точки. Точку на границе брать нельзя (там неравенство обращается в равенство).
Шаг 4: вершины области — решения систем уравнений двух границ (как в R03, системы уравнений). Площадь — по вершинам.

R02.11

Образец → сам · линейные границы

Изобразите систему, найдите вершины и площадь

Образец

$⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 4 y \geq x x \geq 0$

$x + y \leq 4$ — ниже прямой пробная $(0; 0)$ : $0 \leq 4$

$y \geq x$ — выше прямой пробная $(0; 1)$ : $1 \geq 0$

$x \geq 0$ — правее оси $O y$ вершины $(0; 0), (2; 2), (0; 4)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ основание на $O y$ , высота $2$

Сам

база $(1; 1)$ — решение этой системы? да (на границе $y = x$ )
база $(3; 0)$ — решение этой системы? нет: $0 \geq 3$ неверно
повыш.Вершины и площадь: $⎩ ⎨ ⎧ y \leq 2 x y \geq 0 x \leq 3$ $(0; 0), (3; 0), (3; 6)$ ; $S = 9$

R02.11

Новый материал · нелинейные границы

Какие области задают знакомые неравенства

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

круг с центром

O

и границей

x^{2} + y^{2} > r^{2}

вне круга, окружность — пунктир

y \geq x^{2}

внутри «чаши» параболы

y \leq ∣ x ∣

под «галочкой»

y = ∣ x ∣

∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2

квадрат с вершинами на осях

x y > 0

I и III четверти, оси не входят

2 мин · теория
Окружность (x − a)² + (y − b)² = r² — центр (a; b), радиус r; x² + y² ≤ r²: расстояние до O не больше r. Пробная точка для круга — центр.
y ≥ x²: (0; 1) — 1 ≥ 0, верно, область внутри параболы. y ≤ |x|: (0; −1) — верно, под графиком.
|x| + |y| ≤ 2: в I четверти x + y ≤ 2, в остальных — симметрично; получается квадрат с вершинами (±2; 0), (0; ±2) (диагонали 4, площадь 8). xy > 0: x и y одного знака.
Вопрос классу: какую область задаёт y < −x²? (под параболой ветвями вниз, сама парабола не входит).

R02.11

Образец → сам · круг и «галочка»

Изобразите систему и найдите площадь

Образец

${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq ∣ x ∣$

круг: $O (0; 0)$ , $R = 3$ граница входит

выше «галочки» $y = ∣ x ∣$ пробная $(0; 1)$ : $1 \geq 0$

сектор с углом $9 0^{\circ}$ лучи $y = x$ и $y = - x$ перпендикулярны

$S = \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9 π}{4}$ четверть круга

Сам

базаПлощадь: $x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0$ $2 π$
база $(1; - 2)$ — решение? ${y \geq x^{2} - 3 x^{2} + y^{2} \leq 5$ да (на обеих границах)
повыш.Площадь: $x^{2} + y^{2} \leq 16, x y \geq 0$ $8 π$

3 мин · практика
Образец: лучи y = x (x ≥ 0) и y = −x (x ≤ 0) перпендикулярны (угловые коэффициенты 1 и −1, каждый луч — под 45° к оси Ox). Сектор — четверть круга: S = 9π/4 ≈ 7,07 (проверено численно).
1) Правая половина круга радиуса 2: ½ · π · 4 = 2π. 2) −2 ≥ 1 − 3 = −2 — верно (равенство), 1 + 4 = 5 ≤ 5 — верно: точка — решение, лежит на обеих границах.
3) xy ≥ 0 — I и III четверти с осями, половина круга радиуса 4: ½ · 16π = 8π.
Типичная ошибка в 3): xy ≥ 0 читают как «I четверть» — и получают 4π.

R02.11

Образец → сам · обратная задача

По рисунку — система неравенств

Образец: $△ O A B$ с границей

$A B$ : $x + 2 y = 4$ «в отрезках»: $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$

$(1; 1)$ : $1 + 2 = 3 \leq 4$ точка внутри — знак « $\leq$ »

$O A$ , $OB$ — на осях $y \geq 0, x \geq 0$

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y \leq 4 x \geq 0 y \geq 0$

Сам: задайте системой

базаПолоса между прямыми $y = 1$ и $y = 3$ , границы входят $y \geq 1, y \leq 3$
базаВерхний полукруг с центром $O (0; 0)$ , $R = 3$ , граница входит $x^{2} + y^{2} \leq 9, y \geq 0$
повыш.Кольцо с центром $O$ : $R = 2$ (входит), $r = 1$ (не входит) $x^{2} + y^{2} \leq 4, x^{2} + y^{2} > 1$

2 мин · практика
Образец: A(4; 0), B(0; 2). Уравнение прямой «в отрезках»: x/4 + y/2 = 1, умножаем на 4: x + 2y = 4. Проверка: A — 4 + 0 = 4 ✓, B — 0 + 4 = 4 ✓. Пробная точка (1; 1) внутри треугольника: 1 + 2 = 3 ≤ 4 — значит, знак «≤».
1) 1 ≤ y ≤ 3. 2) круг x² + y² ≤ 9 и полуплоскость y ≥ 0. 3) кольцо — «внутри большого круга и вне малого»; внешняя граница сплошная (≤), внутренняя пунктир (>). Центр (0; 0) у обеих окружностей (по условию — с центром O).
Обратить внимание: система неравенств записывает «и»; для «или» (объединение) нужна совокупность — это не сегодня.

R02.11 · ПР-13

Образец → сам · целые решения

Сколько решений с целыми $x$ и $y$ ?

Образец

${y \geq x^{2} y \leq 2$

$x^{2} \leq y \leq 2 \Rightarrow x^{2} \leq 2$ целые $x$ : $- 1; 0; 1$

$x = 0$ : $y = 0, 1, 2$ 3 точки

$x = \pm 1$ : $y = 1, 2$ $2 + 2$ точки

Ответ: $7$ решений

Сам

база ${x \geq 0, y \geq 0 x + y \leq 3$ $10$
база ${x^{2} + y^{2} \leq 5 y \geq 1$ $8$
повыш. ${y > ∣ x ∣ y < 3$ $4$

R02.11 · ПР-14

Новый материал · система с параметром

При каких $r > 0$ у системы есть решения?

{x^{2} + y^{2} \leq r^{2} x + y \geq 2

Круг растёт вместе с $r$ ; решения есть, когда круг достаёт до полуплоскости.

$r = 1$ — не достаёт: решений нет

$r = 2$ — касание в $(1; 1)$ : одно решение

$r = 2$ — общая часть: решений бесконечно много

Ответ:

r \geq 2

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Клики на рисунке: r = 1 — круг не достаёт до полуплоскости (решений нет); r = √2 — касание в точке (1; 1), единственное решение; r = 2 — общая часть (жёлтая), решений бесконечно много.
Расстояние от O до прямой x + y = 2: прямая пересекает оси в (2; 0) и (0; 2), равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 2, высота к гипотенузе = 2 · 2 / (2√2) = √2. Проверка: точка касания (1; 1), 1 + 1 = 2 ✓, 1² + 1² = 2 = (√2)² ✓.
Общая идея: параметр меняет одну фигуру; ищем граничное положение (касание, проход через вершину) и смотрим, что до и после.

R02.11 · ПР-14

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

${y \geq x^{2} y \leq a$ — ровно одно решение?

$a < 0$ : решений нет $y \geq x^{2} \geq 0 > a$

$a = 0$ : одно — $(0; 0)$ $x^{2} \leq y \leq 0$

$a > 0$ : бесконечно много область между линиями

Ответ: $a = 0$

Сам

база ${y \geq ∣ x ∣ y \leq a$ — есть решения? $a \geq 0$
повыш. ${x^{2} + y^{2} \leq r^{2} y \geq 3$ — одно решение? ( $r > 0$ ) $r = 3$
повыш. ${y \geq x^{2} y \leq x + b$ — есть решения? $b \geq - \frac{1}{4}$

3 мин · практика
Образец: на рисунке клики a = −1 (прямая ниже параболы), a = 0 (одна точка — вершина), a = 2 (область между параболой и прямой).
1) |x| ≥ 0, нужно 0 ≤ |x| ≤ y ≤ a — возможно при a ≥ 0 (при a = 0 — одна точка (0; 0)).
2) Полуплоскость y ≥ 3 и круг радиуса r: при r < 3 общих точек нет, при r = 3 — касание в (0; 3), при r > 3 — бесконечно много. Ответ r = 3.
3) Нужно x² ≤ y ≤ x + b хотя бы для одного x, т. е. неравенство x² − x − b ≤ 0 имеет решения ⇔ D = 1 + 4b ≥ 0 ⇔ b ≥ −1/4. Граница b = −1/4: прямая y = x − 1/4 касается параболы в (1/2; 1/4) — одно решение. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R02.11

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки на рисунке

Не та граница

$x^{2} + y^{2} < 4$ : окружность сплошной

окружность — пунктиром

знак строгий — точки окружности не решения: $4 < 4$ неверно

Объединили вместо пересечения

заштриховали всё, что попало хотя бы в одну область

решение системы — только общая часть

система = «и первое, и второе»

Не та сторона параболы

$y \geq x^{2}$ — «под параболой»

внутри «чаши»: $(0; 1)$ , $1 \geq 0$

сторону выбирает пробная точка, а не знак « $\geq$ »

2 мин · теория
1) Проверка точкой (2; 0): 4 < 4 — неверно, значит, окружность не входит. На ОГЭ и в ответах про площадь это не важно, а в задачах на число решений и на параметр — важно (сл. 12, 14).
2) Совет: штриховать неравенства разными направлениями штриховки; ответ — где штриховки накладываются («клетка»).
3) «≥ — значит выше» верно только для вида y ≥ f(x). Для x² + y² ≥ 4 «выше» не имеет смысла — нужна пробная точка (0; 0): 0 ≥ 4 неверно, область вне круга.

R02.11

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. $A (2; 1)$ и $B (- 1; 3)$ — решения ${x^{2} + y^{2} < 10 y > x - 2$ ?

$A$ : $4 + 1 = 5 < 10$ , $1 > 0$ — да

$B$ : $1 + 9 = 10 < 10$ , $3 > - 3$ — да

Ошибка: $10 < 10$ неверно

$B$ на пунктирной окружности — не решение

2. Площадь области ${x \geq 0, y \geq 0 2 x + 3 y \leq 12$

Вершины: $(0; 0)$ , $(6; 0)$ , $(0; 4)$

$S = 6 \cdot 4 = 24$

Ошибка: фигура — треугольник, а не прямоугольник

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

R02.11

Задания с самопроверкой · база

Нарисуйте область и ответьте

$(2; - 1)$ — решение ${x - y > 2 x^{2} + y^{2} \leq 5$ ? да
Площадь: ${0 \leq x \leq 3 1 \leq y \leq 5$ $12$
Площадь: $⎩ ⎨ ⎧ y \geq 0 y \leq x + 2 y \leq 2 - x$ $4$

Площадь: ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \leq 0$ $4, 5 π$
Целых решений: ${x \geq 1, y \geq 1 x + y \leq 4$ $6$
Площадь: ${x^{2} + y^{2} \geq 1 x^{2} + y^{2} \leq 4$ $3 π$

R02.11 · ПР-13 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модули, целые точки, параметр

повыш.Площадь: ${y \geq ∣ x ∣ x^{2} + y^{2} \leq 8$ $2 π$
повыш.Площадь: ${y \geq ∣ x - 2∣ y \leq 3$ $9$
повыш.Целых решений: ${y \geq x^{2} y \leq 4$ $15$

повыш.При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} \leq 1 x + y \geq a$ имеет решения? $a \leq 2$
повыш.Задайте системой квадрат с вершинами $(\pm 2; 0)$ , $(0; \pm 2)$ $- 2 \leq x + y \leq 2, - 2 \leq x - y \leq 2$

2 мин · практика
1) Четверть круга радиуса √8: ¼ · 8π = 2π. 2) «Галочка» с вершиной (2; 0), отрезок y = 3 от x = −1 до x = 5: треугольник, основание 6, высота 3, S = 9.
3) x² ≤ 4: x = 0 — y = 0…4 (5), x = ±1 — y = 1…4 (4 + 4), x = ±2 — y = 4 (1 + 1). Всего 15.
4) Наибольшее значение x + y на круге — в точке касания (√2/2; √2/2), равно √2 (расстояние от O до прямой x + y = a равно |a|/√2 ≤ 1 при касании). Полуплоскость x + y ≥ a задевает круг ⇔ a ≤ √2; при a = √2 — одно решение.
5) Стороны квадрата лежат на прямых x + y = ±2, x − y = ±2; система: x + y ≤ 2, x + y ≥ −2, x − y ≤ 2, x − y ≥ −2 (равносильно |x| + |y| ≤ 2). Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R02.11 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте множество точек и ответьте на вопрос

Изобразите множество решений системы ${y \geq x^{2} - 4 y \leq 0$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно одну общую точку? $m = - 4$
Изобразите множество решений системы ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq 0$ . При каких $b$ прямая $y = x + b$ имеет с ним ровно одну общую точку? $b = - 2; b = 22$

3 мин · практика
1) Область между параболой y = x² − 4 (вершина (0; −4), нули ±2) и осью Ox. Прямая y = m: при −4 < m ≤ 0 — отрезок (бесконечно много точек), при m = −4 — одна точка (вершина), иначе — нет. Ответ m = −4.
2) Полукруг (рисунок, клики). Прямые y = x + b параллельны. Нижнее граничное положение — через (2; 0): b = −2 (дальше вправо точек нет). Верхнее — касание дуги: расстояние |b|/√2 = 2, b = 2√2, точка касания (−√2; √2), y > 0 ✓. При −2 < b < 2√2 — отрезок; ответ: b = −2 или b = 2√2. Проверено численно.
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верный рисунок и обоснование (почему касание, почему одна точка). Ошибка: забыть случай b = −2 (касание «углом», а не дугой).

R02.11 · ПР-16

Задача из жизни

Мастерская: $x$ столов и $y$ стульев в день

Стол — 2 ч работы станка, стул — 1 ч; станок работает не больше 10 ч. Досок хватает не больше чем на 7 изделий.

практикаСоставьте систему $2 x + y \leq 10, x + y \leq 7, x, y \geq 0$
практикаМожно ли сделать 4 стола и 3 стула? нет: $11 > 10$
повыш.Прибыль $3 x + 2 y$ тыс. руб. Сравните её в вершинах области max $17$ в $(3; 4)$

2 мин · практика
1) Время станка: 2x + y ≤ 10; доски: x + y ≤ 7; x ≥ 0, y ≥ 0 (и целые). Вершины области: (0; 0), (5; 0), (3; 4) — из 2x + y = 10 и x + y = 7, (0; 7).
2) 2 · 4 + 3 = 11 > 10 — станка не хватит (красный крестик вне области). Зато (3; 4): 10 ≤ 10, 7 ≤ 7 — подходит и расходует всё.
3) 3x + 2y: (0; 0) — 0, (5; 0) — 15, (3; 4) — 17, (0; 7) — 14. Наибольшая 17 тыс. руб. при 3 столах и 4 стульях. Что наибольшее значение достигается в вершине — без доказательства (линейное программирование, вне программы); можно проверить соседние целые точки.

R02.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $(1; 2)$ — решение ${y > x x^{2} + y^{2} \leq 5$ ? да
базаПлощадь: $x \geq 0, y \geq 0, x + 2 y \leq 6$ $9$
базаЗадайте системой верхний полукруг: $O (0; 0)$ , $R = 2$ , с границей $x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 0$
повыш.Целых решений: $y \geq ∣ x ∣, y \leq 2$ $9$

Вариант 2

база $(- 1; 2)$ — решение ${y > - x x^{2} + y^{2} < 5$ ? нет
базаПлощадь: $x \geq 0, y \geq 0, 3 x + y \leq 6$ $6$
базаЗадайте системой правый полукруг: $O (0; 0)$ , $R = 3$ , с границей $x^{2} + y^{2} \leq 9, x \geq 0$
повыш.Целых решений: $y \geq x^{2}, y \leq 1$ $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое решение системы неравенств с двумя переменными?
Когда граница рисуется пунктиром?
Как найти вершины области?

Домашнее задание

Площадь: $x^{2} + y^{2} \leq 16, y \geq x + 4$
Целых решений: $y \geq x^{2} - 2, y \leq 2$
При каких $b$ система $y \leq - x^{2}, y \geq x + b$ имеет решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-036 · Системы неравенств с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 11/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.11 «Системы неравенств с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R02.9–R02.10 → 3, 5 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8–10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-12 (системы неравенств) → 2, 4–9, 13–15, 19 · ПР-13 (решения в целых числах) → 10, 15, 16, 19 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 11, 12, 16, 17 · ПР-16 (математическая модель ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	совокупности неравенств (объединение областей); линейное программирование (наибольшее значение в вершине — без доказательства, сл. 18); неравенства с одной переменной — ALG9U-037
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Системы неравенствс двумяпеременными

Сегодня вы научитесь

Изображать решения системы

Задавать область системой

Искать целые решения

Исследовать систему с параметром

Неравенство с двумя переменными

Решение системы — общая часть решений всех неравенств

Четыре шага для любой системы

Изобразите систему, найдите вершины и площадь

Образец

Сам

Какие области задают знакомые неравенства

Изобразите систему и найдите площадь

Образец

Сам

По рисунку — система неравенств

Образец: △OAB с границей

Сам: задайте системой

Сколько решений с целыми x и y?

Образец

Сам

При каких r>0 у системы есть решения?

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки на рисунке

Не та граница

Объединили вместо пересечения

Не та сторона параболы

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. A(2;1) и B(−1;3) — решения {x2+y2<10y>x−2​?

2. Площадь области {x≥0, y≥02x+3y≤12​

Нарисуйте область и ответьте

Модули, целые точки, параметр

Постройте множество точек и ответьте на вопрос

Мастерская: x столов и y стульев в день

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-036 · Системы неравенств с двумя переменными

Системы неравенств
с двумя
переменными

Образец: $△ O A B$ с границей

Сколько решений с целыми $x$ и $y$ ?

При каких $r > 0$ у системы есть решения?

1. $A (2; 1)$ и $B (- 1; 3)$ — решения ${x^{2} + y^{2} < 10 y > x - 2$ ?

2. Площадь области ${x \geq 0, y \geq 0 2 x + 3 y \leq 12$

Мастерская: $x$ столов и $y$ стульев в день