Квадратные неравенства · урок 1 из 15

Понятие о решении неравенства с одной переменной

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG9U-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства» (15 ч), урок 1/15, единица R02.1 «Понятие о решении неравенства с одной переменной». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-025 — обобщение по теме «Функции»; следующий ALG9U-027 — множество решений неравенства.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (неравенство с переменной, решение) 3 · 6 (ответ промежутком) 2 · 7 (равносильные неравенства, правила) 2 · 9 (схема ax > b) 2 · 11 (где ищем решения, опасные переходы) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 8, 10, 12, 13) 2 + 3 + 2 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ 13 (сл. 18) 1,5 · ОГЭ 20 (сл. 19) 1,5 · задача из жизни (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и сам-задания сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое решение

проверять подстановкой, является ли число решением неравенства (ПР-8)

Решать линейные неравенства

равносильными преобразованиями; ответ — на прямой и промежутком (ПР-8)

Видеть особые случаи

«решений нет», «любое число», целые решения (ПР-13)

Рассуждать и моделировать

неравенство с параметром, задача из жизни (ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Читать, записывать, понимать, интерпретировать неравенства; использовать символику и терминологию. Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования свойства числовых неравенств».

повторение: 8 класс, числовые неравенства

Разминка · устно

Числовые неравенства и их свойства

- 3

и

- 5

сравните

- 3 > - 5

a > b

a - 4 □ b - 4

>

a > b

- 2 a □ - 2 b

<

\frac{a}{3} □ \frac{b}{3}

если

a < b

<

(- 2)^{2} - 5 < 0

верно?

да

3 \geq 3

верно?

да

0, 5 > \frac{1}{2}

верно?

нет

- 2 x = 6

решите

- 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику. Первый урок строки — разминка по свойствам числовых неравенств (8 класс).
1) −3 правее −5 на прямой, −3 > −5. 2) К обеим частям прибавили −4 — знак тот же: a − 4 > b − 4. 3) Умножили на −2 < 0 — знак меняется: −2a < −2b. 4) Разделили на 3 > 0 — знак тот же.
5) 4 − 5 = −1 < 0 — верно. 6) «≥» читается «больше или равно»: 3 = 3 — верно. 7) 0,5 = 1/2, строгое «>» неверно. 8) x = −3.
Карточки 2–4 — основа равносильных преобразований (сл. 7); 5–7 — проверка решения подстановкой (сл. 4–5).

R02.1

Новое понятие

Неравенство с переменной и его решение

3 x - 5 > 1

x^{2} \leq 4 x

\frac{1}{x} \geq 2

строгие: $>, <$ · нестрогие: $\geq, \leq$

Решение неравенства — значение переменной, при котором оно обращается в верное числовое неравенство.

$x$	$3 x - 5 > 1$	итог
$3$	$4 > 1$ — верно	решение
$2$	$1 > 1$ — неверно	не решение

Решить неравенство — найти все его решения или доказать, что их нет.

3 мин · теория
Неравенство с одной переменной — два выражения с переменной, соединённые знаком >, <, ≥ или ≤. Знак ≥ означает «больше или равно» (≥ верно, если выполнено > или =).
Проверка подстановкой: x = 3: 9 − 5 = 4 > 1 — верно, 3 — решение. x = 2: 6 − 5 = 1, а 1 > 1 неверно — 2 не решение (но 2 было бы решением нестрогого 3x − 5 ≥ 1).
Вопрос классу: сколько решений у 3x − 5 > 1? (Бесконечно много: все x > 2.) Поэтому «решить» — значит найти ВСЕ решения: подстановкой это сделать нельзя, нужны правила (сл. 7).
Сравнить с уравнением: у уравнения обычно конечное число корней, у неравенства — обычно бесконечное множество решений.

R02.1

Образец → сам · проверка подстановкой

Является ли число решением?

Образец

Какие из чисел $- 2; 0; 4$ — решения неравенства $x^{2} - 3 x < 4$ ?

$x = - 2 : 4 + 6 = 10 < 4$ неверно

$x = 0 : 0 < 4$ верно

$x = 4 : 16 - 12 = 4 < 4$ неверно

Ответ: $0$ знак строгий

Сам

базаЯвляется ли $- 1$ решением
$2 x + 7 \geq 5$ ? да: $5 \geq 5$
базаКакие из чисел $- 3; 0; 2$ — решения
$x^{2} + 2 x \leq 3$ ? $- 3$ и $0$
повыш.Является ли $2$ решением
$x^{2} - 32 x + 4 > 0$ ? нет: $2 - 6 + 4 = 0$

R02.1 · опора 8 кл.

Схема · запись ответа

Решения изображают на прямой и записывают промежутком

R02.1

Правила · равносильные неравенства

Преобразования, которые не меняют решений

Равносильные неравенства — с одинаковыми множествами решений.

1. Перенос слагаемого с противоположным знаком

$2 x - 5 > x ⟺ 2 x - x > 5$

2. Умножить (разделить) на число $> 0$ — знак тот же

$\frac{x}{3} \leq 2 ⟺ x \leq 6$

3. Умножить (разделить) на число $< 0$ — знак меняется

$- 2 x < 6 ⟺ x > - 3$

R02.1

Образец → сам · линейное неравенство

Решите, указывая правило на каждом шаге

Образец

$5 - 2 (x + 1) \geq 3 x - 7$

$3 - 2 x \geq 3 x - 7$ раскрыли скобки

$- 2 x - 3 x \geq - 7 - 3$ перенос

$- 5 x \geq - 10$

$x \leq 2$ : $(- 5)$ , знак меняется

Ответ: $(- \infty; 2]$

Сам

база $3 x - 4 < 5 x + 6$ $(- 5; + \infty)$
база $\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{3} \geq 1$ $[9; + \infty)$
повыш. $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} \leq \frac{x}{6}$ $(- \infty; - \frac{10}{3}]$

R02.1

Схема · линейное неравенство

Всё решает знак коэффициента $a$

R02.1

Образец → сам · нет решений или любое число

Когда $x$ «исчезает» или помогает оценка

Образец

а) $2 (x + 3) - 2 x \leq 5$

$6 \leq 5$ неверно при любом $x$

решений нет $0 \cdot x \leq - 1$

б) $(x - 1)^{2} + 3 > 0$

$(x - 1)^{2} + 3 \geq 3 > 0$ квадрат $\geq 0$

$x$ — любое: $(- \infty; + \infty)$

Сам

база $4 x - (4 x + 3) < 0$ любое $x$
база $x^{2} + 4 \leq 0$ нет решений
повыш. $(x - 3)^{2} \leq 0$ $x = 3$
повыш. $(x + 2)^{2} > 0$ $x \neq = - 2$

R02.1

Важно · допустимые значения

Решения — только там, где обе части имеют смысл

Неравенство с дробью

$\frac{6}{x - 2} > 0$

$x = 3$ : $6 > 0$ — решение

$x = 2$ : на $0$ делить нельзя — не решение

Опасно: делить на $x$

$x^{2} > x \Rightarrow x > 1$ ?

$x = - 1$ : $1 > - 1$ — верно!

Решение $- 1$ потеряно: знак $x$ неизвестен

Умножать и делить обе части можно только на число или выражение известного знака.

R02.1

Образец → сам · параметр

При каких $a$ число — решение?

Образец

При каких $a$ число $2$ — решение неравенства $a x^{2} - 3 x + a > 0$ ?

$4 a - 6 + a > 0$ подставили $x = 2$

$5 a > 6$ перенос

$a > 1, 2$ : $5 > 0$

Сам

базаПри каких $a$ число $- 1$ — решение неравенства $2 x + a \geq 3$ ? $a \geq 5$
повыш.При каких $b$ число $3$ не является решением неравенства $x^{2} - b x < 6$ ? $b \leq 1$
повыш.Решите неравенство $a x > 3$ для всех $a$ . $a > 0$ : $x > \frac{3}{a}$ ; $a < 0$ : $x < \frac{3}{a}$ ;
$a = 0$ : нет решений

3 мин · практика
Образец: после подстановки x = 2 неравенство становится линейным относительно a. Проверка границы a = 1,2: 4,8 − 6 + 1,2 = 0, а 0 > 0 неверно — значит, 1,2 не входит, ответ a > 1,2. (При a = 0 неравенство −3x > 0 — линейное; число 2 не решение, что согласуется с ответом.)
1) −2 + a ≥ 3, a ≥ 5. Граница a = 5: −2 + 5 = 3 ≥ 3 ✓ — входит.
2) 3 — решение при 9 − 3b < 6, т. е. b > 1. Значит, не решение при b ≤ 1. Граница b = 1: 9 − 3 = 6, 6 < 6 неверно — не решение ✓.
3) По схеме сл. 9: при a = 0 получаем 0 · x > 3 — неверно при любом x, решений нет. Это и есть «вырожденный случай» — его обязательно разбирать отдельно.

R02.1 · ПР-13

Образец → сам · целые решения

Наибольшее и наименьшее целое решение

Образец

Наибольшее целое решение неравенства $\frac{3 x - 1}{2} < x + 2$

$3 x - 1 < 2 x + 4$ $\cdot 2 > 0$

$x < 5$ перенос

Ответ: $4$ $5$ не входит

Сам

базаНаименьшее целое решение
$4 - 3 x < 2 x + 1$ $1$
базаНаибольшее целое решение
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} \geq - 1$ $6$
повыш.Наибольшее натуральное решение
$(x - 3)^{2} \geq (x + 1) (x - 5)$ $7$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Почему ошибка	Неверно	Верно
делили на число $< 0$ , знак не сменили	$- 3 x < 12 \Rightarrow x < - 4$	$x > - 4$
скобка не по знаку	$x \geq 2$ : $(2; + \infty)$	$[2; + \infty)$
разделили на $x$	$x^{2} > 3 x \Rightarrow x > 3$	потеряны $x < 0$ , например $- 1$
« $x$ пропал — решений нет»	$0 \cdot x > - 2$ : решений нет	любое $x$ : $- 2 < 0$ верно

R02.1

Найди ошибку

Ученик решил три неравенства. Где ошибки?

а) $\frac{x}{2} - \frac{x + 1}{3} > 1$

$3 x - 2 x + 2 > 6$

$x > 4$

$- 2 (x + 1) = - 2 x - 2$

$x - 2 > 6, x > 8$

б) $7 - 2 x \geq 3 x - 8$

$- 5 x \geq - 15$

$x \geq 3$ : $(3; + \infty)$

делим на $- 5$ : $x \leq 3$

$(- \infty; 3]$

в) $x^{2} \geq 2 x$

делю на $x$ : $x \geq 2$

$x = 0$ , $x = - 1$ — тоже решения

знак $x$ неизвестен — делить нельзя

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибки, затем открывать исправления.
а) Умножили на 6: 3x − 2(x + 1) > 6; ошибка в знаке при раскрытии скобок. Верно: 3x − 2x − 2 > 6, x > 8. Проверка: x = 8: 4 − 3 = 1 > 1 — неверно (8 не входит); x = 9: 4,5 − 10/3 ≈ 1,17 > 1 ✓. Ответ (8; +∞).
б) Две ошибки: при делении на −5 знак не сменили; для нестрогого знака скобка должна быть квадратной. Верно x ≤ 3. Проверка x = 3: 7 − 6 = 1 ≥ 9 − 8 = 1 ✓.
в) x = 0: 0 ≥ 0 ✓; x = −1: 1 ≥ −2 ✓ — решения, которых нет в ответе ученика. Полное множество решений (x ≤ 0 или x ≥ 2) найдём на уроке о квадратных неравенствах.

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

$5 x - 3 > 2 x + 9$ $(4; + \infty)$
$2 - 3 x \leq 11$ $[- 3; + \infty)$
$\frac{x}{4} \geq - 2$ $[- 8; + \infty)$

$3 (x - 1) < 4 x + 2$ $(- 5; + \infty)$
$- 2$ — решение $x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$ ? да
$6 x - 2 (3 x + 1) > - 5$ любое $x$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Дроби, квадраты и параметр

повыш. $\frac{x - 2}{3} - \frac{2 x + 1}{4} \geq \frac{1}{6}$ $(- \infty; - 6, 5]$
повыш. $(x + 3)^{2} - (x - 1) (x + 1) < 4$ $(- \infty; - 1)$
повыш. $(2 x - 5)^{2} \leq 0$ $x = 2, 5$
повыш.При каких $a$ неравенство $(a - 2) x \geq 4$ не имеет решений? $a = 2$

R02.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Выберите верный ответ

Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$ . 1

1)

(- \infty; 3, 5]

2)

[3, 5; + \infty)

3)

(- \infty; - 3, 5]

4)

[- 3, 5; + \infty)

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $5 - 2 x > 3 x - 10$ ? 2

R02.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Коэффициент с корнем: сначала его знак

Решите неравенство $(3 - 2) x < 23 - 4$ .

$3 < 4 = 2 \Rightarrow 3 - 2 < 0$

$x > \frac{2 3 - 4}{3 - 2}$ знак меняется

$\frac{2 ( 3 - 2 )}{3 - 2} = 2$ сократили

Ответ: $(2; + \infty)$

Сам

ОГЭ 20 $(7 - 3) x \geq 7 - 37$ $(- \infty; 7]$
ОГЭ 20 $(2 - 5) (x + 1) \leq 0$ $[- 1; + \infty)$

1,5 мин · практика
Задание 20 оценивается в 2 балла: нужно обоснование знака коэффициента (√3 < 2, так как 3 < 4) и верный ответ. 1 балл — если знак не обоснован или допущена вычислительная ошибка при верном ходе.
1) 7 < 9, √7 < 3, √7 − 3 < 0; делим, знак меняется: x ≤ (7 − 3√7)/(√7 − 3) = √7(√7 − 3)/(√7 − 3) = √7. Ответ (−∞; √7].
2) 5 > 4, √5 > 2, 2 − √5 < 0; делим на него: x + 1 ≥ 0, x ≥ −1. Ответ [−1; +∞).
Типичная потеря: «x < 2» — разделили на отрицательное число, не сменив знак.

R02.1 · ПР-16

Задача из жизни

Тариф А: $150$ ₽ + $25$ ₽/км · тариф Б: $300$ ₽ + $19$ ₽/км

практикаПри каком расстоянии $x$ км тариф Б дешевле? $300 + 19 x < 150 + 25 x$ : $x > 25$
практикаСколько целых километров можно проехать по тарифу А на $700$ ₽? $150 + 25 x \leq 700$ : не больше $22$

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $7 x - 2 \geq 4 x + 10$ $[4; + \infty)$
база $3 - 5 x < 2 (x + 5)$ $(- 1; + \infty)$
база $3$ — решение $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ ? нет
повыш.Наибольшее целое решение $\frac{x + 1}{2} - \frac{x}{3} \leq 2$ $9$

Вариант 2

база $5 x + 4 \leq 2 x - 8$ $(- \infty; - 4]$
база $4 - 3 x > 2 (x - 3)$ $(- \infty; 2)$
база $- 1$ — решение $x^{2} + 5 x + 4 \leq 0$ ? да
повыш.Наименьшее целое решение $\frac{x - 1}{3} - \frac{x}{2} < 1$ $- 7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит « $x_{0}$ — решение неравенства»?
Когда при делении меняется знак?
Когда у $a x > b$ нет решений?

Домашнее задание

$\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} > - 1$
$(x - 4)^{2} + 1 > 0$ ; при каких $a$ число $1$ — решение $a x^{2} + (a - 3) x - 1 \geq 0$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-026 · Понятие о решении неравенства с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R02 «Уравнения и неравенства: квадратные неравенства», 15 ч · урок 1/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о решении неравенства с одной переменной» → 2, 4–22 · повторение 8 класса (числовые неравенства, промежутки) → 3, 6
Результаты	ПР-8 (линейные неравенства, изображение на прямой, запись символами) → 4–10, 14–19, 21 · ПР-13 (ограничения, целые решения) → 13, 21 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 20 · ПР-7 (параметр, опора) → 12, 17
Вне урока	множество решений, объединение и пересечение промежутков — ALG9U-027; квадратные неравенства — ALG9U-028; метод интервалов — ALG9U-029; модуль — ALG9U-030; системы неравенств — R02.6
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о решении неравенства с одной переменной

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое решение

Решать линейные неравенства

Видеть особые случаи

Рассуждать и моделировать

Числовые неравенства и их свойства

Неравенство с переменной и его решение

Является ли число решением?

Образец

Сам

Решения изображают на прямой и записывают промежутком

Преобразования, которые не меняют решений

1. Перенос слагаемого с противоположным знаком

2. Умножить (разделить) на число >0 — знак тот же

3. Умножить (разделить) на число <0 — знак меняется

Решите, указывая правило на каждом шаге

Образец

Сам

Всё решает знак коэффициента a

Когда x «исчезает» или помогает оценка

Образец

Сам

Решения — только там, где обе части имеют смысл

Неравенство с дробью

Опасно: делить на x

При каких a число — решение?

Образец

Сам

Наибольшее и наименьшее целое решение

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Ученик решил три неравенства. Где ошибки?

а) 2x​−3x+1​>1

б) 7−2x≥3x−8

в) x2≥2x

Решите и сверьте ответ

Дроби, квадраты и параметр

Выберите верный ответ

Коэффициент с корнем: сначала его знак

Сам

Тариф А: 150 ₽ + 25 ₽/км · тариф Б: 300 ₽ + 19 ₽/км

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-026 · Понятие о решении неравенства с одной переменной

2. Умножить (разделить) на число $> 0$ — знак тот же

3. Умножить (разделить) на число $< 0$ — знак меняется

Всё решает знак коэффициента $a$

Когда $x$ «исчезает» или помогает оценка

Опасно: делить на $x$

При каких $a$ число — решение?

а) $\frac{x}{2} - \frac{x + 1}{3} > 1$

б) $7 - 2 x \geq 3 x - 8$

в) $x^{2} \geq 2 x$

Тариф А: $150$ ₽ + $25$ ₽/км · тариф Б: $300$ ₽ + $19$ ₽/км