Функции · урок 14 из 25 · практикум

Практикум:
функция

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 14/25, единица R01.1 «Функция». Тип урока — П (практикум). Понятие функции введено на уроке ALG9U-001; прошлый урок ALG9U-013 — графики y = √x, y = ∛x, y = |x|; следующий ALG9U-015 — практикум по свойствам функций (нули, знакопостоянство, монотонность, чётность).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: D и E основных функций) 3 · 7 (как найти E) 2 · 9 (модуль → кусочная функция) 1,5 · 11 (выколотые точки) 1,5 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12) 3 + 2,5 + 2,5 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Рисунок на титуле — «машина» x → f → y и график с выколотой точкой: обе идеи урока (функция как правило; график, у которого нет одной точки).
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $D (f)$ и $E (f)$

для формул с корнями, дробями и модулями (ПР-17, ПР-18)

Работать с записью $f (x)$

подставлять выражения, решать $f (x + a) = f (x)$ , восстанавливать $f$ (ПР-17)

Раскрывать модули

записывать функцию с модулем как кусочно-заданную (ПР-17)

Строить графики с «дырами»

сокращать дробь, выкалывать точки, решать задачи ОГЭ № 22 (ПР-18)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения, множество значений…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Описывать понятие «функция»… Анализировать и применять свойства изученных функций для их построения». Практикум продолжает ALG9U-001: те же понятия, новые типы задач — с корнями, модулями и выколотыми точками.

разминка · R01.1, R01.13

Разминка · устно

Значения, область определения, корни

f (x) = x^{2} - 3 x

f (- 2) = ?

10

y = \frac{1}{x - 5}

D (y)

x \neq = 5

y = x - 4

D (y)

x \geq 4

3 - 27

вычислите

- 3

y = x^{2} + 1

E (y)

[1; + \infty)

f (x) = ∣ x ∣ - 2

нули функции

\pm 2

f (x) = x

f (x) = 3

при

x = ?

9

y = 3 - 2 x

A (2; - 1)

на графике?

да

R01.1 · опора R01.12, R01.13

Сводка · функция, $D$ и $E$

Каждому $x$ из $D (f)$ — единственное $y = f (x)$

Функция	$D (f)$	$E (f)$
$y = k x + b, k \neq = 0$	$R$	$R$
$y = x^{2}$	$R$	$[0; + \infty)$
$y = x^{3}$	$R$	$R$
$y = \frac{k}{x}, k \neq = 0$	$x \neq = 0$	$y \neq = 0$
$y = x$	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$
$y = 3 x$	$R$	$R$
$y = ∣ x ∣$	$R$	$[0; + \infty)$

Что ограничивает $D (f)$

знаменатель $\neq = 0$

под $x$ — число $\geq 0$

$3 x$ и $∣ ∣$ — без ограничений

Несколько условий — их пересечение; условия записываем до преобразований

3 мин · теория
Повторяем определение (ALG9U-001): функция — правило, по которому каждому x из множества D(f) соответствует единственное y. D(f) — область определения, E(f) — множество значений.
Таблица — «словарь» основных функций 8–9 класса: степенные (ALG9U-012), корни и модуль (ALG9U-013). Вопрос классу: почему у y = ∛x область определения — все числа, а у √x — нет? (Нечётная степень: (−2)³ = −8, у кубического корня отрицательного числа есть значение.)
Правило «условия — до преобразований» понадобится на сл. 11–12: после сокращения дроби ограничение не исчезает.

R01.1

Образец → сам · область определения

Найдите область определения функции

Образец

$y = \frac{6 - x - x ^{2}}{x + 1}$

$6 - x - x^{2} \geq 0$ под корнем

$(x + 3) (x - 2) \leq 0 \Rightarrow - 3 \leq x \leq 2$

$x \neq = - 1$ знаменатель

$D = [- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$ пересечение

Сам

база $y = x + 3 + \frac{1}{x ^{2} - 4}$ $[- 3; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$
база $y = \frac{3 x - 1}{∣ x ∣ - 3}$ $x \neq = \pm 3$
повыш. $y = x^{2} - 9 + 4 - x$ $(- \infty; - 3] \cup [3; 4]$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем 2 мин в тетради. Квадратное неравенство решаем по параболе: ветви x² + x − 6 вверх, она ≤ 0 между корнями −3 и 2.
1) x ≥ −3; x² ≠ 4, т. е. x ≠ ±2. Ответ: [−3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
2) Кубический корень — без ограничений; |x| ≠ 3 ⇒ x ≠ ±3. Ответ: (−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; +∞). Ошибка: «x − 1 ≥ 0» — путают с квадратным корнем.
3) x² ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 или x ≥ 3; x ≤ 4. Пересечение: (−∞; −3] ∪ [3; 4]. Все ответы проверены в python (continuous_domain).

R01.1

Образец → сам · запись $f (x)$

Вместо $x$ — любое выражение

Образец

$f (x) = x^{2} - 4 x$ . Решите $f (x + 2) = f (x)$ .

$f (x + 2) = (x + 2)^{2} - 4 (x + 2)$

$f (x + 2) = x^{2} - 4$ раскрыли

$x^{2} - 4 = x^{2} - 4 x \Rightarrow x = 1$ $x^{2}$ сократились

$f (3) = - 3 = f (1)$ проверка

Сам

база $f (x) = 3 x - 1$ . Найдите $f (f (2))$ . $14$
база $f (x) = x^{2} + 1$ . Решите $f (x - 1) = 10$ . $- 2; 4$
повыш. $f (2 x - 1) = 4 x + 3$ . Найдите $f (x)$ . $f (x) = 2 x + 5$

R01.1 · ПР-18

Сводка · как найти $E (f)$

$E (f)$ — все $a$ , при которых уравнение $f (x) = a$ имеет решение

Оценка

$\dots \geq 0$ , $∣ \dots ∣ \geq 0$ , $x^{2} \geq 0$

$y = 3 - x \leq 3$ : $E = (- \infty; 3]$

Полный квадрат

$y = x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4$

$E = [4; + \infty)$

Квадратичная на отрезке

концы и вершина, если она внутри

$y = x^{2}$ , $x \in [- 1; 2]$ : $E = [0; 4]$

Через уравнение

$y = \frac{4}{x ^{2} + 2}$ : $x^{2} = \frac{4}{a} - 2 \geq 0$ $\Rightarrow$ $0 < a \leq 2$

R01.1 · ПР-18

Образец → сам · множество значений

Найдите $E (f)$

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 7$ , $x \in [0; 5]$

$y = (x - 2)^{2} + 3$ полный квадрат

$y (2) = 3$ — наименьшее вершина внутри

$y (0) = 7, y (5) = 12$ концы

$E = [3; 12]$ от min до max

Сам

база $y = 3 + ∣ x - 1∣$ $[3; + \infty)$
база $y = 5 - x - 2$ $(- \infty; 5]$
повыш. $y = \frac{6}{x ^{2} + 3}$ $(0; 2]$

R01.1 · R01.13

Сводка · модуль → кусочная функция

Нули подмодульных выражений делят ось на промежутки

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

На каждом промежутке знак выражения под модулем постоянный — модуль снимаем

R01.1 · R01.13

Образец → сам · функция с модулем

Запишите без модуля и найдите $E (f)$

Образец

$y = ∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣$

$x < - 1 : y = - 2 x + 1 > 3$ убывает

$- 1 \leq x \leq 2 : y = 3$ постоянна

$x > 2 : y = 2 x - 1 > 3$ возрастает

$E = [3; + \infty)$ наименьшее $3$

Сам

база $y = ∣ x ∣ + x$ $0$ при $x < 0$ ; $2 x$ при $x \geq 0$ ; $E = [0; + \infty)$
база $y = x ∣ x ∣$ $- x^{2}$ при $x < 0$ ; $x^{2}$ при $x \geq 0$ ; $E = R$
повыш. $y = ∣ x - 1∣ - ∣ x + 3∣$ $4$ ; $- 2 x - 2$ ; $- 4$ ; $E = [- 4; 4]$

R01.1 · ПР-18

Сводка · график с выколотой точкой

Сократили дробь — ограничение осталось

y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2, x \neq = 2

1)

D

— по исходной формуле 2) сократить 3) выколоть

(2; 4)

Прямая через выколотую точку теряет одно пересечение:

y = 4

— ни одной общей точки

R01.1 · ПР-18 · линия 22

Образец → сам · выколотые точки

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку?

Образец: $y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$

$\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ $x \neq = 3, x \neq = - 2$

$y = x^{2} + x - 6$ ; дыры $(3; 6)$ , $(- 2; - 4)$

$m = 6; - 4; - 6, 25$ дыра или вершина

база $y = \frac{x ^{3} - x}{x - 1}$ : одна общая точка с $y = m$ ? $- 0, 25; 2$
база $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ : нет общих точек с $y = k x$ ? $k = 1; 2$
повыш. $y = \frac{x ^{2} + 2 x}{∣ x ∣}$ : одна общая точка с $y = m$ ? $- 2 < m \leq 2$

3 мин · практика
Образец: x⁴ − 13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9). После сокращения — парабола y = x² + x − 6 с вершиной (−0,5; −6,25) без точек x = 3 (y = 6) и x = −2 (y = −4). Прямая y = m: m = −6,25 — касается в вершине; m = 6 — точки x = −4 и x = 3, вторая выколота; m = −4 — точки x = 1 и x = −2, вторая выколота. Масштаб: 50 px на 1 по x, 28 px на 1 по y.
1) y = x(x + 1), x ≠ 1, дыра (1; 2). m = −0,25 (вершина); m = 2: x² + x − 2 = 0 — корни 1 (выколот) и −2. Ответ: −0,25; 2.
2) y = x + 2, x ≠ 2. kx = x + 2 ⇒ (k − 1)x = 2: при k = 1 решений нет; иначе x = 2/(k − 1), и это x = 2 при k = 2 (прямая y = 2x проходит через дыру (2; 4)). Ответ: k = 1 или k = 2.
3) x > 0: y = x + 2 (значения больше 2); x < 0: y = −x − 2 (значения больше −2). m > 2 — две точки, −2 < m ≤ 2 — одна, m ≤ −2 — ни одной. Проверено в python. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили — забыли $x \neq = 3$

$y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ , $D = R$

$D : x \neq = 3$ ; точка $(3; 6)$ выколота

$D$ — по исходной формуле

Модуль сняли без знака

$∣ x - 2∣ = x - 2$ при всех $x$

$x - 2$ при $x \geq 2$ ; $2 - x$ при $x < 2$

$∣ - 1 - 2∣ = 3$ , а не $- 3$

$E$ только по концам

$y = x^{2} - 2 x$ , $x \in [- 1; 2]$ : $E = [0; 3]$

вершина $x = 1$ внутри: $E = [- 1; 3]$

проверяйте вершину

R01.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $D$ : $y = \frac{x + 2}{x ^{2} - 1}$

$x + 2 > 0$ , $x^{2} \neq = 1$

$D = (- 2; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

Ошибка: под корнем $\geq 0$ , а не $> 0$

$D = [- 2; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

Задача 2. $f (x) = {x^{2} - 1, 3 - x, x < 1 x \geq 1$ . Решите $f (x) = 3$ .

$x^{2} - 1 = 3$ : $x = \pm 2$ ; $3 - x = 3$ : $x = 0$

Ответ: $- 2; 0; 2$

Ошибка: $x = 2$ не $< 1$ , $x = 0$ не $\geq 1$

Ответ: $- 2$

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Значения, $D$ и $E$

$f (x) = 2 x^{2} - x$ . Найдите $f (- 3)$ . $21$
$D$ : $y = \frac{5}{x ^{2} - 3 x}$ $x \neq = 0; 3$
$D$ : $y = 8 - 2 x$ $(- \infty; 4]$

$E$ : $y = x^{2} - 6 x + 10$ $[1; + \infty)$
$f (x) = x + 5$ . Решите $f (x) = 4$ . $11$
$A (- 2; - 7)$ на графике $y = x^{3} + 1$ ? да

R01.1 · ПР-18

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Корни, отрезки, модули, выколотые точки

повыш. $D$ : $y = \frac{x + 4}{x ^{2} + x - 6}$ $[- 4; - 3) \cup (- 3; 2) \cup (2; + \infty)$
повыш. $E$ : $y = - x^{2} + 4 x$ , $x \in [0; 3]$ $[0; 4]$
повыш. $f (x) = x^{2} - x$ . Решите $f (x + 1) = f (x) + 6$ . $3$
повыш.Выколотая точка графика $y = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ $(2; - 1)$
повыш.Наименьшее значение $y = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣$ $4$

R01.1 · R01.13 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

x \geq 0

:

x^{2} - 4 x + 3

;

x < 0

:

x^{2} + 4 x + 3

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком

ровно три общие точки? $m = 3$
ровно четыре? $- 1 < m < 3$
ровно две? $m = - 1$ или $m > 3$

3 мин · практика
Построение: при x ≥ 0 — парабола (x − 2)² − 1 с вершиной (2; −1), нулями 1 и 3, точкой (0; 3); при x < 0 — её зеркальное отражение относительно Oy (вершина (−2; −1)). Функция чётная: |x|² = x². Масштаб: 48 px на 1 по x, 40 px на 1 по y.
Прямая y = m: m < −1 — нет точек; m = −1 — две (x = ±2); −1 < m < 3 — четыре; m = 3 — три (x = −4, 0, 4); m > 3 — две. Проверено решением уравнений в sympy.
Оформление на 2 балла: раскрыт модуль, построены обе части с вершинами, отмечены точки (0; 3), (±2; −1), ответ на вопрос. Типичная потеря — «гладкая» вершина в (0; 3): там излом.

R01.1 · ПР-17

Задача из жизни

Парковка: первый час бесплатно, далее $80$ ₽ за каждый начатый час

практика $C (0, 5)$ и $C (2, 5)$ $0$ и $160$ ₽
практикаСколько часов можно стоять за $400$ ₽? до $6$ ч
повыш. $E (C)$ при $t \in (0; 5]$ ${0; 80; 160; 240; 320}$

Функция — правило, не обязательно одна формула

2 мин · практика
Модель: C(t) = 0 при 0 < t ≤ 1; 80 при 1 < t ≤ 2; 160 при 2 < t ≤ 3 и т. д. — «ступенчатая» функция. Левый конец каждой ступеньки выколот, правый закрашен: ровно 2 ч — это ещё 80 ₽.
1) C(0,5) = 0; при t = 2,5 начаты 3 часа, бесплатный 1, платных 2: 160 ₽. 2) 400 / 80 = 5 платных часов + 1 бесплатный: не больше 6 ч (C(6) = 400, при t чуть больше 6 уже 480).
3) На (0; 5] функция принимает только 5 значений: E = {0; 80; 160; 240; 320}. Вопрос классу: почему график — не «лестница со сплошными ступенями», а отрезки с выколотыми концами? (При t = 1 значение единственное — 0; вертикальная прямая пересекает график не более одного раза.)
Масштаб: 76 px на 1 ч, 0,8 px на 1 ₽.

R01.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $f (x) = x^{2} - 5 x$ . Найдите $f (- 2)$ . $14$
база $D$ : $y = \frac{x - 1}{x - 4}$ $[1; 4) \cup (4; + \infty)$
база $E$ : $y = x^{2} + 4 x + 9$ $[5; + \infty)$
повыш. $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ : при каком $m$ у прямой $y = m$ нет общих точек с графиком? $m = - 2$

Вариант 2

база $f (x) = x^{2} + 3 x$ . Найдите $f (- 4)$ . $4$
база $D$ : $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ $[- 2; 3) \cup (3; + \infty)$
база $E$ : $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $(- \infty; 5]$
повыш. $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ : при каком $m$ у прямой $y = m$ нет общих точек с графиком? $m = 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда записывают ограничения — до или после сокращения?
Как снять модуль с $∣ x - a ∣$ ?
Где искать наименьшее значение квадратичной функции на отрезке?

Домашнее задание

$D$ : $y = \frac{10 - 3 x - x ^{2}}{x}$
$y = ∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣$ : запишите без модуля, найдите $E$
$y = \frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ : одна общая точка с $y = m$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-014 · Практикум: Функция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 14/25 · тип П
Единицы → слайды	R01.1 «Функция» → 2, 4–20 · опора R01.12, R01.13 → 3, 4, 9, 10, 17 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 11, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-17 (функция, график, кусочно-заданная функция) → 2–6, 9, 10, 14, 18–20 · ПР-18 (область определения, множество значений по графику и формуле) → 4, 5, 7, 8, 11–13, 15–17, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	нули, знакопостоянство, монотонность, чётность — ALG9U-015; преобразования графиков f(\|x\|), \|f(x)\| — ALG9U-016
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:функция

Сегодня вы научитесь

Находить D(f) и E(f)

Работать с записью f(x)

Раскрывать модули

Строить графики с «дырами»

Значения, область определения, корни

Каждому x из D(f) — единственное y=f(x)

Что ограничивает D(f)

Найдите область определения функции

Образец

Сам

Вместо x — любое выражение

Образец

Сам

E(f) — все a, при которых уравнение f(x)=a имеет решение

Оценка

Полный квадрат

Квадратичная на отрезке

Через уравнение

Найдите E(f)

Образец

Сам

Нули подмодульных выражений делят ось на промежутки

Запишите без модуля и найдите E(f)

Образец

Сам

Сократили дробь — ограничение осталось

При каких m прямая y=m имеет с графиком одну общую точку?

Образец: y=(x−3)(x+2)x4−13x2+36​

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили — забыли x=3

Модуль сняли без знака

E только по концам

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. D: y=x2−1x+2​​

Задача 2. f(x)={x2−1,3−x,​x<1x≥1​. Решите f(x)=3.

Значения, D и E

Корни, отрезки, модули, выколотые точки

Постройте график y=x2−4∣x∣+3

Парковка: первый час бесплатно, далее 80 ₽ за каждый начатый час

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-014 · Практикум: Функция

Практикум:
функция

Находить $D (f)$ и $E (f)$

Работать с записью $f (x)$

Каждому $x$ из $D (f)$ — единственное $y = f (x)$

Что ограничивает $D (f)$

Вместо $x$ — любое выражение

$E (f)$ — все $a$ , при которых уравнение $f (x) = a$ имеет решение

Найдите $E (f)$

Запишите без модуля и найдите $E (f)$

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку?

Образец: $y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$

Сократили — забыли $x \neq = 3$

$E$ только по концам

Задача 1. $D$ : $y = \frac{x + 2}{x ^{2} - 1}$

Задача 2. $f (x) = {x^{2} - 1, 3 - x, x < 1 x \geq 1$ . Решите $f (x) = 3$ .

Значения, $D$ и $E$

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

Парковка: первый час бесплатно, далее $80$ ₽ за каждый начатый час