Функции · урок 23 из 25 · практикум

Практикум:
положение параболы
и её коэффициенты

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 23/25, единица R01.10 «Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-022 — построение графика квадратичной функции; следующий ALG9U-024 — использование свойств квадратичной функции для решения задач.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (роль a и c) 3 · 5 (роль b) 2 · 6 (схема чтения графика) 2 · 11 (условия на расположение) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 9, 10, 12) 3 + 2 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ 11 (сл. 17) 1,5 · ОГЭ 22 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать параболу по формуле

ветви, вершина, точка на оси $O y$ , число нулей — без построения (ПР-20)

Читать знаки по графику

знаки $a$ , $b$ , $c$ , $D$ и значений $a + b + c$ , $a - b + c$ (ПР-20, ПР-18)

Восстанавливать формулу

по вершине и точкам находить коэффициенты (ПР-20, ПР-21)

Решать задачи с параметром

когда парабола выше оси, вершина в четверти (ПР-20, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-20 (ФРП дословно): «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций…». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром».
Вид деятельности ФРП по строке: «Выявлять и обобщать особенности графика квадратичной функции y = ax² + bx + c».

разминка · R01.8, R01.9

Разминка · устно

Вершина, ветви, точки пересечения

y = x^{2} - 4 x + 1

абсцисса вершины

2

y = 2 x^{2} - 3 x + 5

точка на оси

O y

(0; 5)

y = 3 - x^{2}

куда ветви?

вниз

y = (x - 1)^{2} - 4

вершина

(1; - 4)

y = x^{2} + 2 x + 3

D

= ?

- 8

y = x^{2} - 6 x + 9

сколько нулей?

один:

x = 3

y = - x^{2} + 6 x

ось симметрии

x = 3

y = x^{2} - 5 x + 4

y (1)

= ?

0

R01.10

Сводка · коэффициенты a и c

$a$ — ветви и «ширина», $c$ — точка на оси $O y$

a > 0

: ветви вверх;

a < 0

: вниз

Чем больше

∣ a ∣

, тем круче ветви (парабола «уже»)

y (0) = c

→ точка

(0; c)

c > 0

— пересекает

O y

выше начала координат,

c < 0

— ниже,

c = 0

— проходит через

O

$a = 2$ $a = \frac{1}{2}$ $a = - 1$

$c = 3$ $c = - 3$

R01.10

Сводка · коэффициент b

$b$ вместе с $a$ задаёт ось симметрии

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

a

и

b

одного знака (

ab > 0

) →

x_{0} < 0

: вершина левее

O y

a

и

b

разных знаков (

ab < 0

) →

x_{0} > 0

: правее

O y

b = 0

→ вершина на оси

O y

, функция чётная

$y = x^{2} + 4 x + 2$ $y = x^{2} - 4 x + 2$

R01.10

Схема · читаем график

Что видно на графике → какой коэффициент

Смотрим на графике	Узнаём	Почему
направление ветвей	знак $a$	вверх ⇔ $a > 0$
пересечение с осью $O y$	знак $c$	$y (0) = c$
вершина левее / правее $O y$	знак $b$	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
сколько точек на оси $O x$	знак $D$	$2 \Leftrightarrow D > 0, 1 \Leftrightarrow D = 0$
ордината вершины	$y_{0}$	$y_{0} = - \frac{D}{4 a}$
точки при $x = 1$ и $x = - 1$	$a + b + c$ , $a - b + c$	$y (1)$ , $y (- 1)$

R01.10

Образец → сам · по формуле

Опишите положение параболы, не строя её

Образец

$y = - 2 x^{2} + 8 x - 5$

ветви вниз $a = - 2 < 0$

$x_{0} = 2, y_{0} = 3$ $- \frac{8}{- 4}$ ; $y (2)$

вершина в I четверти $x_{0} > 0, y_{0} > 0$

$(0; - 5)$ ; два нуля $c$ ; $D = 24 > 0$

Сам: ветви, вершина, нули

база $y = x^{2} + 6 x + 10$ вверх; $(- 3; 1)$ , II четв.; нулей нет
база $y = 3 x^{2} - 2 x - 1$ вверх; $(\frac{1}{3}; - \frac{4}{3})$ , IV четв.; два
повыш. $y = - x^{2} - 4 x - 4$ вниз; $(- 2; 0)$ на $O x$ ; один

R01.10

Образец → сам · знаки по графику

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$

Образец

$a < 0$ ветви вниз

$c < 0$ $O y$ ниже $O$

$x_{0} > 0$ правее $O y$

$b > 0$ $- \frac{b}{2 a} > 0, a < 0$

Сам: знаки $a; b; c$

1

+; +; +

2

-; -; +

3

+; -; -

R01.10

Образец → сам · значения в точках

Знаки выражений от коэффициентов

Образец: знаки $ab c$ , $a + b + c$ , $a - b + c$

$+, -, - \Rightarrow ab c > 0$

$a + b + c = y (1) < 0$

$a - b + c = y (- 1) = 0$

Сам: определите знак

1)

ab c

< 0

2)

a + b + c

> 0

3)

4 a - 2 b + c

= 0

4)

D

> 0

R01.10 · R01.9

Образец → сам · обратная задача

По вершине и точкам — коэффициенты

Образец

$y = a x^{2} + b x + c$ : вершина $(2; - 1)$ , проходит через $(0; 3)$

$c = 3$ $y (0) = c$

$b = - 4 a$ $- \frac{b}{2 a} = 2$

$4 a - 8 a + 3 = - 1, a = 1$ $y (2) = - 1$

$y = x^{2} - 4 x + 3$ $b = - 4$

Сам

база $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(- 1; 4)$ $b = 2, c = 5$
база $y = a x^{2} + b x + c$ через $(0; - 2)$ , $(1; 0)$ , $(- 1; - 6)$ $y = - x^{2} + 3 x - 2$
повыш. $y = a x^{2} + 4 x + c$ , вершина $(1; 5)$ $a = - 2, c = 3$

R01.10 · ПР-7

Сводка · расположение и параметр

Условие на график → условие на коэффициенты

График квадратичной функции…	Условие
целиком выше оси $O x$	$a > 0$ и $D < 0$
целиком ниже оси $O x$	$a < 0$ и $D < 0$
касается оси $O x$ (вершина на $O x$ )	$D = 0$
пересекает $O x$ по разные стороны от $O y$	$a c < 0$ (тогда $D > 0$ сам)
вершина в заданной четверти	знаки $x_{0}$ и $y_{0}$

Параметр при

x^{2}

: первым шагом

a \neq = 0

— иначе функция не квадратичная

R01.10 · ПР-7

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…график квадратичной функции $y = k x^{2} - 4 x + k$ лежит ниже оси $O x$ ?

$k < 0$ ветви вниз (и $k \neq = 0$ )

$D_{1} = 4 - k^{2} < 0$ нулей нет

$k < - 2$ $k < - 2$ или $k > 2$ ; с $k < 0$

Сам

база…вершина параболы $y = x^{2} - 6 x + c$ выше оси $O x$ ? $c > 9$
повыш.…вершина параболы $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + a - 3$ лежит в IV четверти? $0 < a < 3$
повыш.…график квадратичной функции $y = (m - 1) x^{2} + 2 x + m$ пересекает $O x$ по разные стороны от $O y$ ? $0 < m < 1$

3 мин · практика
Образец, проверка границы: k = −2 — y = −2x² − 4x − 2 = −2(x + 1)² касается Ox в (−1; 0), не «ниже» ⇒ исключаем. k = −3: D₁ = 4 − 9 < 0, a < 0 ✓.
1) x₀ = 3, y₀ = 9 − 18 + c = c − 9 > 0 ⇒ c > 9 (при c = 9 вершина на оси).
2) Вершина (a; a − 3): x₀ = a > 0 и y₀ = a − 3 < 0 ⇒ 0 < a < 3. Границы: a = 0 — вершина на Oy, a = 3 — на Ox.
3) Функция квадратичная: m ≠ 1. Нули разных знаков ⇔ a·c = (m − 1)m < 0 ⇔ 0 < m < 1. Граница m = 0: y = −x² + 2x, нуль x = 0 — не «по разные стороны» ⇒ исключаем. Проверка m = 0,5: −0,5x² + 2x + 0,5, D = 4 + 1 = 5 > 0, произведение нулей −1 < 0 ✓.

R01.10

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки при чтении параболы

Знак $b$ по вершине

Ветви вверх, вершина правее $O y$ ⇒ $b > 0$

$b < 0$

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} > 0$ при $a > 0$ ⇒ $b < 0$

$c$ — не нуль функции

$y = x^{2} - 5 x + 6$ пересекает $O x$ в $(6; 0)$

$O y$ — в $(0; 6)$ ; $O x$ — в $2$ и $3$

$c = y (0)$ — точка на оси $O y$

$D < 0$ без знака $a$

$y = - x^{2} + 2 x - 5$ : $D < 0$ ⇒ «график выше $O x$ »

ниже оси $O x$ : $a < 0$

$D < 0$ — только «нулей нет»

R01.10

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Знаки коэффициентов по графику

$a < 0$ , $c > 0$

вершина левее $O y$ ⇒ $b > 0$

Ошибка: $x_{0} < 0$ , $a < 0$ ⇒ $b < 0$

Задача 2. При каких $k$ график квадратичной функции $y = k x^{2} + 2 x + 1$ ниже оси $O x$ ?

$D_{1} = 1 - k < 0$ , $k > 1$

Ошибка: забыто условие $k < 0$

$k < 0$ и $k > 1$ — таких $k$ нет

R01.10

Задания с самопроверкой · база

Ответьте, не строя график

$y = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ : вершина $(1; 4)$
$y = 2 x^{2} - 8 x + 3$ : точка на $O y$ $(0; 3)$
$y = x^{2} + 4 x + 5$ : число нулей $0$

$y = - x^{2} + 2 x - 1$ : число нулей $1$
$y = 0, 5 x^{2} + 3 x - 2$ : вершина левее или правее $O y$ ? левее
$y = - 2 x^{2} - 4 x + 6$ : четверть вершины II

R01.10 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Рассуждаем о коэффициентах

повыш. $a < 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ . В какой четверти вершина? II
повыш. $a > 0$ , $c < 0$ . Сколько нулей и каких знаков? два, разных знаков
повыш.Ось симметрии параболы $y = 3 x^{2} + b x - 1$ — прямая $x = 2$ . Найдите $b$ . $- 12$
повыш.При каком $c$ вершина параболы $y = - x^{2} + 4 x + c$ лежит на прямой $y = 3$ ? $- 1$
повыш.При каких $p$ парабола $y = x^{2} + 2 p x + 3 p - 2$ касается оси $O x$ ? $1; 2$

R01.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

Установите соответствие: график → знаки коэффициентов

А

Б

В

1)

a > 0, c < 0

2)

a < 0, c > 0

3)

a > 0, c > 0

4)

a < 0, c < 0

Ответ:

214

R01.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Полное решение: коэффициенты по точкам

Парабола проходит через $A (0; 5)$ , $B (2; - 3)$ , $C (- 1; 12)$ . Найдите координаты её вершины. $(3; - 4)$
Вершина параболы $y = x^{2} + p x + q$ — точка $(3; - 2)$ . Найдите $p$ и $q$ . $p = - 6, q = 7$
При каких $c$ вершина параболы $y = 2 x^{2} + 8 x + c$ лежит в III четверти? $c < 8$

1:

c

— из точки на

O y

, затем система для

a

и

b

2:

x_{0} = - \frac{p}{2}

,

y (3) = - 2

3: оба условия

x_{0} < 0

,

y_{0} < 0

R01.10 · R01.11

Задача из жизни

Струя фонтана: $y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1, 5$ (м)

практикаЧто означает $c = 1, 5$ ? высота сопла $1, 5$ м
практикаНаибольшая высота струи и на каком расстоянии от сопла? $3, 5$ м на расстоянии $2$ м
повыш.Где струя упадёт на землю ( $y = 0$ )? $2 + 7 \approx 4, 6$ м

R01.10

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина параболы $y = x^{2} - 6 x + 5$ $(3; - 4)$
базаВетви вверх, вершина левее $O y$ , график пересекает $O y$ ниже $O$ . Знаки $a, b, c$ ? $a > 0, b > 0, c < 0$
базаВершина $y = x^{2} + b x + c$ — $(2; 1)$ . Найдите $b$ , $c$ . $b = - 4, c = 5$
повыш.При каких $k$ график квадратичной функции $y = k x^{2} + 4 x + k$ выше оси $O x$ ? $k > 2$

Вариант 2

базаВершина параболы $y = - x^{2} - 4 x + 1$ $(- 2; 5)$
базаВетви вниз, вершина правее $O y$ , график проходит через $O$ . Знаки $a, b, c$ ? $a < 0, b > 0, c = 0$
базаВершина $y = x^{2} + b x + c$ — $(- 1; 3)$ . Найдите $b$ , $c$ . $b = 2, c = 4$
повыш.При каких $k$ график квадратичной функции $y = k x^{2} - 6 x + k$ ниже оси $O x$ ? $k < - 3$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x₀ = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4. 2) a > 0; x₀ < 0 ⇒ b одного знака с a: b > 0; c < 0. 3) (x − 2)² + 1 = x² − 4x + 5. 4) k > 0 и D₁ = 4 − k² < 0 ⇒ k > 2 (k = 2: 2(x + 1)², касание — исключаем).
В-2. 1) x₀ = 4/(−2) = −2, y₀ = −4 + 8 + 1 = 5. 2) a < 0; x₀ > 0 ⇒ b противоположного знака: b > 0; c = y(0) = 0. 3) (x + 1)² + 3 = x² + 2x + 4. 4) k < 0 и D₁ = 9 − k² < 0 ⇒ k < −3 (k = −3: −3(x − 1)², касание — исключаем).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику узнать знак $c$ ? А знак $b$ ?
Почему знак $b$ определяют после знака $a$ ?
Когда график целиком выше оси $O x$ ?

Домашнее задание

Опишите положение параболы $y = - x^{2} + 6 x - 8$
Парабола проходит через $(0; - 1)$ , $(1; 2)$ , $(- 1; - 2)$ . Найдите её вершину
При каких $m$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 m x + 2 m + 3$ лежит выше оси $O x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-023 · Практикум: Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 23/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.10 «Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов» → 2, 4–21 · опора R01.8, R01.9 → 3, 10 · применение R01.11 → 19 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7–10, 12, 14–21)
Результаты	ПР-20 (положение графика в зависимости от коэффициентов) → 2–21 · ПР-18 (свойства по графику) → 8, 9, 17 · ПР-21 (график и свойства квадратичной функции) → 10, 18, 19 · ПР-7 (параметр) → 11, 12, 16, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	наибольшее/наименьшее значение в задачах на оптимум — ALG9U-024; графики y = af(kx + b) — R01.3
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:положение параболыи её коэффициенты

Сегодня вы научитесь

Описывать параболу по формуле

Читать знаки по графику

Восстанавливать формулу

Решать задачи с параметром

Вершина, ветви, точки пересечения

a — ветви и «ширина», c — точка на оси Oy

b вместе с a задаёт ось симметрии

Что видно на графике → какой коэффициент

Опишите положение параболы, не строя её

Образец

Сам: ветви, вершина, нули

Определите знаки a, b, c

Образец

Сам: знаки a; b; c

Знаки выражений от коэффициентов

Образец: знаки abc, a+b+c, a−b+c

Сам: определите знак

По вершине и точкам — коэффициенты

Образец

Сам

Условие на график → условие на коэффициенты

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки при чтении параболы

Знак b по вершине

c — не нуль функции

D<0 без знака a

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Знаки коэффициентов по графику

Задача 2. При каких k график квадратичной функции y=kx2+2x+1 ниже оси Ox?

Ответьте, не строя график

Рассуждаем о коэффициентах

Установите соответствие: график → знаки коэффициентов

Полное решение: коэффициенты по точкам

Струя фонтана: y=−0,5x2+2x+1,5 (м)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-023 · Практикум: Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов

Практикум:
положение параболы
и её коэффициенты

$a$ — ветви и «ширина», $c$ — точка на оси $O y$

$b$ вместе с $a$ задаёт ось симметрии

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$

Сам: знаки $a; b; c$

Образец: знаки $ab c$ , $a + b + c$ , $a - b + c$

Знак $b$ по вершине

$c$ — не нуль функции

$D < 0$ без знака $a$

Задача 2. При каких $k$ график квадратичной функции $y = k x^{2} + 2 x + 1$ ниже оси $O x$ ?

Струя фонтана: $y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1, 5$ (м)