Функции · урок 20 из 25 · практикум

Практикум:
квадратичная функция
и её свойства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-020

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 20/25, единица R01.7 «Квадратичная функция и ее свойства». Тип урока — П (практикум). Новый материал по этой единице был на ALG9U-007 (определение, свойства $y = a x^{2}$ , нули и знаки, наименьшее значение через полный квадрат). Прошлый урок ALG9U-019 — разложение трёхчлена на множители; следующий ALG9U-021 — парабола, вершина и ось симметрии.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 3 · 7 (симметрия и чётность) 2 · 10 (знак при всех $x$ ) 2 · 13 (типичные ошибки) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать свойства без графика

$E (y)$ , монотонность, знаки, наибольшее и наименьшее значения — по формуле (ПР-21)

Пользоваться симметрией

ось $x = m$ , чётность, сравнение значений (ПР-18)

Решать задачи с параметром

монотонность на промежутке, знак при всех $x$ (ПР-20, 22)

Восстанавливать функцию

по нулям, вершине, наибольшему значению (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-21 (ФРП дословно): «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций…». ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
Отличие от урока ALG9U-007: там свойства находили по готовому графику и выделением квадрата; сегодня — по формуле, на отрезке, с параметром и обратные задачи.

разминка · R01.4–R01.6

Разминка · устно

Что понадобится сегодня

x^{2} - 7 x + 12

разложите

(x - 3) (x - 4)

2 x^{2} - 8 x + 5

= 2 (x - 2)^{2} + □

- 3

y = (x + 1) (x - 5)

нули функции

- 1; 5

y = 3 x^{2} - x

y (- 1) = ?

4

y = x^{2} - 6 x

при каком

x

наименьшее?

3

y = - (x - 2)^{2} + 7

наибольшее значение

7

y = x^{2} + 5

чётная?

да

[- 3; 7]

середина отрезка

2

R01.7

Сводка · свойства квадратичной функции

$y = a x^{2} + b x + c$ , вершина $(m; n)$ : $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = y (m)$

	$a > 0$	$a < 0$
$D (y)$	$R$
$E (y)$	$[n; + \infty)$	$(- \infty; n]$
убывает	$(- \infty; m]$	$[m; + \infty)$
возрастает	$[m; + \infty)$	$(- \infty; m]$
в вершине	$y_{m i n} = n$	$y_{m a x} = n$
$y < 0$ при $D > 0$	$(x_{1}; x_{2})$	вне $[x_{1}; x_{2}]$

3 мин · теория
Всё выводится из записи y = a(x − m)² + n (выделение полного квадрата, ALG9U-007): при a > 0 слагаемое a(x − m)² ≥ 0, поэтому y ≥ n, равенство при x = m; при a < 0 — наоборот.
Формула m = −b/(2a) — из выделения квадрата: ax² + bx = a(x + b/(2a))² − b²/(4a). Вершину удобно искать и как середину между нулями: m = (x₁ + x₂)/2.
Рисунок — для a > 0 и D > 0; при a < 0 картинка отражается относительно оси Ox. Вопрос классу: что изменится в последней строке, если D ≤ 0? (При a > 0 и D ≤ 0 функция не бывает отрицательной.)

R01.7 · ПР-21

Образец → сам · свойства по формуле

Опишите свойства функции

Образец

$y = - 2 (x - 1) (x + 3)$

нули: $1; - 3$ множители равны $0$

$m = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ середина между нулями

$y_{m a x} = y (- 1) = 8$ $a = - 2 < 0$

$E = (- \infty; 8]$ ; возр. на $(- \infty; - 1]$

$y > 0$ при $x \in (- 3; 1)$ между нулями

Сам

база $y = (x - 2) (x - 6)$ : $E (y)$ $[- 4; + \infty)$
база $y = - (x + 1) (x - 5)$ : промежуток возрастания $(- \infty; 2]$
повыш. $y = 3 x^{2} - 12 x + 9$ : где $y < 0$ ? $y_{m i n}$ ? $(1; 3)$ ; $y_{m i n} = - 3$

R01.7 · ПР-21

Образец → сам · значения на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[- 1; 3]$

$m = 2 \in [- 1; 3]$ вершина внутри

$y (2) = - 3$ — наименьшее $a > 0$

$y (- 1) = 6, y (3) = - 2$ концы отрезка

$y_{наиб} = 6, y_{наим} = - 3$ сравнили

Сам

база $y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[3; 5]$ $- 2$ и $6$
база $y = - x^{2} + 6 x - 5$ на $[0; 4]$ $- 5$ и $4$
повыш. $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ на $[- 3; 0]$ $- 3$ и $5$

R01.7 · опора R01.2

Сводка · симметрия и чётность

Прямая $x = m$ — ось симметрии графика

y (m - t) = y (m + t)

y (x_{1}) = y (x_{2}), x_{1} \neq = x_{2}

\Rightarrow m = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

При

a > 0

: чем дальше

x

от

m

, тем больше

y

Чётная

\Leftrightarrow b = 0

; нечётной не бывает

2 мин · теория
Обоснование: y = a(x − m)² + n; при x = m ± t получаем at² + n — одно и то же значение. Обратно: если y(x₁) = y(x₂), то (x₁ − m)² = (x₂ − m)², при x₁ ≠ x₂ это x₁ − m = −(x₂ − m), m = (x₁ + x₂)/2.
Чётность: y(−x) = ax² − bx + c равно ax² + bx + c при всех x ⇔ 2bx = 0 при всех x ⇔ b = 0 (ось симметрии — Oy). Нечётной не бывает: y(−x) = −y(x) дало бы ax² + c = 0 при всех x, а a ≠ 0.
Сравнение значений: при a > 0 значение тем больше, чем больше |x − m| (a(x − m)² растёт); при a < 0 — тем меньше.

R01.7 · ПР-18

Образец → сам · симметрия

Ось симметрии — по равным значениям

Образец

$f (x) = x^{2} + b x + c$ , $f (- 1) = f (7)$ . Найдите $b$ .

$m = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ ось симметрии

$- \frac{b}{2} = 3$ $m = - \frac{b}{2 a}$

$b = - 6$ $c$ — любое

Сам

база $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Что больше: $f (- 4)$ или $f (9)$ ? $f (9)$
базаПри каком $p$ функция $y = x^{2} + (p - 3) x + 5$ чётная? $p = 3$
повыш. $f (x) = - 2 x^{2} + b x + c$ , $f (0) = f (4) = 5.$ Найдите $b$ , $c$ и $y_{m a x}$ . $b = 8, c = 5, y_{m a x} = 13$

R01.7 · ПР-20, 22

Образец → сам · монотонность на промежутке

Промежуток должен лежать по одну сторону от $m$

Образец

При каких $a$ функция $y = x^{2} - 2 a x + 3$ возрастает на $[1; + \infty)$ ?

$m = a$ $- \frac{- 2 a}{2}$

возрастает на $[a; + \infty)$ ветви вверх

$[1; + \infty) \subset [a; + \infty)$ условие

$a \leq 1$ ответ

Сам

база $y = x^{2} + 4 x - 1$ возрастает или убывает на $[- 5; - 3]$ ? убывает
базаПри каких $b$ функция $y = - x^{2} + b x$ убывает на $[2; + \infty)$ ? $b \leq 4$
повыш.При каких $a$ функция $y = x^{2} - 2 a x + 1$ монотонна на $[0; 2]$ ? $a \leq 0$ или $a \geq 2$

R01.7 · ПР-20

Сводка · знак при всех $x$

Когда квадратичная функция не меняет знак

y > 0

при всех

x

\Leftrightarrow

a > 0, D < 0

y < 0

при всех

x

\Leftrightarrow

a < 0, D < 0

y \geq 0

при всех

x

:

a > 0, D \leq 0

«Квадратичная функция» — значит

a \neq = 0

. «Выражение», «функция» — случай

a = 0

разбирают отдельно

2 мин · теория
Обоснование: при D < 0 нулей нет — парабола целиком по одну сторону от Ox; сторону задаёт знак a (ветви вверх — над осью). При D = 0 парабола касается оси: y ≥ 0 (a > 0), но не y > 0.
Если параметр стоит при x²: в задаче про «квадратичную функцию» условие a ≠ 0 входит в условие; если сказано «выражение» или просто «функция», при a = 0 функция линейная — её проверяют отдельно (линейная с ненулевым наклоном знак меняет; постоянная — смотрят на число).

R01.7 · ПР-22

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…квадратичная функция $y = k x^{2} - 4 x + k$ принимает только отрицательные значения?

$k < 0$ ветви вниз

$D_{1} = 4 - k^{2} < 0$ нулей нет

$k < - 2$ или $k > 2$ $k^{2} > 4$

$k < - 2$ пересечение

Сам

база…функция $y = x^{2} + 6 x + c$ положительна при всех $x$ ? $c > 9$
повыш.…квадратичная функция $y = (m - 1) x^{2} + 2 x + 1$ положительна при всех $x$ ? $m > 2$
повыш.…выражение $a x^{2} - 2 x + a$ положительно при всех $x$ ? $a > 1$

2 мин · практика
Образец: k ≠ 0 входит в условие («квадратичная»). Граница k = −2: y = −2x² − 4x − 2 = −2(x + 1)² ≤ 0, при x = −1 значение 0 — не «только отрицательные», поэтому неравенство строгое ✓.
1) D₁ = 9 − c < 0, c > 9 (при c = 9 y = (x + 3)², нуль в −3).
2) m − 1 > 0 и D₁ = 1 − (m − 1) = 2 − m < 0: m > 1 и m > 2, ответ m > 2. Проверка m = 2: x² + 2x + 1 = (x + 1)² — нуль, не подходит.
3) «Выражение» — разбираем a = 0: −2x меняет знак, не подходит. a ≠ 0: a > 0 и D₁ = 1 − a² < 0 ⇒ a > 1. Проверено в python.

R01.7 · ПР-22

Образец → сам · функция по свойствам

Восстановите формулу квадратичной функции

Образец

Нули $- 1$ и $5$ , наибольшее значение $18$ .

$y = a (x + 1) (x - 5)$ по нулям

$m = 2$ : $a \cdot 3 \cdot (- 3) = 18$ $y (m) = 18$

$a = - 2$ $a < 0$ — есть $y_{m a x}$

$y = - 2 x^{2} + 8 x + 10$ раскрыли скобки

Сам

база $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(3; - 4)$ $y = x^{2} - 6 x + 5$
базаНули $2$ и $4$ , график проходит через $(0; 16)$ $y = 2 x^{2} - 12 x + 16$
повыш. $y_{m i n} = - 2$ при $x = 1$ , $y (3) = 6$ $y = 2 x^{2} - 4 x$

R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Вершина вне отрезка

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[3; 5]$ : $y_{наим} = y (2) = - 3$

$2 \in / [3; 5]$ : $y_{наим} = y (3) = - 2$

сначала проверьте, лежит ли $m$ на отрезке

«Есть $x^{2}$ — чётная»

$y = x^{2} - 2 x + 1$ — чётная

$b = - 2 \neq = 0$ : не чётная; $y (- 1) = 4, y (1) = 0$

чётная только при $b = 0$

Забыли знак $a$

$k x^{2} - 4 x + k < 0$ при всех $x$ , если $D < 0$ : $∣ k ∣ > 2$

ещё $k < 0$ : $k < - 2$

при $k = 3$ все значения положительны

3 мин · теория
1) На [3; 5] функция возрастает (m = 2 левее отрезка): наименьшее y(3) = −2, наибольшее y(5) = 6. Значение −3 функция на этом отрезке не принимает.
2) y = (x − 1)² — ось симметрии x = 1, а не Oy. Контрпример y(−1) ≠ y(1) достаточно, чтобы доказать «не чётная».
3) D < 0 даёт только «нет нулей»; знак задаёт a. При k = 3: 3x² − 4x + 3, D₁ = 4 − 9 < 0, a > 0 — все значения положительны.
Вопрос классу: какая ещё проверка нужна, если сказано «выражение», а не «квадратичная функция»? (Случай k = 0.)

R01.7

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Множество значений $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[0; 4]$

$y (0) = 5, y (4) = - 3$

Ответ: $[- 3; 5]$

Ошибка: забыта вершина $m = 3 \in [0; 4]$

$y (3) = - 4$ ; ответ: $[- 4; 5]$

Задача 2. При каких $b$ функция $y = x^{2} - b x + 2$ возрастает на $[1; + \infty)$ ?

$m = - \frac{b}{2}$ , $- \frac{b}{2} \leq 1$

Ответ: $b \geq - 2$

Ошибка: коэффициент при $x$ равен $- b$ , $m = \frac{b}{2}$

$\frac{b}{2} \leq 1$ ; ответ: $b \leq 2$

R01.7

Задания с самопроверкой · база

Свойства по формуле — шесть заданий

$y = x^{2} - 8 x + 7$ : нули $1; 7$
$y = x^{2} - 8 x + 7$ : $y_{m i n}$ $- 9$
$y = - x^{2} + 2 x + 3$ : $E (y)$ $(- \infty; 4]$

$y = 2 x^{2} + 8 x$ : убывает на… $(- \infty; - 2]$
$y = (x - 1) (x + 1)$ : чётная? да
$y = x^{2} - 2 x - 8$ : где $y \leq 0$ ? $[- 2; 4]$

R01.7 · ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отрезок, симметрия, параметр

повыш.При каком $c$ наибольшее значение функции $y = - x^{2} + 4 x + c$ равно $1$ ? $c = - 3$
повыш.Наименьшее значение $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[- 2; 0]$ $- 3$
повыш.При каких $a$ функция $y = x^{2} + (a - 1) x + 2$ убывает на $(- \infty; 3]$ ? $a \leq - 5$
повыш.При каких $m$ квадратичная функция $y = m x^{2} - 6 x + m - 8$ принимает только отрицательные значения? $m < - 1$
повыш.Нули $- 1$ и $5$ , $E (y) = [- 9; + \infty)$ . Формула? $y = x^{2} - 4 x - 5$

R01.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?

функция чётная $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$

$x \geq 0$ : $y = (x - 2)^{2} - 1$ вершина $(2; - 1)$

$x < 0$ : симметрично вершина $(- 2; - 1)$

$y (0) = 3$ — «излом» общая точка ветвей

Три точки:

m = 3

· четыре:

- 1 < m < 3

2 мин · практика
Полное решение (2 балла): при x ≥ 0 y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1, нули 1 и 3, вершина (2; −1); функция чётная, поэтому при x < 0 график симметричен: y = x² + 4x + 3, вершина (−2; −1), нули −1 и −3. Точка (0; 3) — общая для двух ветвей.
Ровно три общие точки — прямая через «излом» (0; 3): m = 3 (точки x = −4; 0; 4 — проверка: 16 − 16 + 3 = 3 ✓).
Для обсуждения: m < −1 — нет точек; m = −1 — две; −1 < m < 3 — четыре; m > 3 — две.
Типичная потеря балла: строят только правую часть или забывают, что в точке (0; 3) — «угол», а не вершина.

R01.7 · R01.11

Задача из жизни

Цена билета $x$ руб. — продают $1000 - 2 x$ билетов. Выручка $R (x) = x (1000 - 2 x)$

практикаПри какой цене выручка наибольшая? Какая она? $250$ руб.; $125000$ руб.
практикаПри каких ценах выручка не меньше $120000$ руб.? $[200; 300]$
повыш.Не считая, сравните $R (230)$ и $R (260)$ $R (260)$ больше

R01.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $y = x^{2} - 6 x + 8$ : нули и $E (y)$ $2; 4$ ; $[- 1; + \infty)$
база $y = - x^{2} - 4 x + 5$ : промежуток возрастания $(- \infty; - 2]$
база $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[0; 3]$ : наименьшее и наибольшее $- 4$ и $0$
повыш.При каких $c$ функция $y = x^{2} + 4 x + c$ положительна при всех $x$ ? $c > 4$

Вариант 2

база $y = x^{2} + 2 x - 8$ : нули и $E (y)$ $- 4; 2$ ; $[- 9; + \infty)$
база $y = - x^{2} + 6 x - 1$ : промежуток убывания $[3; + \infty)$
база $y = x^{2} + 4 x + 1$ на $[- 3; 0]$ : наименьшее и наибольшее $- 3$ и $1$
повыш.При каких $c$ функция $y = - x^{2} + 2 x + c$ отрицательна при всех $x$ ? $c < - 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $E (y)$ на отрезке?
Когда квадратичная функция чётная?
Что, кроме $D < 0$ , нужно для « $y > 0$ при всех $x$ »?

Домашнее задание

Свойства $y = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ : нули, $E$ , монотонность, знаки
При каких $a$ функция $y = x^{2} - 2 (a + 1) x + 3$ возрастает на $[2; 5]$ ?
При каких $m$ квадратичная функция $y = (m + 2) x^{2} - 2 m x + 1$ положительна при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-020 · Практикум: Квадратичная функция и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 20/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.7 «Квадратичная функция и ее свойства» → 2, 4–20 · опора R01.4–R01.6 → 3 · опора R01.2 (чётность) → 7, 8 · применение R01.11 → 18 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-21 (описывать свойства квадратичной функции) → 4–6, 15, 19 · ПР-18 (свойства функций: чётность, монотонность) → 7, 8, 13 · ПР-20 (положение графика по коэффициентам) → 9–11 · ПР-22 (свойства для решения задач) → 11, 12, 16–18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	вершина и ось симметрии подробно — ALG9U-021; построение графика — ALG9U-022; задачи на свойства — ALG9U-024
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратичная функцияи её свойства

Сегодня вы научитесь

Описывать свойства без графика

Пользоваться симметрией

Решать задачи с параметром

Восстанавливать функцию

Что понадобится сегодня

y=ax2+bx+c, вершина (m; n): m=−2ab​, n=y(m)

Опишите свойства функции

Образец

Сам

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

Сам

Прямая x=m — ось симметрии графика

Ось симметрии — по равным значениям

Образец

Сам

Промежуток должен лежать по одну сторону от m

Образец

Сам

Когда квадратичная функция не меняет знак

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Восстановите формулу квадратичной функции

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Вершина вне отрезка

«Есть x2 — чётная»

Забыли знак a

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Множество значений y=x2−6x+5 на [0; 4]

Задача 2. При каких b функция y=x2−bx+2 возрастает на [1; +∞)?

Свойства по формуле — шесть заданий

Отрезок, симметрия, параметр

Постройте график y=x2−4∣x∣+3. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно три общие точки?

Цена билета x руб. — продают 1000−2x билетов. Выручка R(x)=x(1000−2x)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-020 · Практикум: Квадратичная функция и ее свойства

Практикум:
квадратичная функция
и её свойства

$y = a x^{2} + b x + c$ , вершина $(m; n)$ : $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = y (m)$

Прямая $x = m$ — ось симметрии графика

Промежуток должен лежать по одну сторону от $m$

«Есть $x^{2}$ — чётная»

Забыли знак $a$

Задача 1. Множество значений $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[0; 4]$

Задача 2. При каких $b$ функция $y = x^{2} - b x + 2$ возрастает на $[1; + \infty)$ ?

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?

Цена билета $x$ руб. — продают $1000 - 2 x$ билетов. Выручка $R (x) = x (1000 - 2 x)$