Функции · урок 19 из 25 · практикум

Практикум:
разложение
квадратного трёхчлена
на множители

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-019

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 19/25, единица R01.6 «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-018 — корни квадратного трёхчлена; следующий ALG9U-020 — квадратичная функция и её свойства.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (теорема о разложении с доказательством) 3 · 5 (схема: знак D → вид разложения) 2 · 8 (где пригодится) 2 · 11 (трёхчлен с двумя переменными, параметр) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание «повыш.» сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать трёхчлен

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , в том числе при $a \neq = 1$ (ПР-5)

Понимать, когда можно

по знаку $D$ решать, раскладывается ли трёхчлен (ПР-4, ПР-5)

Сокращать дроби

раскладывая числитель и знаменатель, помня об ОДЗ (ПР-5)

Работать с параметром

трёхчлены от двух переменных, условие на параметр (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-4: «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром».
Вид деятельности ФРП: «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители, раскладывать на линейные множители квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом».

разминка · R01.5

Разминка · устно

Корни, скобки, формулы

x^{2} - 7 x + 12

корни

3; 4

x^{2} + 2 x - 15

корни

3; - 5

3 x^{2} - 5 x + 2

корни

1; \frac{2}{3}

x^{2} + x + 5

знак

D

D < 0

2 x^{2} - 8 x

вынесите множитель

2 x (x - 4)

9 x^{2} - 25

разложите

(3 x - 5) (3 x + 5)

x^{2} - 10 x + 25

свернуть

(x - 5)^{2}

(x - 2) (x + 3)

раскройте

x^{2} + x - 6

R01.6

Сводка · теорема о разложении

Если $x_{1}$ , $x_{2}$ — корни, то $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ вынесли $a$

$= a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2})$ Виета

$= a (x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1}))$ группировка

$= a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ общий множитель

$D = 0$

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$

$D < 0$

на линейные множители не раскладывается

R01.6

Схема · знак D → вид разложения

Сначала дискриминант, потом скобки

Знак $D$	Разложение	Пример
$D > 0$	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	$2 x^{2} - x - 1 = 2 (x - 1) (x + \frac{1}{2})$ $= (x - 1) (2 x + 1)$
$D = 0$	$a (x - x_{0})^{2}$	$4 x^{2} - 12 x + 9 = 4 (x - 1, 5)^{2}$ $= (2 x - 3)^{2}$
$D < 0$	не раскладывается	$x^{2} + x + 1$ : $D = - 3$

Множитель

a

можно «внести» в одну из скобок — так уходят дроби. Проверка — раскрыть скобки.

R01.6

Образец → сам · приведённый трёхчлен

Разложите на множители

Образец

$x^{2} - 2 x - 35$

$x_{1} + x_{2} = 2, x_{1} x_{2} = - 35$ Виета

$x_{1} = 7, x_{2} = - 5$ подбор

$(x - 7) (x + 5)$ $a = 1$

$x^{2} + 5 x - 7 x - 35$ ✓ проверка

Сам

база $x^{2} + 9 x + 14$ $(x + 2) (x + 7)$
база $x^{2} - x - 42$ $(x - 7) (x + 6)$
повыш. $x^{2} - 4 x - 1$ $(x - 2 - 5) (x - 2 + 5)$

R01.6

Образец → сам · старший коэффициент

$a \neq = 1$ : не потеряйте $a$

Образец

$6 x^{2} - x - 2$

$D = 1 + 48 = 49$ $b^{2} - 4 a c$

$x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = - \frac{1}{2}$ $\frac{1 \pm 7}{12}$

$6 (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1}{2})$ теорема

$= (3 x - 2) (2 x + 1)$ $6 = 3 \cdot 2$

Сам

база $2 x^{2} + 5 x - 3$ $(2 x - 1) (x + 3)$
база $5 x^{2} - 2 x - 7$ $(x + 1) (5 x - 7)$
повыш. $- 3 x^{2} + 10 x - 3$ $- (3 x - 1) (x - 3)$

R01.6

Сводка · где пригодится разложение

Три применения

Сократить дробь

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

$= \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$

$= \frac{x - 2}{x + 3}$ , $x \neq = \pm 3$

Составить трёхчлен

корни $- 1$ и $\frac{3}{2}$ , $a = 2$ :

$2 (x + 1) (x - \frac{3}{2})$

$= 2 x^{2} - x - 3$

Решить уравнение

$\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 0$

$\frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{x - 3} = 0$

$x = - 2$ ( $x \neq = 3$ )

R01.6

Образец → сам · сокращение дроби

Сократите дробь

Образец

$\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x ^{2} - 9}$

$2 x^{2} - 5 x - 3$ : корни $3; - \frac{1}{2}$ $D = 49$

$= (x - 3) (2 x + 1)$ теорема

$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ $x \neq = \pm 3$

Сам

база $\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4}$ $\frac{x + 3}{x + 2}$
база $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{9 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 2}{3 x + 1}$
повыш. $\frac{4 x ^{2} - 12 x + 9}{2 x ^{2} - x - 3}$ $\frac{2 x - 3}{x + 1}$

R01.6

Образец → сам · обратная задача

По корням — трёхчлен, по множителю — коэффициент

Образец

Корни $- \frac{1}{3}$ и $2$ , старший коэффициент $3$ . Запишите трёхчлен.

$3 (x + \frac{1}{3}) (x - 2)$ теорема

$= (3 x + 1) (x - 2)$ внесли $3$

$= 3 x^{2} - 5 x - 2$ раскрыли

Сам

базаКорни $4$ и $- 1$ , $a = 1$ $x^{2} - 3 x - 4$
базаКорни $\frac{1}{2}$ и $- 3$ , $a = 2$ $2 x^{2} + 5 x - 3$
повыш.В разложении $2 x^{2} + b x - 15$ есть множитель $x - 3$ . Найдите $b$ и разложение. $b = - 1$ ; $(x - 3) (2 x + 5)$

R01.6 · ПР-7

Сводка · трёхчлен с двумя переменными

$y$ — как число: трёхчлен относительно $x$

$x^{2} - 5 x y + 6 y^{2}$

$D = 25 y^{2} - 24 y^{2} = y^{2}$ $a = 1, b = - 5 y, c = 6 y^{2}$

$x = \frac{5 y \pm y}{2}$ : $3 y; 2 y$ формула корней

$= (x - 2 y) (x - 3 y)$ теорема

Однородный трёхчлен

a x^{2} + b x y + c y^{2}

раскладывается так же

Квадратный трёхчлен с параметром раскладывается на линейные множители

\Leftrightarrow D \geq 0

R01.6 · ПР-7

Образец → сам · две переменные и параметр

Разложите или найдите параметр

Образец

$2 x^{2} + x y - 6 y^{2}$

$D = y^{2} + 48 y^{2} = 49 y^{2}$ $b = y$

$x = \frac{- y \pm 7 y}{4}$ : $\frac{3 y}{2}; - 2 y$ корни

$= (2 x - 3 y) (x + 2 y)$ внесли $2$

Сам

база $x^{2} + 3 x y - 10 y^{2}$ $(x + 5 y) (x - 2 y)$
повыш. $3 a^{2} - 7 ab + 2 b^{2}$ $(a - 2 b) (3 a - b)$
повыш.При каких $p$ квадратный трёхчлен $x^{2} + p x + p + 3$ раскладывается на линейные множители? $p \leq - 2$ или $p \geq 6$

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Ошибка	Неверно	Почему	Верно
Потеряли $a$	$2 x^{2} - 7 x + 3 = (x - 3) (x - \frac{1}{2})$	справа старший коэффициент $1$	$(x - 3) (2 x - 1)$
Перепутали знаки	корни $3$ и $- 4$ : $x^{2} + x - 12 = (x + 3) (x - 4)$	множитель — $x - x_{1}$	$(x - 3) (x + 4)$
Забыли минус при $a < 0$	$- x^{2} + 5 x - 6 = (x - 2) (x - 3)$	$a = - 1$	$- (x - 2) (x - 3)$

R01.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите $\frac{3 x ^{2} - 10 x + 3}{x ^{2} - 9}$

Корни числителя: $3$ и $\frac{1}{3}$

$\frac{( x - 3 ) ( x - \frac{1}{3} )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - \frac{1}{3}}{x + 3}$

Ошибка: потерян $a = 3$

Верно: $\frac{3 x - 1}{x + 3}$

Задача 2. Разложите $x^{2} - 6 x y + 5 y^{2}$

$D = 36 y^{2} - 20 y^{2} = 16 y^{2}$

$x = \frac{6 y \pm 4 y}{2}$ : $5 y; y$

$(x + 5 y) (x + y)$

Ошибка: знаки в скобках

Верно: $(x - 5 y) (x - y)$

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Разложите на множители

$x^{2} - 8 x + 15$ $(x - 3) (x - 5)$
$x^{2} + 4 x - 21$ $(x + 7) (x - 3)$
$2 x^{2} - 3 x - 2$ $(x - 2) (2 x + 1)$

$3 x^{2} + 8 x - 3$ $(3 x - 1) (x + 3)$
$x^{2} + 2 x + 3$ не раскладывается
$16 x^{2} - 8 x + 1$ $(4 x - 1)^{2}$

R01.6 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Дроби, две переменные, параметр

повыш.Сократите $\frac{2 x ^{2} + 7 x + 3}{4 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 3}{2 x - 1}$
повыш.Разложите $x^{2} - x y - 12 y^{2}$ $(x - 4 y) (x + 3 y)$
повыш.Разложите $- 2 x^{2} + x + 6$ $(2 - x) (2 x + 3)$
повыш.При каких $b$ трёхчлен $x^{2} + b x + 9$ — квадрат двучлена? $b = \pm 6$
повыш.Разложите $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ $(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$

R01.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

График с выколотой точкой

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с ним общих точек?

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ корни $3; - 2$

$y = x + 2, x \neq = 3$ сократили

выколота точка $(3; 5)$ $3 + 2 = 5$

$k = 1$ параллельна

$k = \frac{5}{3}$ через $(3; 5)$

Ответ: $1; \frac{5}{3}$

R01.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 3 x - 10$ $(x - 5) (x + 2)$
база $3 x^{2} - 7 x + 2$ $(x - 2) (3 x - 1)$
базаСократите $\frac{x ^{2} + 6 x + 8}{x ^{2} - 4}$ $\frac{x + 4}{x - 2}$
повыш. $x^{2} - 2 x y - 8 y^{2}$ $(x - 4 y) (x + 2 y)$

Вариант 2

база $x^{2} + 5 x - 14$ $(x + 7) (x - 2)$
база $2 x^{2} + 5 x + 2$ $(2 x + 1) (x + 2)$
базаСократите $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$ $\frac{x - 2}{x + 3}$
повыш. $x^{2} + x y - 6 y^{2}$ $(x + 3 y) (x - 2 y)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда трёхчлен не раскладывается на линейные множители?
Куда девается старший коэффициент $a$ ?
Как проверить разложение за 20 секунд?

Домашнее задание

Разложите $10 x^{2} - x - 3$
Сократите $\frac{2 x ^{2} - x y - y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}$
Постройте график $y = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ ; при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-019 · Практикум: Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 19/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.6 «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители» → 2, 4–19 · опора R01.5 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14–19)
Результаты	ПР-5 (раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители) → 2–19 · ПР-4 (корни квадратного трехчлена) → 3–7 · ПР-7 (параметр) → 11, 12, 16 · ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 8, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратичная функция и её свойства — ALG9U-020; метод интервалов для квадратных неравенств — строка R02
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:разложениеквадратного трёхчленана множители

Сегодня вы научитесь

Раскладывать трёхчлен

Понимать, когда можно

Сокращать дроби

Работать с параметром

Корни, скобки, формулы

Если x1​, x2​ — корни, то ax2+bx+c=a(x−x1​)(x−x2​)

D=0

D<0

Сначала дискриминант, потом скобки

Разложите на множители

Образец

Сам

a=1: не потеряйте a

Образец

Сам

Три применения

Сократить дробь

Составить трёхчлен

Решить уравнение

Сократите дробь

Образец

Сам

По корням — трёхчлен, по множителю — коэффициент

Образец

Сам

y — как число: трёхчлен относительно x

Разложите или найдите параметр

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите x2−93x2−10x+3​

Задача 2. Разложите x2−6xy+5y2

Разложите на множители

Дроби, две переменные, параметр

График с выколотой точкой

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-019 · Практикум: Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Практикум:
разложение
квадратного трёхчлена
на множители

Если $x_{1}$ , $x_{2}$ — корни, то $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

$D = 0$

$D < 0$

$a \neq = 1$ : не потеряйте $a$

$y$ — как число: трёхчлен относительно $x$

Задача 1. Сократите $\frac{3 x ^{2} - 10 x + 3}{x ^{2} - 9}$

Задача 2. Разложите $x^{2} - 6 x y + 5 y^{2}$