Функции · урок 18 из 25 · практикум

Практикум:
корни квадратного
трёхчлена

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-018

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 18/25, единица R01.5 «Корни квадратного трехчлена». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-017 — квадратный трёхчлен (выделение квадрата, значения); следующий ALG9U-019 — разложение на линейные множители.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: D, D₁, число корней) 3 · 5 (выбор способа) 2 · 8 (Виета и следствия) 2 · 11 (параметр: как рассуждать) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12) 3 + 2 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить корни быстро

выбирать способ: $D$ , $D_{1}$ , особые коэффициенты, Виета (ПР-4)

Решать обратные задачи

по корню найти коэффициент, по корням — трёхчлен (ПР-4)

Считать без корней

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ — через Виета (ПР-4)

Рассуждать с параметром

сколько корней в зависимости от параметра (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-4 (ФРП дословно): «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром». Опора — ПР-6 (квадратные уравнения и сводящиеся к ним) в задачах ОГЭ.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители…» — возможность разложения (наличие корней) готовим к ALG9U-019.

разминка · R01.4

Разминка · устно

Трёхчлен и его значения

x^{2} - 5 x + 6

при

x = 2

0

x^{2} + 4 x + 3

найдите

D

4

3 - 2 x^{2} + x

a, b, c

= ?

- 2, 1, 3

x^{2} - 9

корни

\pm 3

x^{2} - 6 x + 10

= (x - 3)^{2} + □

1

(x - 1)^{2} + 4

есть ли корни?

нет

2 x^{2} + 3 x + 1

- 1

— корень?

да

196

вычислите

14

R01.5

Сводка · корни трёхчлена

Корень трёхчлена — значение $x$ , при котором трёхчлен равен $0$

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

b = 2 k : D_{1} = k^{2} - a c,

x_{1, 2} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}

D_{1} = \frac{D}{4}

— тот же знак, числа меньше

R01.5

Схема · выбор способа

Сначала посмотрите на коэффициенты

Признак	Способ	Пример
$b = 0$ или $c = 0$	неполный: вынести $x$ или $x^{2} = - \frac{c}{a}$	$3 x^{2} - 12 x$ : $0; 4$
$a + b + c = 0$	$x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}$	$7 x^{2} - 3 x - 4$ : $1; - \frac{4}{7}$
$a - b + c = 0$	$x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}$	$5 x^{2} + 7 x + 2$ : $- 1; - \frac{2}{5}$
$a = 1$ , целые корни	подбор по теореме Виета	$x^{2} - 11 x + 28$ : $4; 7$
$b$ чётное	$D_{1} = k^{2} - a c$	$3 x^{2} - 14 x + 8$
иначе	$D = b^{2} - 4 a c$	$6 x^{2} - x - 2$

R01.5

Образец → сам · чётный коэффициент

Найдите корни трёхчлена

Образец

$3 x^{2} - 14 x + 8$

$k = - 7$ $b = - 14$ чётное

$D_{1} = 49 - 24 = 25$ $k^{2} - a c$

$x = \frac{7 \pm 5}{3}$ $\frac{- k \pm D _{1}}{a}$

$x_{1} = 4, x_{2} = \frac{2}{3}$ проверка: $48 - 56 + 8 = 0$

Сам

база $5 x^{2} + 8 x - 4$ $0, 4; - 2$
база $4 x^{2} - 12 x + 9$ $1, 5$ (один корень)
повыш. $x^{2} - 6 x + 4$ $3 \pm 5$

R01.5

Образец → сам · особые коэффициенты

Найдите корни без дискриминанта

Образец

$2025 x^{2} - 2024 x - 1$

$2025 - 2024 - 1 = 0$ $a + b + c = 0$

$x_{1} = 1$ подстановка $x = 1$

$x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{1}{2025}$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Сам

база $7 x^{2} - 3 x - 4$ $1; - \frac{4}{7}$
база $5 x^{2} + 7 x + 2$ $- 1; - \frac{2}{5}$
база $x^{2} - 11 x + 28$ $4; 7$

R01.5 · опора R05 (8 кл.)

Сводка · теорема Виета

Сумма и произведение корней — без самих корней

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Только если корни есть:

D \geq 0

Следствия

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$

$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$

Знаки корней

$\frac{c}{a} < 0$ — разных знаков; $\frac{c}{a} > 0$ — одного знака, как у $- \frac{b}{a}$

R01.5

Образец → сам · обратная задача

По корню — коэффициент, по корням — трёхчлен

Образец

$3$ — корень $x^{2} + p x - 12$ . Найдите $p$ и $x_{2}$ .

$3 x_{2} = - 12, x_{2} = - 4$ $x_{1} x_{2} = c$

$3 + (- 4) = - p, p = 1$ $x_{1} + x_{2} = - p$

$9 + 3 - 12 = 0$ проверка

Сам

база $- 3$ — корень $2 x^{2} + b x - 6$ . Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = 4, x_{2} = 1$
базаПриведённый трёхчлен с корнями $- 2$ и $5$ $x^{2} - 3 x - 10$
повыш.То же с корнями $2 \pm 3$ $x^{2} - 4 x + 1$

R01.5

Образец → сам · выражения от корней

Вычислите, не находя корней

Образец

$2 x^{2} - 5 x - 4$ : найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

$D = 25 + 32 = 57 > 0$ корни есть

$x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}, x_{1} x_{2} = - 2$ Виета

$\frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}$ $s^{2} - 2 p$

Сам: $x^{2} - 3 x - 7$

база $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ $- \frac{3}{7}$
база $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $23$
повыш. $∣ x_{1} - x_{2} ∣$ $37$

R01.5 · ПР-7

Сводка · трёхчлен с параметром

Сколько корней у $x^{2} - 6 x + m$ ?

$D_{1} = 9 - m$ $k = - 3$

Знак

D

зависит от

m

— разбиваем ось

m

Параметр при

x^{2}

? Сначала:

a \neq = 0

, иначе это не квадратный трёхчлен

R01.5 · ПР-7

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…трёхчлен $a x^{2} - 4 x + 1$ имеет корни?

$a \neq = 0$ трёхчлен квадратный

$D_{1} = 4 - a \geq 0$ корни есть

$a \leq 4, a \neq = 0$ ответ

Сам

база… $2 x^{2} + b x + 8$ имеет один корень? $b = \pm 8$
повыш.… $k x^{2} + 6 x + k$ не имеет корней? $k < - 3$ или $k > 3$
повыш.… $x^{2} - 2 a x + a + 6$ имеет корни, и все они положительны? $a \geq 3$

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Виета: забыли про $a$

$2 x^{2} - 6 x + 1$ : $x_{1} + x_{2} = 6$

$x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = \frac{1}{2}$

формулы: $- \frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$

$D_{1}$ , но делят на $2 a$

$x^{2} - 8 x + 7$ : $x = \frac{4 \pm 3}{2}$

$x = \frac{4 \pm 3}{1}$ : $7; 1$

с $D_{1}$ знаменатель — $a$

Забыли $a \neq = 0$

Квадратный трёхчлен $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1$ имеет корни при $a \leq 3$

$a \leq 3, a \neq = 2$

при $a = 2$ — не квадратный трёхчлен

R01.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

$x^{2} + 2 x + 5$

$x_{1} + x_{2} = - 2, x_{1} x_{2} = 5$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 - 10 = - 6$

Ошибка: $D = 4 - 20 < 0$ — корней нет, Виета применять нельзя

Подсказка: сумма квадратов не бывает отрицательной

Задача 2. Найдите корни

$3 x^{2} + 4 x - 4$

$D_{1} = 4 + 12 = 16$

$x = \frac{- 2 \pm 4}{6}$ , $x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = - 1$

Ошибка: с $D_{1}$ делят на $a = 3$

$x = \frac{- 2 \pm 4}{3}$ : $\frac{2}{3}; - 2$

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Найдите корни трёхчлена (выберите способ)

$x^{2} - 7 x + 10$ $2; 5$
$2 x^{2} + 3 x - 5$ $1; - 2, 5$
$9 x^{2} - 6 x + 1$ $\frac{1}{3}$

$x^{2} + x + 1$ нет корней
$3 x^{2} - 12 x$ $0; 4$
$x^{2} - 4 x - 1$ $2 \pm 5$

R01.5 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Виета и параметр

повыш. $x^{2} - 5 x + 3$ : найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $19$
повыш. $- 2$ — корень $x^{2} + p x + 6$ ; найдите $p$ $5$
повыш.При каких $m$ у $x^{2} + m x + 9$ два корня? $∣ m ∣ > 6$
повыш.При каких $a$ у $(a + 1) x^{2} - 2 a x + a$ ровно один корень? $a = 0$
повыш.Корни $x^{2} + p x + 12$ отличаются на $1$ . Найдите $p$ . $\pm 7$

R01.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — всё сводится к корням трёхчлена

$(x - 2)^{2} (x - 3) = 12 (x - 2)$ $- 1; 2; 6$
$x^{4} = (x - 20)^{2}$ $- 5; 4$
$x^{2} - 3 x + 5 - x = 5 - x + 18$ $- 3$

1: не делите на

x - 2

— вынесите

2:

A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = \pm B

3: проверьте ОДЗ

x \leq 5

R01.5 · R01.11

Задача из жизни

Мяч подбросили вверх: $h (t) = 1, 5 + 14 t - 5 t^{2}$ (м)

практикаКогда мяч на высоте $9, 5$ м? $0, 8$ и $2$ с
практикаСколько секунд он был выше $9, 5$ м? $1, 2$ с
повыш.Когда упадёт на землю? $\approx 2, 9$ с

R01.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаКорни $x^{2} - 9 x + 14$ $2; 7$
базаКорни $4 x^{2} + 4 x - 3$ $0, 5; - 1, 5$
база $5$ — корень $x^{2} + p x - 15$ . Найдите $p$ и $x_{2}$ . $p = - 2, x_{2} = - 3$
повыш.При каких $c$ у $x^{2} - 4 x + c$ два корня? $c < 4$

Вариант 2

базаКорни $x^{2} + 3 x - 10$ $2; - 5$
базаКорни $9 x^{2} - 12 x - 5$ $\frac{5}{3}; - \frac{1}{3}$
база $- 3$ — корень $x^{2} + p x + 18$ . Найдите $p$ и $x_{2}$ . $p = 9, x_{2} = - 6$
повыш.При каких $c$ у $x^{2} + 6 x + c$ нет корней? $c > 9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда выгодна формула с $D_{1}$ ?
Что проверить перед теоремой Виета?
С чего начать задачу с параметром при $x^{2}$ ?

Домашнее задание

Корни $6 x^{2} - x - 2$
При каких $a$ квадратный трёхчлен $(a - 1) x^{2} + 2 a x + a + 3$ имеет корни?
$x^{2} - 4 x + 1$ : найдите $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-018 · Практикум: Корни квадратного трехчлена

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 18/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.5 «Корни квадратного трехчлена» → 2, 4–20 · опора R01.4 → 3 · применение R01.11 → 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-4 (находить корни квадратного трехчлена) → 2–10, 13–20 · ПР-7 (квадратные уравнения с параметром) → 11, 12, 16, 19 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	разложение на линейные множители — ALG9U-019; вершина параболы и наибольшее значение — R01.8–R01.11, следующие уроки
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:корни квадратноготрёхчлена

Сегодня вы научитесь

Находить корни быстро

Решать обратные задачи

Считать без корней

Рассуждать с параметром

Трёхчлен и его значения

Корень трёхчлена — значение x, при котором трёхчлен равен 0

Сначала посмотрите на коэффициенты

Найдите корни трёхчлена

Образец

Сам

Найдите корни без дискриминанта

Образец

Сам

Сумма и произведение корней — без самих корней

Следствия

Знаки корней

По корню — коэффициент, по корням — трёхчлен

Образец

Сам

Вычислите, не находя корней

Образец

Сам: x2−3x−7

Сколько корней у x2−6x+m?

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Виета: забыли про a

D1​, но делят на 2a

Забыли a=0

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите x12​+x22​

Задача 2. Найдите корни

Найдите корни трёхчлена (выберите способ)

Виета и параметр

Решите уравнение — всё сводится к корням трёхчлена

Мяч подбросили вверх: h(t)=1,5+14t−5t2 (м)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-018 · Практикум: Корни квадратного трехчлена

Практикум:
корни квадратного
трёхчлена

Корень трёхчлена — значение $x$ , при котором трёхчлен равен $0$

Сам: $x^{2} - 3 x - 7$

Сколько корней у $x^{2} - 6 x + m$ ?

Виета: забыли про $a$

$D_{1}$ , но делят на $2 a$

Забыли $a \neq = 0$

Задача 1. Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

Мяч подбросили вверх: $h (t) = 1, 5 + 14 t - 5 t^{2}$ (м)