Функции · урок 25 из 25 · обобщение

Обобщение
и систематизация:
функции

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 25/25 — последний в строке; тип О (обобщение и систематизация), единицы R01.1–R01.13. Прошлый урок ALG9U-024 — свойства квадратичной функции в задачах; следующий ALG9U-026 — понятие о решении неравенства (R02).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (карта темы) 3 · 5 (свойства и преобразования) 3 · 8 (квадратичная функция) 2 · 13 (типичные ошибки) 2. Только сводки — материал знаком.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 11, 12) 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ 11 (сл. 17) 2 · ОГЭ 22 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и вопрос 3 сл. 19 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.1–R01.13

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему в систему

Читать свойства

по формуле и графику: $D$ , $E$ , нули, знаки, монотонность, чётность (ПР-18)

Строить преобразованиями

$y = a f (x + b) + c$ , $f (∣ x ∣)$ , $∣ f (x) ∣$ — из известного графика (ПР-21, ПР-23)

Работать с трёхчленом

корни, разложение, вершина, знаки коэффициентов (ПР-4, ПР-5, ПР-20)

Решать графически

сколько общих точек с $y = m$ , задачи ОГЭ 22 и из жизни (ПР-14, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-18 (ФРП дословно): «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций…». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-23: «…строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований…».
ПР-4, ПР-5: корни квадратного трёхчлена и разложение на линейные множители. ПР-20: положение графика в зависимости от коэффициентов. ПР-14: исследование с графическими представлениями. ПР-22: свойства квадратичной функции для решения задач.
Вопрос классу: какие функции мы изучили в этой теме? (Квадратичная, степенные $y = x^{n}$ , $y = x$ , $y = 3 x$ , $y = ∣ x ∣$ .)

разминка · R01.1–R01.13

Разминка · устно

Восемь вопросов по всей теме

f (x) = x^{2} - 3 x

f (- 2) = ?

10

y = x^{2} - 4 x

нули функции

0; 4

y = (x - 2)^{2} + 5

вершина

(2; 5)

y = - x^{2} + 4

наибольшее значение

4

y = x

область определения

x \geq 0

y = x^{3}

чётная или нечётная?

нечётная

x^{2} - 5 x + 6

= (x - 2) (\dots)

x - 3

y = ∣ x ∣ - 3

наименьшее значение

- 3

R01.7 · R01.12 · R01.13

Сводка · карта темы

Шесть графиков, которые нужно узнавать сразу

$y = x^{2}$

чётная, $E : y \geq 0$

$y = x^{3}$

нечётная, возрастает

$y = x$

$D : x \geq 0$ , возрастает

$y = 3 x$

нечётная, $D = R$ , возрастает

$y = ∣ x ∣$

чётная, $E : y \geq 0$

$y = a x^{2} + b x + c$

парабола, вершина $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

3 мин · теория
Степенная функция $y = x^{n}$ : при чётном $n$ — как $y = x^{2}$ (чётная, $E : y \geq 0$ , убывает на $(- \infty; 0]$ , возрастает на $[0; + \infty)$ ); при нечётном — как $y = x^{3}$ (нечётная, возрастает на всей прямой).
$y = x$ и $y = x^{2}$ при $x \geq 0$ — взаимно обратные (графики симметричны относительно $y = x$ ); так же $y = 3 x$ и $y = x^{3}$ . $y = 3 x$ определена при всех $x$ : $3 - 8 = - 2$ .
$y = ∣ x ∣$ — «уголок», кусочно-заданная: $x$ при $x \geq 0$ и $- x$ при $x < 0$ . Последняя карточка — $y = x^{2} - 2 x - 1$ , вершина $(1; - 2)$ .
Вопрос классу: какие из шести функций чётные? (1, 5.) Нечётные? (2, 4.) Ни те ни другие? (3, 6.)

R01.2 · R01.3

Сводка · свойства и преобразования

Что читаем по графику и как его двигаем

Свойства функции

$D (f)$ , $E (f)$ — области
нули: $f (x) = 0$
знаки: где $f (x) > 0$ , $f (x) < 0$
возрастание, убывание
чётная: $f (- x) = f (x)$
нечётная: $f (- x) = - f (x)$
наибольшее, наименьшее

Формула	Что сделать с графиком $y = f (x)$
$f (x) + c$	сдвиг вдоль $O y$ на $c$
$f (x + b)$	сдвиг вдоль $O x$ на $- b$ : при $b > 0$ — влево
$a f (x)$	растяжение от $O x$ в $∣ a ∣$ раз; при $a < 0$ — ещё отражение
$f (∣ x ∣)$	правую часть сохранить и отразить относительно $O y$
$∣ f (x) ∣$	часть ниже $O x$ отразить вверх

3 мин · теория
Свойства — по определениям урока ALG9U-002. Чётность проверяем при симметричной $D (f)$ : $y = x$ ни чётная, ни нечётная, потому что $D$ не симметрична.
Порядок для $y = a f (x + b) + c$ : сдвиг по $O x$ → растяжение/отражение → сдвиг по $O y$ . Вершина $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ — в точке $(x_{0}; y_{0})$ .
$f (∣ x ∣)$ всегда чётная функция; график $∣ f (x) ∣$ целиком не ниже оси $O x$ . Именно эти два графика — основа задач линии 22 (сл. 11, 18).
Вопрос классу: куда сдвинется график $y = x$ , если написать $y = x - 3$ ? (Вправо на 3.)

R01.2 · R01.7

Образец → сам · свойства по формуле

Опишите свойства функции

Образец

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

нули: $- 1; 3$ $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , Виета

вершина $(1; 4)$ $x_{0} = - \frac{b}{2 a} = 1$

$y > 0$ при $x \in (- 1; 3)$ ветви вниз

возр. на $(- \infty; 1]$ , $E = (- \infty; 4]$ $a < 0$

Сам: $y = x^{2} + 2 x - 8$

базаНули функции $- 4; 2$
базаГде $y < 0$ ? $x \in (- 4; 2)$
повыш.Промежуток убывания и наименьшее значение $(- \infty; - 1]$ ; $- 9$

R01.3 · R01.9

Образец → сам · преобразования графиков

Постройте график из известного

Образец

$y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$

$y = (x - 1)^{2}$ вправо на 1

$y = - 2 (x - 1)^{2}$ $\times 2$ , отражение

$+ 3$ : вершина $(1; 3)$ сдвиг вверх

Сам

база $y = ∣ x - 3∣ + 1$ : вершина «уголка» $(3; 1)$
база $y = x + 4 - 2$ : $D$ и $E$ $x \geq - 4$ ; $y \geq - 2$
повыш. $y = (x + 2)^{3} - 1$ : точка на $O y$ $(0; 7)$

R01.4–R01.10

Сводка · квадратичная функция

$y = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$ : всё на одном рисунке

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

a > 0

— ветви вверх;

c

— точка

(0; c)

на

O y

a

и

b

одного знака — вершина левее

O y

R01.5 · R01.6

Образец → сам · разложение на множители

Сократите дробь

Образец

$\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x ^{2} - 9}$

$D = 25 + 24 = 49$ : $3; - \frac{1}{2}$ корни

$2 (x - 3) (x + \frac{1}{2}) = (x - 3) (2 x + 1)$ $a = 2$

$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ $x \neq = 3$

Сам

базаРазложите $x^{2} - 7 x + 12$ $(x - 3) (x - 4)$
базаРазложите $3 x^{2} + 5 x - 2$ $(3 x - 1) (x + 2)$
повыш.Сократите $\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{2 x ^{2} + x - 1}$ $\frac{x - 5}{2 x - 1}$

R01.8 · R01.11

Образец → сам · вершина и множество значений

Найдите вершину и множество значений

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

$x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$ абсцисса вершины

$y_{0} = 8 - 16 + 5 = - 3$ подставили $x_{0}$

$a = 2 > 0$ : $E = [- 3; + \infty)$ ветви вверх

Сам

базаВершина параболы $y = - x^{2} + 6 x - 5$ $(3; 4)$
база $E$ функции $y = 3 x^{2} + 12 x + 1$ $[- 11; + \infty)$
повыш.Наибольшее значение $y = - x^{2} + 6 x - 5$ на отрезке $[4; 6]$ $3$

R01.3 · R01.11 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

Сколько общих точек с прямой $y = m$ ?

Образец: $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ , ровно 3 точки

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x + 3$ ,
вершина $(2; - 1)$

чётная — отразить
относительно $O y$

3 точки: через $(0; 3)$ ,
$m = 3$

Сам: тот же график

базаРовно 2 точки $m = - 1$ или $m > 3$
базаРовно 4 точки $- 1 < m < 3$
повыш. $y = ∣ x^{2} - 2 x - 3∣$ : ровно 3 $m = 4$

R01.12 · R01.13

Образец → сам · уравнения с корнем и модулем

Решите уравнение, проверьте монотонностью

Образец

$x = 6 - x$

$t = x \geq 0$ : $t^{2} + t - 6 = 0$ замена

$t = 2$ ( $t = - 3 < 0$ — нет) Виета

$x = 4$ проверка: $2 = 6 - 4$

слева возрастает, справа убывает — корень один

Сам

база $3 x = 2 - x$ $1$
повыш. $∣ x - 1∣ = x^{2} - 1$ $- 2; 1$
повыш.Сколько корней у $x^{4} = 2 - x$ ? $2$

2 мин · практика
Образец: функция $y = x$ возрастает, $y = 6 - x$ убывает — графики пересекаются не более чем в одной точке, найденный корень единственный.
1) Подбор: $x = 1$ : $1 = 1$ ; левая часть возрастает, правая убывает — корень один.
2) $x \geq 1$ : $x - 1 = x^{2} - 1$ , $x^{2} - x = 0$ , $x = 1$ ( $x = 0$ не подходит). $x < 1$ : $1 - x = x^{2} - 1$ , $x^{2} + x - 2 = 0$ , $x = - 2$ ( $x = 1$ не подходит). Проверка $x = - 2$ : $3 = 3$ .
3) Графики $y = x^{4}$ и $y = 2 - x$ : два пересечения, $x = 1$ и $x \approx - 1, 35$ (проверено численно: $x^{4} + x - 2 = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 2)$ , у кубического множителя один действительный корень).

R01.3 · R01.6 · R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сдвиг не в ту сторону

$y = (x + 3)^{2}$ :
«вправо на 3»

влево на 3, вершина $(- 3; 0)$

$f (x + b)$ при $b > 0$ — влево

Потерян минус в $x_{0}$

$y = x^{2} + 6 x$ : $x_{0} = 3$

$x_{0} = - \frac{6}{2} = - 3$ , $y_{0} = - 9$

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

Потерян множитель $a$

$2 x^{2} - x - 1 =$
$= (x - 1) (x + \frac{1}{2})$

$= 2 (x - 1) (x + \frac{1}{2}) =$
$= (x - 1) (2 x + 1)$

$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

R01.8 · R01.11

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Свойства $y = x^{2} - 6 x + 5$

вершина $(3; - 4)$

возрастает на $(- \infty; 3]$

наименьшее значение $5$

возрастает на $[3; + \infty)$ : ветви вверх

наименьшее $- 4$ (в вершине), $5$ — это $c$

2. $y = x^{2} - 2∣ x ∣$ : ровно 3 общие точки с $y = m$

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - 2 x$ , вершина $(1; - 1)$

отражаем относительно $O y$

ответ: $m = - 1$

при $m = - 1$ — 2 точки $(\pm 1; - 1)$

3 точки — через $(0; 0)$ : $m = 0$

R01.1–R01.13

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждый блок темы

Нули $y = x^{2} + 3 x - 10$ $- 5; 2$
Вершина $y = x^{2} - 8 x + 7$ $(4; - 9)$
Разложите $x^{2} - x - 12$ $(x - 4) (x + 3)$

$D (y)$ : $y = 2 x - 6$ $x \geq 3$
$y = x^{4} - 3 x^{2}$ : чётность чётная
$y = (x - 1)^{2} - 4$ из $y = x^{2}$ вправо 1, вниз 4

R01.5–R01.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Коэффициенты, параметр, графики

повыш.Множество значений $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ $(- \infty; 3]$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + c$ равно $2$ ? $c = 11$
повыш.Сократите $\frac{3 x ^{2} - 7 x + 2}{x ^{2} - 4}$ $\frac{3 x - 1}{x + 2}$
повыш.Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; 3)$ , $(1; 0)$ , $(3; 0)$ . Найдите $a, b, c$ . $1; - 4; 3$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ и график $y = ∣ x^{2} - 4∣$ имеют ровно 4 общие точки? $0 < m < 4$

R01.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

Установите соответствие: график — знаки коэффициентов

А

Б

В

1)

a > 0, c > 0

2)

a > 0, c < 0

3)

a < 0, c > 0

231

R01.3 · R01.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график и ответьте на вопрос

y = {x^{2} - 4 x + 3, x - 1, x \geq 1, x < 1.

повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки? $m = - 1$ или $m = 0$
повыш.Ровно три общие точки? $- 1 < m < 0$

2 балла: верный график, обоснование, ответ

2 мин · практика
Построение: при $x \geq 1$ — часть параболы с вершиной $(2; - 1)$ , нули 1 и 3; при $x < 1$ — луч $y = x - 1$ , подходящий к точке $(1; 0)$ (значения $< 0$ ). Функция непрерывна в $x = 1$ .
Ответы на графике открываются по клику: $m = 0$ — точки $x = 1$ и $x = 3$ ; $m = - 1$ — точки $x = 0$ (луч) и $x = 2$ (вершина).
При $- 1 < m < 0$ : одна точка на луче и две на параболе — три. При $m > 0$ — одна (только парабола справа от 3), при $m < - 1$ — одна (только луч). Проверено подсчётом.
Типичная потеря балла: «выколотая точка» там, где её нет, или точка $(1; 0)$ посчитана дважды.

R01.11 · ПР-22

Задача из жизни

Загон у стены: 60 м сетки на три стороны

практикаЗапишите площадь $S (x)$ $S = x (60 - 2 x)$
практикаПри каком $x$ площадь наибольшая? Какая? $15$ м; $450$ м $^{2}$
повыш.При каких $x$ площадь равна $352$ м $^{2}$ ? $8$ или $22$ м

R01.1–R01.13

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаНули и вершина $y = x^{2} - 2 x - 8$ $- 2; 4$ ; $(1; - 9)$
базаРазложите $2 x^{2} + 3 x - 2$ $(2 x - 1) (x + 2)$
база $E$ функции $y = - x^{2} + 4 x + 1$ $(- \infty; 5]$
повыш. $y = x^{2} - 2∣ x ∣ - 3$ и $y = m$ : ровно 3 общие точки $m = - 3$

Вариант 2

базаНули и вершина $y = x^{2} + 4 x - 5$ $- 5; 1$ ; $(- 2; - 9)$
базаРазложите $3 x^{2} - 2 x - 1$ $(x - 1) (3 x + 1)$
база $E$ функции $y = - x^{2} - 6 x + 2$ $(- \infty; 11]$
повыш. $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 1$ и $y = m$ : ровно 3 общие точки $m = 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Тема «Функции» собрана — проверьте себя

Ответьте одной фразой

Как по графику параболы узнать знаки $a$ и $c$ ?
Чем отличаются графики $f (∣ x ∣)$ и $∣ f (x) ∣$ ?
Когда наибольшее значение на отрезке не в вершине?

Домашнее задание

$y = ∣ x^{2} - 6 x + 5∣$ : при каких $m$ ровно 3 общие точки с $y = m$ ?
Сократите $\frac{2 x ^{2} + 7 x + 3}{x ^{2} - 9}$
Наибольшее значение $y = - x^{2} + 4 x - 1$ на $[3; 5]$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-025 · Обобщение и систематизация по теме «Функции»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 25/25 · тип О
Единицы → слайды	R01.1, R01.2 → 3, 5, 6, 15 · R01.3 → 5, 7, 11, 13, 18 · R01.4–R01.6 → 8, 9, 13, 16, 20 · R01.7–R01.10 → 4, 6, 8, 10, 14, 17 · R01.11 → 10, 11, 19 · R01.12, R01.13 → 4, 7, 12 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9–12, 14–21)
Результаты	ПР-18 → 5, 6, 14 · ПР-21, ПР-23 → 7, 18 · ПР-4, ПР-5 → 9, 15, 16, 20 · ПР-20 → 8, 17 · ПР-14 → 11, 12, 18 · ПР-22 → 10, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратные неравенства и метод интервалов — R02, ALG9U-028–029; системы и графический метод для систем — R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщениеи систематизация:функции

Сегодня вы соберёте тему в систему

Читать свойства

Строить преобразованиями

Работать с трёхчленом

Решать графически

Восемь вопросов по всей теме

Шесть графиков, которые нужно узнавать сразу

y=x2

y=x3

y=x​

y=3x​

y=∣x∣

y=ax2+bx+c

Что читаем по графику и как его двигаем

Свойства функции

Опишите свойства функции

Образец

Сам: y=x2+2x−8

Постройте график из известного

Образец

Сам

y=ax2+bx+c, a=0: всё на одном рисунке

Сократите дробь

Образец

Сам

Найдите вершину и множество значений

Образец

Сам

Сколько общих точек с прямой y=m?

Образец: y=x2−4∣x∣+3, ровно 3 точки

Сам: тот же график

Решите уравнение, проверьте монотонностью

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сдвиг не в ту сторону

Потерян минус в x0​

Потерян множитель a

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Свойства y=x2−6x+5

2. y=x2−2∣x∣: ровно 3 общие точки с y=m

По одному заданию на каждый блок темы

Коэффициенты, параметр, графики

Установите соответствие: график — знаки коэффициентов

А

Б

В

Постройте график и ответьте на вопрос

Загон у стены: 60 м сетки на три стороны

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Тема «Функции» собрана — проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-025 · Обобщение и систематизация по теме «Функции»

Обобщение
и систематизация:
функции

$y = x^{2}$

$y = x^{3}$

$y = x$

$y = 3 x$

$y = ∣ x ∣$

$y = a x^{2} + b x + c$

Сам: $y = x^{2} + 2 x - 8$

$y = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$ : всё на одном рисунке

Сколько общих точек с прямой $y = m$ ?

Образец: $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ , ровно 3 точки

Потерян минус в $x_{0}$

Потерян множитель $a$

1. Свойства $y = x^{2} - 6 x + 5$

2. $y = x^{2} - 2∣ x ∣$ : ровно 3 общие точки с $y = m$