Квадратные неравенства · урок 7 из 15

Текстовые задачи
с помощью неравенств
и их систем

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 7/15, единица R02.7 «Решение текстовых задач с помощью неравенств, систем неравенств». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-031 — системы неравенств с одной переменной; следующий ALG9U-033 — неравенство с двумя переменными.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (перевод условия) 2 · 5 (алгоритм, демонстрация) 2 · 7 (два условия — система) 2 · 9 (квадратная модель и смысл) 2 · 11 (движение и работа) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — ответ демонстрационной задачи сл. 5: x ≤ 9 7/9, наибольшее целое — 9.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задачу 2 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

«не более», «хотя бы», «от … до» — на язык знаков $\leq$ , $\geq$ , $<$ , $>$ (ПР-16)

Составлять систему

по двум требованиям условия и находить пересечение (ПР-15, ПР-12)

Решать квадратные модели

площадь, движение, работа: дробь → квадратное неравенство (ПР-15, ПР-8)

Отбирать ответ по смыслу

целые, положительные, наибольшее или наименьшее (ПР-13, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-15 (ФРП дословно): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте».
Опора: ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов), ПР-12 (системы неравенств), ПР-13 (решения в целых числах).
Вид деятельности ФРП по строке: «Осваивать и применять неравенства при решении различных задач, в том числе практико-ориентированных».

разминка · R02.3, R02.6

Разминка · устно

Запишите знаком и решите

«

x

не более

50

»

запишите

x \leq 50

«

x

не менее

3

»

запишите

x \geq 3

«

x

превышает

12

»

запишите

x > 12

7 x < 100

наибольшее целое

x

14

x > 2

и

x \leq 5

целые решения

3; 4; 5

3 x - 6 > 0

решите

x > 2

x^{2} < 16

решите

(- 4; 4)

x (x - 5) \leq 0

решите

[0; 5]

R02.7

Новый материал · перевод условия

Слова условия → знак неравенства

В условии	Знак	Пример
больше, превышает, дороже, дольше	$>$	скорость превышает $60$ : $v > 60$
не меньше, не менее, хотя бы, как минимум	$\geq$	не менее $15$ баллов: $s \geq 15$
меньше, дешевле, не хватит, не успеет	$<$	меньше чем за $2$ ч: $t < 2$
не больше, не более, хватит, самое большее	$\leq$	денег хватит: $30 x \leq 700$
от … до …, два требования сразу	система	от $48$ до $60$ : $48 \leq v \leq 60$

«Не больше» и «меньше» — разные знаки: в первом случае граница входит в ответ

R02.7

Новый материал · алгоритм

Задача на неравенство — четыре шага

R02.7

Образец → сам · одно условие

Линейное неравенство и целый ответ

Образец

Тариф А: $300$ р. в месяц и $2$ р. за минуту. Тариф Б: $600$ р. без ограничений. При каком числе минут Б выгоднее?

$x \in N$ $x$ — минут в месяц

$300 + 2 x > 600$ А дороже Б

$x > 150$ решаем

$x \geq 151$ ответ: от $151$ минуты

Сам

базаТакси: посадка $150$ р., $30$ р. за км. У Пети $700$ р. Сколько целых км он может проехать? не более $18$ км
базаЛифт выдерживает $600$ кг. Лифтёр весит $80$ кг, ящик — $45$ кг. Сколько ящиков можно взять? не более $11$
повыш.А: $450$ р. и $2$ р./мин; Б: $150$ р. и $5$ р./мин. Когда А выгоднее? от $101$ минуты

R02.7 · R02.6

Новый материал · два условия — система

Два требования сразу — пересечение решений

{5 x > 12 2 x \leq 12 \Leftrightarrow {x > 2, 4 x \leq 6

Условия связаны «и» — система, ответ — общая часть

Отбор:

x \in N

— числа

3; 4; 5; 6

R02.7 · R02.6

Образец → сам · система неравенств

Два условия — система, ответ — пересечение

Образец

Натуральное число удвоили и вычли $5$ — получилось больше $17$ . Утроили и прибавили $4$ — меньше $43$ . Какое это число?

${2 x - 5 > 17 3 x + 4 < 43$ $x \in N$

${x > 11 x < 13$ каждое решаем отдельно

$x = 12$ единственное натуральное

Сам

базаРучка стоит целое число рублей. $4$ ручки дешевле $150$ р., а $7$ ручек дороже $240$ р. Сколько может стоить ручка? $35$ , $36$ или $37$ р.
базаДве стороны треугольника — $7$ и $12$ см, третья — целое число см. Сколько вариантов? $13$
повыш.Автобус проходит $120$ км не менее чем за $2$ ч и не более чем за $2, 5$ ч. Какова скорость? $48 \leq v \leq 60$ км/ч

R02.7 · R02.3–R02.4

Новый материал · квадратная модель

Модель квадратная — метод интервалов, потом смысл

Одна сторона прямоугольника на $4$ см больше другой. При каких $x$ (меньшая сторона) площадь меньше $60$ см $^{2}$ ?

$x (x + 4) < 60, x > 0$

$(x + 10) (x - 6) < 0$

По смыслу: длина, площадь, время, скорость

> 0

; количество — натуральное

R02.7 · R02.3

Образец → сам · квадратное неравенство

Составили — решили методом интервалов — отобрали

Образец

Произведение двух последовательных натуральных чисел меньше $90$ . Сколько таких пар?

$n (n + 1) < 90$ $n, n + 1$ ; $n \in N$

$n^{2} + n - 90 < 0$ корни $- 10$ и $9$

$- 10 < n < 9$ между корнями

$n = 1, \dots, 8$ ответ: $8$ пар

Сам

базаВысота мяча $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Сколько секунд он выше $15$ м? $2$ с
базаОдна сторона прямоугольника на $3$ см больше другой, площадь не больше $40$ см $^{2}$ . Меньшая сторона? $0 < x \leq 5$ см
повыш.У квадрата со стороной $x$ одну сторону увеличили на $3$ , другую уменьшили на $2$ . Площадь не меньше $24$ . При каких $x$ ? $x \geq 5$

R02.7

Новый материал · движение и работа

Время — дробь; умножаем на положительный знаменатель

t = \frac{s}{v}, t = \frac{A}{p}

Движение по реке

по течению $v + u$ , против $v - u$ , причём $v > u$

«Сократится на»

$t_{1} - t_{2} > 1$ : старое время минус новое

Почему можно умножить

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 5} > 1, v > 0$

$v (v + 5) > 0$ — знак неравенства сохраняется

$60 (v + 5) - 60 v > v (v + 5)$

Знаменатель может быть отрицательным? Тогда сначала метод интервалов для дроби

2 мин · теория
Модели: путь s = vt, работа A = pt (p — производительность). Время — дробь с переменной в знаменателе. По смыслу знаменатели (скорость, производительность) положительны, поэтому умножение на них не меняет знак неравенства.
Продолжение демонстрации: 300 > v² + 5v — квадратное неравенство; решаем на сл. 12.
В общем случае (знаменатель может быть любого знака) умножать на него нельзя — дробь переносят в одну часть и решают методом интервалов.

R02.7

Образец → сам · движение и работа

Дробное неравенство → квадратное

Образец

До посёлка $60$ км. Если ехать на $5$ км/ч быстрее, время сократится более чем на $1$ ч. Какова скорость?

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 5} > 1$ $v > 0$

$v^{2} + 5 v - 300 < 0$ $\cdot v (v + 5) > 0$

$(v + 20) (v - 15) < 0$ корни $- 20; 15$

$0 < v < 15$ ответ, км/ч

Сам

базаПешеход проходит $12$ км меньше чем за $3$ ч. Какова его скорость? $v > 4$ км/ч
повыш. $120$ деталей. Если делать в день на $2$ больше, работа закончится не менее чем на $2$ дня раньше. Наибольшая производительность? $10$ деталей в день
повыш.Течение $2$ км/ч. Лодка проходит $24$ км по течению и обратно не более чем за $5$ ч. Наименьшая собственная скорость? $10$ км/ч

R02.7

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли смысл

$x (x + 4) < 60$ , $x$ — сторона: $- 10 < x < 6$

$0 < x < 6$

длина положительна — пересечь с $x > 0$

Округлили вверх

$30 x \leq 700$ , $x \leq 23, 3$ — «можно $24$ поездки»

наибольшее целое: $23$

$24 > 23, 3$ — не удовлетворяет неравенству

Не тот знак

«набрать не менее $15$ баллов»: $s > 15$

$s \geq 15$

«не менее» — граница входит

R02.7

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Течение $3$ км/ч. Против течения лодка проходит $18$ км не дольше чем за $2$ ч. Наименьшая собственная скорость?

$\frac{18}{v + 3} \leq 2$ , $18 \leq 2 v + 6$ , $v \geq 6$

Ответ: $6$ км/ч

Ошибка: против течения скорость $v - 3$

$\frac{18}{v - 3} \leq 2, v > 3$ : $v \geq 12$ ; ответ $12$ км/ч

2. При каком наибольшем натуральном $n$ произведение $n (n + 1)$ не больше $56$ ?

$n^{2} + n - 56 \leq 0$ , $(n + 8) (n - 7) \leq 0$

$n \leq - 8$ или $n \geq 7$ — наибольшего нет

Ошибка: $\leq 0$ — между корнями: $- 8 \leq n \leq 7$

Ответ: $n = 7$ ( $7 \cdot 8 = 56$ )

R02.7

Задания с самопроверкой · база

Составьте неравенство или систему и ответьте на вопрос

Кофе $120$ р., круассан $90$ р. На $1000$ р. купили $2$ кофе. Сколько круассанов можно добавить? не более $8$
Натуральное $x$ : $3 x + 2 > 20$ и $2 x - 1 < 15$ . Найдите $x$ . $7$
Одна сторона прямоугольника $6$ см, периметр не больше $30$ см. Другая сторона? $0 < b \leq 9$ см

Площадь квадрата больше $16$ , но меньше $49$ см $^{2}$ . Сторона? $4 < x < 7$ см
Велосипедист проезжает $36$ км меньше чем за $3$ ч. Скорость? $v > 12$ км/ч
Оценки $4$ , $5$ , $3$ . Сколько пятёрок нужно ещё, чтобы средний балл был не меньше $4, 5$ ? не меньше $3$

R02.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Квадратные модели

повыш.Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел меньше $85$ . Сколько таких пар? $5$
повыш.Поезд идёт $300$ км. Если скорость увеличить на $10$ км/ч, время сократится не менее чем на $1$ ч. Скорость? $0 < v \leq 50$ км/ч

повыш.Сторона прямоугольника на $2$ больше другой, площадь от $24$ до $48$ включительно. Меньшая сторона? $4 \leq x \leq 6$
повыш.При цене билета $x$ р. продают $500 - 2 x$ билетов. При каких ценах выручка не меньше $30000$ р.? от $100$ до $150$ р.

R02.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача части 2 — полное решение

Первая труба пропускает на $3$ л в минуту меньше, чем вторая. Резервуар $180$ л первая заполняет более чем на $3$ мин дольше второй. Какой может быть пропускная способность второй трубы? больше $3$ и меньше $15$ л/мин
Автомобиль едет $240$ км. Если увеличить скорость на $20$ км/ч, он приедет более чем на $1$ ч раньше. Какой может быть скорость? меньше $60$ км/ч

2 балла: обозначение и ограничения по смыслу

неравенство и его решение

отбор по смыслу и ответ на вопрос задачи

3 мин · практика
1) x л/мин — вторая труба, x − 3 — первая, x > 3. 180/(x − 3) − 180/x > 3 ⇒ 540 > 3x(x − 3) ⇒ x² − 3x − 180 < 0; D = 9 + 720 = 729 = 27², корни 15 и −12 ⇒ −12 < x < 15; с x > 3: 3 < x < 15. Проверка x = 15: 15 − 12 = 3 мин — не «более чем на 3» ✓ (граница не входит).
2) v > 0: 240/v − 240/(v + 20) > 1 ⇒ 4800 > v² + 20v ⇒ (v + 80)(v − 60) < 0; с v > 0: 0 < v < 60. Проверка v = 60: 4 ч − 3 ч = 1 ч — ровно 1, не более ✓.
На ОГЭ задание 21 — 2 балла; 1 балл снимают за верный ход с вычислительной ошибкой, 0 — если нет обоснования шага «умножаем на положительный знаменатель» и отбора по смыслу.
Ученики решают задачу 1 полностью в тетради; задача 2 — для успевающих или в ДЗ.

R02.7 · ПР-16

Задача из жизни

Какую лампу купить: $60$ Вт за $50$ р. или $9$ Вт за $250$ р.?

Электроэнергия — $6$ р. за кВт·ч.

практикаПосле скольких часов работы светодиодная лампа выгоднее? от $654$ ч
практикаЛампа горит $4$ ч в день. Через сколько дней? через $164$ дня
повыш.Сколько сэкономим за $15000$ ч, если обычная служит $1000$ ч? $5090$ р.

R02.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаРазовое посещение бассейна $250$ р., абонемент $2000$ р. С какого числа посещений абонемент выгоднее? с $9$
базаНатуральное $x$ : $4 x - 3 > 25$ и $2 x + 5 < 23$ $8$
базаСторона прямоугольника на $5$ см больше другой, площадь меньше $36$ см $^{2}$ . Меньшая сторона? $0 < x < 4$ см
повыш. $30$ км; при скорости на $5$ км/ч больше время сократится не менее чем на $1$ ч. Скорость? $0 < v \leq 10$ км/ч

Вариант 2

базаРазовая тренировка $400$ р., абонемент $3000$ р. С какого числа тренировок абонемент выгоднее? с $8$
базаНатуральное $x$ : $5 x + 2 > 30$ и $3 x - 4 < 20$ $6$ или $7$
базаСторона прямоугольника на $2$ см больше другой, площадь не больше $35$ см $^{2}$ . Меньшая сторона? $0 < x \leq 5$ см
повыш. $48$ км; при скорости на $4$ км/ч больше время сократится более чем на $1$ ч. Скорость? $0 < v < 12$ км/ч

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 250x > 2000 ⇒ x > 8 ⇒ с 9-го (при 8 — поровну). 2) x > 7 и x < 9 ⇒ 8. 3) x(x + 5) < 36 ⇔ (x + 9)(x − 4) < 0; x > 0 ⇒ 0 < x < 4. 4) 30/v − 30/(v + 5) ≥ 1 ⇔ v² + 5v − 150 ≤ 0 ⇔ (v + 15)(v − 10) ≤ 0; v > 0 ⇒ 0 < v ≤ 10.
В-2. 1) 400x > 3000 ⇒ x > 7,5 ⇒ с 8-го. 2) x > 5,6 и x < 8 ⇒ 6 или 7. 3) x(x + 2) ≤ 35 ⇔ (x + 7)(x − 5) ≤ 0; x > 0 ⇒ 0 < x ≤ 5. 4) 48/v − 48/(v + 4) > 1 ⇔ v² + 4v − 192 < 0 ⇔ (v + 16)(v − 12) < 0; v > 0 ⇒ 0 < v < 12.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Ответ без отбора по смыслу (например, −9 < x < 4) — задание не засчитывается.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие четыре шага у задачи на неравенство?
Когда условие записывают системой?
Почему можно умножить на $v (v + 5)$ ?

Домашнее задание

Сколько натуральных $n$ : $n (n + 2) < 80$ ?
Лодка: собственная скорость $18$ км/ч, $40$ км по течению и обратно — не более $5$ ч. Какой может быть скорость течения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-032 · Решение текстовых задач с помощью неравенств, систем неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 7/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.7 «Решение текстовых задач с помощью неравенств, систем неравенств» → 2, 4–20 · опора R02.3–R02.4, R02.6 → 3, 7, 9 · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи с помощью неравенств и систем) → 4–20 · ПР-16 (математическая модель, интерпретация) → 4, 5, 9, 18 · ПР-12 (системы неравенств) → 7, 8, 15, 19 · ПР-13 (ограничения, целые числа) → 5–10, 15, 16 · ПР-8 (квадратные неравенства) → 9–12, 16, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенство с двумя переменными — ALG9U-033; графический метод для систем с двумя переменными — R02.10–R02.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Текстовые задачис помощью неравенстви их систем

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

Составлять систему

Решать квадратные модели

Отбирать ответ по смыслу

Запишите знаком и решите

Слова условия → знак неравенства

Задача на неравенство — четыре шага

Линейное неравенство и целый ответ

Образец

Сам

Два требования сразу — пересечение решений

Два условия — система, ответ — пересечение

Образец

Сам

Модель квадратная — метод интервалов, потом смысл

Составили — решили методом интервалов — отобрали

Образец

Сам

Время — дробь; умножаем на положительный знаменатель

Движение по реке

«Сократится на»

Почему можно умножить

Дробное неравенство → квадратное

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли смысл

Округлили вверх

Не тот знак

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Течение 3 км/ч. Против течения лодка проходит 18 км не дольше чем за 2 ч. Наименьшая собственная скорость?

2. При каком наибольшем натуральном n произведение n(n+1) не больше 56?

Составьте неравенство или систему и ответьте на вопрос

Квадратные модели

Текстовая задача части 2 — полное решение

Какую лампу купить: 60 Вт за 50 р. или 9 Вт за 250 р.?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-032 · Решение текстовых задач с помощью неравенств, систем неравенств

Текстовые задачи
с помощью неравенств
и их систем

1. Течение $3$ км/ч. Против течения лодка проходит $18$ км не дольше чем за $2$ ч. Наименьшая собственная скорость?

2. При каком наибольшем натуральном $n$ произведение $n (n + 1)$ не больше $56$ ?

Какую лампу купить: $60$ Вт за $50$ р. или $9$ Вт за $250$ р.?