Квадратные неравенства · урок 5 из 15

Неравенства,
содержащие
знак модуля

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 5/15, единица R02.5 «Неравенства, содержащие знак модуля». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-029 — графический метод и метод интервалов; следующий ALG9U-031 — системы неравенств с одной переменной.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (геометрический смысл) 2 · 5 (графический метод) 2 · 7 (равносильные переходы с доказательством) 2 · 10 (несколько модулей — метод интервалов) 3 · 12 (модуль с двух сторон, особые случаи) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 9, 11, 13) 3 + 3 + 2 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть модуль как расстояние

решать $∣ x - a ∣ < r$ и $∣ x - a ∣ > r$ по числовой прямой и графику (ПР-8)

Снимать модуль равносильно

$∣ f ∣ < g$ — система, $∣ f ∣ > g$ — совокупность (ПР-8, ПР-13)

Решать с несколькими модулями

метод интервалов: нули подмодульных выражений, раскрытие на промежутках (ПР-8)

Оформлять задачу ОГЭ 20

полная запись решения и ответ промежутками (ПР-8, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…». ПР-16 — неравенство как модель реальной ситуации (сл. 19).
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать неравенства, содержащие знак модуля». Кодификатора у курса нет — цели только из результатов.

разминка · R02.4

Разминка · устно

Модуль и метод интервалов

∣ - 7∣

вычислите

7

∣3 - 5∣

вычислите

2

∣ x ∣ = 4

корни

\pm 4

∣ x ∣ = - 2

корни

нет

3

и

- 5

расстояние на прямой

8

∣ x - 2∣ = 0

корень

2

(x + 1) (x - 3) < 0

решите

(- 1; 3)

x^{2} < 4

решите

(- 2; 2)

R02.5

Новое · геометрический смысл

$∣ x - a ∣$ — расстояние от точки $x$ до точки $a$

∣ f ∣ < r \Leftrightarrow - r < f < r

∣ f ∣ > r \Leftrightarrow [f < - r f > r

Здесь

r > 0

— число

2 мин · теория
Вспоминаем: |a − b| — расстояние между точками a и b (разминка, карточка 5). Значит, |x − 2| < 3 — «точка x ближе чем на 3 к точке 2»: от 2 − 3 = −1 до 2 + 3 = 5, концы не входят (неравенство строгое). Ответ (−1; 5).
|x − 2| > 3 — «дальше чем на 3»: два луча x < −1 или x > 5. Квадратная скобка — «или» (совокупность), фигурная — «и» (система).
Общая запись: |f| < r ⇔ −r < f < r; |f| > r ⇔ f < −r или f > r (r > 0). При r ≤ 0 — особые случаи (сл. 12).
Вопрос классу: как изменится ответ для |x − 2| ≤ 3? (Концы войдут: [−1; 5].)

R02.5 · опора R02.4

Новое · графический метод

$∣ x - 1∣ \leq 2$ : где график $y = ∣ x - 1∣$ не выше прямой $y = 2$ ?

1) график $y = ∣ x - 1∣$ — «уголок» с вершиной $(1; 0)$

2) пересечения: $∣ x - 1∣ = 2$ , $x = - 1$ и $x = 3$

3) уголок ниже прямой между ними: $[- 1; 3]$

2 мин · теория
Связь с прошлым уроком (ALG9U-029): решить f(x) ≤ g(x) графически — найти x, при которых график f не выше графика g.
График y = |x − 1| — график y = |x|, сдвинутый на 1 вправо. Масштаб рисунка: 60 px на единицу, график точный.
Тот же ответ по расстоянию: точки, удалённые от 1 не больше чем на 2, — от −1 до 3. Концы входят: неравенство нестрогое, в точках пересечения |x − 1| = 2.
Вопрос: при каком c неравенство |x − 1| ≤ c имеет ровно одно решение? (c = 0, x = 1 — прямая касается вершины уголка.)

R02.5

Образец → сам · модуль меньше числа

Решите неравенство

Образец

$∣2 x - 3∣ \leq 5$

$- 5 \leq 2 x - 3 \leq 5$ $∣ f ∣ \leq r \Leftrightarrow - r \leq f \leq r$

$- 2 \leq 2 x \leq 8$ прибавили $3$ ко всем частям

$- 1 \leq x \leq 4$ разделили на $2 > 0$

Ответ: $[- 1; 4]$ проверка $x = 4$ : $∣5∣ = 5$

Сам

база $∣ x + 2∣ < 3$ $(- 5; 1)$
база $∣3 x - 1∣ \geq 8$ $(- \infty; - \frac{7}{3}] \cup [3; + \infty)$
повыш. $∣5 - 2 x ∣ > - 1$ $x$ — любое

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем 2 мин самостоятельно.
1) −3 < x + 2 < 3 ⇒ −5 < x < 1. По расстоянию: |x − (−2)| < 3 — точки ближе 3 к −2.
2) 3x − 1 ≥ 8 ⇒ x ≥ 3 или 3x − 1 ≤ −8 ⇒ x ≤ −7/3. Ответ: (−∞; −7/3] ∪ [3; +∞). Ошибка: записать «−8 ≥ 3x − 1 ≥ 8» — двойное неравенство здесь невозможно.
3) Модуль ≥ 0 > −1 при любом x. Ответ: x ∈ ℝ. Кто начал «раскрывать» — показать, что получится совокупность 5 − 2x > −1 или 5 − 2x < 1, то есть x < 3 или x > 2 — тоже все x.
Все ответы проверены программой (sympy).

R02.5

Новое · равносильные переходы

Правая часть — любое выражение $g (x)$

Неравенство	Равносильно	Запись
$∣ f ∣ < g$	${f < g f > - g$	система: «и»
$∣ f ∣ > g$	$[f > g f < - g$	совокупность: «или»

Почему верно

$∣ f ∣ = max (f; - f)$

максимум меньше $g$ ⇔ оба числа меньше $g$

максимум больше $g$ ⇔ хотя бы одно больше $g$

Знак

g

проверять не нужно: при

g \leq 0

система сама даст «нет решений»

2 мин · теория
Доказательство: модуль числа — большее из чисел f и −f. «max(f; −f) < g» ⇔ «f < g и −f < g» ⇔ «f < g и f > −g». «max(f; −f) > g» ⇔ «f > g или −f > g» ⇔ «f > g или f < −g». Нестрогие знаки — так же.
Переходы верны при любом g, в том числе зависящем от x, поэтому знак g заранее не выясняем. Пример: |x| < −1: система x < −1 и x > 1 — пусто, как и должно быть.
Это и есть «снять модуль равносильно» — главный приём урока. Дальше: f — квадратный трёхчлен (сл. 8), g зависит от x (сл. 9).

R02.5 · R02.3

Образец → сам · квадратный трёхчлен под модулем

Решите неравенство

Образец

$∣ x^{2} - 5 x ∣ < 6$

$- 6 < x^{2} - 5 x < 6$ $∣ f ∣ < r$

$x^{2} - 5 x - 6 < 0$ : $(x - 6) (x + 1) < 0$ , $- 1 < x < 6$

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ : $(x - 2) (x - 3) > 0$ , $x < 2$ или $x > 3$

Ответ: $(- 1; 2) \cup (3; 6)$ пересечение

Сам

база $∣ x^{2} - 4∣ \leq 3$ $[- 7; - 1] \cup [1; 7]$
база $∣ x^{2} - x ∣ > 2$ $(- \infty; - 1) \cup (2; + \infty)$
повыш. $∣ x^{2} - 2 x - 3∣ < 5$ $(- 2; 4)$

3 мин · практика
Образец: двойное неравенство = система двух квадратных; каждое — методом интервалов (прошлый урок); затем пересечение на одной прямой. Проверка x = 2,5: |6,25 − 12,5| = 6,25 > 6 — не входит ✓.
1) x² − 4 ≤ 3 ⇒ x² ≤ 7 ⇒ −√7 ≤ x ≤ √7; x² − 4 ≥ −3 ⇒ x² ≥ 1 ⇒ x ≤ −1 или x ≥ 1. Пересечение: [−√7; −1] ∪ [1; √7].
2) Совокупность: x² − x − 2 > 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) > 0 ⇒ x < −1 или x > 2; x² − x + 2 < 0 — D = 1 − 8 < 0, решений нет. Ответ: x < −1 или x > 2.
3) x² − 2x − 8 < 0 ⇒ (−2; 4); x² − 2x + 2 > 0 — при всех x (D < 0). Ответ (−2; 4). Ошибка: «потерять» второе неравенство — здесь оно выполняется всегда, но проверять обязательно.

R02.5

Образец → сам · правая часть с переменной

Решите неравенство

Образец

$∣ x - 3∣ < 2 x$

${x - 3 < 2 x x - 3 > - 2 x$ $∣ f ∣ < g$ — система

${x > - 3 x > 1$ решили каждое

Ответ: $(1; + \infty)$ проверка $x = 0$ : $3 < 0$ — неверно

Сам

база $∣2 x + 1∣ > x + 5$ $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$
база $∣ x - 1∣ \leq 2 x - 5$ $[4; + \infty)$
повыш. $∣ x^{2} - 4 x ∣ < x$ $(3; 5)$

R02.5 · метод интервалов

Новое · несколько модулей

$∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ > 5$ : раскрываем модули на промежутках

I: оба выражения $< 0$

$(1 - x) - (x + 2) > 5$

$- 2 x - 1 > 5$

$x < - 3$ — входит в I

II: $x - 1 < 0$ , $x + 2 \geq 0$

$(1 - x) + (x + 2) > 5$

$3 > 5$

неверно: решений нет

III: оба выражения $\geq 0$

$(x - 1) + (x + 2) > 5$

$2 x + 1 > 5$

$x > 2$ — входит в III

Ответ — объединение:

(- \infty; - 3) \cup (2; + \infty)

. Найденное на промежутке пересекаем с ним!

3 мин · теория (демонстрационный пример — решает учитель)
Алгоритм: 1) нули подмодульных выражений (x = 1, x = −2) делят прямую на промежутки; 2) на каждом знак каждого выражения постоянен — модули раскрываются однозначно; 3) решаем на промежутке и пересекаем с ним; 4) объединяем ответы.
Граничные точки относим к одному из промежутков (здесь −2 — ко II, 1 — к III), чтобы ни одна точка не потерялась.
Геометрически: |x − 1| + |x + 2| — сумма расстояний от x до 1 и до −2. Между точками она равна 3 (длине отрезка), поэтому во II решений нет; снаружи растёт. Проверка: x = −3 даёт 4 + 1 = 5 — не больше 5, граница не входит ✓; x = 2 даёт 1 + 4 = 5 ✓.

R02.5

Образец → сам · сумма модулей

Решите неравенство методом интервалов

Образец

$∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \leq 6$

нули: $- 1$ и $3$ три промежутка

$x < - 1$ : $2 - 2 x \leq 6$ , $x \geq - 2$ → $[- 2; - 1)$

$- 1 \leq x < 3$ : $4 \leq 6$ → весь $[- 1; 3)$

$x \geq 3$ : $2 x - 2 \leq 6$ , $x \leq 4$ → $[3; 4]$

Ответ: $[- 2; 4]$ объединили

Сам

база $∣ x ∣ + ∣ x - 4∣ > 6$ $(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$
повыш. $∣ x - 1∣ - ∣ x - 3∣ \geq 1$ $[2, 5; + \infty)$
повыш. $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ < 3$ нет решений

3 мин · практика
Образец: при x < −1: −(x + 1) − (x − 3) = 2 − 2x; при −1 ≤ x < 3: (x + 1) + (3 − x) = 4; при x ≥ 3: 2x − 2. Проверка x = 4: 5 + 1 = 6 ✓, x = −2: 1 + 5 = 6 ✓.
1) Нули 0 и 4. x < 0: 4 − 2x > 6 ⇒ x < −1; 0 ≤ x < 4: 4 > 6 — нет; x ≥ 4: 2x − 4 > 6 ⇒ x > 5. Ответ: x < −1 или x > 5.
2) Нули 1 и 3. x < 1: (1 − x) − (3 − x) = −2 ≥ 1 — нет; 1 ≤ x < 3: (x − 1) − (3 − x) = 2x − 4 ≥ 1 ⇒ x ≥ 2,5 → [2,5; 3); x ≥ 3: 2 ≥ 1 — весь промежуток. Ответ [2,5; +∞).
3) Сумма расстояний от x до −2 и до 1 не меньше 3 (длина отрезка) — меньше 3 не бывает. Ответ: нет решений. Методом интервалов: −2x − 1 < 3 ⇒ x > −2 (не входит в x < −2); 3 < 3 — нет; 2x + 1 < 3 ⇒ x < 1 (не входит в x ≥ 1).

R02.5

Сводка · модуль с двух сторон и особые случаи

Четыре правила, которые экономят время

Модули с двух сторон

$∣ f ∣ < ∣ g ∣ \Leftrightarrow f^{2} < g^{2}$

$\Leftrightarrow (f - g) (f + g) < 0$

обе части $\geq 0$ — возводить в квадрат можно

Модуль и ноль

$∣ f ∣ \leq 0 \Leftrightarrow f = 0$

$∣ f ∣ > 0 \Leftrightarrow f \neq = 0$

Справа отрицательное число $a$

$∣ f ∣ < a$ — нет решений

$∣ f ∣ > a$ — любое $x$

Модуль и само выражение

$∣ f ∣ \geq f$ — всегда

$∣ f ∣ \leq f \Leftrightarrow f \geq 0$ ; $∣ f ∣ > - f \Leftrightarrow f > 0$

R02.5

Образец → сам · модуль с двух сторон

Решите неравенство

Образец

$∣2 x - 1∣ \leq ∣ x + 2∣$

$(2 x - 1)^{2} - (x + 2)^{2} \leq 0$ обе части $\geq 0$

$(x - 3) (3 x + 1) \leq 0$ $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Ответ: $[- \frac{1}{3}; 3]$ метод интервалов

Сам

база $∣ x - 3∣ > ∣ x + 1∣$ $(- \infty; 1)$
база $∣ x^{2} - 4 x + 3∣ \leq 0$ $1; 3$
повыш. $∣ x - 5∣ > 5 - x$ $(5; + \infty)$

R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

«Больше» — двойным неравенством

$∣ x - 2∣ > 3$ : $- 3 > x - 2 > 3$

такое двойное неравенство невозможно

$x < - 1$ или $x > 5$

Справа отрицательное

$∣ x + 1∣ > - 2$ : «решений нет, справа минус»

модуль $\geq 0 > - 2$ всегда

$x$ — любое

Не пересекли с промежутком

$∣ x ∣ + ∣ x - 2∣ \leq 4$

при $x < 0$ : $x \geq - 1$ — в ответ

решение берём только внутри $x < 0$

$[- 1; 0)$ ; весь ответ $[- 1; 3]$

R02.5

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $∣2 x - 5∣ \geq x + 1$

$2 x - 5 \geq x + 1$

$x \geq 6$

Ответ: $[6; + \infty)$

Ошибка: потерян второй случай $2 x - 5 \leq - x - 1$ , т. е. $x \leq \frac{4}{3}$

Ответ: $(- \infty; \frac{4}{3}] \cup [6; + \infty)$

Задача 2. $∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣ \leq 4$

$x < - 1$ : $- 2 x \leq 4$ , $x \geq - 2$

$- 1 \leq x < 1$ : $2 \leq 4$ — верно

$x \geq 1$ : $2 x \leq 4$ , $x \leq 2$

Ответ: $x \geq - 2$ или $x \leq 2$ — любое $x$

Ошибка: не пересекли с промежутками

$[- 2; - 1) \cup [- 1; 1) \cup [1; 2] = [- 2; 2]$

R02.5

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство

$∣ x ∣ < 5$ $(- 5; 5)$
$∣ x - 3∣ \geq 2$ $(- \infty; 1] \cup [5; + \infty)$
$∣2 x + 4∣ \leq 6$ $[- 5; 1]$

$∣1 - 3 x ∣ > 5$ $(- \infty; - \frac{4}{3}) \cup (2; + \infty)$
$∣ x + 7∣ < 0$ нет решений
$∣ x^{2} - 1∣ < 3$ $(- 2; 2)$

R02.5 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модули, переменная справа, параметр

повыш. $∣ x^{2} - 2 x ∣ \geq 3$ $(- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$
повыш. $∣3 x - 2∣ < x + 4$ $(- 0, 5; 3)$
повыш. $∣ x - 2∣ + ∣ x + 4∣ \leq 8$ $[- 5; 3]$
повыш.Сколько целых решений у $∣ x^{2} - 6 x ∣ \leq 7$ ? $6$
повыш.При каких $a$ неравенство $∣ x - a ∣ \leq 2$ верно при всех $x \in [0; 1]$ ? $- 1 \leq a \leq 2$

2 мин · практика
1) x² − 2x ≥ 3 ⇒ (x − 3)(x + 1) ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 или x ≥ 3; x² − 2x ≤ −3 ⇒ x² − 2x + 3 ≤ 0 — нет (D < 0). 2) −x − 4 < 3x − 2 < x + 4 ⇒ x > −1/2 и x < 3.
3) Нули −4 и 2. x < −4: −2x − 2 ≤ 8 ⇒ x ≥ −5; −4 ≤ x < 2: 6 ≤ 8 — весь; x ≥ 2: 2x + 2 ≤ 8 ⇒ x ≤ 3. Ответ [−5; 3].
4) x² − 6x ≤ 7 ⇒ [−1; 7]; x² − 6x ≥ −7 ⇒ x ≤ 3 − √2 ≈ 1,59 или x ≥ 3 + √2 ≈ 4,41. Ответ [−1; 3 − √2] ∪ [3 + √2; 7]; целые: −1, 0, 1, 5, 6, 7 — шесть (проверено перебором).
5) Решения — отрезок [a − 2; a + 2]; он должен содержать [0; 1]: a − 2 ≤ 0 и a + 2 ≥ 1 ⇒ −1 ≤ a ≤ 2. Граничные: a = −1 — отрезок [−3; 1] содержит 1 ✓; a = 2 — [0; 4] содержит 0 ✓. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R02.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство (полная запись решения)

$x^{2} - 3∣ x ∣ - 4 < 0$ $(- 4; 4)$
$∣ x^{2} - x - 6∣ \leq x + 2$ ${- 2} \cup [2; 4]$
$\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{∣ x - 2∣} \leq 0$ $[1; 2) \cup (2; 3]$

1:

x^{2} = ∣ x ∣^{2}

, замена

t = ∣ x ∣ \geq 0

2: система; не потеряйте отдельную точку

3: знаменатель

> 0

при

x \neq = 2

2 мин · практика
1) t = |x|: t² − 3t − 4 < 0 ⇒ (t − 4)(t + 1) < 0 ⇒ −1 < t < 4; с учётом t ≥ 0: |x| < 4 ⇒ (−4; 4).
2) −(x + 2) ≤ x² − x − 6 ≤ x + 2. Правое: x² − 2x − 8 ≤ 0 ⇒ [−2; 4]. Левое: x² − 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ −2 или x ≥ 2. Пересечение: x = −2 и [2; 4]. Проверка x = −2: |4 + 2 − 6| = 0 ≤ 0 ✓. Типичная потеря балла — точка −2.
3) |x − 2| > 0 при x ≠ 2, значит, знак дроби = знак числителя: (x − 1)(x − 3) ≤ 0 ⇒ [1; 3], исключаем x = 2. Ответ [1; 2) ∪ (2; 3].
На ОГЭ задание 20 — 2 балла; балл снимают за неравносильный переход без пояснения и за потерянную точку. Все ответы проверены sympy.

R02.5 · R02.7

Задача из жизни

Допуск детали и место для кафе

практикаВал годен, если диаметр $∣ d - 40∣ \leq 0, 05$ мм. Годны ли $39, 96$ и $40, 06$ мм? да; нет
практикаЗапишите все допустимые $d$ . $[39, 95; 40, 05]$ мм
повыш.Остановки на шоссе — на $3$ км и $7$ км. Где поставить кафе, чтобы сумма расстояний до них была не больше $6$ км? от $2$ до $8$ км

R02.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $∣ x - 4∣ < 3$ $(1; 7)$
база $∣2 x + 1∣ \geq 5$ $(- \infty; - 3] \cup [2; + \infty)$
база $∣ x^{2} - 3 x ∣ \leq 4$ $[- 1; 4]$
повыш. $∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣ \leq 5$ $[- 2; 3]$

Вариант 2

база $∣ x + 2∣ \leq 4$ $[- 6; 2]$
база $∣3 x - 2∣ > 4$ $(- \infty; - \frac{2}{3}) \cup (2; + \infty)$
база $∣ x^{2} - 2 x ∣ < 3$ $(- 1; 3)$
повыш. $∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ < 6$ $(- 4; 2)$

4 мин · практика
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) −3 < x − 4 < 3 ⇒ (1; 7). 2) 2x + 1 ≥ 5 ⇒ x ≥ 2; 2x + 1 ≤ −5 ⇒ x ≤ −3. 3) x² − 3x − 4 ≤ 0 ⇒ [−1; 4]; x² − 3x + 4 ≥ 0 — всегда (D < 0). 4) x < −1: 1 − 2x ≤ 5 ⇒ x ≥ −2; −1 ≤ x < 2: 3 ≤ 5; x ≥ 2: 2x − 1 ≤ 5 ⇒ x ≤ 3. Ответ [−2; 3].
В-2. 1) −4 ≤ x + 2 ≤ 4 ⇒ [−6; 2]. 2) 3x − 2 > 4 ⇒ x > 2; 3x − 2 < −4 ⇒ x < −2/3. 3) x² − 2x − 3 < 0 ⇒ (−1; 3); x² − 2x + 3 > 0 — всегда. 4) x < −3: −2x − 2 < 6 ⇒ x > −4; −3 ≤ x < 1: 4 < 6; x ≥ 1: 2x + 2 < 6 ⇒ x < 2. Ответ (−4; 2).
Все ответы проверены sympy. Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что означает $∣ x - a ∣ < r$ на числовой прямой?
Когда пишем систему, а когда совокупность?
Зачем пересекать ответ с промежутком?

Домашнее задание

$∣3 - 2 x ∣ \leq 7$
$∣ x^{2} - 7 x ∣ \geq 8$
$∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ \leq x + 5$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-030 · Неравенства, содержащие знак модуля

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 5/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.5 «Неравенства, содержащие знак модуля» → 2, 4–21 · опора R02.3, R02.4 → 3, 5, 8 · применение R02.7 → 19 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 10, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 9, 11, 13–21)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов, изображение на прямой) → 2–21 · ПР-13 (неравенства, в том числе с ограничениями) → 17, 18 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы неравенств — ALG9U-031; текстовые задачи — ALG9U-032; неравенства с двумя переменными (\|x\| + \|y\| ≤ a) — ALG9U-033, 034
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенства,содержащиезнак модуля

Сегодня вы научитесь

Видеть модуль как расстояние

Снимать модуль равносильно

Решать с несколькими модулями

Оформлять задачу ОГЭ 20

Модуль и метод интервалов

∣x−a∣ — расстояние от точки x до точки a

∣x−1∣≤2: где график y=∣x−1∣ не выше прямой y=2?

Решите неравенство

Образец

Сам

Правая часть — любое выражение g(x)

Почему верно

Решите неравенство

Образец

Сам

Решите неравенство

Образец

Сам

∣x−1∣+∣x+2∣>5: раскрываем модули на промежутках

I: оба выражения <0

II: x−1<0, x+2≥0

III: оба выражения ≥0

Решите неравенство методом интервалов

Образец

Сам

Четыре правила, которые экономят время

Модули с двух сторон

Модуль и ноль

Справа отрицательное число a

Модуль и само выражение

Решите неравенство

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

«Больше» — двойным неравенством

Справа отрицательное

Не пересекли с промежутком

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. ∣2x−5∣≥x+1

Задача 2. ∣x−1∣+∣x+1∣≤4

Решите неравенство

Модули, переменная справа, параметр

Решите неравенство (полная запись решения)

Допуск детали и место для кафе

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-030 · Неравенства, содержащие знак модуля

Неравенства,
содержащие
знак модуля

$∣ x - a ∣$ — расстояние от точки $x$ до точки $a$

$∣ x - 1∣ \leq 2$ : где график $y = ∣ x - 1∣$ не выше прямой $y = 2$ ?

Правая часть — любое выражение $g (x)$

$∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ > 5$ : раскрываем модули на промежутках

I: оба выражения $< 0$

II: $x - 1 < 0$ , $x + 2 \geq 0$

III: оба выражения $\geq 0$

Справа отрицательное число $a$

Задача 1. $∣2 x - 5∣ \geq x + 1$

Задача 2. $∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣ \leq 4$