Квадратные неравенства · урок 3 из 15

Квадратные
неравенства
с одной переменной

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 3/15, единица R02.3 «Квадратные неравенства с одной переменной». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-027 — множество решений неравенства (промежутки, запись ответа); следующий ALG9U-029 — графический метод и метод интервалов (систематически, в том числе для неравенств высших степеней).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение, распознавание) 1,5 · 5 (знак трёхчлена по параболе) 3 · 7 (шесть случаев) 2,5 · 8 (алгоритм, демонстрация) 2 · 12 (верно при всех x) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 9, 10, 11, 13) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задача 2 линии 20 на сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

квадратное неравенство и приводить его к виду $a x^{2} + b x + c > 0$ (ПР-8)

Решать по параболе

корни трёхчлена + направление ветвей → промежутки (ПР-8)

Записывать ответ

на числовой прямой и промежутками, следить за $\leq$ и $<$ (ПР-8)

Рассуждать с параметром

когда неравенство верно при всех $x$ или не имеет решений (ПР-8, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-16 — задача из жизни (сл. 19).
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать квадратные неравенства с одной переменной… Решать квадратные неравенства, используя графические представления». Метод интервалов — следующий урок ALG9U-029.

разминка · R02.2 · R01.5

Разминка · устно

Корни, ветви, промежутки

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

x^{2} - 16

корни

\pm 4

x^{2} + x + 1

найдите

D

- 3

y = 3 + 2 x - x^{2}

куда ветви?

вниз

- 2 x > 6

решите

x < - 3

x \geq - 1

промежутком

[- 1; + \infty)

x^{2} + 3 x < 0

- 1

— решение?

да

(x - 1)^{2} + 4

знак?

всегда

> 0

R02.3

Понятие · квадратное неравенство

Неравенство вида $a x^{2} + b x + c > 0$ , где $a \neq = 0$

знак может быть любым:

>, <, \geq, \leq

· после переноса слагаемых

Квадратное ли? Сначала перенесите всё в одну часть и раскройте скобки.

x^{2} - 4 x < 0

да

3 x - x^{2} \geq 5

да:

- x^{2} + 3 x - 5 \geq 0

(x - 1) (x + 2) \leq 0

да

(x + 1)^{2} > x^{2}

нет:

2 x + 1 > 0

x^{3} - x > 0

нет: 3-я степень

\frac{1}{x ^{2}} > 1

нет: дробное

R02.3

Идея · знак трёхчлена по графику

$x^{2} - 2 x - 3 > 0$ — где парабола выше оси $O x$ ?

$y = x^{2} - 2 x - 3$ , $a = 1 > 0$ ветви вверх

корни $- 1$ и $3$ $y = 0$

$y > 0$ — парабола выше оси:

x < - 1

или

x > 3

$y < 0$ — парабола ниже оси:

- 1 < x < 3

Ответ:

(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)

3 мин · теория
График точный: масштаб 40 px на единицу, вершина (1; −4), через (−2; 5) и (4; 5). Корни — точки, где y = 0; они делят ось на три промежутка, на каждом знак трёхчлена постоянный.
Вопрос классу: а решение x² − 2x − 3 ≤ 0? (Отрезок [−1; 3]: «ниже или на оси», концы входят.) А ≥ 0? ((−∞; −1] ∪ [3; +∞).)
Главная мысль: строить параболу точно не нужно — достаточно корней и направления ветвей (эскиз). Точки на оси выколоты, потому что знак строгий.
Проверка подстановкой: x = 0 — −3 < 0 (внутри, ниже оси); x = 4 — 5 > 0 ✓.

R02.3

Образец → сам · ветви вверх, два корня

Решите неравенство

Образец

$2 x^{2} - x - 6 \leq 0$

$D = 1 + 48 = 49$ корни есть

$x_{1} = - 1, 5, x_{2} = 2$ $x = \frac{1 \pm 7}{4}$

$\leq 0$ — между корнями ветви вверх

$[- 1, 5; 2]$ знак $\leq$ : концы входят

Сам

база $x^{2} - x - 12 > 0$ $(- \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$
база $x^{2} - 7 x + 10 \leq 0$ $[2; 5]$
повыш. $3 x^{2} + 5 x - 2 \geq 0$ $(- \infty; - 2] \cup [\frac{1}{3}; + \infty)$

R02.3

Схема · ветви вверх, три случая

При $a > 0$ ответ зависит только от корней

$D > 0$

$> 0$ : $x < x_{1}$ или $x > x_{2}$

$< 0$ : $x_{1} < x < x_{2}$

$D = 0$

$> 0$ : $x \neq = x_{0}$

$< 0$ : нет решений

$\leq 0$ : $x = x_{0}$

$D < 0$

$> 0$ : любое $x$

$\leq 0$ : нет решений

a < 0

? Умножьте обе части на

- 1

и смените знак неравенства — ветви станут вверх

R02.3

Алгоритм · демонстрация учителя

Решим $- 2 x^{2} + x + 1 < 0$

Шаг	Пример
1. Всё в левую часть, $a > 0$	$2 x^{2} - x - 1 > 0$ умножили на $- 1$ , знак сменили
2. Корни трёхчлена	$D = 9$ : $x_{1} = - 0, 5, x_{2} = 1$
3. Эскиз: корни на оси, ветви вверх
4. Знак $>$ : снаружи, концы выколоты	$(- \infty; - 0, 5) \cup (1; + \infty)$

Строгий знак — точки выколоты ○ и скобки круглые; нестрогий — точки закрашены ● и скобки квадратные

R02.3

Образец → сам · старший коэффициент отрицательный

Решите неравенство

Образец

$- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$

$x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ $\cdot (- 1)$ , знак сменили

$x_{1} = - 2, x_{2} = 4$ Виета

$\leq 0$ — между корнями ветви вверх

$[- 2; 4]$ проверка $x = 0$ : $8 \geq 0$

Сам

база $- x^{2} + 3 x + 10 < 0$ $(- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$
база $5 x - x^{2} > 0$ $(0; 5)$
повыш. $3 - 2 x - x^{2} \geq 0$ $[- 3; 1]$

R02.3

Образец → сам · один корень или нет корней

Решите неравенство (сначала найдите $D$ )

Образец

$x^{2} - 6 x + 9 > 0$

$(x - 3)^{2} > 0$ $D = 0$ , полный квадрат

верно везде, кроме $x = 3$ квадрат $\geq 0$

$(- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ $x \neq = 3$

Сам

база $x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ $x = - 2$
база $x^{2} - x + 1 > 0$ любое $x$ : $(- \infty; + \infty)$
повыш. $- x^{2} + 2 x - 5 \geq 0$ нет решений

R02.3

Образец → сам · сначала преобразовать

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c \lor 0$ и решите

Образец

$(x - 3) (x + 1) \leq 5$

$x^{2} - 2 x - 3 - 5 \leq 0$ раскрыли, перенесли

$x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ корни $- 2$ и $4$

$[- 2; 4]$ между корнями

Сам

база $x^{2} \leq 16$ $[- 4; 4]$
база $x^{2} > 3 x$ $(- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$
повыш. $2 x (x + 1) \geq x + 3$ $(- \infty; - 1, 5] \cup [1; + \infty)$

R02.3 · углублённый

Сводка · решения — все числа

Парабола целиком по одну сторону от оси

Верно при всех $x$	Условие
$a x^{2} + b x + c > 0$	$a > 0, D < 0$
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$a > 0, D \leq 0$
$a x^{2} + b x + c < 0$	$a < 0, D < 0$

«

f (x) < 0

не имеет решений»

\Leftrightarrow

«

f (x) \geq 0

при всех

x

»

2 мин · теория
Обоснование: при a > 0 и D < 0 корней нет, парабола не пересекает ось и ветви вверх — она вся выше оси. Через выделение квадрата: ax² + bx + c = a(x + b/2a)² − D/4a, при a > 0, D < 0 оба слагаемых ≥ 0 и второе > 0.
Почему в первой строке нужно a > 0: при a < 0 ветви вниз, при больших |x| трёхчлен отрицателен.
Если коэффициент при x² содержит параметр, а в условии сказано «неравенство» (не «квадратное»), отдельно разбирают a = 0 (линейное неравенство). В задачах этого урока сказано «квадратное», значит, a ≠ 0.

R02.3 · углублённый

Образец → сам · параметр и обратная задача

При каких значениях параметра…

Образец

…неравенство $x^{2} + p x + 4 > 0$ верно при всех $x$ ?

$a = 1 > 0$ ветви вверх

$D = p^{2} - 16 < 0$ корней нет

$- 4 < p < 4$ $p^{2} < 16$

Сам

база…неравенство $x^{2} - 6 x + c < 0$ не имеет решений? $c \geq 9$
повыш.Решения $x^{2} + b x + c < 0$ — интервал $(- 1; 4)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 3, c = - 4$
повыш.…квадратное неравенство $m x^{2} + 4 x + m < 0$ верно при всех $x$ ? $m < - 2$

3 мин · практика
Граница в образце: p = 4 — x² + 4x + 4 = (x + 2)² > 0 неверно при x = −2, значит, p = ±4 не входят ✓.
1) «< 0 нет решений» ⇔ x² − 6x + c ≥ 0 при всех x ⇔ D₁ = 9 − c ≤ 0 ⇔ c ≥ 9. Граница c = 9: (x − 3)² < 0 — решений нет ✓ (c = 9 входит).
2) Интервал между корнями — значит, корни −1 и 4; по Виета b = −(−1 + 4) = −3, c = −4. Проверка: x² − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4) < 0 на (−1; 4) ✓.
3) Неравенство квадратное: m ≠ 0. Нужно m < 0 и D₁ = 4 − m² < 0 ⇔ m² > 4; с учётом m < 0: m < −2. Граница m = −2: −2(x − 1)² < 0 неверно при x = 1 — не входит ✓. Проверено sympy.

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

$- x^{2} + 4 x > 0$
⇒ $x^{2} - 4 x > 0$

$x^{2} - 4 x < 0$ : $(0; 4)$

умножение на $- 1$ меняет знак неравенства

«Как в уравнении»

$x^{2} > 9$ ⇒ $x > \pm 3$

$x < - 3$ или $x > 3$

запись $x > \pm 3$ не имеет смысла: решайте $x^{2} - 9 > 0$

$D < 0$ — «нет решений»

$x^{2} + 2 x + 5 > 0$ : нет решений

любое $x$

$a > 0$ , корней нет — парабола вся выше оси

R02.3

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $x^{2} + x - 6 \geq 0$

Корни: $x_{1} = - 3, x_{2} = 2$

Ветви вверх.

Ответ: $[- 3; 2]$

Ошибка: $\geq 0$ — там, где парабола выше оси, т. е. снаружи корней

$(- \infty; - 3] \cup [2; + \infty)$

Задача 2. $4 - x^{2} < 0$

$x^{2} < 4$

Ответ: $(- 2; 2)$

Ошибка: перенесли $x^{2}$ вправо, но знак «развернули»: $4 < x^{2}$ , т. е. $x^{2} > 4$

$(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство

$x^{2} - 4 x < 0$ $(0; 4)$
$x^{2} - 9 \geq 0$ $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$
$x^{2} + 2 x - 15 \leq 0$ $[- 5; 3]$

$2 x^{2} - 3 x - 2 > 0$ $(- \infty; - 0, 5) \cup (2; + \infty)$
$- x^{2} - x + 6 > 0$ $(- 3; 2)$
$x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ нет решений

R02.3 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразования, целые решения, параметр

повыш. $(2 x - 1)^{2} \leq (x + 1)^{2}$ $[0; 2]$
повыш.Наименьшее целое решение $x^{2} + 3 x - 10 < 0$ $- 4$
повыш.Сколько целых решений у $x^{2} \leq 2 x + 15$ ? $9$
повыш.Область определения $y = 6 + x - x^{2}$ $[- 2; 3]$
повыш.При каких $k$ уравнение $x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0$ имеет два корня? $k < - 2$ или $k > 3$

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 13 и 20

Часть 1 — выбор ответа, часть 2 — полное решение

Линия 13. Укажите неравенство, которое не имеет решений

$x^{2} - 6 x + 8 < 0$
$x^{2} - 6 x + 10 < 0$
$x^{2} - 6 x + 10 > 0$
$x^{2} - 6 x + 8 > 0$

Ответ: 2

Линия 20. Решите неравенство

$(x - 2)^{2} < 3 (x - 2)$ $(2; 2 + 3)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

Не делите на

x - 2

— его знак неизвестен; перенесите и вынесите множитель

2 мин · практика
Линия 13: 1) D₁ = 9 − 8 = 1 > 0 — решения (2; 4). 2) D₁ = 9 − 10 = −1 < 0, a > 0 — трёхчлен всегда положителен, < 0 — нет решений. 3) — любое x. 4) — (−∞; 2) ∪ (4; +∞). Ответ 2.
Линия 20, № 1: (x − 2)² − √3(x − 2) < 0 ⇔ (x − 2)(x − 2 − √3) < 0; корни 2 и 2 + √3, ветви вверх — между: (2; 2 + √3).
№ 2: перенесём: (−x² − 64)(x² − 64) ≤ 0. Множитель −x² − 64 < 0 при всех x, делим на него и меняем знак: x² − 64 ≥ 0, x ≤ −8 или x ≥ 8.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла: нужна полная запись. Типичная потеря балла — деление на выражение с переменной без учёта знака. Ответы проверены sympy.

R02.3 · ПР-16

Задача из жизни

Мяч бросили вверх: $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (м)

практикаСколько секунд мяч был на высоте не меньше $15$ м? $2$ с
повыш.А выше $18, 75$ м? $1$ с

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ $(- 2; 5)$
база $- x^{2} + 4 x \leq 0$ $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$
база $x^{2} + 6 x + 9 > 0$ $x \neq = - 3$
повыш.При каких $p$ неравенство $x^{2} + 2 p x + 9 > 0$ верно при всех $x$ ? $- 3 < p < 3$

Вариант 2

база $x^{2} + x - 12 > 0$ $(- \infty; - 4) \cup (3; + \infty)$
база $- x^{2} - 5 x \geq 0$ $[- 5; 0]$
база $x^{2} - 10 x + 25 \leq 0$ $x = 5$
повыш.При каких $c$ неравенство $x^{2} - 8 x + c < 0$ не имеет решений? $c \geq 16$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что нужно знать о трёхчлене, чтобы решить неравенство?
Что делаем первым, если $a < 0$ ?
Когда $a x^{2} + b x + c > 0$ при всех $x$ ?

Домашнее задание

$3 x^{2} - 7 x + 2 \leq 0$
$(x + 2) (x - 5) > 2 x - 4$
При каких $a$ квадратное неравенство $a x^{2} + 2 x + a > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-028 · Квадратные неравенства с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 3/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Квадратные неравенства с одной переменной» → 2, 4–21 · опора R02.2, R01.5 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 9–11, 13–21)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, изображение и запись решения) → 2–21 · ПР-13 (целые решения) → 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	метод интервалов и неравенства высших степеней — ALG9U-029 (R02.4); неравенства с модулем — ALG9U-030 (R02.5)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратныенеравенствас одной переменной

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Решать по параболе

Записывать ответ

Рассуждать с параметром

Корни, ветви, промежутки

Неравенство вида ax2+bx+c>0, где a=0

x2−2x−3>0 — где парабола выше оси Ox?

Решите неравенство

Образец

Сам

При a>0 ответ зависит только от корней

D>0

D=0

D<0

Решим −2x2+x+1<0

Решите неравенство

Образец

Сам

Решите неравенство (сначала найдите D)

Образец

Сам

Приведите к виду ax2+bx+c∨0 и решите

Образец

Сам

Парабола целиком по одну сторону от оси

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

«Как в уравнении»

D<0 — «нет решений»

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. x2+x−6≥0

Задача 2. 4−x2<0

Решите неравенство

Преобразования, целые решения, параметр

Часть 1 — выбор ответа, часть 2 — полное решение

Линия 13. Укажите неравенство, которое не имеет решений

Мяч бросили вверх: h(t)=20t−5t2 (м)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-028 · Квадратные неравенства с одной переменной

Квадратные
неравенства
с одной переменной

Неравенство вида $a x^{2} + b x + c > 0$ , где $a \neq = 0$

$x^{2} - 2 x - 3 > 0$ — где парабола выше оси $O x$ ?

При $a > 0$ ответ зависит только от корней

$D > 0$

$D = 0$

$D < 0$

Решим $- 2 x^{2} + x + 1 < 0$

Решите неравенство (сначала найдите $D$ )

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c \lor 0$ и решите

$D < 0$ — «нет решений»

Задача 1. $x^{2} + x - 6 \geq 0$

Задача 2. $4 - x^{2} < 0$

Мяч бросили вверх: $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (м)