Квадратные неравенства · урок 8 из 15

Неравенство
с двумя
переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 8/15, единица R02.8 «Неравенство с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-032 — текстовые задачи с помощью неравенств; следующий ALG9U-034 — решение неравенства с двумя переменными (окружность, модуль, произведение).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие) 2 · 6 (идея: выше и ниже прямой) 2,5 · 7 (метод пробной точки, пример учителя) 2,5 · 10 (над и под графиком) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 8, 9, 11, 12) 2 + 3 + 2,5 + 2,5 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 4 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

неравенство с двумя переменными; проверять, является ли пара $(x; y)$ решением (ПР-13)

Изображать

множество решений: полуплоскость, область над или под графиком (ПР-17)

Читать рисунок

записывать неравенство по области на плоскости (ПР-14)

Исследовать

задачи с параметром и в целых числах, модели из жизни (ПР-13, ПР-16)

1 мин · теория
Вид деятельности ФРП по строке R02: «Распознавать неравенство с двумя переменными. Применять графический метод решения систем неравенств с двумя переменными» — сегодня первая часть, системы — ALG9U-035.
ПР-13 (дословно): «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции…» — область над графиком. ПР-14: исследования с применением графических представлений. ПР-16: модель реальной ситуации.

разминка · R02.1, R02.6

Разминка · устно

Подстановка, прямая, парабола

3 x + y

при

x = 2, y = - 1

5

5 > 5

верно?

нет

(1; - 1)

на прямой

y = 2 x - 3

?

да

- 2 y > 6

выразите

y

y < - 3

3 x + y \leq 4

выразите

y

y \leq 4 - 3 x

O (0; 0)

и

y = x - 2

точка выше или ниже?

выше

x^{2} - 4 < 0

решите

- 2 < x < 2

y = x^{2} - 2 x

вершина параболы

(1; - 1)

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 6 − 1 = 5. 2) Нет: строгое неравенство при равенстве неверно — понадобится для точек на границе. 3) 2 · 1 − 3 = −1 — да. 4) Делим на −2, знак меняется: y < −3.
5) y ≤ 4 − 3x. 6) При x = 0 прямая проходит через y = −2, а у точки O y = 0 > −2 — выше. 7) x² < 4 ⇔ −2 < x < 2 (урок ALG9U-028). 8) x₀ = −b/2a = 1, y₀ = 1 − 2 = −1.
Карточки 1–3 — к проверке пары (сл. 5); 4–6 — к полуплоскости (сл. 6–8); 7–8 — к области под параболой (сл. 11).

R02.8

Новое понятие

Неравенство с двумя переменными

x + y > 3, y \leq x^{2}, x y \geq 1

Решение — пара чисел

(x; y)

, при которой неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — найти множество всех его решений. На плоскости это область.

Неравенства с одним и тем же множеством решений — равносильные.

$x + y > 3$ : какие точки — решения?

2 мин · теория
Общий вид: f(x; y) > 0 (знаки >, <, ≥, ≤). В паре первым пишем x, вторым y — порядок важен.
По рисунку (клик): зелёные точки (1; 3), (2; 2), (4; 1), (3; 3) — решения (4 > 3, 4 > 3, 5 > 3, 6 > 3); красные (−0,5; 2,5), (1; 1), (2; −0,5) — нет (2 < 3, 2 < 3, 1,5 < 3); полая (3; 0): 3 > 3 неверно — не решение, хотя лежит на прямой x + y = 3.
Вопрос классу: сколько решений у x + y > 3? (Бесконечно много — их не перечисляют, а изображают.) Следующий клик — все решения закрашены: полуплоскость над прямой (объяснение — сл. 6).
Равносильные: x + y > 3 и y > 3 − x; 2x + 2y > 6. Переносы и умножение на положительное число дают равносильное неравенство; на отрицательное — с заменой знака.

R02.8

Образец → сам · проверка пары

Является ли пара решением неравенства?

Образец

$(- 1; 2)$ и $x^{2} - 3 x y + y^{2} > 10$

$x = - 1, y = 2$ первое число — $x$

$1 - 3 \cdot (- 1) \cdot 2 + 4 = 11$ подстановка

$11 > 10$ — верно значит, решение

Сам

база $(2; - 3)$ и $2 x - y \leq 7$ да: $7 \leq 7$
база $(- 2; 1)$ и $y > x^{2} - 3$ нет: $1 > 1$ неверно
повыш.Подберите решение $3 x - 4 y > 12$ с $x = 0$ любое $y < - 3$ , например $(0; - 4)$

R02.8

Идея · прямая делит плоскость

Выше прямой и ниже прямой

граница: $y = k x + b$

$y > k x + b$ — выше прямой

$y < k x + b$ — ниже прямой

>

,

<

— граница пунктиром (не входит);

\geq

,

\leq

— сплошная (входит)

2,5 мин · теория
Обоснование (клик 1): возьмём вертикаль x = 2. Точка прямой на ней: y = 0,5 · 2 + 1 = 2. Точки вертикали выше неё имеют y > 2 (например, (2; 3): 3 > 2), ниже — y < 2 (точка (2; 0)). Так на каждой вертикали x = x₀: выше точки (x₀; kx₀ + b) — y > kx₀ + b.
Клик 2: все точки с y > 0,5x + 1 — полуплоскость над прямой. Клик 3: y < 0,5x + 1 — под прямой. Сама прямая — y = 0,5x + 1.
Плоскость = полуплоскость выше ∪ прямая ∪ полуплоскость ниже. Вертикальная граница x = a: x > a — правее, x < a — левее.

R02.8

Алгоритм · метод пробной точки

Изображаем множество решений

Знак → « $=$ », строим границу: сплошная при $\geq$ , $\leq$ , пунктир при $>$ , $<$
Берём пробную точку не на границе (удобно $O (0; 0)$ )
Верно — закрашиваем её сторону, неверно — другую

Пример учителя: $2 x + y \leq 4$

граница $2 x + y = 4$ : $(0; 4)$ , $(2; 0)$ , сплошная

$O$ : $0 \leq 4$ — верно ⇒ сторона с точкой $O$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Метод работает и тогда, когда y не выражается удобно (x = 3, 2x − 5y ≥ 0, на следующем уроке — x² + y² < 9): граница делит плоскость на части, в каждой части знак выражения один и тот же.
2x + y ≤ 4 ⇔ y ≤ −2x + 4 — «ниже прямой», то же даёт пробная точка. Проверка ещё одной точкой: (3; 3): 6 + 3 = 9 ≤ 4 — неверно, точка выше прямой и не закрашена ✓.
Если граница проходит через O (например, y = 3x), пробной берут другую точку: (1; 0) или (0; 1).

R02.8

Образец → сам · полуплоскость

Выразите $y$ — и область видна сразу

Образец: $x - 2 y > 2$

$- 2 y > 2 - x$

$y < 0, 5 x - 1$

делили на $- 2$ — знак сменился

ниже, пунктир

Сам: где область, какая граница?

база $y \geq 3 x - 2$ выше, сплошная
база $x + y < 5$ ниже, пунктир
база $3 x - y \leq 6$ выше $y = 3 x - 6$ , сплошная
повыш. $4 - 2 x > 0$ левее $x = 2$ , пунктир

3 мин · практика
Образец: граница y = 0,5x − 1 через (0; −1) и (2; 0). Проверка точкой O: 0 − 0 = 0 > 2 — неверно; O выше прямой — значит, закрашиваем нижнюю сторону ✓.
1) Выше прямой y = 3x − 2, сплошная. 2) y < 5 − x — ниже, пунктир. 3) −y ≤ 6 − 3x ⇔ y ≥ 3x − 6 — выше, сплошная (умножили на −1, знак сменился); проверка O: 0 ≤ 6 — верно, O выше прямой ✓. 4) −2x > −4 ⇔ x < 2: левее вертикальной прямой x = 2, пунктир; y — любой.
В 4) переменная y в записи отсутствует — это всё равно неравенство с двумя переменными: (1; 100) — решение, (3; 0) — нет.

R02.8

Образец → сам · обратная задача

По рисунку запишите неравенство

Образец

$y = - \frac{2}{3} x + 2$ через $(0; 2)$ и $(3; 0)$

ниже, сплошная: $\leq$

$2 x + 3 y \leq 6$ × 3

Сам

1

2

3

$y > x + 1$
$x \geq - 1$
повыш. $2 x + y \leq 2$

R02.8

Правило · граница — график функции

Над графиком и под графиком

граница: график $y = f (x)$

$y > f (x)$ — над графиком

$y < f (x)$ — под графиком

Обоснование то же: на вертикали

x = x_{0}

сравниваем

y

с

f (x_{0})

y

не выражается (

x^{2} + y^{2} < 9

) — пробная точка

R02.8

Образец → сам · граница — парабола

Выразите $y$ , постройте график, выберите сторону

Образец: $y - x^{2} + 2 x \leq 0$

$y \leq x^{2} - 2 x$

вершина $(1; - 1)$ , нули $0$ и $2$

$(1; 1)$ : $2 \leq 0$ — неверно

под параболой, сплошная

Сам

база $x^{2} - y > 1$ : где область? под $y = x^{2} - 1$ , пунктир
база $(3; 4)$ — решение $y > x^{2} - 4 x + 1$ ? да: $4 > - 2$
повыш. $y \geq ∣ x ∣ - 2$ : где область? над «галочкой», сплошная

R02.8 · ПР-13

Образец → сам · параметр и целые решения

При каких значениях параметра точка — решение?

Образец: при каких $a$ точка $A (a; 2 a)$ — решение $y > x^{2} - 3$ ?

$2 a > a^{2} - 3$ подставили

$(a - 3) (a + 1) < 0$

$- 1 < a < 3$

Сам

базаПри каких $b$ пара $(2; b)$ — решение $3 x - 2 y \geq 4$ ? $b \leq 1$
повыш.При каких $c$ точка $(1; 2)$ — решение $y < x^{2} + c$ ? $c > 1$
повыш.Сколько решений в натуральных числах у $2 x + 3 y < 12$ ? $7$

3 мин · практика
Образец: a² − 2a − 3 < 0, корни −1 и 3, ветви вверх ⇒ −1 < a < 3. Граничные значения: a = −1 — точка (−1; −2) лежит на параболе (−2 > −2 неверно), a = 3 — (3; 6) на параболе (6 > 6 неверно) — не входят. Рисунок (клик): точки A лежат на прямой y = 2x; решения — часть прямой над параболой, между точками пересечения.
1) 6 − 2b ≥ 4 ⇔ b ≤ 1; при b = 1: 6 − 2 = 4 ≥ 4 — входит. 2) 2 < 1 + c ⇔ c > 1; при c = 1: 2 < 2 неверно — не входит.
3) Перебор по y: y = 1: 2x < 9, x = 1…4 (4 пары); y = 2: 2x < 6, x = 1, 2 (2 пары); y = 3: 2x < 3, x = 1 (1 пара); y ≥ 4: 3y ≥ 12 — нет. Итого 7 (проверено перебором в python). Геометрически — целые точки внутри треугольника под прямой 2x + 3y = 12.

R02.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Делили на минус

$4 - 2 y > 0 \Rightarrow y > 2$

при делении на $- 2$ знак меняется

$y < 2$ — ниже прямой $y = 2$

Граница при строгом знаке

$y > x + 2$ : точка $(1; 3)$ — решение

$3 > 3$ — неверно, граница не входит

не решение; граница — пунктир

Пробная точка на границе

$y \geq 2 x$ : $O$ : $0 \geq 0$ ⇒ «сторона с $O$ »

$O$ лежит на прямой $y = 2 x$

$(1; 0)$ : $0 \geq 2$ неверно ⇒ выше прямой

R02.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Изобразите $3 x - 2 y \geq 6$

$- 2 y \geq 6 - 3 x$

$y \geq 1, 5 x - 3$ — выше прямой,

прямая пунктиром

Ошибка 1: ÷ $(- 2)$ ⇒ $y \leq 1, 5 x - 3$ , ниже

Ошибка 2: знак $\geq$ ⇒ прямая сплошная

2. $(- 1; 2)$ — решение $y \geq x^{2} - 2 x$ ?

$x^{2} - 2 x = 1 - 2 = - 1$

$2 \geq - 1$ — верно, да

Ошибка: $- 2 \cdot (- 1) = + 2$ , значение $1 + 2 = 3$

$2 \geq 3$ — неверно: не решение

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) Верно: y ≤ 1,5x − 3, область ниже сплошной прямой через (0; −3) и (2; 0). Проверка точкой O: 0 − 0 ≥ 6 неверно; O выше прямой (при x = 0 на прямой y = −3) — значит, закрашена нижняя сторона ✓. Пробная точка сразу поймала бы ошибку ученика.
2) x² − 2x при x = −1: 1 + 2 = 3; 2 ≥ 3 — неверно. Типичная ошибка знаков при подстановке отрицательного числа — подставлять в скобках: (−1)² − 2 · (−1).

R02.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Решение ли пара?

$(3; - 2)$ , $x^{2} + y^{2} \leq 13$ да
$(- 1; - 4)$ , $y > 3 x - 1$ нет
$(0; 0)$ , $5 x - 3 y < - 2$ нет

Где область, какая граница?

$2 x + y < 3$ ниже, пунктир
$x - y \leq 1$ выше, сплошная
$y \geq x^{2} - 4$ над параболой, сплошная

R02.8 · ПР-13, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько целых решений у $x^{2} + y^{2} < 5$ ? $13$
повыш.При каких $a$ пара $(a; a)$ — решение $y < x^{2} - 2$ ? $a < - 1$ или $a > 2$
повыш.Запишите неравенство: над прямой через $(- 1; 0)$ и $(1; 4)$ , прямая входит $y \geq 2 x + 2$
повыш.Решите неравенство $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 5 \leq 0$ $(- 1; 2)$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с множеством решений $y \leq 4 x - x^{2}$ ? $m > 4$

2,5 мин · практика
1) x² + y² ≤ 4 в целых: (0; 0); (±1; 0), (0; ±1); (±1; ±1); (±2; 0), (0; ±2) — 1 + 4 + 4 + 4 = 13 (перебор в python).
2) a < a² − 2 ⇔ a² − a − 2 > 0 ⇔ (a − 2)(a + 1) > 0: a < −1 или a > 2; при a = −1 и a = 2 — равенство, не входят.
3) k = (4 − 0)/(1 + 1) = 2, b = 2: y ≥ 2x + 2. 4) (x + 1)² + (y − 2)² ≤ 0 — сумма квадратов не отрицательна, равна нулю только при x = −1, y = 2: единственное решение. (Со знаком < решений нет.)
5) Множество решений — под параболой y = 4x − x² с вершиной (2; 4) (сплошная). Наибольшее значение y на нём — 4; прямая y = m при m ≤ 4 пересекает область (например, в точке (2; m)), при m > 4 — нет. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R02.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11 (на соответствие)

Установите соответствие: неравенство → область

А) $y > x^{2} - 2$ 3
Б) $y < 2 - x^{2}$ 4
В) $x^{2} - y > 2$ 2

1

2

3

4

2 мин · практика
Ответ: А — 3, Б — 4, В — 2 (запись в бланк: 342).
А) Над параболой y = x² − 2 (ветви вверх, вершина (0; −2)). Б) Под параболой y = 2 − x² (ветви вниз, вершина (0; 2)). В) −y > 2 − x² ⇔ y < x² − 2 — под параболой с ветвями вверх. Рисунок 1 (над параболой y = 2 − x²) — лишний: y > 2 − x².
Во всех неравенствах знак строгий — границы пунктирные. Проверка точкой O: А) 0 > −2 верно — O закрашена на рис. 3 ✓; Б) 0 < 2 верно — рис. 4 ✓; В) 0 > 2 неверно — O не закрашена на рис. 2 ✓.

R02.8 · ПР-16

Задача из жизни

Ручка — 30 ₽, тетрадь — 50 ₽, есть 300 ₽

практика $x$ ручек и $y$ тетрадей: неравенство? $30 x + 50 y \leq 300$
практикаХватит на 5 ручек и 3 тетради? да
практикаКупили 2 ручки. Сколько тетрадей можно ещё? не больше $4$
повыш.Сколько вариантов покупки, если взять хотя бы по одной? $23$

R02.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $(2; - 1)$ — решение $x^{2} - 3 y > 7$ ? нет
базаОбласть $3 x - y < 2$ и граница? выше, пунктир
база $(1; - 5)$ — решение $y \leq x^{2} - 2 x - 3$ ? да
повыш.При каких $a$ пара $(a; 3)$ — решение $y > x^{2} - 1$ ? $- 2 < a < 2$

Вариант 2

база $(- 1; 2)$ — решение $x^{2} + 2 y \geq 5$ ? да
базаОбласть $2 x + y \geq 4$ и граница? выше, сплошная
база $(- 1; - 3)$ — решение $y > x^{2} + 4 x$ ? нет
повыш.При каких $a$ пара $(a; - 2)$ — решение $y \leq 2 - x^{2}$ ? $- 2 \leq a \leq 2$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 4 + 3 = 7; 7 > 7 — неверно, нет. 2) −y < 2 − 3x ⇔ y > 3x − 2 — выше, пунктир. 3) 1 − 2 − 3 = −4; −5 ≤ −4 — да. 4) 3 > a² − 1 ⇔ a² < 4 ⇔ −2 < a < 2; при a = ±2: 3 > 3 неверно — концы не входят.
В-2. 1) 1 + 4 = 5 ≥ 5 — да. 2) y ≥ 4 − 2x — выше, сплошная. 3) 1 − 4 = −3; −3 > −3 — неверно, нет. 4) −2 ≤ 2 − a² ⇔ a² ≤ 4 ⇔ −2 ≤ a ≤ 2; при a = ±2: −2 ≤ −2 верно — концы входят.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое решение неравенства с двумя переменными?
Когда граница рисуется пунктиром?
Как выбрать сторону без выражения $y$ ?

Домашнее задание

Изобразите $2 x - 3 y < 6$ и $y \geq x^{2} - 4 x + 3$
Сколько решений в натуральных числах у $3 x + 4 y \leq 20$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-033 · Неравенство с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 8/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.8 «Неравенство с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R02.1, R02.6 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 8, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-13 (неравенства, в т. ч. в целых числах) → 2, 5, 12, 16, 18 · ПР-17 (функция, график) → 6–11, 17 · ПР-14 (исследования с графическими представлениями) → 9, 12, 16 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · ПР-8 (линейные и квадратные неравенства) → 3, 12, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	окружность и круг, модуль, произведение — ALG9U-034 (R02.9); системы неравенств с двумя переменными — ALG9U-035, R02.10–R02.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенствос двумяпеременными

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Изображать

Читать рисунок

Исследовать

Подстановка, прямая, парабола

Неравенство с двумя переменными

x+y>3: какие точки — решения?

Является ли пара решением неравенства?

Образец

Сам

Выше прямой и ниже прямой

Изображаем множество решений

Пример учителя: 2x+y≤4

Выразите y — и область видна сразу

Образец: x−2y>2

Сам: где область, какая граница?

По рисунку запишите неравенство

Образец

Сам

Над графиком и под графиком

Выразите y, постройте график, выберите сторону

Образец: y−x2+2x≤0

Сам

При каких значениях параметра точка — решение?

Образец: при каких a точка A(a;2a) — решение y>x2−3?

Сам

Неверно → почему → верно

Делили на минус

Граница при строгом знаке

Пробная точка на границе

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Изобразите 3x−2y≥6

2. (−1;2) — решение y≥x2−2x?

Решите и проверьте

Решение ли пара?

Где область, какая граница?

Подумайте и решите

Установите соответствие: неравенство → область

Ручка — 30 ₽, тетрадь — 50 ₽, есть 300 ₽

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-033 · Неравенство с двумя переменными

Неравенство
с двумя
переменными

$x + y > 3$ : какие точки — решения?

Пример учителя: $2 x + y \leq 4$

Выразите $y$ — и область видна сразу

Образец: $x - 2 y > 2$

Выразите $y$ , постройте график, выберите сторону

Образец: $y - x^{2} + 2 x \leq 0$

Образец: при каких $a$ точка $A (a; 2 a)$ — решение $y > x^{2} - 3$ ?

1. Изобразите $3 x - 2 y \geq 6$

2. $(- 1; 2)$ — решение $y \geq x^{2} - 2 x$ ?