Функции · урок 16 из 25 · практикум

Практикум:
построение графиков
с помощью
преобразований

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 16/25, единица R01.3 «Построение графиков функций с помощью преобразований». Тип урока — П (практикум). Новый материал по преобразованиям был на уроке ALG9U-003; сегодня — новые типы задач: выделение полного квадрата, дробно-линейная функция, сжатие вдоль Ox, два модуля сразу, формула по графику, выколотые точки (ОГЭ 22). Прошлый урок ALG9U-015 — практикум по свойствам функций; следующий ALG9U-017 — квадратный трёхчлен.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: порядок преобразований) 3 · 6 (дробно-линейная функция) 3 · 11 (план задачи ОГЭ 22) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 9, 10) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 3 · ОГЭ (сл. 16) 3 · самостоятельная (сл. 17) 5 · итог (сл. 18) 1.
На титуле: пунктир — y = x², сплошная — y = (x − 2)² − 3; стрелка — перенос вершины (0; 0) → (2; −3). Вопрос классу: какими двумя сдвигами получена розовая парабола?
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Приводить формулу к виду

$y = a f (k (x + m)) + c$ и строить график по шагам (ПР-23)

Строить гиперболы

$y = \frac{a x + b}{x + d}$ : целая часть, асимптоты, центр (ПР-17)

Читать график

по рисунку восстановить формулу, найти выколотые точки (ПР-18)

Считать общие точки

сколько общих точек у графика и прямой $y = m$ (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-23 (ФРП дословно): «На примере квадратичной функции строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y = f(x)». ПР-17: «Оперировать понятиями: … обратная пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция…». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять построение графиков функций с помощью преобразований вида: f(x) → f(x) + а; f(x) → f(x + а); f(x) → kf(x), f(x) → f(|x|), f(x) → |f(x)|».

разминка · R01.2 · R01.3

Разминка · устно

Преобразования и свойства

y = (x - 5)^{2} + 1

вершина

(5; 1)

y = \frac{1}{x + 2}

вертикальная асимптота

x = - 2

y = - x

область значений

(- \infty; 0]

y = ∣ x ∣ - 3

нули

\pm 3

x^{2} - 6 x + 7

= (x - 3)^{2} + □

- 2

y = 2 x^{2}

y (- 3) = ?

18

f (2) = 5

y = f (x - 1)

проходит через

(3; ?)

5

f (2) = 5

y = - f (x) + 1

проходит через

(2; ?)

- 4

R01.3 · ПР-23

Сводка · порядок преобразований

$y = a f (k (x + m)) + c$ — строим за четыре шага

1 · ВНУТРИ

f (k x)

сжатие к

O y

в

∣ k ∣

раз;

k < 0

— ещё отражение от

O y

2 · ВНУТРИ

f (k (x + m))

сдвиг вдоль

O x

на

- m

3 · СНАРУЖИ

a f (k (x + m))

растяжение от

O x

в

∣ a ∣

раз;

a < 0

— ещё отражение от

O x

4 · СНАРУЖИ

\dots + c

сдвиг вдоль

O y

на

c

Внутри скобки — всё «наоборот»:

+ m

— влево,

k = 2

— сжатие

Сначала вынесите

k

:

2 x - 6 = 2 (x - 3)

— сдвиг на

3

, а не на

6

3 мин · теория
Это обобщение сводки урока ALG9U-003 (сл. 11) в один алгоритм. Почему «внутри — наоборот»: значение f(x₀) функция f(x + m) принимает при x = x₀ − m, т. е. на m левее.
Почему порядок важен: −x² + 4 — сначала отражение, потом подъём (вершина (0; 4)); если сначала поднять, а потом отразить, получится −(x² + 4) — это другая функция (сл. 12).
Внутренние шаги (1–2) меняют абсциссы, внешние (3–4) — ординаты; внутренние и внешние друг другу не мешают, но внутри группы порядок соблюдаем.
Вопрос классу: какой шаг лишний для y = 3(x − 1)² − 2? (Первый: k = 1.)

R01.3 · опора R01.4

Образец → сам · выделение полного квадрата

Приведите к виду $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ и постройте

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

$= 2 (x^{2} - 4 x) + 5$ вынесли $a = 2$

$= 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$ полный квадрат

$x^{2}$ : вправо на $2$ , растяжение в $2$ раза, вниз на $3$ порядок сл. 4

вершина $(2; - 3)$ ; $y (0) = 5$ проверка: $c = 5$

Сам: вершина графика

база $y = x^{2} + 6 x + 4$ $(x + 3)^{2} - 5$ ; $(- 3; - 5)$
база $y = - x^{2} + 4 x + 1$ $- (x - 2)^{2} + 5$ ; $(2; 5)$
повыш. $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4$ ; ещё нули $\frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 4, 5$ ; нули $- 2; 4$

R01.3 · ПР-17

Сводка · дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — сдвинутая гипербола

y = \frac{k}{x - x _{0}} + y_{0}

y = \frac{2}{x + 3} - 1

: гипербола

y = \frac{2}{x}

влево на

3

, вниз на

1

Асимптоты:

x = x_{0}

и

y = y_{0}

; центр симметрии

(x_{0}; y_{0})

Выделите целую часть:

\frac{2 x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}

R01.3 · ПР-17

Образец → сам · дробно-линейная функция

Найдите асимптоты и нули, постройте гиперболу

Образец

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

$= \frac{2 ( x - 1 ) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ целая часть

$y = \frac{3}{x}$ : вправо на $1$ , вверх на $2$ сдвиги

асимптоты $x = 1$ , $y = 2$ центр $(1; 2)$

нуль: $2 x + 1 = 0$ , $x = - \frac{1}{2}$ $y (0) = - 1$ ✓

Сам

базаАсимптоты $y = \frac{x + 5}{x + 2}$ $x = - 2, y = 1$
базаАсимптоты и нуль $y = \frac{6 - 2 x}{x - 2}$ $x = 2, y = - 2$ ; нуль $3$
повыш.При каком $m$ прямая $y = m$ не пересекает график $y = \frac{3 x - 1}{x - 1}$ ? $m = 3$

R01.3 · ПР-23

Образец → сам · коэффициент при $x$

Вынесите коэффициент при $x$ — и стройте по шагам

Образец

$y = 4 - 2 x$

$= - 2 (x - 2)$ вынесли $k = - 2$

$x \to - 2 x$ отражение от $O y$ , сжатие в $2$ раза

$- 2 x \to - 2 (x - 2)$ вправо на $2$

начало $(2; 0)$ , $x \leq 2$ $y (0) = 2$ ✓

Сам

базаОбласть определения и начало графика $y = 3 x + 6 - 1$ $x \geq - 2$ ; $(- 2; - 1)$
базаГрафик $y = x^{2}$ сжали к $O y$ в $2$ раза. Формула? $y = 4 x^{2}$
повыш.Вершина и область значений $y = ∣2 x - 6∣ + 1$ $(3; 1)$ ; $[1; + \infty)$

R01.3 · ПР-14

Образец → сам · модуль внутри и снаружи

$y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$ : сколько решений у $y = m$ ?

Образец: $m = 4$

$x \geq 0$ : $(x - 3)^{2} - 4$ квадрат

$f (∣ x ∣)$ : отразили от $O y$ пунктир

$∣ f ∣$ : низ — вверх горбы $(\pm 3; 4)$

$y = 4$ : $6$ точек ответ $6$

Сам

база $m = 0$ $4$
база $m = 2$ $8$
повыш. $m = 5$ $3$

3 мин · практика
Построение: при x ≥ 0 парабола (x − 3)² − 4: вершина (3; −4), нули 1 и 5, точка (0; 5). Модуль внутри — отражаем правую часть влево (пунктир, «W»), модуль снаружи — части ниже Ox (при 1 < |x| < 5) отражаем вверх: появляются «горбы» с вершинами (±3; 4).
m = 4: касается двух горбов (x = ±3) и пересекает четыре ветви: |x| = 3 ± 2√2. Итого 6 решений.
Сам: m = 0 — нули ±1, ±5 (4 решения); m = 2 — 0 < m < 4, по две точки на каждом горбе и на каждой ветви: 8; m = 5 — точки (0; 5) и |x| = 6: 3 решения. Все ответы проверены sympy (solveset).
Полная картина для ДЗ сильным: m < 0 — 0; m = 0 — 4; 0 < m < 4 — 8; m = 4 — 6; 4 < m < 5 — 4; m = 5 — 3; m > 5 — 2.

R01.3 · ПР-18

Образец → сам · формула по графику

Восстановите формулу функции

Образец: формула?

асимптоты $x = - 1$ , $y = 2$ по рисунку

$y = \frac{k}{x + 1} + 2$ вид формулы

$(0; 5)$ : $k + 2 = 5$ , $k = 3$ подстановка

$(2; 3)$ : $\frac{3}{3} + 2 = 3$ ✓ проверка

Сам

базаПарабола $y = a x^{2}$ сдвинута: вершина $(1; 3)$ , проходит через $(2; 1)$ $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$
база $y = x$ сдвинули, график начинается в $(- 3; 1)$ $y = x + 3 + 1$
повыш. $y = \frac{k}{x - m}$ проходит через $(1; 2)$ и $(3; - 2)$ $y = - \frac{2}{x - 2}$

R01.3 · формат ОГЭ

Схема · задача ОГЭ 22

План: «Постройте график… При каких $m$ прямая…»

1. ОДЗ

знаменатель $\neq = 0$ — запишите исключённые $x$

2. Упростить

разложить и сократить; модуль — по промежуткам

3. Построить

преобразованиями: вершина, асимптоты, нули

4. Выколоть

точки с исключёнными $x$ — найти их $y$ по упрощённой формуле

5. Двигать прямую

$y = m$ — горизонталь, $y = k x$ — вращение вокруг $O$

6. Особые положения

через вершину, через выколотую точку, параллельно асимптоте

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых график неверный

Асимптота «по привычке»

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ : асимптота $y = 0$

$y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ : асимптота $y = 2$

сначала выделите целую часть

Сократили и забыли

$y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ — вся прямая

$x \neq = 2$ : точка $(2; 4)$ выколота

ОДЗ записывают до сокращения

Не тот порядок

$y = - x^{2} + 4$ : подняли на $4$ , затем отразили — вершина $(0; - 4)$

отразить, затем поднять: вершина $(0; 4)$

поднять, потом отразить — это $- (x^{2} + 4)$

R01.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Постройте $y = 2 - x$

$2 - x = - (x - 2)$ . Сдвигаю $x$ вправо на $2$ , затем отражаю от $O y$ . Начало $(- 2; 0)$ , $x \geq - 2$ .

Ошибка: сначала отражение $- x$ , потом сдвиг вправо на $2$

Верно: начало $(2; 0)$ , $x \leq 2$ (проверка: $x = - 2$ даёт $2$ )

2. При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ ?

$y = x - 1$ — прямая, её пересекает любая горизонталь. Ответ: таких $m$ нет.

Ошибка: $x \neq = - 1$ — точка $(- 1; - 2)$ выколота

Верно: $m = - 2$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем ответы по клику.
1) Если сначала сдвинуть вправо (√(x − 2)), а потом отразить от Oy, получится √(−x − 2) — другая функция. По порядку сл. 4: f(kx) с k = −1, затем сдвиг на +2. Область определения: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Быстрая проверка подстановкой: x = −2 даёт √4 = 2, а по версии ученика это «начало» с y = 0.
2) x² − 1 = (x − 1)(x + 1), при x ≠ −1 y = x − 1; выколотая точка (−1; −2). Прямая y = −2 проходит только через выколотую точку — общих точек нет.

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Ответьте по формуле, не строя график точно

Вершина $y = 3 (x + 1)^{2} - 4$ $(- 1; - 4)$
Асимптоты $y = \frac{5}{x - 4} + 1$ $x = 4, y = 1$
$x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} + ?$ $- 4$

Область значений $y = 1 - x + 3$ $(- \infty; 1]$
Целая часть $\frac{x + 3}{x + 1} = 1 + ?$ $\frac{2}{x + 1}$
Выколотая точка $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ $(3; 6)$

R01.3 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразования, модули, выколотые точки

повыш.Наименьшее значение $y = 2 x^{2} + 12 x + 11$ $- 7$
повыш.При каком $m$ прямая $y = m$ не пересекает график $y = \frac{2 x - 5}{x - 3}$ ? $m = 2$
повыш.Сколько решений у уравнения $x^{2} - 4∣ x ∣ = 3$ ? $6$
повыш.График $y = x$ сжали к $O y$ в $4$ раза и сдвинули вправо на $1$ . Формула? $y = 2 x - 1$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ? $k = 1; k = 2$

3 мин · практика
1) 2(x + 3)² − 18 + 11 = 2(x + 3)² − 7: наименьшее −7 при x = −3. 2) 2x − 5 = 2(x − 3) + 1: y = 2 + 1/(x − 3), значение 2 не принимается.
3) При x ≥ 0: x² − 4x = (x − 2)² − 4. |x² − 4|x|| = 3: |x| = 1, 3 (из x² − 4|x| = −3) и |x| = 2 + √7 (из x² − 4|x| = 3; корень 2 − √7 < 0 отброшен). Решения ±1, ±3, ±(2 + √7) — 6 штук. Проверено sympy.
4) √(4x) = 2√x; затем x → x − 1: 2√(x − 1). 5) y = x + 2, x ≠ 2, выколота (2; 4). y = kx: при k = 1 параллельна; при k = 2 проходит через выколотую точку (пересечение x = 2/(k − 1) = 2 — выколото). Ответ k = 1 и k = 2.
Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R01.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно одну общую точку?

1. $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$

2. $y = (x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ , $x \neq = 1, x \neq = - 2$

3. вершина $(0, 5; - 2, 25)$ ; выколоты $(1; - 2)$ и $(- 2; 4)$

Ответ: $m = - 2, 25$ ; $m = - 2$ ; $m = 4$

Сам: при каких

m

общих точек ровно две?

m > - 2, 25

,

m \neq = - 2

,

m \neq = 4

3 мин · практика
1) Биквадратный числитель: t = x², t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или 4 — множители (x ± 1)(x ± 2). ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −2.
2) Сокращаем (x − 1)(x + 2): y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2. 3) Вершина x = 0,5, y = 0,25 − 0,5 − 2 = −2,25. Выколотые: y(1) = −2, y(−2) = 4.
Ровно одна точка: m = −2,25 (вершина); m = −2 (вторая точка x = 1 выколота, остаётся x = 0); m = 4 (корни 3 и −2, −2 выколот). Проверено sympy.
Сам: при m > −2,25 две точки, кроме m = −2 и m = 4, где одна выколота. Ответ: −2,25 < m < −2, −2 < m < 4, m > 4.
На рисунке (1 клетка = 1) по клику: парабола, выколотые точки, три «особые» горизонтали.

R01.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ $(1; 3)$
базаАсимптоты $y = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ $x = - 3, y = 2$
база $y = x$ отразили от $O y$ и сдвинули вправо на $3$ . Формула? $y = 3 - x$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ? $k = 1; k = 2$

Вариант 2

базаВершина $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $(3; 5)$
базаАсимптоты $y = \frac{3 x - 1}{x - 2}$ $x = 2, y = 3$
база $y = x^{2}$ сдвинули влево на $2$ и отразили от $O x$ . Формула? $y = - (x + 2)^{2}$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{2 x ^{2} - 2}{x + 1}$ ? $k = 2; k = 4$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 2(x − 1)² + 3 → (1; 3). 2) 2x + 7 = 2(x + 3) + 1: y = 2 + 1/(x + 3). 3) √(−x) → √(−(x − 3)) = √(3 − x). 4) y = x + 1, x ≠ 1, выколота (1; 2). k = 1 — параллельна; k = 2 — через выколотую точку (пересечение x = 1/(k − 1) = 1). Ответ: 1 и 2.
В-2. 1) −(x − 3)² + 5 → (3; 5). 2) 3x − 1 = 3(x − 2) + 5: y = 3 + 5/(x − 2). 3) (x + 2)², затем −(x + 2)². 4) 2(x − 1)(x + 1)/(x + 1) = 2x − 2, x ≠ −1, выколота (−1; −4). k = 2 — параллельна; через (−1; −4): k = 4 (пересечение x = 2/(2 − k) = −1). Ответ: 2 и 4.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

В каком порядке строить $y = a f (k (x + m)) + c$ ?
Как найти асимптоты $y = \frac{a x + b}{x + d}$ ?
Что сделать сразу после сокращения дроби?

Домашнее задание

Постройте $y = \frac{3 x + 4}{x + 2}$ : асимптоты, нуль
Постройте $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ , укажите вершину
Постройте $y = \frac{( x ^{2} + 2 x ) ∣ x ∣}{x + 2}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-016 · Практикум: Построение графиков функций с помощью преобразований

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 16/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.3 «Построение графиков функций с помощью преобразований» → 2, 4–18 · опора R01.2 (свойства) → 3, R01.4 (квадратный трёхчлен) → 5 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 11, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7–10, 13–18)
Результаты	ПР-23 (y = af(kx + b) + c) → 2, 4, 5, 8, 13–15, 17 · ПР-17 (гипербола, кусочно-заданная функция) → 6, 7, 12, 14, 17 · ПР-18 (свойства по графику) → 3, 10, 14 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 9, 11, 15, 16 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратный трёхчлен — ALG9U-017; квадратичная функция, вершина и ось симметрии — R01.7–R01.9; степенные функции и $y = 3 x$ — R01.12–R01.13
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:построение графиковс помощьюпреобразований

Сегодня вы научитесь

Приводить формулу к виду

Строить гиперболы

Читать график

Считать общие точки

Преобразования и свойства

y=af(k(x+m))+c — строим за четыре шага

Приведите к виду a(x−x0​)2+y0​ и постройте

Образец

Сам: вершина графика

Дробно-линейная функция — сдвинутая гипербола

Найдите асимптоты и нули, постройте гиперболу

Образец

Сам

Вынесите коэффициент при x — и стройте по шагам

Образец

Сам

y=​x2−6∣x∣+5​: сколько решений у y=m?

Образец: m=4

Сам

Восстановите формулу функции

Образец: формула?

Сам

План: «Постройте график… При каких m прямая…»

1. ОДЗ

2. Упростить

3. Построить

4. Выколоть

5. Двигать прямую

6. Особые положения

Три ошибки, из-за которых график неверный

Асимптота «по привычке»

Сократили и забыли

Не тот порядок

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Постройте y=2−x​

2. При каких m прямая y=m не имеет общих точек с графиком y=x+1x2−1​?

Ответьте по формуле, не строя график точно

Преобразования, модули, выколотые точки

Постройте график y=(x−1)(x+2)x4−5x2+4​. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно одну общую точку?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-016 · Практикум: Построение графиков функций с помощью преобразований

Практикум:
построение графиков
с помощью
преобразований

$y = a f (k (x + m)) + c$ — строим за четыре шага

Приведите к виду $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ и постройте

Вынесите коэффициент при $x$ — и стройте по шагам

$y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$ : сколько решений у $y = m$ ?

Образец: $m = 4$

План: «Постройте график… При каких $m$ прямая…»

1. Постройте $y = 2 - x$

2. При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ ?

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно одну общую точку?