Функции · урок 24 из 25 · практикум

Практикум:
свойства квадратичной
функции в задачах

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 24/25, единица R01.11 «Использование свойств квадратичной функции для решения задач». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-023 — положение графика в зависимости от коэффициентов; следующий ALG9U-025 — обобщение по теме «Функции».
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 3 · 6 (наибольшее и наименьшее на отрезке) 2 · 9 (уравнение f(x) = m, демонстрация) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить экстремум

наибольшее и наименьшее значения — на всей прямой и на отрезке (ПР-22, ПР-18)

Решать задачи на оптимизацию

составить квадратичную функцию и найти лучший вариант (ПР-22, ПР-16)

Считать корни по графику

сколько решений у $f (x) = m$ в зависимости от $m$ (ПР-14)

Рассуждать с параметром

условия на вершину, монотонность, значения (ПР-22, ПР-20)

1 мин · теория
ПР-22 (ФРП дословно): «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: … промежутки возрастания и убывания, … наибольшее и наименьшее значения…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений … с применением графических представлений (… если имеет, то сколько …)». ПР-16: модель реальной ситуации. ПР-20: положение графика в зависимости от коэффициентов.
Вопрос классу: где в жизни нужно «наибольшее» или «наименьшее»? (площадь при данном заборе, выручка, высота полёта мяча.)

разминка · R01.8, R01.10

Разминка · устно

Вершина, ветви, значения

y = x^{2} - 4 x + 1

x_{0}

= ?

2

y = - 2 x^{2} + 3

куда ветви?

вниз

y = (x - 3)^{2} + 5

вершина

(3; 5)

y = (x + 1)^{2} - 4

наименьшее значение

- 4

y = 7 - (x - 2)^{2}

наибольшее значение

7

y = x^{2} + 6 x

нули функции

0; - 6

y = x^{2} - 2 x + 5

y (1)

= ?

4

y = 4 - x^{2}

область значений

(- \infty; 4]

R01.11 · опора R01.7, R01.8

Сводка · свойства квадратичной функции

Всё решает вершина $(x_{0}; y_{0})$ и знак $a$

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0}) = - \frac{D}{4 a}

	$a > 0$	$a < 0$
в вершине	$y_{m i n} = y_{0}$	$y_{m a x} = y_{0}$
значения	$[y_{0}; + \infty)$	$(- \infty; y_{0}]$
убывает	$(- \infty; x_{0}]$	$[x_{0}; + \infty)$
возрастает	$[x_{0}; + \infty)$	$(- \infty; x_{0}]$

R01.11

Образец → сам · наибольшее и наименьшее значения

Найдите наибольшее или наименьшее значение

Образец

$y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

$a = - 2 < 0$ ветви вниз — есть наибольшее

$x_{0} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 2 )} = 2$ $- \frac{b}{2 a}$

$y (2) = - 8 + 16 - 3 = 5$ подставили $x_{0}$

$y_{m a x} = 5$ при $x = 2$ наименьшего нет

Сам

база $y = x^{2} - 6 x + 11$ $y_{m i n} = 2$ при $x = 3$
база $y = - x^{2} - 6 x + 1$ $y_{m a x} = 10$ при $x = - 3$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = 3 x^{2} - 12 x + c$ равно $- 1$ ? $c = 11$

R01.11

Сводка · значения на отрезке

На отрезке $[p; q]$ сравнивают значения в «кандидатах»

Найти $x_{0}$ .
$x_{0} \in [p; q]$ ? Тогда кандидаты: $x_{0}, p, q$ .
$x_{0} \in / [p; q]$ ? Функция монотонна на отрезке — кандидаты: $p, q$ .
Сравнить значения.

Пример:

y = x^{2} - 4 x + 1

2 мин · теория
Графики построены точно: y = x² − 4x + 1, вершина (2; −3). Слева отрезок [0; 5]: вершина внутри, y(2) = −3 — наименьшее, y(0) = 1, y(5) = 6 — наибольшее (6). Справа отрезок [3; 5]: вершина вне, функция возрастает, y(3) = −2 — наименьшее, y(5) = 6 — наибольшее.
Бирюзовая точка — наименьшее, фиолетовая — наибольшее. Обоснование «монотонна»: при a > 0 функция возрастает на [x₀; +∞), а [3; 5] ⊂ [2; +∞).
Вопрос классу: может ли наибольшее значение на отрезке быть в вершине при a > 0? (Нет, только наименьшее — или вершина вне отрезка.)

R01.11

Образец → сам · значения на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 5]$

$x_{0} = 2 \in [0; 5]$ вершина внутри

$y (0) = 1, y (2) = - 3, y (5) = 6$

$y_{m i n} = - 3, y_{m a x} = 6$ сравнили

Сам

база $y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[3; 6]$ $y_{m i n} = - 2, y_{m a x} = 13$
база $y = - x^{2} + 2 x + 3$ на $[- 2; 0]$ $y_{m i n} = - 5, y_{m a x} = 3$
повыш. $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ на $[- 1; 1]$ $y_{m i n} = - 1, y_{m a x} = 15$

R01.11 · ПР-16

Образец → сам · задача на оптимизацию

Составьте функцию — найдите вершину

Образец

Участок у стены огораживают с трёх сторон забором $40$ м. Наибольшая площадь?

$x$ и $40 - 2 x$ стороны, $0 < x < 20$

$S = x (40 - 2 x) = - 2 x^{2} + 40 x$ модель

$x_{0} = 10$ , $S = 10 \cdot 20 = 200$ м² $a < 0$

Сам

базаСумма двух чисел $14$ . Наибольшее произведение? $49$ ( $7 \cdot 7$ )
базаМяч: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $20$ м при $t = 2$ с
повыш.Разность двух чисел $8$ . Наименьшее произведение? $- 16$ ( $4$ и $- 4$ )

R01.11 · ПР-14

Сводка · уравнение f(x) = m

Число корней = число общих точек с прямой $y = m$

$x^{2} - 4 x + 3 = m$

Прямая

y = m

горизонтальна — двигаем её вверх-вниз

Граница — ордината вершины:

y_{0} = - 1

m > - 1

: два корня

m = - 1

: один корень

m < - 1

: нет корней

R01.11 · ПР-14

Образец → сам · сколько корней

Исследуйте уравнение с параметром $m$ по графику

Образец

При каких $m$ уравнение $- x^{2} + 6 x - 5 = m$ имеет два корня?

$x_{0} = 3, y_{0} = 4$ вершина

$a < 0$ : прямая ниже вершины

$m < 4$ ответ

Сам: при каких $m$ уравнение…

база… $x^{2} + 2 x = m$ не имеет корней? $m < - 1$
база… $x^{2} - 8 x + 10 = m$ имеет один корень? $m = - 6$
повыш.… $x^{2} - 6∣ x ∣ + 5 = m$ имеет ровно три корня? $m = 5$

R01.11 · ПР-20

Образец → сам · условия с параметром

Подберите параметр по свойствам функции

Образец

При каких $a$ функция $y = x^{2} - 2 a x + 3$ убывает на $(- \infty; 2]$ ?

ветви вверх, $x_{0} = a$ $- \frac{b}{2 a}$

убывает на $(- \infty; a]$ свойство

$(- \infty; 2] \subset (- \infty; a] \Leftrightarrow a \geq 2$

Сам

базаПри каком $c$ вершина параболы $y = x^{2} - 6 x + c$ лежит на оси $O x$ ? $c = 9$
базаПри каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} + 4 x + c$ равно $3$ ? $c = 7$
повыш.При каких $a$ функция $y = - x^{2} + 2 a x - 1$ возрастает на $(- \infty; 3]$ ? $a \geq 3$

R01.11

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак в $x_{0}$

$y = x^{2} + 6 x + 1$ : $x_{0} = 3$

$x_{0} = - \frac{6}{2} = - 3, y_{0} = - 8$

в формуле $- \frac{b}{2 a}$ стоит минус

Вершина вне отрезка

$y = x^{2} - 4 x$ на $[3; 5]$ : $y_{m i n} = y (2) = - 4$

$2 \in / [3; 5]$ : $y_{m i n} = y (3) = - 3$

сначала проверить, где $x_{0}$

Точка вместо значения

Наибольшее значение $y = - x^{2} + 2 x + 8$ : « $x = 1$ »

$y_{m a x} = y (1) = 9$

значение — это $y$ , а не $x$

R01.11

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 7$ на $[- 1; 2]$

$x_{0} = 3$ , $y (3) = 9 - 18 + 7 = - 2$

Ответ: $- 2$

Ошибка: $3 \in / [- 1; 2]$ , на отрезке функция убывает

$y_{m i n} = y (2) = 4 - 12 + 7 = - 1$

2. Периметр прямоугольника $20$ . Наибольшая площадь?

Стороны $x$ и $20 - x$

$S = x (20 - x)$ , $x_{0} = 10$ , $S = 100$

Ошибка: сумма сторон — полупериметр, вторая сторона $10 - x$

$S = x (10 - x)$ , $x_{0} = 5$ , $S = 25$

R01.11

Задания с самопроверкой · база

Свойства квадратичной функции

Вершина $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ $(2; - 3)$
Наименьшее значение $y = x^{2} + 10 x + 30$ $5$
Наибольшее значение $y = - 3 x^{2} + 6 x + 4$ $7$
Область значений $y = x^{2} - 2 x - 3$ $[- 4; + \infty)$
Промежуток возрастания $y = - x^{2} + 8 x$ $(- \infty; 4]$
Наименьшее значение $y = x^{2} - 2 x$ на $[2; 5]$ $0$

R01.11 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отрезок, оптимизация, параметр

повыш.Наибольшее и наименьшее значения $y = - x^{2} + 4 x + 5$ на $[- 1; 3]$ $9; 0$
повыш.При каком $c$ наибольшее значение $y = - 2 x^{2} + 12 x + c$ равно $20$ ? $c = 2$
повыш.Сумма двух чисел $10$ . Наименьшая сумма их квадратов? $50$
повыш.При каких $m$ уравнение $x^{2} + 4 x + 1 = m$ имеет два корня? $m > - 3$
повыш.При каких $b$ вершина параболы $y = x^{2} + b x + 7$ лежит на прямой $y = 3$ ? $b = \pm 4$

R01.11 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Сколько общих точек у прямой $y = c$ с графиком?

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ . При каких $c$ прямая $y = c$ имеет с ним ровно одну общую точку?

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)$

$y = x^{2} + x - 6$ , $x \neq = 3, x \neq = - 2$

выколоты $(3; 6)$ и $(- 2; - 4)$ ; вершина $(- 0, 5; - 6, 25)$

Ответ: $c = - 6, 25; - 4; 6$

3 мин · практика
Класс решает по шагам вслед за кликами (учитель ведёт вопросами: «как разложить биквадратный числитель?», «что сократится?», «какие точки выколоты?»). x⁴ − 13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9); сокращаем на (x − 3)(x + 2), остаётся (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6.
Выколотые точки: y(3) = 9 + 3 − 6 = 6; y(−2) = 4 − 2 − 6 = −4. Вершина x₀ = −0,5, y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25.
Одна общая точка: c = −6,25 (касание в вершине); c = 6: x² + x − 12 = 0 ⇒ x = 3 (выколота) и −4 — одна точка; c = −4: x² + x − 2 = 0 ⇒ x = −2 (выколота) и 1 — одна точка. Ответ: −6,25; −4; 6.
На ОГЭ — 2 балла: нужен график с выколотыми точками и обоснованный ответ. Типичная потеря: забыли проверить прямые через выколотые точки. График на слайде — точный (масштаб по осям разный).

R01.11 · ПР-16

Задача из жизни

Кино: билет $300$ ₽, $200$ зрителей; $+ 10$ ₽ к цене — $- 5$ зрителей

практикаВыручка после $n$ повышений $R (n)$ ? $(300 + 10 n) (200 - 5 n)$
практикаПри какой цене выручка наибольшая? $350$ ₽
практикаКакова наибольшая выручка? $61250$ ₽
повыш.При какой ещё цене выручка $60000$ ₽? $400$ ₽

R01.11

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = x^{2} - 6 x + 4$ $(3; - 5)$
базаНаибольшее значение $y = - x^{2} + 8 x - 7$ $9$
базаНаибольшее и наименьшее $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[0; 4]$ $5; - 4$
повыш.При каких $m$ уравнение $x^{2} - 6 x + 4 = m$ имеет два корня? $m > - 5$

Вариант 2

базаВершина $y = x^{2} + 4 x - 1$ $(- 2; - 5)$
базаНаименьшее значение $y = 2 x^{2} - 12 x + 13$ $- 5$
базаНаибольшее и наименьшее $y = - x^{2} + 4 x$ на $[- 1; 3]$ $4; - 5$
повыш.При каких $m$ уравнение $x^{2} + 4 x - 1 = m$ не имеет корней? $m < - 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда наибольшее значение на отрезке — не в вершине?
Как по вершине узнать число корней $f (x) = m$ ?
Что проверить в задаче на оптимизацию?

Домашнее задание

Наибольшее и наименьшее $y = x^{2} - 8 x + 10$ на $[1; 6]$
Постройте $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-024 · Практикум: Использование свойств квадратичной функции для решения задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 24/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.11 «Использование свойств квадратичной функции для решения задач» → 2, 4–19 · опора R01.7, R01.8, R01.10 → 3, 4 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-22 (свойства квадратичной функции для решения задач) → 2–19 · ПР-18 (наибольшее и наименьшее значения, монотонность) → 4–7, 14 · ПР-14 (исследование уравнений графически) → 9, 10, 15, 16 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 8, 17 · ПР-20 → 11 · кодификатора у курса нет
Вне урока	обобщение по теме «Функции» — ALG9U-025; квадратные неравенства графическим методом — R02
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:свойства квадратичнойфункции в задачах

Сегодня вы научитесь

Находить экстремум

Решать задачи на оптимизацию

Считать корни по графику

Рассуждать с параметром

Вершина, ветви, значения

Всё решает вершина (x0​; y0​) и знак a

Найдите наибольшее или наименьшее значение

Образец

Сам

На отрезке [p; q] сравнивают значения в «кандидатах»

Найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

Сам

Составьте функцию — найдите вершину

Образец

Сам

Число корней = число общих точек с прямой y=m

Исследуйте уравнение с параметром m по графику

Образец

Сам: при каких m уравнение…

Подберите параметр по свойствам функции

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак в x0​

Вершина вне отрезка

Точка вместо значения

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Наименьшее значение y=x2−6x+7 на [−1; 2]

2. Периметр прямоугольника 20. Наибольшая площадь?

Свойства квадратичной функции

Отрезок, оптимизация, параметр

Сколько общих точек у прямой y=c с графиком?

Кино: билет 300 ₽, 200 зрителей; +10 ₽ к цене — −5 зрителей

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-024 · Практикум: Использование свойств квадратичной функции для решения задач

Практикум:
свойства квадратичной
функции в задачах

Всё решает вершина $(x_{0}; y_{0})$ и знак $a$

На отрезке $[p; q]$ сравнивают значения в «кандидатах»

Число корней = число общих точек с прямой $y = m$

Исследуйте уравнение с параметром $m$ по графику

Сам: при каких $m$ уравнение…

Знак в $x_{0}$

1. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 7$ на $[- 1; 2]$

2. Периметр прямоугольника $20$ . Наибольшая площадь?

Сколько общих точек у прямой $y = c$ с графиком?

Кино: билет $300$ ₽, $200$ зрителей; $+ 10$ ₽ к цене — $- 5$ зрителей