Квадратные неравенства · урок 2 из 15

Множество решений
неравенства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 2/15, единица R02.2 «Множество решений неравенства». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-026 — понятие о решении неравенства; следующий ALG9U-028 — квадратные неравенства.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определения) 2 · 5 (числовые промежутки) 3 · 7 (равносильные преобразования) 2 · 9 (пересечение и объединение) 1,5 · 11 (неравенство ax > b) 2,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) 2 + 2,5 + 2 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ 13 (сл. 18) 1,5 · ОГЭ 20 (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 5 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать ответ

множество решений — промежутком, на прямой, символами $R$ , $\emptyset$ (ПР-8, ПР-2)

Решать линейные неравенства

равносильными преобразованиями, в том числе двойные (ПР-8)

Искать целые решения

число, сумма, наибольшее и наименьшее целое решение (ПР-13)

Рассуждать с параметром

$a x > b$ : знак $a$ решает всё (ПР-13, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел…». ПР-16 — модель реальной ситуации (сл. 20).
Вид деятельности ФРП: «Изображать решение неравенства с одной переменной … на координатной прямой, записывать решение с помощью символов. Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования свойства числовых неравенств».

разминка · R02.1

Разминка · устно

Решение неравенства и свойства числовых неравенств

3 x + 1 < 0

x = - 2

— решение?

да

2 x - 5 \geq 3

x = 4

— решение?

да

x^{2} > 0

x = 0

— решение?

нет

a < b

- 3 a □ - 3 b

>

a < b

a - 5 □ b - 5

<

5 □ 2, 5

сравните

<

2 x > 8

решите

x > 4

- x \leq 3

решите

x \geq - 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 3 · (−2) + 1 = −5 < 0 — да. 2) 8 − 5 = 3 ≥ 3 — да (нестрогое неравенство, граница входит). 3) 0 > 0 — неверно, нет.
4) Умножение на −3 меняет знак: −3a > −3b. 5) Вычитание числа знак сохраняет. 6) (√5)² = 5, 2,5² = 6,25; 5 < 6,25, значит √5 < 2,5 (понадобится на сл. 19).
7) Делим на 2 > 0: x > 4. 8) Умножаем на −1, знак меняется: x ≥ −3.
Карточки 1–3 — к определению (сл. 4), 4–5, 7–8 — к равносильным преобразованиям (сл. 7).

R02.2

Определение · множество решений

Решить неравенство — найти все его решения

Решение неравенства — значение переменной, при котором оно верно

Множество решений — множество всех его решений

Решить неравенство — найти множество решений или доказать, что оно пустое

x^{2} \geq 0

R

все числа

x^{2} < 0

\emptyset

пустое

x^{2} \leq 0

{0}

одна точка

2 x > 6

(3; + \infty)

промежуток

2 мин · теория
Определения повторяют прошлый урок одной строкой и вводят главное понятие урока: множество решений. Ответ к неравенству — не «одно число», а множество.
Вопрос классу к каждой карточке: «Подберите число, которое не подходит» — так видно, что множество может быть всей прямой (нет такого числа), пустым (подходит ничто), одной точкой, бесконечным промежутком.
x² ≥ 0 верно при любом x (квадрат неотрицателен) → ℝ = (−∞; +∞). x² < 0 — ни при каком x → ∅. x² ≤ 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0 → {0}. 2x > 6 ⇔ x > 3.
Символы: ℝ — множество действительных чисел, ∅ — пустое множество, {0} — множество из одного числа; запись x ∈ (3; +∞) читаем «x принадлежит промежутку».

R02.2

Схема · числовые промежутки

Три записи одного множества

Неравенство	Промежуток	Название
$a < x < b$	$(a; b)$	интервал
$a \leq x \leq b$	$[a; b]$	отрезок
$a \leq x < b$	$[a; b)$	полуинтервал
$x > a$	$(a; + \infty)$	открытый луч
$x \leq b$	$(- \infty; b]$	луч

<, >

— граница не входит: «(» и пустая точка

\leq, \geq

— граница входит: «[» и закрашенная точка

3 мин · теория
Правило: строгий знак (<, >) — граница не входит: круглая скобка и «выколотая» (пустая) точка. Нестрогий (≤, ≥) — граница входит: квадратная скобка и закрашенная точка. У бесконечности скобка всегда круглая: +∞ и −∞ — не числа.
Ещё варианты, назвать устно: a < x ≤ b → (a; b] — полуинтервал; x ≥ a → [a; +∞) — луч; x < b → (−∞; b) — открытый луч; все числа — (−∞; +∞) = ℝ.
Штриховка на прямой показывает множество решений. Вопрос: «Сколько чисел в интервале (1; 2)?» — бесконечно много, а целых — ни одного.

R02.2

Образец → сам · запись промежутком

Запишите промежутком и найдите целые решения

Образец

$- 2 < x \leq 5$

$(- 2; 5]$ $- 2$ не входит, $5$ входит

$- 1, 0, \dots, 5$ — $7$ целых $- 2$ выколота

Сам

база $x \geq - 1, 5$ : промежуток, наименьшее целое $[- 1, 5; + \infty)$ ; $- 1$
база $[- 3; 4)$ : неравенством; сколько целых? $- 3 \leq x < 4$ ; $7$
повыш.Сколько целых чисел в $(- 10; 17)$ ? $8$

R02.2

Свойства · равносильные неравенства

Что можно делать, не меняя множество решений

Равносильные неравенства — с одинаковыми множествами решений

A < B \Leftrightarrow A + c < B + c

c > 0 : A < B \Leftrightarrow c A < c B

c < 0 : A < B \Leftrightarrow c A > c B

$- 2 x < 6 \Leftrightarrow x > - 3$ $: (- 2)$ , знак меняется

Перенос слагаемого — со сменой его знака

2 мин · теория
Обоснование — свойства числовых неравенств (8 кл.): если a < b, то a + c < b + c; при c > 0 ac < bc; при c < 0 ac > bc. Применяем их к значениям выражений A и B при каждом x — множество решений не меняется.
Перенос слагаемого из одной части в другую — это прибавление одного и того же числа (выражения) к обеим частям.
Вопрос классу: можно ли умножить обе части на x? (Нет: знак x неизвестен — неизвестно, менять ли знак неравенства. Отсюда задачи с параметром, сл. 11.)

R02.2

Образец → сам · линейное неравенство

Решите неравенство, ответ — промежутком

Образец

$\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 1}{3} \geq 1$

$3 (x - 1) - 2 (2 x + 1) \geq 6$ $\cdot 6 > 0$

$- x - 5 \geq 6$ раскрыли скобки

$- x \geq 11$ перенос $- 5$

$x \leq - 11$ $\cdot (- 1)$ , знак меняется

$(- \infty; - 11]$ ответ

Сам

база $5 - 2 (x - 3) < 3 x + 1$ $(2; + \infty)$
база $\frac{3 x + 2}{4} - \frac{x}{2} \leq 1$ $(- \infty; 2]$
повыш. $(x + 3)^{2} - (x - 2)^{2} \geq 5 x$ $[- 1; + \infty)$

R02.2

Сводка · пересечение и объединение

«И» — общая часть, «или» — всё вместе

A \cap B

— пересечение: числа, которые есть и в

A

, и в

B

A \cup B

— объединение: числа, которые есть хотя бы в одном

a < f (x) < b

— это «и»

R02.2

Образец → сам · двойное неравенство

Преобразуйте все три части сразу

Образец

$- 3 \leq 1 - 2 x < 5$

$- 4 \leq - 2 x < 4$ $- 1$ из всех частей

$2 \geq x > - 2$ $: (- 2)$ , оба знака меняются

$- 2 < x \leq 2$ читаем слева направо

$(- 2; 2]$ ответ

Сам

база $- 1 < 2 x + 3 \leq 9$ $(- 2; 3]$
база $0 \leq \frac{4 - x}{3} < 2$ $(- 2; 4]$
повыш.Сколько целых решений у $- 5 < 3 - 4 x \leq 11$ ? $4$

R02.2 · ПР-13

Сводка · линейное неравенство с параметром

Знак коэффициента $a$ решает всё

$a > 0$

$x > \frac{b}{a}$

знак сохраняется

$a < 0$

$x < \frac{b}{a}$

знак меняется

$a = 0$ : $0 \cdot x > b$

$b < 0$ : $R$

$b \geq 0$ : $\emptyset$

2 (x + 1) - 2 x > 1 \Leftrightarrow 2 > 1

:

R

3 x - 3 (x - 1) < 2 \Leftrightarrow 3 < 2

:

\emptyset

2,5 мин · теория
Демонстрация учителя: любое линейное неравенство после переноса приводится к виду ax > b (или <, ≥, ≤). Делить на a можно, только зная знак a.
Случай a = 0: неравенство 0 · x > b не зависит от x. Если оно верно (b < 0) — решение любое число; если неверно (b ≥ 0) — решений нет. Для нестрогого 0 · x ≥ b: b ≤ 0 → ℝ, b > 0 → ∅.
Примеры внизу: 2x + 2 − 2x = 2 > 1 — верно при всех x; 3x − 3x + 3 = 3 < 2 — неверно ни при каком x.
Это ключ к задачам с параметром (сл. 12): разбираем три случая — a > 0, a < 0, a = 0.

R02.2 · ПР-13

Образец → сам · неравенство с параметром

Решите неравенство при каждом значении $a$

Образец

$(a - 1) x > a^{2} - 1$

$a > 1$ : $x > a + 1$ $: (a - 1) > 0$

$a < 1$ : $x < a + 1$ $: (a - 1) < 0$

$a = 1$ : $0 \cdot x > 0$ , $\emptyset$ неверно

Сам

база $a x \leq 3 a$ $a > 0$ : $x \leq 3$ ; $a < 0$ : $x \geq 3$ ; $a = 0$ : $R$
повыш. $(a + 2) x > 4 - a^{2}$ $a > - 2$ : $x > 2 - a$ ; $a < - 2$ : $x < 2 - a$ ; $a = - 2$ : $\emptyset$
повыш.При каких $a$ неравенство $(a - 3) x < a + 1$ верно при всех $x$ ? $a = 3$

3 мин · практика
Образец: a² − 1 = (a − 1)(a + 1), при a ≠ 1 делим на a − 1 и сокращаем. Проверка a = 2: x > 3 — подставим x = 4: 4 > 3 ✓. Проверка a = 0: −x > −1 ⇔ x < 1 = a + 1 ✓.
1) a = 0: 0 ≤ 0 — верно при любом x → ℝ. 2) 4 − a² = (2 − a)(2 + a); при a = −2: 0 · x > 0 — неверно → ∅. Проверка a = 0: 2x > 4 ⇔ x > 2 = 2 − 0 ✓.
3) При a ≠ 3 множество решений — открытый луч, а не ℝ. При a = 3: 0 · x < 4 — верно при всех x. Ответ a = 3.
Ответ оформлять по случаям, каждое значение параметра должно попасть ровно в один случай.

R02.2 · ПР-13

Образец → сам · обратная задача

По множеству решений найдите коэффициент

Образец

При каком $a$ множество решений $3 x - a \geq x + 1$ — это $[2; + \infty)$ ?

$2 x \geq a + 1$ перенос

$x \geq \frac{a + 1}{2}$ $: 2 > 0$

$\frac{a + 1}{2} = 2, a = 3$ граница луча

Сам

базаНаибольшее целое решение $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 1$ $11$
базаПри каком $b$ множество решений $5 x + b < 2 x$ — это $(- \infty; - 3)$ ? $b = 9$
повыш.При каких $a$ у $2 x \leq a$ ровно три натуральных решения? $6 \leq a < 8$

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак не поменяли

$- 3 x < 12 \Rightarrow x < - 4$

$x > - 4$

делим на отрицательное — знак меняется

Не та скобка

$x \leq 5$ : $(- \infty; 5)$ ; $[- \infty; 5]$

$(- \infty; 5]$

граница входит — «[»; у $\infty$ — только «(»

Делим на букву

$a x > a \Rightarrow x > 1$

$a > 0$ : $x > 1$ ; $a < 0$ : $x < 1$ ; $a = 0$ : $\emptyset$

знак $a$ неизвестен

R02.2

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{2 x - 1}{3} - x \geq 1$

$2 x - 1 - 3 x \geq 1$

$- x \geq 2, x \leq - 2$

Ответ: $(- \infty; - 2]$

Ошибка: правую часть тоже умножают на $3$

$2 x - 1 - 3 x \geq 3$ , $x \leq - 4$ : $(- \infty; - 4]$

Задача 2. $- 2 < 3 - x \leq 4$

$- 5 < - x \leq 1$

$5 < x \leq - 1$

Ответ: решений нет

Ошибка: умножили на $- 1$ , а знаки не поменяли

$5 > x \geq - 1$ : $[- 1; 5)$

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство, ответ — промежутком

$3 x - 7 > 2$ $(3; + \infty)$
$4 - 5 x \geq - 6$ $(- \infty; 2]$
$2 (x - 1) \leq 5 x + 4$ $[- 2; + \infty)$

$- 4 \leq 2 x < 6$ $[- 2; 3)$
Число целых решений: $- 3 < x \leq 2$ $5$
$3 (x + 2) - 3 x > 5$ $R$

R02.2 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Дроби, целые решения, параметр

повыш. $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} > x$ $(- \infty; 1)$
повыш. $(2 x - 1)^{2} \leq 4 x^{2} - 3$ $[1; + \infty)$
повыш.Сумма целых решений: $- 1 < \frac{2 - 3 x}{4} \leq 5$ $- 20$
повыш.Решите $(a - 2) x \geq a - 2$ $a > 2$ : $x \geq 1$ ; $a < 2$ : $x \leq 1$ ; $a = 2$ : $R$
повыш.При каких $a$ у $(a^{2} - 4) x > a + 2$ нет решений? $a = \pm 2$

R02.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$ 2

1)

2)

3)

4)

Какое неравенство верно при любом $x$ ? 2

1)

x^{2} - 5 > 0

2)

x^{2} + 5 > 0

3)

x^{2} + 5 < 0

4)

x^{2} - 5 < 0

R02.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство: сначала знак числового множителя

$(5 - 2, 5) (3 - 2 x) > 0$ $(1, 5; + \infty)$
$(17 - 4) (2 x - 7) \leq 0$ $(- \infty; 3, 5]$
$\frac{x - 2}{3 - 2} \geq 0$ $(- \infty; 2]$

5 < 2, 5

, так как

5 < 6, 25

Множитель

< 0

— делим на него и меняем знак

Оформление: сравнение → деление → ответ

R02.2 · ПР-16

Задача из жизни

Тариф A: 350 ₽ в месяц + 3 ₽/мин. Тариф B: 8 ₽/мин

практикаПри каком числе минут тариф A дешевле? от $71$ мин
практикаСколько минут можно говорить по A, уложившись в $800$ ₽? до $150$
повыш.При каком числе минут оба тарифа не дороже $600$ ₽? до $75$

R02.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $5 x - 3 \leq 2 x + 9$ $(- \infty; 4]$
база $\frac{x}{2} - \frac{x - 3}{5} > 3$ $(8; + \infty)$
базаЧисло целых решений $- 7 < 1 - 2 x \leq 5$ $6$
повыш.Решите $(a + 3) x \leq 2 a + 6$ $a > - 3$ : $x \leq 2$ ; $a < - 3$ : $x \geq 2$ ; $a = - 3$ : $R$

Вариант 2

база $7 - 3 x \geq x - 5$ $(- \infty; 3]$
база $\frac{x}{3} - \frac{x + 2}{4} < 1$ $(- \infty; 18)$
базаЧисло целых решений $- 3 \leq 3 x + 6 < 12$ $5$
повыш.Решите $(a - 4) x > 2 a - 8$ $a > 4$ : $x > 2$ ; $a < 4$ : $x < 2$ ; $a = 4$ : $\emptyset$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «решить неравенство»?
Когда скобка круглая, когда квадратная?
Что делать, если коэффициент при $x$ — с параметром?

Домашнее задание

$\frac{3 x - 1}{4} - \frac{x + 1}{2} \leq x$
Сумма целых решений $- 4 \leq \frac{5 - x}{2} < 3$
Решите $(a^{2} - 1) x \geq a + 1$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-027 · Множество решений неравенства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 2/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.2 «Множество решений неравенства» → 2, 4–22 · опора R02.1 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12–22)
Результаты	ПР-8 (линейные неравенства, изображение на прямой, запись символами) → 2–10, 14–19, 21 · ПР-2 (множество действительных чисел) → 4, 5, 9 · ПР-13 (неравенства, в том числе в целых числах) → 6, 10–13, 16, 17, 21 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратные неравенства — ALG9U-028; метод интервалов — ALG9U-029; модуль — R02.5; системы неравенств — R02.6
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Множество решенийнеравенства

Сегодня вы научитесь

Записывать ответ

Решать линейные неравенства

Искать целые решения

Рассуждать с параметром

Решение неравенства и свойства числовых неравенств

Решить неравенство — найти все его решения

Три записи одного множества

Запишите промежутком и найдите целые решения

Образец

Сам

Что можно делать, не меняя множество решений

Решите неравенство, ответ — промежутком

Образец

Сам

«И» — общая часть, «или» — всё вместе

Преобразуйте все три части сразу

Образец

Сам

Знак коэффициента a решает всё

a>0

a<0

a=0: 0⋅x>b

Решите неравенство при каждом значении a

Образец

Сам

По множеству решений найдите коэффициент

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак не поменяли

Не та скобка

Делим на букву

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. 32x−1​−x≥1

Задача 2. −2<3−x≤4

Решите неравенство, ответ — промежутком

Дроби, целые решения, параметр

Укажите решение неравенства 4x+5≥6x−2 2

Решите неравенство: сначала знак числового множителя

Тариф A: 350 ₽ в месяц + 3 ₽/мин. Тариф B: 8 ₽/мин

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-027 · Множество решений неравенства

Множество решений
неравенства

Знак коэффициента $a$ решает всё

$a > 0$

$a < 0$

$a = 0$ : $0 \cdot x > b$

Решите неравенство при каждом значении $a$

Задача 1. $\frac{2 x - 1}{3} - x \geq 1$

Задача 2. $- 2 < 3 - x \leq 4$

Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$ 2