Функции · урок 13 из 25

Графики функций
$y = x$ , $y = 3 x$ ,
$y = ∣ x ∣$

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 13/25, единица R01.13 «Графики функций: y = √x, y = ∛x, y = |x|». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-012 — степенные функции y = xⁿ (n натуральное); следующий ALG9U-014 — практикум «Функция».
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (y = √x) 3 · 6 (y = ∛x) 3 · 8 (y = |x|) 2 · 10 (сводка свойств) 3.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 3 · осторожно (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задача 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.13

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить графики

$y = x$ , $y = 3 x$ , $y = ∣ x ∣$ — по точкам и по симметрии (ПР-17)

Описывать свойства

область определения и значений, монотонность, чётность (ПР-18)

Сдвигать графики

$y = ∣ x - a ∣ + b$ , $y = x + a + b$ (ПР-23)

Решать графически

сколько корней у уравнения — по точкам пересечения (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции…». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, четность и нечетность, наибольшее и наименьшее значения…».
ПР-23: «…строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y = f(x)». ПР-14: «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений».
Вид деятельности ФРП по строке: «Строить графики функций y = √x, y = ∛x, y = |x|. Анализировать и применять свойства изученных функций для их построения…».

разминка · R01.12

Разминка · устно

Корни, кубы, модули

49

вычислите

7

0, 16

вычислите

0, 4

a^{3} = - 8

a

= ?

- 2

∣ - 5∣ - ∣3∣

вычислите

2

x^{2} = 9

корни

\pm 3

y = x^{3}

чётная или нечётная?

нечётная

y = x^{2}

где возрастает?

[0; + \infty)

(2; 8)

на графике

y = x^{3}

?

да

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 7² = 49. 2) 0,4² = 0,16. 3) (−2)³ = −8 — у отрицательного числа есть «кубический корень», а квадратного нет: это главная разница сегодняшних функций. 4) 5 − 3 = 2.
5) x = ±3 (не забыть −3). 6) (−x)³ = −x³ — нечётная, график симметричен относительно начала координат (прошлый урок). 7) возрастает на [0; +∞), убывает на (−∞; 0]. 8) 2³ = 8 — да.
Карточки 1–2, 7 готовят y = √x (сл. 4), 3, 6, 8 — y = ∛x (сл. 6), 4 — y = |x| (сл. 8).

R01.13

Новый материал · квадратный корень

График $y = x$ — «половина параболы, лёгшая на бок»

$x$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $x$ ; определён при $x \geq 0$

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

y = x^{2}, x \geq 0

и

y = x

— симметричны относительно прямой

y = x

Возрастает: больше

x

— больше

x

3 мин · теория
Строим по таблице (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) — точка (9; 3) за рамкой рисунка, её ученики отмечают в тетради. Кривая выходит из начала координат, растёт всё медленнее.
Почему симметрия: если точка (a; b) лежит на ветви y = x², x ≥ 0, то b = a², a ≥ 0, значит, a = √b и точка (b; a) лежит на y = √x. Точки (a; b) и (b; a) симметричны относительно прямой y = x (пунктир на рисунке — пара (2; 4) и (4; 2)).
Возрастание: если 0 ≤ x₁ < x₂, то √x₂ − √x₁ = (x₂ − x₁)/(√x₂ + √x₁) > 0.
Вопрос классу: почему графика нет левее оси Oy? (√x при x < 0 не определён.)

R01.13

Образец → сам · монотонность корня

Возрастание помогает считать и сравнивать

Образец

Наименьшее и наибольшее значения $y = x$ на $[0, 25; 9]$

функция возрастает сл. 4

$y_{m i n} = 0, 25 = 0, 5$ левый конец

$y_{m a x} = 9 = 3$ правый конец

Сам

базаТо же на $[4; 16]$ $2$ и $4$
базаСравните $0, 8$ и $0, 9$ $0, 8 < 0, 9$
повыш.При каких $x$ верно $x < 3$ ? $0 \leq x < 9$

R01.13

Новый материал · кубический корень

Кубический корень есть у любого числа

$3 x$ — число, куб которого равен $x$

$x$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

y = x^{3}

и

y = 3 x

— симметричны относительно

y = x

Нечётная:

3 - x = - 3 x

; возрастает на всей прямой

3 мин · теория
Определение: ∛a — такое число b, что b³ = a. Так как y = x³ возрастает и принимает все значения, для любого a такое b есть и оно единственно. Примеры: ∛27 = 3, ∛(−27) = −3, ∛0,001 = 0,1.
Масштаб по осям одинаковый (1 клетка = 1), поэтому кривая пологая — это верная форма, а не схема. Симметрия с y = x³ — как на сл. 4: (a; a³) ↔ (a³; a).
Нечётность: (−∛x)³ = −x, значит, ∛(−x) = −∛x — график симметричен относительно начала координат.
Сравнение с √x: D(√x) = [0; +∞), D(∛x) = (−∞; +∞). Вопрос классу: в какой точке касательная к графику вертикальна? (В начале координат — график y = ∛x «встаёт» вдоль оси Oy, как y = x³ ложится вдоль Ox.)

R01.13

Образец → сам · неравенства с корнем

Возрастание + область определения

Образец

Решите $3 x < 2$

$2 = 38$ $2^{3} = 8$

$3 x < 38 \Leftrightarrow x < 8$ возрастает на $R$

$x < 8$ ограничений нет

Сам

база $3 x \geq - 1$ $x \geq - 1$
база $x < 2$ $0 \leq x < 4$
повыш.Сравните $3 - 7$ и $- 1, 9$ $3 - 7 < - 1, 9$

R01.13

Новый материал · модуль

График $y = ∣ x ∣$ — из двух лучей

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0

При

x < 0

— луч

y = - x

При

x \geq 0

— луч

y = x

Чётная:

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

, график симметричен относительно

O y

R01.13 · R01.3

Образец → сам · сдвиги графика модуля

$y = ∣ x - a ∣ + b$ : вершина в точке $(a; b)$

Образец

$y = ∣ x - 2∣ - 1$ : вершина, $E (y)$ , нули

вправо на $2$ , вниз на $1$ от $y = ∣ x ∣$

вершина $(2; - 1)$ , $E = [- 1; + \infty)$

$∣ x - 2∣ = 1$ : $x = 1, x = 3$ нули

Сам: вершина и $E (y)$

база $y = ∣ x + 3∣$ $(- 3; 0)$ , $[0; + \infty)$
база $y = ∣ x ∣ + 2$ $(0; 2)$ , $[2; + \infty)$
повыш. $y = 3 - ∣ x - 1∣$ ; и нули $(1; 3)$ , $(- \infty; 3]$ ; $- 2$ и $4$

R01.13 · R01.2

Сводка · свойства трёх функций

Сравните и запомните

Свойство	$y = x$	$y = 3 x$	$y = ∣ x ∣$
Область определения	$[0; + \infty)$	$(- \infty; + \infty)$	$(- \infty; + \infty)$
Множество значений	$[0; + \infty)$	$(- \infty; + \infty)$	$[0; + \infty)$
Нули, знак	$0$ ; $y > 0$ при $x > 0$	$0$ ; знак $y$ — как у $x$	$0$ ; $y > 0$ при $x \neq = 0$
Монотонность	возрастает	возрастает	$↘$ на $(- \infty; 0]$ , $↗$ на $[0; + \infty)$
Чётность	ни чётная, ни нечётная	нечётная	чётная
Наим. / наиб.	$0$ / нет	нет / нет	$0$ / нет

R01.13 · R01.3

Образец → сам · сдвиги графиков корня

Область определения и значений после сдвига

Образец

$y = x + 3 - 2$

влево на $3$ , вниз на $2$ от $y = x$

$D = [- 3; + \infty)$ $x + 3 \geq 0$

$E = [- 2; + \infty)$ $x + 3 \geq 0$

$x + 3 = 2 \Rightarrow x = 1$ нуль

Сам

база $y = x - 1 + 2$ : $D$ и $E$ $[1; + \infty)$ , $[2; + \infty)$
база $y = 3 x + 8$ : нуль, $D$ $- 8$ ; $(- \infty; + \infty)$
повыш. $y = 1 - 3 x$ : нуль, монотонность $1$ ; убывает на $R$

R01.13 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

Сколько корней? Смотрим на точки пересечения

Образец

$x = 6 - x$

$x$ возрастает, $6 - x$ убывает не больше одной точки

$x = 4$ : $4 = 2 = 6 - 4$ подбор

один корень: $x = 4$

Сам: корни

база $3 x = x$ $- 1; 0; 1$
база $∣ x ∣ = x$ $0; 1$
повыш. $x = x - 2$ $4$

3 мин · практика
Образец: возрастающая и убывающая функции пересекаются не более чем в одной точке; подобранный корень — единственный. Проверка: √4 = 2, 6 − 4 = 2 ✓.
1) Графики y = ∛x и y = x (сл. 6) пересекаются в трёх точках: x³ = x ⇔ x(x − 1)(x + 1) = 0. 2) x ≥ 0, тогда |x| = x: x = √x ⇔ x² = x: 0 и 1.
3) Прямая y = x − 2 и y = √x: одна точка (4; 2). Возведение в квадрат даёт x² − 5x + 4 = 0, корни 1 и 4, но x = 1: √1 = 1 ≠ −1 — посторонний; график это сразу показывает (при x = 1 прямая ниже оси Ox).

R01.13

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак в области определения

$y = x + 3$ : $D = [3; + \infty)$

$x + 3 \geq 0$ : $D = [- 3; + \infty)$

решаем неравенство, а не «переписываем число»

«Корня из минуса нет»

$3 - 8$ не существует

$3 - 8 = - 2$

$(- 2)^{3} = - 8$ ; запрет только для корня чётной степени

Сдвиг не в ту сторону

$y = ∣ x - 2∣$ — влево на $2$

вправо: вершина $(2; 0)$

вершина там, где $x - 2 = 0$

R01.13

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $x < 3$

$x < 9$ , функция возрастает,

значит, $x < 9$ .

Ответ: $(- \infty; 9)$ .

Ошибка: забыта область определения $x \geq 0$

Верно: $[0; 9)$

Задача 2. $3 x > - 2$

$3 x > 3 - 8$ , значит, $x > - 8$ .

Под корнем $x \geq 0$ .

Ответ: $[0; + \infty)$ .

Ошибка: у кубического корня ограничения $x \geq 0$ нет

Верно: $(- 8; + \infty)$

R01.13

Задания с самопроверкой · база

Значения, точки, нули

$x = 1, 5$ ; $x = ?$ $2, 25$
$3 x = - 3$ ; $x = ?$ $- 27$
$∣ x ∣ = 7$ ; $x = ?$ $\pm 7$

Наибольшее значение $x$ на $[0; 0, 49]$ $0, 7$
$(- 27; - 3)$ на графике $y = 3 x$ ? да
Нули $y = ∣ x + 1∣ - 4$ $- 5; 3$

R01.13 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Область определения, значения, графический метод

повыш. $D$ функции $y = 4 - x + x + 1$ $[- 1; 4]$
повыш. $E$ функции $y = 2 - x$ $(- \infty; 2]$
повыш.При каких $a$ уравнение $∣ x - 3∣ = a$ имеет ровно два корня? $a > 0$
повыш.Сколько корней у уравнения $3 x = - x$ ? один: $0$
повыш.Решите неравенство $x > x$ $0 < x < 1$

R01.13 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график и найдите $m$

Постройте график функции

y = {x, - x^{2} - 2 x, x \geq 0 x < 0

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки?

парабола: вершина $(- 1; 1)$ , нули $- 2$ и $0$

$y = m$ при $0 < m < 1$ : $2 + 1$ точки

Ответ: $0 < m < 1$

3 мин · практика
Построение: при x ≥ 0 — ветвь y = √x по точкам (0; 0), (1; 1), (4; 2). При x < 0 — часть параболы y = −x² − 2x = −x(x + 2): ветви вниз, вершина x = −1, y = 1; нули −2 и 0 (точка (0; 0) принадлежит графику — она дана первой формулой). y(−3) = −3.
Считаем общие точки с y = m: m < 0 — одна (левая ветвь при x < −2); m = 0 — две (x = −2 и x = 0); 0 < m < 1 — три (две на параболе, одна на √x; для m = 0,5 на рисунке: x = −1 ± √0,5 и x = 0,25); m = 1 — две (x = −1 и x = 1); m > 1 — одна (на √x).
Ответ: 0 < m < 1. На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верно построенный график и верный ответ; типичная потеря — включили m = 0 или m = 1.

R01.13 · R01.11

Задача из жизни

Скорость тела, упавшего с высоты $h$ : $v = 20 h$ (м/с)

практикаСкорость при падении с $5$ м? $10$ м/с
практикаС какой высоты, чтобы $v = 30$ м/с? $45$ м
повыш.Во сколько раз увеличить высоту, чтобы скорость выросла вдвое? в $4$ раза

R01.13

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x = 0, 3$ ; $x = ?$ $0, 09$
база $3 x = - 4$ ; $x = ?$ $- 64$
база $y = ∣ x - 4∣ + 1$ : вершина и $E$ $(4; 1)$ , $[1; + \infty)$
повыш.Решите $x \leq 5$ $0 \leq x \leq 25$

Вариант 2

база $x = 1, 2$ ; $x = ?$ $1, 44$
база $3 x = 5$ ; $x = ?$ $125$
база $y = ∣ x + 2∣ - 3$ : вершина и $E$ $(- 2; - 3)$ , $[- 3; + \infty)$
повыш.Решите $3 x < - 2$ $x < - 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем область определения $x$ отличается от $3 x$ ?
Как из графика $y = x^{3}$ получить $y = 3 x$ ?
Где вершина графика $y = ∣ x - a ∣ + b$ ?

Домашнее задание

Постройте $y = x$ и $y = ∣ x - 2∣$ ; найдите общие точки
$D$ и $E$ функции $y = x - 2 + 1$
Решите $3 x + 1 \geq 2$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-013 · Графики функций $y = x$ , $y = 3 x$ , $y = ∣ x ∣$

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 13/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.13 «Графики функций y = √x, y = ∛x, y = \|x\|» → 2, 4–20 · опора R01.12 → 3 · R01.3 (преобразования) → 9, 11 · R01.2 (свойства) → 10 · применение R01.11 → 17, 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11–20)
Результаты	ПР-17 → 2, 4, 6, 8 · ПР-18 → 5, 7, 10, 15, 16 · ПР-23 → 9, 11, 19 · ПР-14 → 12, 16, 17 · ПР-24 → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	корень n-й степени и его свойства — R05; f(x) → \|f(x)\| и f(\|x\|) — практикум ALG9U-016
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графики функцийy=x​, y=3x​,y=∣x∣

Сегодня вы научитесь

Строить графики

Описывать свойства

Сдвигать графики

Решать графически

Корни, кубы, модули

График y=x​ — «половина параболы, лёгшая на бок»

Возрастание помогает считать и сравнивать

Образец

Сам

Кубический корень есть у любого числа

Возрастание + область определения

Образец

Сам

График y=∣x∣ — из двух лучей

y=∣x−a∣+b: вершина в точке (a; b)

Образец

Сам: вершина и E(y)

Сравните и запомните

Область определения и значений после сдвига

Образец

Сам

Сколько корней? Смотрим на точки пересечения

Образец

Сам: корни

Три ошибки, которые стоят баллов

Знак в области определения

«Корня из минуса нет»

Сдвиг не в ту сторону

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. x​<3

Задача 2. 3x​>−2

Значения, точки, нули

Область определения, значения, графический метод

Постройте график и найдите m

Скорость тела, упавшего с высоты h: v=20h​ (м/с)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-013 · Графики функций y=x​, y=3x​, y=∣x∣

Графики функций
$y = x$ , $y = 3 x$ ,
$y = ∣ x ∣$

График $y = x$ — «половина параболы, лёгшая на бок»

График $y = ∣ x ∣$ — из двух лучей

$y = ∣ x - a ∣ + b$ : вершина в точке $(a; b)$

Сам: вершина и $E (y)$

Задача 1. $x < 3$

Задача 2. $3 x > - 2$

Постройте график и найдите $m$

Скорость тела, упавшего с высоты $h$ : $v = 20 h$ (м/с)

ALG9U-013 · Графики функций $y = x$ , $y = 3 x$ , $y = ∣ x ∣$