Квадратные неравенства · урок 4 из 15

Графический метод
и метод
интервалов

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 4/15, единица R02.4 «Решение неравенств графическим методом и методом интервалов». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-028 — квадратные неравенства (распознавание, первые решения); следующий ALG9U-030 — неравенства со знаком модуля.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (графический метод) 2 · 5 (знак трёхчлена: три случая) 2 · 8 (почему чередуются знаки) 2 · 9 (алгоритм метода интервалов) 1,5 · 11 (кратные корни) 1,5 · 13 (дробные неравенства) 1 · 15 (типичные ошибки) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 10, 12, 14) 3 + 2 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 5 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Графический метод

решать квадратное неравенство по эскизу параболы (ПР-8)

Метод интервалов

решать неравенства-произведения, расставляя знаки на прямой (ПР-8)

Кратные корни и дроби

учитывать чётную кратность и нули знаменателя (ПР-8, ПР-13)

Формат ОГЭ

оформлять решение неравенства части 2 и записывать ответ промежутками (ПР-8)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…» — дробные неравенства с ограничением на знаменатель.
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать квадратное неравенство графическим методом и методом интервалов. Решать квадратные неравенства, используя графические представления».

разминка · R02.3

Разминка · устно

Корни, знаки, ветви параболы

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

(- 3) \cdot (- 2) \cdot 5

знак произведения

«+»

(x - 4) (x + 1)

знак при

x = 0

«−»

x^{2} + 4 < 0

есть решения?

нет

2 x - 6 > 0

решите

x > 3

- 3 x \leq 12

решите

x \geq - 4

y = - x^{2} + 4

куда ветви?

вниз

x^{2} + x + 1

найдите

D

- 3

R02.4

Новый материал · графический метод

Знак трёхчлена виден по параболе

Трёхчлен

> 0

там, где его парабола выше оси

O x

$x^{2} - 2 x - 3 > 0$ : $x < - 1$ или $x > 3$

$x^{2} - 2 x - 3 < 0$ : $- 1 < x < 3$

Нужны только корни и направление ветвей — вершину строить не надо

2 мин · теория
Демонстрация учителя: корни x² − 2x − 3 = 0 по Виета: −1 и 3; a = 1 > 0 — ветви вверх. Левее −1 и правее 3 парабола над осью (значения положительны), между корнями — под осью.
Запись ответа: (−∞; −1) ∪ (3; +∞) и (−1; 3). При нестрогом знаке корни входят в ответ: x² − 2x − 3 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1; 3].
Вопрос классу: почему точная форма параболы не важна? (Знак значения зависит только от того, выше или ниже оси точка графика.)
График построен точно: 66 px на единицу по x, 31 px по y; вершина (1; −4).

R02.4

Схема · знак квадратного трёхчлена

Три случая при $a > 0$

$D > 0$

$> 0$ : $x < x_{1}$ или $x > x_{2}$

$< 0$ : $x_{1} < x < x_{2}$

$D = 0$

$> 0$ : $x \neq = x_{0}$ ; $\geq 0$ : любое $x$

$< 0$ : нет; $\leq 0$ : $x = x_{0}$

$D < 0$

$> 0$ и $\geq 0$ : любое $x$

$< 0$ и $\leq 0$ : решений нет

a < 0

? Умножьте неравенство на

- 1

и смените знак неравенства

R02.4

Образец → сам · графический метод

Решите неравенство

Образец

$- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$

$x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ умножили на $- 1$ , знак сменили

$x_{1} = - 2, x_{2} = 4$ теорема Виета

ветви вверх, $\leq 0$ между корнями эскиз

$x \in [- 2; 4]$ корни входят: знак $\leq$

Сам

база $x^{2} - x - 12 > 0$ $(- \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$
база $3 x^{2} - 5 x - 2 \leq 0$ $[- \frac{1}{3}; 2]$
повыш. $5 + 4 x - x^{2} < 0$ $(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$

R02.4

Образец → сам · случай $D \leq 0$

Парабола касается оси или не пересекает её

Образец

$x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$

$(x + 2)^{2} \leq 0$ полный квадрат, $D = 0$

$(x + 2)^{2} \geq 0$ всегда квадрат не отрицателен

$(x + 2)^{2} = 0, x = - 2$ равенство

Ответ: ${- 2}$ одна точка

Сам

база $x^{2} - 2 x + 5 > 0$ любое $x$
база $- x^{2} + 4 x - 5 \geq 0$ решений нет
база $4 x^{2} - 4 x + 1 > 0$ $x \neq = \frac{1}{2}$

R02.4

Новый материал · метод интервалов

Знак произведения меняется только в нулях множителей

множитель	$x < - 2$	$- 2 < x < 1$	$1 < x < 4$	$x > 4$
$x + 2$	−	+	+	+
$x - 1$	−	−	+	+
$x - 4$	−	−	−	+
$(x + 2) (x - 1) (x - 4)$	−	+	−	+

Множитель

x - a

: левее

a

— «−», правее — «+». Справа от всех нулей все множители положительны, дальше знак чередуется

2 мин · теория
Демонстрация учителя: каждый линейный множитель x − a меняет знак ровно в точке a. Переходим через нуль одного множителя — меняет знак только он, а значит и всё произведение.
Самый правый промежуток: все скобки положительны — знак «+» (если старшие коэффициенты всех скобок положительны). Отсюда правило: ставим «+» справа и чередуем.
Вопрос классу: что будет, если одна скобка записана как (4 − x)? (Её знак обратный — сначала вынести −1: 4 − x = −(x − 4).)

R02.4

Алгоритм · метод интервалов

$(x + 2) (x - 1) (x - 4) < 0$

Всё перенести влево, разложить на множители вида $(x - a)$
Нули отметить на прямой: при $<, >$ — выколотые, при $\leq, \geq$ — закрашенные
Справа поставить «+», дальше чередовать знаки
Выбрать промежутки с нужным знаком, записать ответ

$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 4)$

R02.4

Образец → сам · метод интервалов

Решите неравенство методом интервалов

Образец

$(x + 3) (x - 1) (x - 5) \geq 0$

нули $- 3; 1; 5$ — закрашенные знак $\geq$

знаки: $- + - +$ справа «+», чередуем

$x \in [- 3; 1] \cup [5; + \infty)$ промежутки с «+»

$x = 0$ : $3 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 15 \geq 0$ проверка

Сам

база $x (x - 2) (x + 4) < 0$ $(- \infty; - 4) \cup (0; 2)$
повыш. $(2 - x) (x + 1) (x - 3) > 0$ $(- \infty; - 1) \cup (2; 3)$
повыш. $x^{3} - 9 x \leq 0$ $(- \infty; - 3] \cup [0; 3]$

R02.4

Новый материал · кратные корни

$(x - 1)^{2} (x + 2)$ : через точку $1$ знак не меняется

(x - a)^{2}

— чётная степень: знак при переходе через

a

не меняется

(x - a)^{3}

— нечётная степень: меняется, как у

x - a

$> 0$ : $(- 2; 1) \cup (1; + \infty)$

$\geq 0$ : $[- 2; + \infty)$

R02.4

Образец → сам · кратные корни

Не потеряйте отдельные точки

Образец

$(x - 2)^{2} (x + 1) \leq 0$

нули $- 1$ и $2$ (кратность $2$ ) закрашенные

знаки: $- + +$ у точки $2$ знак не меняется

$\leq 0$ : левее $- 1$ и сама точка $2$ там $= 0$

$x \in (- \infty; - 1] \cup {2}$

Сам

база $(x + 3)^{2} (x - 4) > 0$ $(4; + \infty)$
повыш. $x^{2} (x - 5) \geq 0$ ${0} \cup [5; + \infty)$
повыш. $(x - 1)^{2} (x + 2)^{3} < 0$ $(- \infty; - 2)$

R02.4 · ПР-13

Новый материал · дробные неравенства

Дробь и произведение имеют один знак

\frac{f}{g} > 0 \Leftrightarrow f \cdot g > 0

\frac{f}{g} \geq 0 \Leftrightarrow f \cdot g \geq 0, g \neq = 0

Нули знаменателя всегда выколоты. На знаменатель не умножаем: его знак неизвестен

$\frac{x + 1}{x - 2} \geq 0$

$(- \infty; - 1] \cup (2; + \infty)$

R02.4 · ПР-13

Образец → сам · дробные неравенства

Решите неравенство

Образец

$\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$

$x = 3$ — закрашена нуль числителя

$x = - 2$ — выколота нуль знаменателя

знаки: $+ - +$ справа «+»

$x \in (- 2; 3]$ $x = 0$ : $- 3/2 \leq 0$

Сам

база $\frac{x + 1}{x - 4} > 0$ $(- \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$ $[- 2; 1) \cup [2; + \infty)$
повыш. $\frac{2 x - 1}{x + 3} \geq 1$ $(- \infty; - 3) \cup [4; + \infty)$

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

«Извлекли корень»

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$(x - 3) (x + 3) > 0$ : $x < - 3$ или $x > 3$

запись « $x > \pm 3$ » смысла не имеет

Умножили на знаменатель

$\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0 \Rightarrow x \leq 3$

$x \in (- 2; 3]$

знак $x + 2$ неизвестен

Потеряли точку

$(x - 2)^{2} (x + 1) \leq 0$ : $(- \infty; - 1]$

$(- \infty; - 1] \cup {2}$

при $x = 2$ выражение равно $0$

R02.4

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

1. $\frac{x + 4}{x - 1} \geq 0$

Нули: $- 4$ и $1$ , знаки $+ - +$

Ответ: $(- \infty; - 4] \cup [1; + \infty)$

Ошибка: $x = 1$ — нуль знаменателя, его выкалывают

$(- \infty; - 4] \cup (1; + \infty)$

2. $6 x - x^{2} \geq 0$

$x (6 - x) \geq 0$ , нули $0$ и $6$ , справа «+»

Ответ: $(- \infty; 0] \cup [6; + \infty)$

Ошибка: у $6 - x$ коэффициент при $x$ отрицательный

$x (x - 6) \leq 0$ : $[0; 6]$

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство (любым методом)

$x^{2} - 9 < 0$ $(- 3; 3)$
$x^{2} + 5 x \geq 0$ $(- \infty; - 5] \cup [0; + \infty)$
$x^{2} - 3 x - 10 > 0$ $(- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$

$2 x^{2} + x - 1 \leq 0$ $[- 1; \frac{1}{2}]$
$(x - 4) (x + 1) (x - 7) < 0$ $(- \infty; - 1) \cup (4; 7)$
$x^{2} + x + 3 > 0$ любое $x$

R02.4 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кратные корни, дроби, параметр

повыш. $(x^{2} - 1) (x^{2} - 9) \leq 0$ $[- 3; - 1] \cup [1; 3]$
повыш. $\frac{( x + 2 ) ^{2} ( x - 3 )}{x - 5} \leq 0$ ${- 2} \cup [3; 5)$
повыш. $\frac{1}{x - 1} \geq 1$ $(1; 2]$
повыш.Сколько целых решений у $x^{2} - 3 x - 18 \leq 0$ ? $10$
повыш.При каких $m$ неравенство $x^{2} - 2 m x + m + 2 > 0$ верно при всех $x$ ? $- 1 < m < 2$

2 мин · практика
1) (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3) ≤ 0; нули −3, −1, 1, 3; знаки +, −, +, −, +: [−3; −1] ∪ [1; 3].
2) Нули −2 (чётная, закрашена), 3 (закрашена), 5 (выколота); знаки +, +, −, + (у −2 знак не меняется); проверка: x = 0 — 4 · (−3)/(−5) > 0; x = 4 — 36 · 1/(−1) < 0; x = −3 — 1 · (−6)/(−8) > 0. Ответ: {−2} ∪ [3; 5).
3) 1/(x − 1) − 1 ≥ 0 ⇔ (2 − x)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x − 2)/(x − 1) ≤ 0: (1; 2].
4) Корни −3 и 6: [−3; 6], целые −3, −2, …, 6 — их 10.
5) Старший коэффициент 1 > 0, значит нужно D < 0: D₁ = m² − m − 2 = (m − 2)(m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < 2. Граничные значения: m = −1 — (x + 1)² > 0 неверно при x = −1; m = 2 — (x − 2)² > 0 неверно при x = 2 — оба не входят.

R02.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 13 и 20

Решите неравенство

линия 13 $x^{2} \leq 49 x$ $[0; 49]$
линия 20 $(x - 2)^{2} < 3 (x - 2)$ $(2; 2 + 3)$
линия 20 $\frac{- 13}{( x - 2 ) ^{2} - 5} \geq 0$ $(2 - 5; 2 + 5)$

1: перенесите влево и вынесите

x

2: не делите на

x - 2

— вынесите

3: числитель

< 0

— какой знак у знаменателя?

R02.4 · опора R02.7

Задача из жизни

Морс по $p$ руб. за стакан: продают $100 - 2 p$ стаканов в день

практикаЗапишите выручку $R (p)$ $p (100 - 2 p)$
практикаПри какой цене выручка не меньше $1200$ руб.? $20 \leq p \leq 30$
повыш.Может ли выручка превысить $1250$ руб.? нет

R02.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 7 x + 12 \leq 0$ $[3; 4]$
база $- x^{2} + 3 x + 10 > 0$ $(- 2; 5)$
база $(x + 5) (x - 1) (x - 6) \geq 0$ $[- 5; 1] \cup [6; + \infty)$
повыш. $\frac{x - 3}{x + 4} \leq 0$ $(- 4; 3]$

Вариант 2

база $x^{2} + 2 x - 15 > 0$ $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$
база $- x^{2} + x + 6 \geq 0$ $[- 2; 3]$
база $(x + 2) (x - 3) (x - 7) < 0$ $(- \infty; - 2) \cup (3; 7)$
повыш. $\frac{x + 1}{x - 5} \geq 0$ $(- \infty; - 1] \cup (5; + \infty)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что нужно знать о параболе для графического метода?
Почему справа ставят «+»?
Какие точки всегда выколоты?

Домашнее задание

$6 x^{2} - x - 2 > 0$
$\frac{( x + 3 ) ( x - 2 ) ^{2}}{x - 6} \leq 0$
$x^{4} - 10 x^{2} + 9 < 0$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-029 · Решение неравенств графическим методом и методом интервалов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 4/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Решение неравенств графическим методом и методом интервалов» → 2, 4–22 · опора R02.3 → 3 · применение R02.7 → 20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 15) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 10, 12, 14, 16–22)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов, запись решения) → 2–22 · ПР-13 (неравенства с ограничениями: знаменатель) → 13, 14, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенства с модулем — ALG9U-030; системы неравенств — ALG9U-031; неравенства с двумя переменными — R02.8–R02.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графический методи методинтервалов

Сегодня вы научитесь

Графический метод

Метод интервалов

Кратные корни и дроби

Формат ОГЭ

Корни, знаки, ветви параболы

Знак трёхчлена виден по параболе

Три случая при a>0

D>0

D=0

D<0

Решите неравенство

Образец

Сам

Парабола касается оси или не пересекает её

Образец

Сам

Знак произведения меняется только в нулях множителей

(x+2)(x−1)(x−4)<0

Решите неравенство методом интервалов

Образец

Сам

(x−1)2(x+2): через точку 1 знак не меняется

Не потеряйте отдельные точки

Образец

Сам

Дробь и произведение имеют один знак

Решите неравенство

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

«Извлекли корень»

Умножили на знаменатель

Потеряли точку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

1. x−1x+4​≥0

2. 6x−x2≥0

Решите неравенство (любым методом)

Кратные корни, дроби, параметр

Решите неравенство

Морс по p руб. за стакан: продают 100−2p стаканов в день

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-029 · Решение неравенств графическим методом и методом интервалов

Графический метод
и метод
интервалов

Три случая при $a > 0$

$D > 0$

$D = 0$

$D < 0$

$(x + 2) (x - 1) (x - 4) < 0$

$(x - 1)^{2} (x + 2)$ : через точку $1$ знак не меняется

1. $\frac{x + 4}{x - 1} \geq 0$

2. $6 x - x^{2} \geq 0$

Морс по $p$ руб. за стакан: продают $100 - 2 p$ стаканов в день