Неравенства · урок 9 из 15

Решение неравенства
с двумя
переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-034

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 9/15, единица R02.9 «Решение неравенства с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-033 — неравенство с двумя переменными (понятие решения — пары чисел); следующий ALG9U-035 — графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (прямая делит плоскость) 2 · 5 (метод пробной точки, демонстрация) 3 · 7 (кривая — граница) 2 · 10 (модуль и симметрия) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 9, 11, 12) 3 + 2 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 3 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
На рисунке: штриховая прямая $y = x + 1$ , закрашено $y > x + 1$ ; розовая точка $(- 1; 3)$ — решение, бирюзовая $O (0; 0)$ — нет.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание «повыш.» сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать решения

строить границу и выбирать часть плоскости пробной точкой (ПР-13)

Работать с кривыми

парабола, окружность, модуль — как граница области (ПР-13, ПР-17)

Решать обратную задачу

по рисунку области записать неравенство (ПР-13, ПР-14)

Применять

площади фигур, точки с целыми координатами, задача о покупке (ПР-13, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-13 (ФРП дословно): «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте». ПР-17 — понятия парабола, график функции.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать неравенство с двумя переменными. Применять графический метод решения систем неравенств с двумя переменными» — сегодня графический метод для одного неравенства, системы — на ALG9U-035.

разминка · R02.8

Разминка · устно

Точки, прямые, параболы, окружности

(1; 2)

и

y > 2 x - 1

решение?

да

2 x + y = 4

точка на оси

O y

(0; 4)

3 x - y > 6

выразите

y

y < 3 x - 6

- 2 y \leq 6

решите

y \geq - 3

y = x^{2} - 4 x + 3

вершина

(2; - 1)

x^{2} + y^{2} = 25

радиус

5

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

центр

(1; - 2)

x^{2} - 6 x + y^{2} = 0

центр и радиус

(3; 0)

,

r = 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2 > 2 · 1 − 1 = 1 — да (это понятие решения с прошлого урока). 2) x = 0: y = 4. 3) −y > 6 − 3x, делим на −1 и меняем знак: y < 3x − 6. 4) Делим на −2, знак меняется: y ≥ −3.
5) x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. 6) r² = 25, r = 5. 7) Центр (1; −2) — знаки «наоборот». 8) (x − 3)² − 9 + y² = 0 ⇔ (x − 3)² + y² = 9: центр (3; 0), r = 3.
Карточки 3–4 — к главной ловушке урока (деление на отрицательное, сл. 13–14); 5 — к образцу на сл. 8; 6–8 — к образцу на сл. 9.

R02.9

Новый материал · полуплоскость

Прямая делит плоскость на две полуплоскости

$y > k x + b$ — выше прямой

$y < k x + b$ — ниже прямой

$x > a$ — правее прямой $x = a$

Знак

>

или

<

— граница штрихом;

\geq

или

\leq

— сплошная, она входит

2 мин · теория
Решение неравенства с двумя переменными — пара $(x; y)$ , обращающая его в верное числовое неравенство; на плоскости — точка. Решить неравенство — изобразить множество всех таких точек.
Почему «выше»: зафиксируем $x = 2$ (штриховая вертикаль). На прямой $y = 0, 5 \cdot 2 + 1 = 2$ . Точки вертикали с $y > 2$ (как $M (2; 3, 5)$ ) лежат выше прямой — и так для каждого $x$ . Значит, $y > k x + b$ — вся верхняя полуплоскость.
Вопрос классу: куда отнести саму прямую при $y \geq 0, 5 x + 1$ ? (Входит: на ней $y = 0, 5 x + 1$ , равенство допустимо.)

R02.9

Новый материал · метод пробной точки

Как решить $2 x - 3 y < 6$ , не выражая $y$

3 мин · теория (демонстрация: учитель решает у доски)
Алгоритм: 1) знак неравенства → «=», строим границу; 2) строгий знак — штрих, нестрогий — сплошная; 3) берём пробную точку не на границе (удобно $O (0; 0)$ ); 4) верно — закрашиваем часть с ней, неверно — другую часть.
Почему одной точки хватает: по одну сторону прямой выражение $2 x - 3 y - 6$ сохраняет знак (переходит через ноль только на границе). Проверка вторым способом: $- 3 y < 6 - 2 x \Leftrightarrow y > \frac{2}{3} x - 2$ — выше прямой, там и $O$ ✓.
Если граница проходит через $O$ (например, $y \geq 2 x$ ), берём другую точку — $(1; 0)$ или $(0; 1)$ .

R02.9

Образец → сам · линейное неравенство

Изобразите множество решений

Образец: $3 x + 2 y > 6$

Сам: какая часть плоскости?

база $y \leq - x + 2$ ниже прямой и сама прямая
база $x - 2 y < 4$ выше $y = 0, 5 x - 2$ , штрих
повыш. $2 (x - y) \geq x + 4$ ниже $y = 0, 5 x - 2$ , сплошная

3 мин · практика
Образец 1 мин (учитель ведёт, класс подсказывает шаги), затем 2 мин — в тетрадях на клетчатой бумаге.
Образец: граница через (2; 0) и (0; 3); O: 0 > 6 — неверно, значит закрашиваем часть без O (это $y > 3 - 1, 5 x$ — выше прямой).
1) Сплошная прямая через (0; 2) и (2; 0); O: 0 ≤ 2 — верно, часть с O, т. е. ниже. 2) $- 2 y < 4 - x \Rightarrow y > 0, 5 x - 2$ ; O: 0 < 4 — верно, O выше прямой ✓. 3) $2 x - 2 y \geq x + 4 \Leftrightarrow x - 4 \geq 2 y \Leftrightarrow y \leq 0, 5 x - 2$ ; O: 0 ≥ 4 — неверно, часть без O — ниже ✓.
Ошибка в 2): «y < 0,5x − 2» — забыли сменить знак при делении на −2. Пробная точка ловит её.

R02.9

Новый материал · кривая — граница

Граница — график или окружность: метод тот же

$y > f (x)$ — выше графика,
$y < f (x)$ — ниже

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ — внутри круга

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}$ — вне круга

R02.9

Образец → сам · парабола

Изобразите множество решений

Образец: $y < - x^{2} + 2 x + 3$

Сам: какая часть плоскости?

база $y \geq x^{2} - 4$ над параболой и на ней
база $y \leq ∣ x ∣ - 2$ под графиком «уголка» и на нём
повыш. $x \geq y^{2}$ внутри параболы $x = y^{2}$ и на ней

R02.9

Образец → сам · круг

Изобразите множество решений

Образец: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y \leq 4$

Сам: опишите множество

база $x^{2} + y^{2} > 16$ вне круга $r = 4$ , окружность штрихом
база $x^{2} + y^{2} - 6 x < 0$ внутри круга: центр $(3; 0)$ , $r = 3$ , без окружности
повыш. $x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 2 y + 2$ круг: центр $(1; 1)$ , $r = 2$ , с окружностью

R02.9 · R02.5

Новый материал · модуль и симметрия

Решим $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ и найдём площадь

R02.9 · R02.5

Образец → сам · модуль

Изобразите множество и найдите площадь

Образец: $∣ x - 1∣ + ∣ y ∣ \leq 2$

Сам

базаПлощадь $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ $2$
база $∣ y ∣ \leq 2$ — какая фигура? полоса между $y = \pm 2$ с границами
повыш.Площадь $∣ x ∣ + 2∣ y ∣ \leq 4$ $16$

R02.9

Образец → сам · по рисунку

Запишите неравенство, множество решений которого…

Образец: закрашенная часть на рисунке

Сам

базавыше прямой через $(0; - 2)$ и $(1; 1)$ , вместе с ней $y \geq 3 x - 2$
базавнутренность круга: центр $(2; 0)$ , $r = 3$ , без окружности $(x - 2)^{2} + y^{2} < 9$
повыш.не ниже параболы с вершиной $(1; - 4)$ , проходящей через $(3; 0)$ $y \geq x^{2} - 2 x - 3$

R02.9

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых закрашивают не то

Делили на минус

$4 - 2 y > 2 x$ ⇒ $y > 2 - x$

$y < 2 - x$ — ниже прямой

деление на $- 2$ меняет знак

Не та граница

$y > x^{2}$ : парабола сплошная

штрих: $(1; 1)$ — не решение, $1 > 1$ неверно

строгий знак — граница не входит

Радиус = $r^{2}$

$x^{2} + y^{2} \leq 9$ — круг радиуса $9$

радиус $3$ : $r^{2} = 9$

справа стоит квадрат радиуса

R02.9

Найди ошибку

Ученик описал множества решений. Где ошибки?

Задача 1. $6 - 3 y \leq x$

$- 3 y \leq x - 6$

$y \leq - \frac{x}{3} + 2$

Прямая штрихом, закрашено ниже неё.

Ошибка 1: делим на $- 3$ — знак меняется: $y \geq - \frac{x}{3} + 2$ , выше

Ошибка 2: знак $\leq$ — прямая сплошная

Задача 2. $(x + 1)^{2} + y^{2} > 4$

Окружность: центр $(1; 0)$ , $r = 2$ .

Закрашиваем внутренность круга.

Ошибка 1: центр $(- 1; 0)$

Ошибка 2: знак $>$ — вне круга, окружность штрихом

R02.8 · R02.9

Задания с самопроверкой · база

Принадлежит ли точка? Какая часть плоскости?

$(2; - 1)$ и $3 x - y > 6$ да
$(- 1; 3)$ и $y \leq x^{2} + 1$ нет
$(1; 1)$ и $x^{2} + y^{2} < 2$ нет

$y > 3 - x$ выше прямой, штрих
$x^{2} + y^{2} \leq 49$ круг $r = 7$ с окружностью
$y \leq x^{2}$ под параболой и на ней

R02.9 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Произведения, площади, целые точки

повыш. $(x - 1) (y - 2) > 0$ — какая часть плоскости? $x > 1, y > 2$ или $x < 1, y < 2$ : два «угла», границы штрихом
повыш. $x y \leq 0$ — какая часть плоскости? II и IV четверти вместе с осями
повыш.Площадь фигуры $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 5$ $50$
повыш.Наибольшее целое $c$ , при котором $(2; 3)$ не решение $x^{2} + y^{2} \leq c$ $12$
повыш.Сколько точек с целыми координатами удовлетворяют $x^{2} + y^{2} \leq 2$ ? $9$

3 мин · практика
1) Произведение положительно, когда множители одного знака: $x > 1$ и $y > 2$ (правый верхний угол от точки (1; 2)) или $x < 1$ и $y < 2$ (левый нижний). Прямые $x = 1$ и $y = 2$ — штрихом. При переходе через границу-множитель знак меняется — углы чередуются.
2) $x$ и $y$ разных знаков или хотя бы один равен 0: II и IV четверти с осями. 3) Диагонали 10 и 10: S = 50.
4) $4 + 9 = 13 \leq c$ — точка решение при $c \geq 13$ ; не решение при $c < 13$ ; наибольшее целое $c = 12$ .
5) $x, y \in {- 1, 0, 1}$ : все 9 пар дают $x^{2} + y^{2} \leq 2$ (проверено перебором). Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R02.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

Установите соответствие: неравенство → рисунок

Неравенство	Рисунок
А) $y > x^{2} - 1$	1
Б) $x^{2} + y^{2} \leq 1$	4
В) $x + y \leq 1$	2

Ответ — цифры под А, Б, В:

142

повыш.Неравенство для рисунка 3?

x^{2} + y^{2} > 1

3 мин · практика
Формат — как в линии 11 (соответствие формул и рисунков); неравенств с двумя переменными в этой линии нет, но навык чтения рисунка тот же, и он нужен в части 2 (линия 22) и на следующем уроке (системы).
А) Парабола $y = x^{2} - 1$ штрихом, выше — рис. 1. Б) Единичный круг с окружностью — рис. 4. В) $y \leq 1 - x$ : сплошная прямая через (0; 1) и (1; 0), ниже — рис. 2. Ответ 142.
Рис. 3 — вне единичного круга, окружность штрихом: $x^{2} + y^{2} > 1$ .
Как отличать: тип границы (прямая, парабола, окружность) → штрих/сплошная → пробная точка O.

R02.9 · ПР-16

Задача из жизни

Тетрадь стоит 40 ₽, ручка — 60 ₽, есть 600 ₽

x

тетрадей,

y

ручек:

40 x + 60 y \leq 600 \Leftrightarrow 2 x + 3 y \leq 30

практикаХватит ли на 6 тетрадей и 6 ручек? да, ровно 600 ₽
практикаТетрадей 4. Сколько ручек можно купить? не больше 7
повыш.Ручек нужно не меньше 3. Наибольшее число тетрадей? 10

R02.9

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаПринадлежит ли $(1; - 2)$ множеству решений $2 x - y \geq 5$ ? нет
базаИзобразите $y < 2 x - 4$ ниже прямой, штрих
базаЗапишите: круг с центром $(0; 3)$ , $r = 2$ , с окружностью $x^{2} + (y - 3)^{2} \leq 4$
повыш.Площадь фигуры $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 4$ $32$

Вариант 2

базаПринадлежит ли $(- 2; 1)$ множеству решений $x + 3 y \leq 1$ ? да
базаИзобразите $y \geq x^{2} - 1$ над параболой, сплошная
базаЗапишите: ниже прямой через $(0; 1)$ и $(1; 3)$ , без прямой $y < 2 x + 1$
повыш.Площадь фигуры $2∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 4$ $16$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 2 + 2 = 4 ≥ 5 — неверно, нет. 2) Прямая через (0; −4) и (2; 0) штрихом; O: 0 < −4 — неверно, часть без O — ниже. 3) $x^{2} + (y - 3)^{2} \leq 4$ . 4) Квадрат с диагоналями 8 и 8: S = 32.
В-2. 1) −2 + 3 = 1 ≤ 1 — да (точка на границе, знак нестрогий). 2) Вершина (0; −1), сплошная; O: 0 ≥ −1 — верно, часть с O — над параболой. 3) k = 2, b = 1: $y < 2 x + 1$ . 4) Вершины (±2; 0), (0; ±4), диагонали 4 и 8: S = 16.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда граница рисуется штрихом?
Как выбрать пробную точку?
Как найти радиус по неравенству круга?

Домашнее задание

Изобразите $2 x - y \geq 4$
Изобразите $x^{2} + y^{2} - 2 y < 3$
Площадь фигуры $∣ x - 2∣ + ∣ y + 1∣ \leq 3$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-034 · Решение неравенства с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 9/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.9 «Решение неравенства с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R02.8 → 3, 15 · R02.5 (модуль) → 10, 11 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-13 (решать неравенства) → 2–20 · ПР-14 (графические представления) → 12, 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · ПР-17 (парабола, график) → 7, 8 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы неравенств с двумя переменными и их графическое решение — ALG9U-035, ALG9U-036
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение неравенствас двумяпеременными

Сегодня вы научитесь

Изображать решения

Работать с кривыми

Решать обратную задачу

Применять

Точки, прямые, параболы, окружности

Прямая делит плоскость на две полуплоскости

Как решить 2x−3y<6, не выражая y

Изобразите множество решений

Сам: какая часть плоскости?

Граница — график или окружность: метод тот же

Изобразите множество решений

Сам: какая часть плоскости?

Изобразите множество решений

Сам: опишите множество

Решим ∣x∣+∣y∣≤2 и найдём площадь

Изобразите множество и найдите площадь

Сам

Запишите неравенство, множество решений которого…

Сам

Три ошибки, из-за которых закрашивают не то

Делили на минус

Не та граница

Радиус = r2

Ученик описал множества решений. Где ошибки?

Задача 1. 6−3y≤x

Задача 2. (x+1)2+y2>4

Принадлежит ли точка? Какая часть плоскости?

Произведения, площади, целые точки

Установите соответствие: неравенство → рисунок

Тетрадь стоит 40 ₽, ручка — 60 ₽, есть 600 ₽

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-034 · Решение неравенства с двумя переменными

Решение неравенства
с двумя
переменными

Как решить $2 x - 3 y < 6$ , не выражая $y$

Решим $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ и найдём площадь

Радиус = $r^{2}$

Задача 1. $6 - 3 y \leq x$

Задача 2. $(x + 1)^{2} + y^{2} > 4$