Функции · урок 21 из 25 · практикум

Практикум:
вершина и ось
симметрии параболы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 21/25, единица R01.8 «Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-020 — квадратичная функция и её свойства; следующий ALG9U-022 — построение графика квадратичной функции.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: вершина, ось, формулы) 3,5 · 5 (четыре способа найти вершину) 2 · 9 (наибольшее и наименьшее значения, промежутки) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11, 12) по 2,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 1,5 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить вершину

по формуле $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , выделением квадрата, по нулям и симметричным точкам (ПР-21)

Записывать ось симметрии

прямая $x = x_{0}$ ; по ней — пары точек с равными значениями (ПР-17)

Находить наибольшее и наименьшее

значение, область значений, промежутки монотонности (ПР-21, ПР-22)

Решать обратные задачи

по вершине — коэффициенты; положение вершины при параметре (ПР-20)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, … парабола, гипербола, кусочно-заданная функция». ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
Вид деятельности ФРП по строке: «Определять координаты вершины параболы, ось симметрии параболы». Кодификатора у курса нет.

разминка · R01.7

Разминка · устно

Квадратичная функция: вспомним прошлый урок

y = 2 x^{2} - 3 x + 1

y (- 1) = ?

6

y = x^{2} - 6 x + 5

нули функции

1; 5

y = - 3 x^{2} + x

куда ветви?

вниз

y = x^{2} + 2 x + 5

пересечение с

O y

(0; 5)

x^{2} - 4 x + 7

= (x - 2)^{2} + □

3

y = (x + 1)^{2} - 4

наименьшее значение

- 4

y = x^{2}

сдвинули

на

3

вправо

y = (x - 3)^{2}

y = - (x - 2)^{2} + 1

где наибольшее?

x = 2

R01.8

Сводка · вершина и ось симметрии

График $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) — парабола

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0}) = - \frac{D}{4 a}

Вершина $(x_{0}; y_{0})$

самая низкая точка при $a > 0$ , самая высокая при $a < 0$

Ось симметрии — прямая $x = x_{0}$

точки $x_{0} - t$ и $x_{0} + t$ имеют равные значения $y$

Вид через вершину

$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ — выделение полного квадрата

3,5 мин · теория
На рисунке y = x² − 2x − 3: x₀ = 2/2 = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4; вершина (1; −4), ось x = 1 (пунктир). Нули −1 и 3 симметричны относительно x = 1; точка (0; −3) и симметричная ей (2; −3).
Откуда формула: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a). Квадрат равен 0 только при x = −b/(2a) — это вершина; y₀ = −D/(4a). Вывод был на прошлом уроке, сегодня — применение.
Вопрос: почему ось записывают «x = 1», а не «y = 1»? (Вертикальная прямая: у всех её точек абсцисса 1.)
y₀ на практике удобнее находить подстановкой x₀ в формулу — меньше вычислений, чем через D.

R01.8

Схема · как найти вершину

Выбирайте способ по виду формулы

Дано	Как найти вершину	Пример
$y = a x^{2} + b x + c$	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$	$2 x^{2} - 8 x + 5$ : $(2; - 3)$
$y = a (x - m)^{2} + n$	вершина $(m; n)$ — читаем сразу	$- 3 (x + 1)^{2} + 4$ : $(- 1; 4)$
$y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	$x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ — середина между нулями	$(x - 1) (x + 5)$ : $(- 2; - 9)$
$y (p) = y (q)$ , $p \neq = q$	ось $x = \frac{p + q}{2}$	$y (- 1) = y (7)$ : $x = 3$

R01.8

Образец → сам · по формуле

Найдите вершину и ось симметрии параболы

Образец

$y = - 2 x^{2} + 12 x - 13$

$x_{0} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ $- b / (2 a)$

$y_{0} = - 18 + 36 - 13 = 5$ подставили $x_{0}$

$(3; 5)$ , ось $x = 3$ $a < 0$ : это максимум

Сам

база $y = x^{2} - 10 x + 21$ $(5; - 4)$ , $x = 5$
база $y = 3 x^{2} + 12 x + 7$ $(- 2; - 5)$ , $x = - 2$
повыш. $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 2$ $(3; 2, 5)$ , $x = 3$

R01.8

Образец → сам · полный квадрат

Запишите в виде $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ и назовите вершину

Образец

$y = 2 x^{2} + 8 x + 3$

$= 2 (x^{2} + 4 x) + 3$ вынесли $a = 2$

$= 2 ((x + 2)^{2} - 4) + 3$ дополнили до квадрата

$= 2 (x + 2)^{2} - 5$ $2 \cdot 4 = 8$

вершина $(- 2; - 5)$ знак в скобке меняем

Сам

база $y = x^{2} - 8 x + 10$ $(x - 4)^{2} - 6$ ; $(4; - 6)$
база $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $- (x - 3)^{2} + 5$ ; $(3; 5)$
повыш. $y = 3 x^{2} - 9 x + 5$ $3 (x - 1, 5)^{2} - 1, 75$

R01.8

Образец → сам · симметричные точки

Ось симметрии — посередине между точками с равными $y$

Образец

$y = x^{2} + b x + c$ проходит через $(- 1; 4)$ и $(5; 4)$ . Найдите $b$ и $c$ .

ось $x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ равные $y$

$- \frac{b}{2} = 2, b = - 4$ $x_{0} = - b / (2 a)$

$1 + 4 + c = 4, c = - 1$ точка $(- 1; 4)$

Сам

базаНули квадратичной функции $- 3$ и $7$ . Ось симметрии? $x = 2$
базаУ квадратичной функции $y (0) = y (6)$ . Ось симметрии? $x = 3$
повыш. $y = 2 x^{2} + b x + c$ проходит через $(- 2; 5)$ и $(4; 5)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 4, c = - 11$

R01.8 · R01.7

Сводка · вершина и свойства функции

Вершина задаёт экстремум, область значений и монотонность

$a > 0$

убывает на $(- \infty; x_{0}]$ , возрастает на $[x_{0}; + \infty)$

$a < 0$

возрастает на $(- \infty; x_{0}]$ , убывает на $[x_{0}; + \infty)$

На отрезке $[m; n]$

$x_{0}$ внутри — сравните $y (x_{0})$ с концами; $x_{0}$ вне — ответ на концах

3 мин · теория
Схемы: слева y = (x − 2)² − 1 (наименьшее −1 при x = 2), справа y = −(x − 2)² + 3 (наибольшее 3 при x = 2). Оранжевый пунктир — уровень y₀, розовый — ось.
Почему: при a > 0 слагаемое a(x − x₀)² ≥ 0, значит y ≥ y₀, и y принимает все значения от y₀ вверх. Наибольшего значения на всей прямой нет.
На отрезке, не содержащем x₀, функция монотонна — наибольшее и наименьшее на концах. Если x₀ внутри, одно из значений (наименьшее при a > 0) — в вершине, другое — на дальнем от вершины конце.

R01.8 · R01.7

Образец → сам · свойства по вершине

Область значений и промежутки монотонности

Образец

$y = - x^{2} + 4 x + 1$

$x_{0} = 2, y_{0} = - 4 + 8 + 1 = 5$ вершина

$E (y) = (- \infty; 5]$ $a < 0$

возрастает на $(- \infty; 2]$ , убывает на $[2; + \infty)$

Сам

базаОбласть значений $y = x^{2} + 6 x + 4$ $[- 5; + \infty)$
базаПромежуток убывания $y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ $(- \infty; 2]$
повыш.Наименьшее значение $y = x^{2} - 4 x + 1$ на отрезке $[3; 5]$ $- 2$

R01.8 · R01.10

Образец → сам · обратная задача

По вершине — коэффициенты

Образец

Вершина параболы $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(3; - 2)$ . Найдите $b$ и $c$ .

$y = (x - 3)^{2} - 2$ $a = 1$ , вид через вершину

$= x^{2} - 6 x + 7$ раскрыли скобки

$b = - 6, c = 7$

Сам

база $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(- 1; 4)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = 2, c = 5$
базаОсь параболы $y = a x^{2} + 4 x + 1$ — прямая $x = - 1$ . Найдите $a$ . $a = 2$
повыш.Парабола с вершиной $(2; 3)$ проходит через $(0; - 5)$ . Задайте функцию формулой. $y = - 2 x^{2} + 8 x - 5$

R01.8 · R01.10 · ПР-20

Образец → сам · параметр

Где лежит вершина при разных значениях параметра

Образец

При каких $p$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 p x + p + 6$ лежит на оси $O x$ ?

$x_{0} = p$ $- (- 2 p) /2$

$y_{0} = - p^{2} + p + 6 = 0$ $y (p)$

$p = 3$ или $p = - 2$ Виета

Сам: при каких значениях параметра…

база…вершина $y = x^{2} + 6 x + c$ лежит на прямой $y = 1$ ? $c = 10$
повыш.…вершина $y = x^{2} - 4 x + m$ лежит выше оси $O x$ ? $m > 4$
повыш.…вершина $y = x^{2} - 2 a x + 2 a + 3$ лежит в III координатной четверти? $a < - 1$

2,5 мин · практика
Во всех функциях слайда старший коэффициент равен 1 — это квадратичные функции при любом значении параметра, вырожденного случая нет.
Образец: y₀ = p² − 2p² + p + 6 = −p² + p + 6; p² − p − 6 = 0 ⇒ p = 3, p = −2. Проверка: p = 3 — x² − 6x + 9 = (x − 3)²; p = −2 — x² + 4x + 4 = (x + 2)² ✓.
1) x₀ = −3, y₀ = 9 − 18 + c = c − 9 = 1 ⇒ c = 10. 2) y₀ = 4 − 8 + m = m − 4 > 0 ⇒ m > 4 (граница m = 4: вершина (2; 0) на оси — не подходит).
3) x₀ = a < 0; y₀ = −a² + 2a + 3 < 0 ⇔ a² − 2a − 3 > 0 ⇔ a < −1 или a > 3. Вместе с a < 0: a < −1. Граница a = −1: y₀ = 0 — вершина на оси, не в четверти. Проверка a = −2: вершина (−2; −5) ✓.

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли знак $a$

$y = - x^{2} + 4 x + 1$ : $x_{0} = - 2$

$x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$

в знаменателе $2 a$ со своим знаком

Вершина «по виду» со знаком

$y = 2 (x + 3)^{2} - 1$ : $(3; - 1)$

$(- 3; - 1)$

$x + 3 = x - (- 3)$

Квадрат при $a \neq = 1$

$2 x^{2} - 4 x + 5$ $= 2 (x - 1)^{2} + 4$

$= 2 (x - 1)^{2} + 3$

вычитаем $2 \cdot 1$ , а не $1$

R01.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вершина $y = - 2 x^{2} - 8 x + 3$

$x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot ( - 2 )} = - 2$

$y_{0} = 8 + 16 + 3 = 27$

Ответ: $(- 2; 27)$

Ошибка: $- 2 \cdot (- 2)^{2} = - 8$ , а не $8$

$y_{0} = - 8 + 16 + 3 = 11$ ; $(- 2; 11)$

Задача 2. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[0; 2]$

$x_{0} = 3, y (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$

Ответ: $- 4$

Ошибка: $3 \in / [0; 2]$ — на отрезке функция убывает

наименьшее $y (2) = 4 - 12 + 5 = - 3$

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Найдите вершину параболы (выберите способ)

$y = x^{2} - 6 x + 8$ $(3; - 1)$
$y = - x^{2} - 2 x + 3$ $(- 1; 4)$
$y = 3 x^{2} + 12 x - 1$ : ось $x = - 2$

$y = - 4 (x - 5)^{2} + 7$ $(5; 7)$
$y = (x + 2) (x - 6)$ $(2; - 16)$
$y = x^{2} + 10 x + 30$ : наименьшее значение $5$

R01.8 · R01.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Симметрия, отрезок, параметр

повыш. $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(4; - 1)$ . Найдите $b$ и $c$ . $- 8; 15$
повыш.Ось параболы — $x = 2$ , $y (- 1) = 7$ . Найдите $y (5)$ . $7$
повыш.Область значений $y = - 3 x^{2} + 6 x + 2$ $(- \infty; 5]$
повыш.При каких $k$ вершина $y = x^{2} - 2 k x + 5$ лежит на прямой $y = 1$ ? $\pm 2$
повыш.Наибольшее значение $y = - x^{2} + 2 x + 3$ на $[2; 4]$ $3$

R01.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки? ровно две?

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x + 3$ , вершина $(2; - 1)$ нули $1; 3$

$x < 0$ : симметрично относительно $O y$ чётность

три точки: $m = 3$ проходит через $(0; 3)$

две точки: $m = - 1$ или $m > 3$ вершины; выше

R01.8 · R01.11

Задача из жизни

Огород у стены огораживают с трёх сторон сеткой длиной $40$ м

практикаБоковая сторона $x$ м. Выразите площадь. $S = x (40 - 2 x)$
практикаПри каком $x$ площадь наибольшая? $10$ м
повыш.Наибольшая площадь и размеры огорода $200 м^{2}$ ; $10 \times 20$

R01.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = x^{2} - 8 x + 12$ $(4; - 4)$
базаОсь симметрии $y = - 2 x^{2} + 6 x + 1$ $x = 1, 5$
базаОбласть значений $y = 2 x^{2} + 4 x - 3$ $[- 5; + \infty)$
повыш. $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(- 2; 3)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = 4, c = 7$

Вариант 2

базаВершина $y = x^{2} + 4 x - 5$ $(- 2; - 9)$
базаОсь симметрии $y = 3 x^{2} + 9 x - 2$ $x = - 1, 5$
базаОбласть значений $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $(- \infty; 5]$
повыш. $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(3; - 1)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 6, c = 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти вершину по нулям функции?
Почему ось симметрии — « $x = x_{0}$ »?
Где искать наименьшее значение на отрезке без вершины?

Домашнее задание

Вершина и ось $y = - 3 x^{2} + 18 x - 20$
$y = x^{2} + p x + q$ проходит через $(1; 0)$ , ось $x = 3$ . Найдите $p$ и $q$ .
При каких $a$ наименьшее значение $y = x^{2} - 2 a x + 3 a$ равно $2$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-021 · Практикум: Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 21/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.8 «Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы» → 2, 4–20 · опора R01.7 → 3, 9, 10 · R01.10 → 11, 12, 16 · применение R01.11 → 18 · теория 12,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 13) · практика 32,5 мин, 72 % (сл. 3, 6–8, 10–12, 14–20)
Результаты	ПР-17 (понятие параболы) → 4, 5, 8 · ПР-20 (положение графика в зависимости от коэффициентов) → 11, 12, 16 · ПР-21 (свойства по графику) → 4–10, 13–17, 19 · ПР-22 (свойства для решения задач) → 10, 14, 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	построение графика по алгоритму — ALG9U-022; положение графика в зависимости от коэффициентов (знаки a, b, c) — ALG9U-023
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:вершина и осьсимметрии параболы

Сегодня вы научитесь

Находить вершину

Записывать ось симметрии

Находить наибольшее и наименьшее

Решать обратные задачи

Квадратичная функция: вспомним прошлый урок

График y=ax2+bx+c (a=0) — парабола

Вершина (x0​;y0​)

Ось симметрии — прямая x=x0​

Вид через вершину

Выбирайте способ по виду формулы

Найдите вершину и ось симметрии параболы

Образец

Сам

Запишите в виде a(x−x0​)2+y0​ и назовите вершину

Образец

Сам

Ось симметрии — посередине между точками с равными y

Образец

Сам

Вершина задаёт экстремум, область значений и монотонность

a>0

a<0

На отрезке [m;n]

Область значений и промежутки монотонности

Образец

Сам

По вершине — коэффициенты

Образец

Сам

Где лежит вершина при разных значениях параметра

Образец

Сам: при каких значениях параметра…

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли знак a

Вершина «по виду» со знаком

Квадрат при a=1

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вершина y=−2x2−8x+3

Задача 2. Наименьшее значение y=x2−6x+5 на [0;2]

Найдите вершину параболы (выберите способ)

Симметрия, отрезок, параметр

y=x2−4∣x∣+3: при каких m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки? ровно две?

Огород у стены огораживают с трёх сторон сеткой длиной 40 м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-021 · Практикум: Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы

Практикум:
вершина и ось
симметрии параболы

График $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) — парабола

Вершина $(x_{0}; y_{0})$

Ось симметрии — прямая $x = x_{0}$

Запишите в виде $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ и назовите вершину

Ось симметрии — посередине между точками с равными $y$

$a > 0$

$a < 0$

На отрезке $[m; n]$

Потеряли знак $a$

Квадрат при $a \neq = 1$

Задача 1. Вершина $y = - 2 x^{2} - 8 x + 3$

Задача 2. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[0; 2]$

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки? ровно две?

Огород у стены огораживают с трёх сторон сеткой длиной $40$ м