Квадратные неравенства · урок 6 из 15

Системы
неравенств
с одной переменной

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 6/15, единица R02.6 «Системы неравенств с одной переменной». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-030 — неравенства с модулем; следующий ALG9U-032 — текстовые задачи с помощью неравенств и систем.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие системы) 2 · 5 (четыре случая пересечения) 2 · 6 (алгоритм, система и совокупность) 2 · 8 (двойное неравенство) 1,5 · 10 (демонстрация: система с квадратным неравенством) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 9, 11, 12, 13) 3 + 2 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ линия 13 (сл. 18) 1,5 · ОГЭ линия 20 (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 4,5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ сильным ученикам; теорию не сокращать.

R02.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать системы неравенств

линейных и с квадратным неравенством — как пересечение множеств (ПР-12)

Изображать и записывать ответ

общая часть на координатной прямой, запись промежутками (ПР-12, ПР-8)

Решать двойные неравенства

со всеми тремя частями сразу или через систему (ПР-8)

Искать целые решения

и рассуждать с параметром на прямой (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП дословно): «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство, изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-8: «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах».
Вид деятельности ФРП по строке: «Изображать решение неравенства с одной переменной и системы неравенств на координатной прямой, записывать решение с помощью символов».

разминка · R02.3–R02.5

Разминка · устно

Решите неравенство или найдите общую часть

2 x - 6 > 0

решите

x > 3

- 3 x \leq 12

решите

x \geq - 4

x^{2} < 9

решите

(- 3; 3)

x^{2} - 4 x \geq 0

решите

x \leq 0

или

x \geq 4

(2; 7)

и

(5; + \infty)

общая часть

(5; 7)

(- \infty; 1]

и

[1; 4)

общая часть

{1}

(- 2; 3]

сколько целых чисел?

5

∣ x ∣ < 2

решите

(- 2; 2)

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2x > 6, x > 3. 2) Делим на −3 — знак меняется: x ≥ −4. 3) x² < 9 ⇔ −3 < x < 3. 4) x(x − 4) ≥ 0: x ≤ 0 или x ≥ 4 (парабола ветвями вверх, корни 0 и 4).
5) Общая часть (2; 7) и (5; +∞) — (5; 7). 6) Общая точка одна — 1 (оба конца закрашены). 7) Целые в (−2; 3]: −1, 0, 1, 2, 3 — пять (−2 не входит, 3 входит). 8) |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2 (прошлый урок).
Карточки 1–4 — решение каждого неравенства системы; 5–6 — пересечение (сегодняшняя идея); 7 — целые решения (сл. 12).

R02.6

Новое понятие · система неравенств

Неравенства должны выполняться одновременно

{x > 1 x \leq 4

Решение системы — значение

x

, при котором верно каждое неравенство

Решить систему — найти все решения или доказать, что их нет

$x = 2$ : $2 > 1$ и $2 \leq 4$ — решение

$x = 5$ : $5 > 1$ , но $5 \leq 4$ неверно — нет

Ответ: $(1; 4]$ — общая часть

R02.6

Схема · общая часть двух лучей

Четыре случая, которые встретятся всегда

{x > - 1 x < 3

(- 1; 3)

— промежуток

{x > - 1 x > 3

(3; + \infty)

— «больше большего»

{x < - 1 x > 3

нет общей части — решений нет

{x \geq 2 x \leq 2

одна точка:

x = 2

R02.6

Алгоритм · система и совокупность

Как решать систему и чем она отличается от совокупности

Решить каждое неравенство
Отметить решения на одной прямой (штриховки разные)
Взять общую часть
Проверить концы: строгий знак — точка пустая
Записать ответ промежутком

Система: «и» — общая часть

${x < 1 x > 3$

решений нет

Совокупность: «или» — объединение

$[x < 1 x > 3$

$(- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

R02.6 · ПР-12

Образец → сам · линейная система

Решите систему неравенств

Образец

${5 x - 2 > 3 x + 4 2 (x - 1) \leq x + 5$

$2 x > 6, x > 3$ первое

$2 x - 2 \leq x + 5, x \leq 7$ второе

Ответ: $(3; 7]$ общая часть

Сам

база ${2 x + 3 \geq 1 4 - x > 0$ $[- 1; 4)$
база $⎩ ⎨ ⎧ 3 (x - 2) < x + 4 \frac{x}{2} - 1 \geq \frac{x - 3}{3}$ $[0; 5)$
повыш. ${7 - 2 x > 3 5 x + 1 > 4 x + 6$ нет решений

R02.6

Правило · двойное неравенство

Двойное неравенство — это система

a < f (x) < b ⟺ {f (x) > a f (x) < b

x

только в середине, она линейна — действуем со всеми тремя частями; делим на отрицательное — оба знака меняем

x

в нескольких частях или есть

x^{2}

— пишем систему

$1 < x^{2} \leq 4 ⟺ {x^{2} > 1 x^{2} \leq 4$

$[- 2; - 1) \cup (1; 2]$

1,5 мин · теория
Почему можно со всеми частями: прибавление числа и умножение на положительное число сохраняют оба неравенства системы, на отрицательное — меняют оба знака. Пример: −3 ≤ 1 − 2x < 5 ⇒ −4 ≤ −2x < 4 ⇒ 2 ≥ x > −2, то есть (−2; 2].
Демонстрация справа: x² > 1 ⇔ x < −1 или x > 1 (фиолетовая штриховка — два луча); x² ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 (бирюзовая). Общая часть — два промежутка: [−2; −1) ∪ (1; 2].
Ошибка: «извлечь корень из всех частей» и получить 1 < x ≤ 2 — теряется отрицательная половина.

R02.6 · ПР-8

Образец → сам · двойное неравенство

Решите двойное неравенство

Образец

$- 1 \leq \frac{3 - 2 x}{5} < 3$

$- 5 \leq 3 - 2 x < 15$ умножили на $5$

$- 8 \leq - 2 x < 12$ вычли $3$

$4 \geq x > - 6$ делим на $- 2$ , знаки меняем

Ответ: $(- 6; 4]$

Сам

база $- 4 < 3 x + 2 \leq 11$ $(- 2; 3]$
база $- 2 \leq 5 - x < 4$ $(1; 7]$
повыш. $x - 1 < 2 x + 3 \leq x + 7$ $(- 4; 4]$

R02.6 · опора R02.4

Демонстрация · система с квадратным неравенством

${x^{2} - x - 6 \geq 0 3 x + 12 > 0$

$x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$

$x \leq - 2$ или $x \geq 3$ по параболе

$x > - 4$ второе

Ответ: $(- 4; - 2] \cup [3; + \infty)$

2 мин · теория
Учитель решает сам у доски, класс отвечает на вопросы. Квадратное неравенство решаем как на уроках ALG9U-028–029: корни трёхчлена, эскиз параболы (ветви вверх), выбираем, где y ≥ 0.
Решение первого неравенства — совокупность двух лучей (фиолетовая штриховка), второго — луч x > −4 (бирюзовая). Пересекаем каждый луч отдельно: (−4; −2] и [3; +∞).
Проверка: x = −3: 9 + 3 − 6 = 6 ≥ 0 ✓, 3 > 0 ✓; x = 0: −6 ≥ 0 — нет ✓; x = −4: второе неверно (строгое) ✓.

R02.6 · ПР-12

Образец → сам · с квадратным неравенством

Решите систему неравенств

Образец

${x^{2} - 4 x - 5 < 0 2 x - 3 \geq 1$

$(x + 1) (x - 5) < 0$ : $- 1 < x < 5$

$2 x \geq 4, x \geq 2$ второе

Ответ: $[2; 5)$

Сам

база ${x^{2} - 9 \leq 0 x + 1 > 0$ $(- 1; 3]$
база ${x^{2} + 2 x - 8 > 0 5 - x \geq 0$ $(- \infty; - 4) \cup (2; 5]$
повыш. ${x^{2} - 3 x - 4 \leq 0 x^{2} - 4 > 0$ $(2; 4]$

R02.6 · ПР-13

Образец → сам · целые решения

Сначала промежуток, потом целые числа в нём

Образец

Сколько целых решений у системы ${4 x + 5 > 0 x^{2} - 2 x - 8 < 0$ ?

$x > - 1, 25$ ; $- 2 < x < 4$ каждое

$- 1, 0, 1, 2, 3$ — 5 чисел $4$ не входит

Сам

базаНаибольшее целое решение ${3 x - 2 < 13 x + 4 \geq 0$ $4$
повыш.Число целых решений ${x^{2} \leq 10 2 x + 3 > 0$ $5$
повыш.Сумма целых решений ${x^{2} - 6 x + 5 < 0 2 x - 3 \geq 0$ $9$

R02.6 · ПР-13

Образец → сам · параметр

При каких значениях $a$ …

Образец

…система ${x > a x \leq 3$ имеет решения?

$a < 3$ : решения $(a; 3]$ лучи навстречу

$a = 3$ : $x > 3, x \leq 3$ — нет граница

Ответ: $a < 3$

Сам

база… ${x \geq a x \leq 3$ имеет ровно одно решение? $a = 3$
база… ${x < a x \geq - 1$ не имеет решений? $a \leq - 1$
повыш.… ${x > a x^{2} - 4 x \leq 0$ имеет ровно два целых решения? $2 \leq a < 3$

3 мин · практика
Образец: «двигаем» точку a по прямой. Пока a левее 3, общая часть (a; 3] не пуста. При a = 3 и правее — пусто. Граничное значение проверяем отдельно — это главный приём задач с параметром.
1) a < 3 — отрезок [a; 3] (много решений); a = 3 — одна точка 3; a > 3 — нет. Ответ a = 3.
2) Решения [−1; a) пусты, если a ≤ −1. Граница a = −1: x < −1 и x ≥ −1 — нет решений, входит в ответ.
3) x² − 4x ≤ 0 ⇒ [0; 4], целые 0, 1, 2, 3, 4. Нужно ровно два: 3 и 4 ⇒ 2 ≤ a < 3. Граница a = 2: (2; 4] — 3 и 4 ✓; a = 3: (3; 4] — только 4 ✗; a = 1,9: 2, 3, 4 ✗. Если не успеваете — в ДЗ.

R02.6

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Объединили вместо пересечения

${x < - 1 x > 3$ : $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

решений нет

система — «и»: нужна общая часть

Не сменили знаки

$- 6 < - 2 x < 4$ , $3 < x < - 2$

$3 > x > - 2$ , т. е. $(- 2; 3)$

делим на $- 2$ — оба знака меняются

Потеряли луч

${x^{2} > 4 x < 5$ : $(2; 5)$

$(- \infty; - 2) \cup (2; 5)$

$x^{2} > 4$ — это $x < - 2$ или $x > 2$

R02.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите систему

${3 - 2 x \geq 7 x + 5 > 0$

$- 2 x \geq 4, x \geq - 2$ ; $x > - 5$

Ответ: $[- 2; + \infty)$

Ошибка: делили на $- 2$ без смены знака: $x \leq - 2$

Ответ: $(- 5; - 2]$

Задача 2. Целые решения

${x^{2} - x - 12 < 0 x \geq 0$

$(x - 4) (x + 3) < 0$ : $(- 3; 4)$ ; общая часть $(0; 4)$

Ответ: $1, 2, 3$

Ошибка: $x \geq 0$ — ноль входит: $[0; 4)$

Ответ: $0, 1, 2, 3$

R02.6

Задания с самопроверкой · база

Решите систему или двойное неравенство

${x - 3 > 0 x < 8$ $(3; 8)$
${2 x \geq - 6 5 - x > 0$ $[- 3; 5)$
${4 x - 1 \leq 3 x + 2 3 x + 4 > x$ $(- 2; 3]$

$- 3 \leq 2 x - 1 \leq 5$ $[- 1; 3]$
${x^{2} < 16 x \geq 1$ $[1; 4)$
${x > 4 x < 2$ нет решений

R02.6 · ПР-12, ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Два квадратных неравенства, модуль, корни

повыш. ${x^{2} - 7 x + 10 \leq 0 x^{2} - 9 > 0$ $(3; 5]$
повыш. ${x^{2} + x - 6 \geq 0 x^{2} - 16 < 0$ $(- 4; - 3] \cup [2; 4)$

повыш.Число целых решений ${(x + 2) (x - 5) < 0 ∣ x - 1∣ \geq 2$ $3$
повыш.Область определения
$y = 6 + x - x^{2} + 2 x - 1$ $[0, 5; 3]$

R02.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение системы неравенств

1) ${x + 2, 6 \leq 0 x + 5 \geq 1$ вариант 1

2) ${- 35 + 5 x < 0 6 - 3 x > - 3$ $(- \infty; 3)$

В бланк — номер верного варианта

1

2

3

4

R02.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему неравенств — с полной записью

${(x - 3)^{2} < 5 (x - 3) x^{2} - 16 \leq 0$ $(3; 4]$
${4 x^{2} - 4 x - 3 < 0 x (x - 2) \geq 0$ $(- 0, 5; 0]$

1: перенесите всё влево и вынесите

x - 3

; не делите на него

Сравните

3 + 5

и

4

Оформление: решение каждого → рисунок → ответ

R02.6

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база ${3 x - 5 > 1 x + 2 \leq 9$ $(2; 7]$
база $- 1 < 3 - 2 x \leq 7$ $[- 2; 2)$
база ${x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 2 x - 1 > 0$ $(0, 5; 3]$
повыш.Число целых решений ${x^{2} - 25 < 0 x^{2} - 4 x \geq 0$ $6$

Вариант 2

база ${2 x + 3 < 11 x - 1 \geq - 3$ $[- 2; 4)$
база $- 5 \leq 1 - 3 x < 4$ $(- 1; 2]$
база ${x^{2} + x - 6 < 0 3 x + 3 \geq 0$ $[- 1; 2)$
повыш.Число целых решений ${x^{2} - 16 \leq 0 x^{2} + 2 x > 0$ $6$

4,5 мин · практика
3,5 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x > 2, x ≤ 7. 2) −4 < −2x ≤ 4 ⇒ 2 > x ≥ −2: [−2; 2). 3) (x + 1)(x − 3) ≤ 0 ⇒ [−1; 3]; x > 0,5 ⇒ (0,5; 3]. 4) (−5; 5) ∩ (x ≤ 0 или x ≥ 4) = (−5; 0] ∪ [4; 5): целые −4, −3, −2, −1, 0, 4 — шесть.
В-2. 1) x < 4, x ≥ −2. 2) −6 ≤ −3x < 3 ⇒ 2 ≥ x > −1: (−1; 2]. 3) (x + 3)(x − 2) < 0 ⇒ (−3; 2); x ≥ −1 ⇒ [−1; 2). 4) [−4; 4] ∩ (x < −2 или x > 0) = [−4; −2) ∪ (0; 4]: целые −4, −3, 1, 2, 3, 4 — шесть.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены python (sympy, перебор целых).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем решение системы отличается от решения совокупности?
Когда двойное неравенство нельзя решать «всеми тремя частями»?
Какие концы промежутка входят в ответ?

Домашнее задание

${5 - 2 x > 1 3 x + 7 \geq 1$ и ${x^{2} - 6 x + 8 \leq 0 x^{2} - 9 < 0$
При каких $a$ система ${x > a x \leq 2 a + 1$ имеет решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-031 · Системы неравенств с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 6/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.6 «Системы неравенств с одной переменной» → 2, 4–21 · опора R02.3–R02.5 → 3, 10 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 7, 9, 11–13, 15–21)
Результаты	ПР-12 (системы линейных неравенств и с квадратным неравенством, изображение и запись) → 2, 4–7, 10, 11, 14–20 · ПР-8 (линейные и квадратные неравенства, числовая прямая) → 3, 8, 9 · ПР-13 (в целых числах) → 12, 13, 17, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	текстовые задачи с помощью систем неравенств — ALG9U-032; системы неравенств с двумя переменными — R02.10–R02.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Системынеравенствс одной переменной

Сегодня вы научитесь

Решать системы неравенств

Изображать и записывать ответ

Решать двойные неравенства

Искать целые решения

Решите неравенство или найдите общую часть

Неравенства должны выполняться одновременно

Четыре случая, которые встретятся всегда

Как решать систему и чем она отличается от совокупности

Система: «и» — общая часть

Совокупность: «или» — объединение

Решите систему неравенств

Образец

Сам

Двойное неравенство — это система

Решите двойное неравенство

Образец

Сам

{x2−x−6≥03x+12>0​

Решите систему неравенств

Образец

Сам

Сначала промежуток, потом целые числа в нём

Образец

Сам

При каких значениях a…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Объединили вместо пересечения

Не сменили знаки

Потеряли луч

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите систему

Задача 2. Целые решения

Решите систему или двойное неравенство

Два квадратных неравенства, модуль, корни

Укажите решение системы неравенств

Решите систему неравенств — с полной записью

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-031 · Системы неравенств с одной переменной

Системы
неравенств
с одной переменной

${x^{2} - x - 6 \geq 0 3 x + 12 > 0$

При каких значениях $a$ …