Функции · урок 17 из 25 · практикум

Практикум:
квадратный
трёхчлен

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-017

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 17/25, единица R01.4 «Квадратный трехчлен». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-016 — построение графиков с помощью преобразований; следующий ALG9U-018 — корни квадратного трёхчлена.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение, распознавание) 3 · 5 (выделение полного квадрата) 3 · 9 (наибольшее и наименьшее значения) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11, 12) 2 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Рисунок на титуле — модель площадей: к $x^{2} + 2 \cdot 3 x$ не хватает уголка, чтобы получился квадрат. Вопрос классу: какой площади уголок? (9.)
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

называть $a, b, c$ , вычислять значения, находить коэффициент по значению (ПР-4)

Выделять полный квадрат

$a x^{2} + b x + c = a (x - m)^{2} + n$ — при любом $a \neq = 0$ (ПР-4)

Находить наибольшее и наименьшее

и доказывать, что трёхчлен всегда положителен (ПР-4, ПР-18)

Рассуждать с параметром

когда трёхчлен принимает только положительные значения (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-4 (ФРП дословно): «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена» — сегодня первая часть (понятие), корни — на уроке ALG9U-018. ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром» — здесь в подготовительной форме. ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: … наибольшее и наименьшее значения…». Теория по трёхчлену — ALG9U-004; сегодня практикум.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать квадратный трехчлен…».

разминка · 7–8 кл.

Разминка · устно

Квадрат суммы и квадрат разности

(x + 3)^{2}

раскройте

x^{2} + 6 x + 9

(x - 5)^{2}

раскройте

x^{2} - 10 x + 25

x^{2} - 8 x + □

= (x - 4)^{2}

16

x^{2} + 5 x + □

полный квадрат

6, 25

5 - x^{2} + 3 x

a, b, c

= ?

- 1, 3, 5

x^{2} - 4 x + 7

при

x = 2

3

(x - 1)^{2} + 4

наименьшее значение

4

5 - (x + 2)^{2}

наибольшее значение

5

R01.4

Сводка · квадратный трёхчлен

Многочлен $a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$

старший бд a x^{2} + второй бд b x + свободный бд c

b

и

c

могут быть равны

0

— это всё равно квадратный трёхчлен

Сначала раскрыть скобки и привести подобные

Выражение	Трёхчлен?	$a, b, c$
$3 x^{2} - 2 x + 1$	да	$3, - 2, 1$
$5 - x^{2}$	да	$- 1, 0, 5$
$x (2 x - 3)$	да	$2, - 3, 0$
$(x - 1)^{2} - x^{2}$	нет	$= - 2 x + 1$
$x^{3} + x^{2}$	нет	степень $3$

3 мин · теория
Определение: квадратный трёхчлен — многочлен вида $a x^{2} + b x + c$ , где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числа, $a \neq = 0$ . Название «трёхчлен» сохраняется, даже если $b = 0$ или $c = 0$ .
Строки таблицы ученики называют сами до клика. $(x - 1)^{2} - x^{2} = x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 2 x + 1$ — квадраты сократились, это линейный двучлен. Вывод: «по виду» решать нельзя, сначала приводим к стандартному виду.
Вопрос классу: при каком $k$ выражение $(k - 2) x^{2} + 3 x$ — квадратный трёхчлен? (При $k \neq = 2$ .) Это пригодится в задачах с параметром.

R01.4

Сводка · выделение полного квадрата

Дополняем до квадрата и вычитаем то, что добавили

x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9

x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a}

При

a \neq = 1

сначала выносим

a

за скобки

3 мин · теория
Модель площадей: $x^{2} + 6 x$ — квадрат $x \times x$ и две полосы $3 \times x$ . Чтобы получился квадрат со стороной $x + 3$ , не хватает уголка $3 \times 3 = 9$ : $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$ .
Общий вид при $a = 1$ : половина второго коэффициента идёт в скобку, её квадрат вычитаем.
Вывод при $a \neq = 0$ (учитель на доске): $a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a ((x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}) + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$ . Обозначения урока: $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = - \frac{D}{4 a}$ , то есть $a (x - m)^{2} + n$ .
Формулу не заучиваем — каждый раз выделяем квадрат «руками» (сл. 7–8); формула нужна для проверки и для параметра.

R01.4

Образец → сам · значение трёхчлена

Подставьте — и решите обратную задачу

Образец

$P (x) = 2 x^{2} - 3 x - 5$ . Найдите $P (- 2)$ и $P (3)$ .

$P (- 2) = 8 + 6 - 5 = 9$ $(- 2)^{2} = 4$

$P (3) = 6 - 33 - 5$ $(3)^{2} = 3$

$P (3) = 1 - 33$ подобные

Сам

база $P (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Найдите $P (- 3)$ . $22$
база $P (x) = 3 x^{2} + b x - 2$ , $P (2) = 4$ . Найдите $b$ . $b = - 3$
повыш. $P (x) = x^{2} - 2 x - 1$ . Найдите $P (1 + 2)$ . $0$

R01.4

Образец → сам · полный квадрат, $a = 1$

Представьте в виде $(x - m)^{2} + n$

Образец

$x^{2} - 6 x + 11$

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 11$ удвоенное произведение

$x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 11$ добавили и вычли $3^{2}$

$(x - 3)^{2} + 2$ свернули квадрат

$x^{2} - 6 x + 9 + 2$ ✓ проверка раскрытием

Сам

база $x^{2} + 10 x + 21$ $(x + 5)^{2} - 4$
база $x^{2} - 3 x + 4$ $(x - 1, 5)^{2} + 1, 75$
повыш. $x^{2} - 4 a x + 5 a^{2}$ $(x - 2 a)^{2} + a^{2}$

R01.4

Образец → сам · полный квадрат, $a \neq = 1$

Представьте в виде $a (x - m)^{2} + n$

Образец

$2 x^{2} - 12 x + 13$

$2 (x^{2} - 6 x) + 13$ вынесли $a = 2$

$2 ((x - 3)^{2} - 9) + 13$ квадрат в скобке

$2 (x - 3)^{2} - 18 + 13$ $9$ умножаем на $2$

$2 (x - 3)^{2} - 5$

Сам

база $3 x^{2} + 6 x - 1$ $3 (x + 1)^{2} - 4$
база $- x^{2} + 8 x - 10$ $- (x - 4)^{2} + 6$
повыш. $2 x^{2} + 6 x + 5$ $2 (x + 1, 5)^{2} + 0, 5$

R01.4 · опора R01.2

Сводка · наибольшее и наименьшее значения

Квадрат не бывает отрицательным: $(x - m)^{2} \geq 0$

a (x - m)^{2} + n

a > 0

: наименьшее значение

n

при

x = m

, наибольшего нет

a < 0

: наибольшее значение

n

при

x = m

, наименьшего нет

n > 0

и

a > 0

— трёхчлен положителен при всех

x

R01.4

Образец → сам · наибольшее и наименьшее

Найдите значение и при каком $x$ оно достигается

Образец

Наибольшее значение $- 2 x^{2} + 8 x - 3$

$- 2 (x^{2} - 4 x) - 3$ вынесли $- 2$

$- 2 (x - 2)^{2} + 8 - 3$ $- 2 \cdot (- 4) = 8$

$- 2 (x - 2)^{2} + 5 \leq 5$ $a < 0$

наибольшее $5$ при $x = 2$

Сам

базаНаименьшее: $x^{2} - 8 x + 20$ $4$ при $x = 4$
базаНаибольшее: $5 + 6 x - 3 x^{2}$ $8$ при $x = 1$
повыш.Наименьшее: $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 15$ $2$ при $x = 2, y = - 3$

R01.4

Образец → сам · доказательство

Докажите неравенство при всех значениях переменных

Образец

$x^{2} - 6 x + 11 > 0$

$x^{2} - 6 x + 11 = (x - 3)^{2} + 2$ выделили

$(x - 3)^{2} \geq 0$ квадрат

$(x - 3)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ что и требовалось

Сам

база $x^{2} + 4 x + 5 > 0$ $(x + 2)^{2} + 1 \geq 1$
база $- x^{2} + 2 x - 3 < 0$ $- (x - 1)^{2} - 2 \leq - 2$
повыш. $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geq 0$

R01.4 · ПР-7

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

… $x^{2} - 6 x + m$ принимает только положительные значения?

$(x - 3)^{2} + m - 9$ полный квадрат

наименьшее $m - 9$ при $x = 3$

$m - 9 > 0$ , $m > 9$ $m = 9$ : значение $0$

Сам

база…наименьшее значение $x^{2} + 4 x + c$ равно $1$ ? $c = 5$
база… $- x^{2} + 2 x + m$ принимает только отрицательные значения? $m < - 1$
повыш.…квадратный трёхчлен $a x^{2} + 4 x + a$ принимает только положительные значения? $a > 2$

3 мин · практика
Образец: граничное значение $m = 9$ проверяем отдельно: $(x - 3)^{2}$ равно $0$ при $x = 3$ — это не положительное значение, поэтому $m = 9$ не входит. Ответ: $m > 9$ .
1) $(x + 2)^{2} + c - 4$ ; $c - 4 = 1$ , $c = 5$ . Проверка: $x = - 2$ : $4 - 8 + 5 = 1$ ✓.
2) $- (x - 1)^{2} + 1 + m$ ; наибольшее значение $1 + m < 0$ , $m < - 1$ . Граница $m = - 1$ : значение $0$ при $x = 1$ — не подходит.
3) Трёхчлен квадратный, значит $a \neq = 0$ . При $a < 0$ наименьшего значения нет — есть отрицательные значения, не подходит. При $a > 0$ : $a (x + \frac{2}{a})^{2} + a - \frac{4}{a}$ , нужно $a - \frac{4}{a} > 0 \Leftrightarrow a^{2} > 4$ , с учётом $a > 0$ : $a > 2$ . Граница $a = 2$ : $2 (x + 1)^{2}$ равно $0$ при $x = - 1$ — не подходит. Проверено решением неравенства в sympy.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки при выделении квадрата

Не умножили на $a$

$2 x^{2} - 8 x + 3 =$
$= 2 (x - 2)^{2} - 1$

$2 (x - 2)^{2} - 8 + 3 =$
$= 2 (x - 2)^{2} - 5$

вычитаемое $4$ стоит в скобке при множителе $2$

Потеряли знак

$x^{2} + 6 x + 2 =$
$= (x - 3)^{2} - 7$

$(x + 3)^{2} - 7$ , $m = - 3$

$+ 6 x = + 2 \cdot 3 \cdot x$

Перепутали min и max

$x^{2} - 4 x + 1$ :
наибольшее $- 3$

$- 3$ — наименьшее; наибольшего нет

$a = 1 > 0$

R01.4

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Наименьшее значение

$3 x^{2} - 12 x + 7 = 3 (x^{2} - 4 x) + 7 =$

$= 3 (x - 2)^{2} - 4 + 7 = 3 (x - 2)^{2} + 3$

Ответ: $3$ .

Ошибка: $- 4$ надо умножить на $3$

$3 (x - 2)^{2} - 5$ ; ответ: $- 5$

Задача 2. Докажите: $x^{2} - 5 x + 7 > 0$

$x^{2} - 5 x + 7 = (x - 5)^{2} + 7 - 25 =$

$= (x - 5)^{2} - 18$ — бывает $< 0$ .

Ответ: утверждение неверно.

Ошибка: в скобку идёт половина: $2, 5$

$(x - 2, 5)^{2} + 0, 75 > 0$ — верно

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Выделите полный квадрат или найдите значение

$x^{2} - 2 x + 6$ $(x - 1)^{2} + 5$
$x^{2} + 12 x + 30$ $(x + 6)^{2} - 6$
$4 x^{2} + 4 x + 3$ $(2 x + 1)^{2} + 2$

Наименьшее: $x^{2} - 10 x + 27$ $2$
Наибольшее: $- x^{2} - 6 x + 1$ $10$
$x^{2} - 6 x + 9$ при $x = 3 + 5$ $5$

R01.4 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Значения, две переменные и параметр

повыш.Наименьшее значение $2 x^{2} - 6 x + 1$ $- 3, 5$
повыш.При каком $x$ значение $- 3 x^{2} + 12 x - 7$ наибольшее? Какое оно? $x = 2$ ; $5$
повыш.Наименьшее значение $x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y + 9$ $4$
повыш.При каких $p$ наименьшее значение $x^{2} + p x + 10$ равно $1$ ? $p = \pm 6$
повыш.Докажите: $a^{2} - ab + b^{2} \geq 0$ $(a - \frac{b}{2})^{2} + \frac{3 b ^{2}}{4}$

R01.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Полный квадрат в задачах второй части

Решите уравнение
$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 13 = 0$ $(3; - 2)$
Решите уравнение
$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ $- 1; 1; 3$
Докажите, что при всех $x$
$x^{4} - 2 x^{2} + 3 > 0$ $(x^{2} - 1)^{2} + 2$

1: сумма квадратов

= 0

, только если каждый

= 0

2: замена

t = x^{2} - 2 x

3: трёхчлен относительно

x^{2}

R01.4 · R01.11

Задача из жизни

Участок у стены огораживают забором длиной $40$ м с трёх сторон

практикаЗапишите площадь $S (x)$ $40 x - 2 x^{2}$
практикаНайдите $S (5)$ $150$ м²
повыш.При каком $x$ площадь наибольшая? Какая она? $10$ м; $200$ м²

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаПолный квадрат: $x^{2} - 8 x + 19$ $(x - 4)^{2} + 3$
базаПолный квадрат: $2 x^{2} + 4 x - 1$ $2 (x + 1)^{2} - 3$
базаНаименьшее значение $x^{2} + 6 x + 4$ $- 5$ при $x = - 3$
повыш.При каких $m$ трёхчлен $x^{2} - 2 x + m$ принимает только положительные значения? $m > 1$

Вариант 2

базаПолный квадрат: $x^{2} + 6 x + 14$ $(x + 3)^{2} + 5$
базаПолный квадрат: $3 x^{2} - 12 x + 5$ $3 (x - 2)^{2} - 7$
базаНаибольшее значение $- x^{2} + 4 x + 1$ $5$ при $x = 2$
повыш.При каких $m$ трёхчлен $- x^{2} + 4 x + m$ принимает только отрицательные значения? $m < - 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делаем первым, если $a \neq = 1$ ?
Как по виду $a (x - m)^{2} + n$ найти наименьшее значение?
Почему $(x - 3)^{2} + 2$ всегда положительно?

Домашнее задание

Выделите полный квадрат: $5 x^{2} - 20 x + 23$
Наименьшее значение $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 30$
При каких $a$ квадратный трёхчлен $a x^{2} + 2 x + a$ принимает только отрицательные значения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-017 · Практикум: Квадратный трехчлен

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 17/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.4 «Квадратный трехчлен» → 2, 4–20 · опора 7–8 кл. (формулы сокращённого умножения) → 3 · опора R01.2 (наибольшее и наименьшее значения) → 9 · применение R01.11 → 18 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6–8, 10–12, 14–20)
Результаты	ПР-4 (понятие квадратного трехчлена) → 2–20 · ПР-7 (параметр) → 12, 16, 19 · ПР-18 (наибольшее и наименьшее значения) → 9, 10, 16, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	корни квадратного трёхчлена — ALG9U-018; разложение на множители — ALG9U-019; практикум по вершине параболы — ALG9U-021 (R01.8)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратныйтрёхчлен

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

Выделять полный квадрат

Находить наибольшее и наименьшее

Рассуждать с параметром

Квадрат суммы и квадрат разности

Многочлен ax2+bx+c, где a=0

Дополняем до квадрата и вычитаем то, что добавили

Подставьте — и решите обратную задачу

Образец

Сам

Представьте в виде (x−m)2+n

Образец

Сам

Представьте в виде a(x−m)2+n

Образец

Сам

Квадрат не бывает отрицательным: (x−m)2≥0

Найдите значение и при каком x оно достигается

Образец

Сам

Докажите неравенство при всех значениях переменных

Образец

Сам

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки при выделении квадрата

Не умножили на a

Потеряли знак

Перепутали min и max

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Наименьшее значение

Задача 2. Докажите: x2−5x+7>0

Выделите полный квадрат или найдите значение

Значения, две переменные и параметр

Полный квадрат в задачах второй части

Участок у стены огораживают забором длиной 40 м с трёх сторон

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-017 · Практикум: Квадратный трехчлен

Практикум:
квадратный
трёхчлен

Многочлен $a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$

Представьте в виде $(x - m)^{2} + n$

Представьте в виде $a (x - m)^{2} + n$

Квадрат не бывает отрицательным: $(x - m)^{2} \geq 0$

Найдите значение и при каком $x$ оно достигается

Не умножили на $a$

Задача 2. Докажите: $x^{2} - 5 x + 7 > 0$

Участок у стены огораживают забором длиной $40$ м с трёх сторон