Квадратные неравенства · урок 10 из 15

Графический метод
решения систем
неравенств с двумя
переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-035

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 10/15, единица R02.10 «Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-034 — решение неравенства с двумя переменными (одна область на плоскости); следующий ALG9U-036 — системы неравенств с двумя переменными.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие, демонстрация) 3 · 5 (какие области задают неравенства) 2 · 6 (алгоритм) 2 · 11 (параметр: подвижная граница) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 9, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и сл. 18 — в ДЗ; теорию и образцы не сокращать.

R02.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать решения системы

как общую часть областей на координатной плоскости (ПР-13)

Считать по рисунку

вершины, площадь фигуры, число точек с целыми координатами (ПР-13)

Задавать фигуру системой

по рисунку записать систему неравенств (ПР-12, ПР-13)

Рассуждать с параметром

при каких $a$ система имеет решения, ровно одно решение (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-13 (ФРП дословно): «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…» — переносим на системы неравенств.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать неравенство с двумя переменными. Применять графический метод решения систем неравенств с двумя переменными».

разминка · R02.8, R02.9, R02.6

Разминка · устно

Точки, линии, области

(1; 2)

и

y > 2 x - 1

решение?

да:

2 > 1

(0; 0)

и

x + y \geq 1

решение?

нет

x^{2} + y^{2} \leq 16

какая фигура?

круг,

r = 4

y \geq x^{2}

выше или ниже параболы?

выше

y < 3

граница сплошная?

нет, пунктир

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

центр?

(1; - 2)

[- 1; 5] \cap (2; 7)

пересечение

(2; 5]

круг,

r = 3

площадь

9 π

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2 > 2 · 1 − 1 = 1 — да. 2) 0 + 0 = 0 ≥ 1 неверно — нет. 3) Круг с центром O, r = √16 = 4 (вместе с окружностью). 4) Например, (0; 1): 1 ≥ 0 — верно, а точка выше вершины параболы — значит, выше («внутри» параболы).
5) Неравенство строгое — точки прямой y = 3 не входят, граница пунктиром. 6) Центр (1; −2), r = 3 (знаки меняются!). 7) Общая часть промежутков: от 2 (не входит) до 5 (входит). 8) S = πr² = 9π.
Карточка 7 — ключ урока: решение системы — пересечение (общая часть) множеств решений; сегодня то же самое на плоскости.

R02.10

Новое · решение системы

Решение системы — общая часть областей

Решение системы неравенств с двумя переменными — пара $(x; y)$ , при которой верно каждое неравенство системы.

На плоскости множество решений системы — пересечение множеств решений её неравенств.

A (1; 2)

:

1 + 4 \leq 9

и

1 + 2 \geq 1

— решение

B (- 2; 0)

:

4 \leq 9

, но

- 2 \geq 1

неверно — не решение

3 мин · теория
Демонстрация учителя по клику: сначала розовая полуплоскость x + y ≥ 1 (выше прямой y = 1 − x; контрольная точка O: 0 ≥ 1 неверно — O не в области), затем фиолетовый круг x² + y² ≤ 9, затем их общая часть (бирюзовая) — это и есть множество решений системы; последний клик — точки A и B.
Сравнить с системой неравенств с одной переменной: там пересекали промежутки на прямой, здесь — области на плоскости. Слово «система» — союз «и».
Вопрос классу: может ли система не иметь решений? (Да, если общей части нет — пример на сл. 14.)

R02.9 · опора

Сводка · какие области задают неравенства

Граница — уравнение, область — по знаку

y > 2 x - 1

выше прямой, пунктир

x \leq 1

левее прямой

x = 1

x^{2} + y^{2} \leq 4

круг с окружностью

x^{2} + y^{2} > 2

вне круга, пунктир

y \geq x^{2} - 1

выше параболы

∣ y ∣ \leq 1

горизонтальная полоса

2 мин · теория
Повторение прошлого урока одним слайдом. Правило: граница — то, что получится при замене знака неравенства на «=»; строгое неравенство — граница пунктиром (не входит), нестрогое — сплошной.
Сторону выбираем контрольной точкой, не лежащей на границе (часто O). Например, для x² + y² > 2: O даёт 0 > 2 — неверно, значит, область вне круга радиуса √2.
|y| ≤ 1 — это система −1 ≤ y ≤ 1, т. е. уже пересечение двух полуплоскостей. Аналогично (x − a)² + (y − b)² ≤ r² — круг с центром (a; b).

R02.10

Алгоритм · графический метод

Четыре шага — на примере ${y > x - 1 x + y \leq 3$

Границы: заменить знаки на «=», построить линии строгое — пунктир, нестрогое — сплошная
Каждое неравенство: контрольной точкой выбрать сторону точка не на границе
Пересечение: заштриховать общую часть её нет — решений нет
Проверка: точка из общей части верна во всех неравенствах

R02.10

Образец → сам · линейная система

Изобразите множество решений и найдите площадь

Образец

Сам

база ${y \geq 0, y \leq x, x \leq 4$ $S = 8$
база ${x \geq 0, y \geq 0, x + 2 y \leq 6$ $S = 9$
повыш. ${y \leq 3, y \geq - x, y \geq 2 x - 1$ $S = \frac{25}{3}$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель по кликам), затем 2 мин самостоятельно. В записи «сам» запятая между неравенствами в одной строке — это два неравенства системы.
Образец: вершины — попарные пересечения: x + 2 = −x ⇒ (−1; 1); x = 2 ⇒ (2; 4) и (2; −2). Основание 4 − (−2) = 6 на прямой x = 2, высота — расстояние от (−1; 1) до x = 2, т. е. 3. S = 9.
1) Треугольник (0; 0), (4; 0), (4; 4): S = ½ · 4 · 4 = 8. 2) Треугольник (0; 0), (6; 0), (0; 3): S = ½ · 6 · 3 = 9.
3) Вершины (−3; 3), (2; 3), (⅓; −⅓): основание на y = 3 длиной 5, высота 3 + ⅓ = 10/3; S = ½ · 5 · 10/3 = 25/3. Площади проверены формулой площади многоугольника (python).

R02.10

Образец → сам · круг и прямая

Назовите фигуру и найдите её площадь

Образец

Сам

база ${x^{2} + y^{2} \leq 4, y \leq 0$ полукруг, $S = 2 π$
база ${x^{2} + y^{2} \geq 1, x^{2} + y^{2} \leq 4$ кольцо, $S = 3 π$
повыш. ${x^{2} + y^{2} \leq 16, x \geq 0, y \geq x$ сектор $4 5^{\circ}$ , $S = 2 π$

R02.10 · ПР-13

Образец → сам · точки с целыми координатами

Сколько решений с целыми $x$ и $y$ ?

Образец

Сам

база ${y \geq x^{2}, y \leq 4$ $15$
база ${y \leq 2 - x^{2}, y \geq - 1$ $10$
повыш. ${y > x^{2}, y < x + 2$ $2$

3 мин · практика
Приём: перебор по столбцам. Сначала по рисунку находим, какие x вообще возможны (между абсциссами точек пересечения границ), затем для каждого x считаем целые y.
Образец: x = −1: y = 1 (1 точка); x = 0: y = 0, 1, 2 (3); x = 1: y = 1, 2, 3 (3); x = 2: y = 4 (1). Итого 8.
1) x = 0: 5; x = ±1: по 4; x = ±2: по 1 — всего 15. 2) x = 0: y от −1 до 2 — 4; x = ±1: от −1 до 1 — по 3; x = ±2: 2 − 4 = −2 < −1 — нет. Всего 10.
3) Неравенства строгие — граница не входит: x = 0: 0 < y < 2 ⇒ y = 1; x = 1: 1 < y < 3 ⇒ y = 2; x = −1 и x = 2 — интервалы пустые. Ответ 2. Все счёты проверены перебором (python).

R02.10

Образец → сам · обратная задача

По фигуре — систему неравенств

Образец

Сам: задайте системой

базаКвадрат с вершинами $(\pm 2; \pm 2)$ $∣ x ∣ \leq 2, ∣ y ∣ \leq 2$
базаПолоса между $y = x$ и $y = x + 3$ с границами $x \leq y \leq x + 3$
повыш.Четверть круга $r = 2$ с центром $O$ в I четверти $x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$

R02.10 · ПР-14

Сводка · параметр

Параметр двигает границу: ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq a$

Неравенство с

a

— граница, которая сдвигается при изменении

a

Ищем положения: общей части нет · одна точка (касание) · область

Ответ: решения есть при

a \leq 2

, ровно одно — при

a = 2

R02.10 · ПР-14

Образец → сам · параметр

При каких $a$ система имеет решения?

Образец

Сам

база ${x^{2} + y^{2} \leq 9, x \geq a$ — есть решения? $a \leq 3$
база ${y \geq x^{2}, y \leq a$ — ровно одно решение? $a = 0$
повыш. ${x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq x + a$ — есть решения? $a \leq 22$

3 мин · практика
Образец: все прямые x + y = a параллельны y = −x. Самая «дальняя» точка круга в направлении роста x + y лежит на биссектрисе y = x, на окружности: T(3/√2; 3/√2), там x + y = 6/√2 = 3√2 ≈ 4,24. Проверка: max(x + y) на круге r = 3 численно 4,2426 ✓. При a = 3√2 решение одно — точка T.
1) Вертикальная прямая x = a: общая часть с кругом есть при a ≤ 3 (при a = 3 — одна точка (3; 0)).
2) Область над параболой и под прямой y = a: при a < 0 пусто, при a = 0 — только (0; 0), при a > 0 — бесконечно много. Ответ a = 0.
3) y − x ≥ a; наибольшее значение y − x на круге r = 2 — в точке (−√2; √2), равно 2√2. Решения при a ≤ 2√2 (численно проверено: max = 2,828).

R02.10

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки на рисунке

«Или» вместо «и»

${x \geq 0 y \geq 0$ : заштриховали I, II и IV четверти

Только I четверть вместе с полуосями

система — общая часть, а не объединение

Не та сторона

$x^{2} + y^{2} > 4$ — внутри круга

Вне круга, окружность пунктиром

точка $O$ : $0 > 4$ — неверно

Минус при $y$

$- y \leq x - 1$ ⇒ $y \leq 1 - x$ — ниже

$y \geq 1 - x$ — выше прямой

умножили на $- 1$ — знак меняется

2 мин · теория
1) Объединение получается, если штриховать каждую область и считать ответом всё заштрихованное. В системе нужна двойная штриховка (общая часть). Точка (−1; 1) удовлетворяет y ≥ 0, но не x ≥ 0 — не решение.
2) Контрольная точка O: 0 > 4 — неверно, значит, O не в области: область — вне круга радиуса 2; неравенство строгое — окружность не входит.
3) −y ≤ x − 1 ⇔ y ≥ 1 − x. Проверка точкой (0; 2): −2 ≤ −1 — верно, а (0; 2) выше прямой y = 1 − x ✓.

R02.10

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Сколько целых решений у ${y > x^{2} y < 4$ ?

$x = 0$ : $y = 0, 1, 2, 3$ ; $x = \pm 1$ : $y = 1, 2, 3$

$x = \pm 2$ : $y = 4$ . Всего $4 + 6 + 2 = 12$ .

Ошибка: точки параболы $y = x^{2}$ не входят (строго), $y = 4$ — тоже

$x = 0$ : $1, 2, 3$ ; $x = \pm 1$ : $2, 3$ . Ответ: $7$

2. Решение ли $(1; 1)$ системы ${x + y \geq 2 x^{2} + y^{2} < 2$ ?

$1 + 1 = 2 \geq 2$ — верно;

$1 + 1 = 2 < 2$ — верно. Ответ: да.

Ошибка: $2 < 2$ неверно — не решение

Прямая касается окружности в $(1; 1)$ : решений нет вовсе

R02.10

Задания с самопроверкой · база

Постройте и ответьте

$(2; 1)$ — решение ${y \leq x x^{2} + y^{2} \leq 5$ ? да
$(- 1; 3)$ — решение ${y > x + 3 x < 0$ ? да
Площадь: ${x^{2} + y^{2} \leq 25 y \geq 0$ $12, 5 π$

Площадь: ${x \geq 0, y \geq 0 x + y \leq 5$ $12, 5$
Фигура $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9$ и её площадь кольцо, $8 π$
Целые решения: ${∣ x ∣ \leq 1 ∣ y ∣ \leq 2$ $15$

R02.10 · ПР-13, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модуль, целые точки, параметр

повыш.Площадь: ${y \geq ∣ x ∣ - 2 y \leq 2$ $16$
повыш.Целые решения: ${y \geq x^{2} - 2 x y \leq 0$ $4$
повыш.Площадь: ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq ∣ x ∣$ $π$

повыш.При каких $a$ у системы ${y \geq x^{2} y \leq a - x^{2}$ ровно одно решение? $a = 0$
повыш.При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} \leq 1 (x - a)^{2} + y^{2} \leq 1$ имеет решения? $∣ a ∣ \leq 2$

2 мин · практика
1) Треугольник (−4; 2), (4; 2), (0; −2): основание 8, высота 4, S = 16. 2) x² − 2x ≤ y ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2: x = 0: y = 0; x = 1: y = −1, 0; x = 2: y = 0 — всего 4 (перебор в python).
3) y ≥ |x| — угол 90° между лучами y = x и y = −x (вверх), это четверть круга: S = 4π / 4 = π.
4) x² ≤ y ≤ a − x² возможно ⇔ 2x² ≤ a. При a < 0 решений нет, при a = 0 только (0; 0), при a > 0 — бесконечно много. Ответ a = 0.
5) Два круга радиуса 1 с центрами (0; 0) и (a; 0) пересекаются ⇔ расстояние между центрами |a| ≤ 2 (при |a| = 2 касаются — одна точка). Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R02.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте фигуру и исследуйте её

Площадь фигуры ${y \geq ∣ x ∣ y \leq 3$ $9$
При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с этой фигурой общие точки, кроме $O$ ? $∣ k ∣ \geq 1$
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет общие точки с фигурой ${x^{2} + y^{2} \leq 25 y \geq - 3$ ? $- 3 \leq m \leq 5$

На ОГЭ: чертёж обязателен, ответ — по чертежу и вычислениям

2 мин · практика
Линия 22 (2 балла): построение графика/фигуры и исследование «при каких значениях…». Графический метод систем неравенств — та же техника: нужна аккуратная картинка и обоснование граничных значений.
1) Треугольник (0; 0), (−3; 3), (3; 3): S = ½ · 6 · 3 = 9. Рисунок открывается по клику.
2) Прямая y = kx проходит через O. Точка (x; kx) при x > 0 в фигуре ⇔ kx ≥ x ⇔ k ≥ 1; при x < 0 ⇔ kx ≥ −x ⇔ k ≤ −1 (а y ≤ 3 выполняется при малых x). Ответ |k| ≥ 1. На рисунке y = 2x проходит внутри, y = 0,5x — нет.
3) Фигура — круг r = 5 без нижнего сегмента; y меняется от −3 (хорда) до 5 (верхняя точка). Ответ: −3 ≤ m ≤ 5.

R02.10 · R02.7

Задача из жизни

Мастерская: $x$ табуреток и $y$ стульев в день

Заготовок — на $8$ изделий; табурет — $1$ ч, стул — $2$ ч; смена — $10$ ч: $⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 8 x + 2 y \leq 10 x \geq 0, y \geq 0$

практикаМожно ли сделать $3$ табурета и $4$ стула? нет
практикаТабуретов $4$ . Сколько стульев максимум? $3$
повыш.Прибыль $2 x + 3 y$ тыс. руб. Наибольшая? $18$ при $(6; 2)$

R02.10

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $(1; - 2)$ — решение системы $y < x - 2$ , $x^{2} + y^{2} \leq 9$ ? да
базаФигура $x^{2} + y^{2} \leq 16$ , $y \geq 0$ и её площадь полукруг, $8 π$
базаЦелые решения: $y \geq x^{2}$ , $y \leq 1$ $4$
повыш.Треугольник $(0; 0), (4; 0), (0; 4)$ — системой $x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 4$

Вариант 2

база $(- 1; 2)$ — решение системы $y > x + 2$ , $x^{2} + y^{2} < 4$ ? нет
базаФигура $x^{2} + y^{2} \leq 9$ , $x \leq 0$ и её площадь полукруг, $4, 5 π$
базаЦелые решения: $y \geq x^{2} - 1$ , $y \leq 0$ $4$
повыш.Треугольник $(0; 0), (3; 0), (0; 6)$ — системой $x \geq 0, y \geq 0, 2 x + y \leq 6$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику). Запятая между неравенствами — система.
В-1. 1) −2 < 1 − 2 = −1 — верно; 1 + 4 = 5 ≤ 9 — верно: да. 2) Верхний полукруг r = 4: ½ · 16π = 8π. 3) x = 0: y = 0, 1; x = ±1: y = 1 — всего 4. 4) Гипотенуза — прямая x + y = 4: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4.
В-2. 1) 2 > −1 + 2 = 1 — верно; 1 + 4 = 5 < 4 — неверно: нет. 2) Левый полукруг r = 3: ½ · 9π = 4,5π. 3) x = 0: y = −1, 0; x = ±1: y = 0 — всего 4. 4) Прямая через (3; 0) и (0; 6): 2x + y = 6; ответ x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Целые точки проверены перебором (python).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое решение системы неравенств с двумя переменными?
Как на рисунке получить множество решений системы?
Когда граница рисуется пунктиром?

Домашнее задание

Площадь фигуры $x^{2} + y^{2} \leq 9$ , $y \geq ∣ x ∣$
Число целых решений системы $y \geq x^{2}$ , $y \leq 2 x + 3$
При каких $a$ система $x^{2} + y^{2} \leq 1$ , $y \geq x^{2} + a$ имеет решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-035 · Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 10/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.10 «Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными» → 2, 4, 6–20 · опора R02.8, R02.9 → 3, 5 · опора R02.6 → 3 · применение R02.7 → 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7–10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-13 (неравенства и их системы, в том числе в целых числах) → 2, 4–10, 13–19 · ПР-12 (системы неравенств) → 6, 7, 19 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 11, 12, 16, 17 · ПР-16 (математическая модель реальной ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы неравенств с модулями и произведениями, исследование — ALG9U-036; линейное программирование — только иллюстрация на сл. 18
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графический методрешения системнеравенств с двумяпеременными

Сегодня вы научитесь

Изображать решения системы

Считать по рисунку

Задавать фигуру системой

Рассуждать с параметром

Точки, линии, области

Решение системы — общая часть областей

Граница — уравнение, область — по знаку

Четыре шага — на примере {y>x−1x+y≤3​

Изобразите множество решений и найдите площадь

Образец

Сам

Назовите фигуру и найдите её площадь

Образец

Сам

Сколько решений с целыми x и y?

Образец

Сам

По фигуре — систему неравенств

Образец

Сам: задайте системой

Параметр двигает границу: {x2+y2≤4y≥a​

При каких a система имеет решения?

Образец

Сам

Три ошибки на рисунке

«Или» вместо «и»

Не та сторона

Минус при y

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Сколько целых решений у {y>x2y<4​?

2. Решение ли (1;1) системы {x+y≥2x2+y2<2​?

Постройте и ответьте

Модуль, целые точки, параметр

Постройте фигуру и исследуйте её

Мастерская: x табуреток и y стульев в день

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-035 · Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными

Графический метод
решения систем
неравенств с двумя
переменными

Четыре шага — на примере ${y > x - 1 x + y \leq 3$

Сколько решений с целыми $x$ и $y$ ?

Параметр двигает границу: ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq a$

При каких $a$ система имеет решения?

Минус при $y$

1. Сколько целых решений у ${y > x^{2} y < 4$ ?

2. Решение ли $(1; 1)$ системы ${x + y \geq 2 x^{2} + y^{2} < 2$ ?

Мастерская: $x$ табуреток и $y$ стульев в день