Функции · урок 12 из 25

Степенные функции
с натуральными
показателями

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-012

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 определение и таблица 1,5 · 5 чётные степени 2 · 6 нечётные степени 2 · 7 сводка свойств 1,5 · 8 обоснование свойств 2 · 9 сравнение степеней 1.
Практика (33 мин): 3 разминка 2 · 10 образец «сравнение» 2,5 · 11 образец «точка на графике» 2,5 · 12 образец «уравнение x^n = a» 3 · 13 образец «неравенство» 2,5 · 14 образец «графический метод» 2,5 · 15 типичные ошибки 1 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 3 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 22 3 · 20 задача из жизни 1,5 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и сл. 20 — в ДЗ; теорию (сл. 4–9) не сокращать.
Тип урока — Н, единица R01.12. Графики на слайдах построены по точным координатам (клетка = 0,5; на сл. 13, 14 масштабы осей разные — это сказано на слайде).

R01.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить графики $y = x^{n}$

для чётного и нечётного $n$ и объяснять их форму (ПР-17)

Описывать свойства

область значений, чётность, монотонность, наибольшее и наименьшее значения (ПР-18)

Сравнивать степени

с опорой на монотонность и чётность, без вычислений (ПР-3)

Решать $x^{n} = a$ и $x^{n} < a$

и находить число корней графически (ПР-13, ПР-14)

повторение: R01.2, степени 7 класса

Разминка · устно

Степени и чётность — за 10 секунд каждое

(- 2)^{3}

$- 8$

(- 1)^{100}

$1$

(- 1)^{7}

$- 1$

0, 1^{3}

$0, 001$

(- 3)^{4}

$81$

Что больше:

2^{5}

или

5^{2}

?

$2^{5} = 32$

f (x) = x^{2}

:

f (- 4)

и

f (4)

$16$ и $16$

Чётна ли

f (x) = x^{2} + 1

?

да

R01.12

Новый материал · определение

Степенная функция с натуральным показателем

y = x^{n}, n \in N

$n = 1$ : $y = x$ прямая

$n = 2$ : $y = x^{2}$ парабола

$n = 3$ : $y = x^{3}$ кубическая парабола

Определена при всех

x

:

D (y) = R

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$x^{3}$	$- 8$	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$	$8$
$x^{4}$	$16$	$1$	$\frac{1}{16}$	$0$	$\frac{1}{16}$	$1$	$16$

У $x^{4}$ значения при $\pm x$ равны, у $x^{3}$ — противоположны.

R01.12

Новый материал · чётный показатель

$n$ чётное: $y = x^{2}, x^{4}, x^{6}, \dots$

$D (y) = R$ , $E (y) = [0; + \infty)$
чётная: график симметричен относительно $O y$
убывает на $(- \infty; 0]$ , возрастает на $[0; + \infty)$
$y_{наим} = 0$ при $x = 0$ ; наибольшего нет

Все графики проходят через

(- 1; 1)

,

(0; 0)

,

(1; 1)

R01.12

Новый материал · нечётный показатель

$n$ нечётное: $y = x, x^{3}, x^{5}, \dots$

$D (y) = R$ , $E (y) = R$
нечётная: график симметричен относительно начала координат
возрастает на всей числовой прямой
$y < 0$ при $x < 0$ , $y > 0$ при $x > 0$
наибольшего и наименьшего значений нет

Все графики проходят через

(- 1; - 1)

,

(0; 0)

,

(1; 1)

R01.12

Новый материал · сводка свойств

Свойства $y = x^{n}$ , $n \in N$ , $n \geq 2$

Свойство	$n$ чётное	$n$ нечётное
область значений	$[0; + \infty)$	$R$
чётность	чётная	нечётная
нули	$x = 0$
знак	$y > 0$ при $x \neq = 0$	знак $y$ = знак $x$
монотонность	$↘$ на $(- \infty; 0]$ , $↗$ на $[0; + \infty)$	$↗$ на $R$
наим. / наиб.	$y_{наим} = 0$ ; наиб. нет	нет ни того, ни другого

R01.12

Новый материал · обоснование

Почему свойства именно такие

Чётность

$f (- x) = (- x)^{n} = (- 1)^{n} \cdot x^{n}$

$n$ чётное: $(- 1)^{n} = 1$

$\Rightarrow f (- x) = f (x)$

$n$ нечётное: $(- 1)^{n} = - 1$

$\Rightarrow f (- x) = - f (x)$

Возрастание на $[0; + \infty)$

Пусть $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . Тогда

$x_{2}^{n} - x_{1}^{n} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{n - 1} + x_{2}^{n - 2} x_{1} + \dots + x_{1}^{n - 1})$

$x_{2} - x_{1} > 0$ , вторая скобка $\geq x_{2}^{n - 1} > 0$

$\Rightarrow x_{1}^{n} < x_{2}^{n}$ — функция возрастает

На $(- \infty; 0]$ — по симметрии: чётная убывает, нечётная возрастает

2 мин · теория
Формула разности n-х степеней: a^n − b^n = (a − b)(a^(n−1) + a^(n−2)b + … + b^(n−1)); проверка при n = 2: (a − b)(a + b), при n = 3: (a − b)(a^2 + ab + b^2) — формулы 7 класса.
Вторая скобка при 0 ≤ x1 < x2: все слагаемые неотрицательны, а первое x2^(n−1) > 0, так как x2 > 0.
Симметрия: если x1 < x2 ≤ 0, то 0 ≤ −x2 < −x1, значит (−x2)^n < (−x1)^n. Для чётного n это x2^n < x1^n — убывает; для нечётного −x2^n < −x1^n, то есть x1^n < x2^n — возрастает.
Из возрастания на обоих лучах и непрерывности графика: нечётная степень возрастает на всей прямой.

R01.12

Новый материал · сравнение показателей

Чей график выше: $x^{2}$ , $x^{3}$ или $x^{4}$ ?

0 < x < 1

: чем больше показатель, тем меньше значение:

x^{4} < x^{3} < x^{2}

x > 1

: чем больше показатель, тем больше значение:

x^{2} < x^{3} < x^{4}

$x = 0, 5$ : $0, 25 > 0, 125 > 0, 0625$

R01.12

Образец → сам · сравнение значений

Сравните, не вычисляя

Сравните $(- 2, 7)^{5}$ и $(- 3, 1)^{5}$

$y = x^{5}$ — нечётная степень возрастает на $R$

$- 2, 7 > - 3, 1$ сравнили основания

$(- 2, 7)^{5} > (- 3, 1)^{5}$ большему $x$ — большее $y$

Сам

$1, 3^{4}$ и $1, 2^{4}$ $1, 3^{4} > 1, 2^{4}$
$(- 0, 6)^{4}$ и $(- 0, 7)^{4}$ $<$
$(- 5)^{6}$ и $4^{6}$ $(- 5)^{6} > 4^{6}$

2,5 мин · практика
Образец (по шагам): нечётная степень возрастает на ℝ, поэтому знак неравенства сохраняется. Численно: (−2,7)^5 ≈ −143,5; (−3,1)^5 ≈ −286,3.
1) 1,3 > 1,2 ≥ 0, x^4 возрастает на [0; +∞) → 1,3^4 > 1,2^4 (2,8561 > 2,0736).
2) Чётная степень убывает на (−∞; 0]: −0,6 > −0,7 → (−0,6)^4 < (−0,7)^4 (0,1296 < 0,2401). Или по чётности: сравнить 0,6^4 и 0,7^4.
3) По чётности (−5)^6 = 5^6, а 5 > 4 ≥ 0 → (−5)^6 > 4^6.
Типичная ошибка в 2): «−0,6 > −0,7, значит, и степень больше» — забыли, что на отрицательном луче чётная степень убывает.

R01.12

Образец → сам · точка на графике

Обратная задача: найдите показатель $n$

График $y = x^{n}$ проходит через $A (- 2; - 32)$ . Найдите $n$ .

$(- 2)^{n} = - 32$ подставили координаты

$2^{n} = 32 \Rightarrow n = 5$ сравнили модули

$(- 2)^{5} = - 32$ ✓ знак «−» — $n$ нечётное

Ответ: $n = 5$

Сам: найдите $n$

через $(3; 81)$ $n = 4$
через $(- 1; - 1)$ любое нечётное $n$
через $(- 2; 8)$ такого $n$ нет

R01.12

Образец → сам · простейшее степенное уравнение

Сколько точек у $y = x^{n}$ и прямой $y = a$ ?

$x^{4} = 81$ $n$ чётное, $a > 0$

$\Rightarrow x = 3$ или $x = - 3$ две точки, симметрия

$x^{5} = - 32 \Rightarrow x = - 2$ $n$ нечётное — одна точка

$x^{6} = - 1$ — корней нет $x^{6} \geq 0$

n

чётное:

a > 0

— 2 корня,

a = 0

— 1,

a < 0

— нет.

n

нечётное: всегда 1 корень

Сам

$x^{3} = - 125$ $- 5$
$x^{4} = 0, 0016$ $\pm 0, 2$
$x^{6} + 64 = 0$ нет корней
$(x - 1)^{4} = 16$ $3; - 1$

R01.12

Образец → сам · степенное неравенство

Где график ниже прямой?

Образец: $x^{4} \leq 16$ (масштабы по осям разные)

$x^{4} = 16$ при $x = \pm 2$ точки пересечения

график ниже прямой — между ними

Ответ: $[- 2; 2]$

Сам

$x^{3} > - 8$ $(- 2; + \infty)$
$x^{6} > 1$ $x < - 1$ или $x > 1$
$x^{4} < - 1$ решений нет

R01.12 · углублённый

Образец → сам · графический метод

$x^{3} = 10 - x$ : монотонность даёт единственность

$y = x^{3}$ возрастает, $y = 10 - x$ убывает не более одной общей точки

подбор: $x = 2$ : $8 = 10 - 2$ ✓

Ответ: $x = 2$ — единственный корень

масштабы по осям разные

Сам

$x^{5} = 2 - x$ $1$
$x^{3} + x = - 10$ $- 2$
$x^{4} = 2 - x^{2}$ $\pm 1$

2,5 мин · практика
Ключевой факт: возрастающая и убывающая функции имеют не более одной общей точки (если x > 2, то x^3 > 8 > 10 − x; если x < 2 — наоборот). Масштаб рисунка: по x клетка 1, по y клетка 2.
1) x^5 возрастает, 2 − x убывает → не более одного корня; x = 1: 1 = 1 ✓.
2) y = x^3 + x возрастает (сумма возрастающих), значит значение −10 принимает не более одного раза; x = −2: −8 − 2 = −10 ✓.
3) Здесь y = x^4 не монотонна — метод «подбор + единственность» не годится. Замена t = x^2 ≥ 0: t^2 + t − 2 = 0, t = 1 или t = −2 (не подходит) → x = ±1. Графически: две общие точки (−1; 1) и (1; 1) — симметрия.

R01.12

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$y = x^{3}$ : $E (y) = [0; + \infty)$	перенесли свойство параболы на нечётную степень	$E (y) = R$
$x^{4} = 16 \Rightarrow x = 2$	потерян корень: чётная степень, симметрия	$x = \pm 2$
$0, 5^{4} > 0, 5^{2}$ , ведь $4 > 2$	при $0 < x < 1$ большая степень меньше	$0, 0625 < 0, 25$

R01.12

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $x^{4} > 81$

$x^{4} > 3^{4} \Rightarrow x > 3$

Ответ: $(3; + \infty)$

$x < - 3$ или $x > 3$

$(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

б) Сравнить $(- 1, 5)^{3}$ и $(- 1, 2)^{3}$

$1, 5 > 1, 2$ , значит

$(- 1, 5)^{3} > (- 1, 2)^{3}$

$- 1, 5 < - 1, 2$ , $x^{3}$ возрастает

$(- 1, 5)^{3} < (- 1, 2)^{3}$

в) Свойства $y = x^{6}$

возрастает на $R$ ;

наименьшего значения нет

$↘$ на $(- \infty; 0]$ , $↗$ на $[0; + \infty)$

$y_{наим} = 0$ при $x = 0$

R01.12

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЧётна или нечётна $y = x^{7}$ ? нечётная
база $E (y)$ для $y = x^{8}$ $[0; + \infty)$
базаСравните $0, 3^{7}$ и $0, 4^{7}$ $<$

база $x^{3} = 64$ $4$
база $x^{4} = 625$ $\pm 5$
базаЛежит ли $(- 2; 32)$ на графике $y = x^{5}$ ? нет

R01.12

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Наибольшее и наименьшее значения $y = x^{4}$ на $[- 2; 1]$ $16$ и $0$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{6} = a - 3$ имеет ровно два корня? $a > 3$
повыш.Решите неравенство $(x - 2)^{4} \leq 1$ $[1; 3]$
повыш.Решите неравенство $x^{3} < x^{2}$ $(- \infty; 0) \cup (0; 1)$

2,5 мин · практика
1) На [−2; 0] функция убывает от 16 до 0, на [0; 1] возрастает от 0 до 1 → y_наиб = y(−2) = 16, y_наим = y(0) = 0. Ошибка: взять значения только на концах (16 и 1).
2) Чётная степень: два корня ⇔ правая часть положительна: a − 3 > 0, a > 3. Граничные значения: a = 3 — один корень x = 0; a < 3 — корней нет.
3) Замена t = x − 2: t^4 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. Сдвиг графика y = x^4 на 2 вправо (урок 3).
4) x^2(x − 1) < 0: x^2 > 0 при x ≠ 0, значит x − 1 < 0 и x ≠ 0. Ответ (−∞; 0) ∪ (0; 1). Ошибка: потерять «x ≠ 0» (при x = 0 обе части равны 0).

R01.12 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = \frac{x ^{5} - x ^{3}}{x ^{2} - 1}$

…и определите, при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

$x^{2} - 1 \neq = 0$ : $x \neq = \pm 1$ область определения

$\frac{x ^{3} ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} - 1} = x^{3}$ сократили

график — $y = x^{3}$ без $(- 1; - 1)$ и $(1; 1)$

$y = m$ пересекает $y = x^{3}$ ровно в одной точке; общих точек нет, если она выколота

Ответ: $m = - 1$ ; $m = 1$

3 мин · практика
Сначала 1,5 мин ученики решают сами, затем шаги по клику. Оформление как в бланке ОГЭ: область определения, упрощение с условием x ≠ ±1, построение (таблица: −2 → −8, −1,5 → −3,375, 0 → 0, 1,5 → 3,375, 2 → 8; выколотые точки (−1; −1) и (1; 1)), ответ.
Проверка: при x = 2 исходная дробь (32 − 8)/(4 − 1) = 24/3 = 8 = 2^3 ✓.
Почему ровно одна точка: x^3 = m имеет единственный корень при любом m (сл. 12). При m = 1 этот корень x = 1, при m = −1 — x = −1; обе точки выколоты.
Критерии (2 балла): график построен верно и верно найдены искомые m. Частая потеря балла — не выкололи точки или выкололи только одну.

R01.12 · из жизни

Задача из жизни

Ветер и мощность ветряка: $P = k v^{3}$

Скорость ветра выросла с $4$ до $8$ м/с. Во сколько раз выросла мощность?

в $2^{3} = 8$ раз

А если скорость выросла с $5$ до $6$ м/с?

$1, 2^{3} = 1, 728$ , почти в $1, 7$ раза

Ребро куба увеличили на $10 %$ . На сколько процентов вырос объём?

$1, 1^{3} = 1, 331$ — на $33, 1 %$

R01.12

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сравните $(- 1, 4)^{5}$ и $(- 1, 3)^{5}$ $<$
$x^{4} = 81$ $\pm 3$
$x^{3} \geq - 27$ $[- 3; + \infty)$
Наиб. и наим. $y = x^{6}$ на $[- 1; 2]$ $64$ и $0$

Вариант 2

Сравните $(- 0, 8)^{4}$ и $(- 0, 9)^{4}$ $<$
$x^{5} = - 32$ $- 2$
$x^{4} < 16$ $(- 2; 2)$
Наиб. и наим. $y = x^{3}$ на $[- 2; 1]$ $1$ и $- 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем отличаются графики $x^{4}$ и $x^{5}$ ?
Сколько корней у $x^{n} = a$ — от чего это зависит?
Что было самым трудным?

Домашнее задание

Постройте $y = x^{3}$ и $y = x^{4}$ по таблице в одной системе координат
Решите: $x^{6} = 64$ ; $x^{3} < 8$
* При каких $a$ уравнение $x^{4} = a^{2} - 4$ имеет ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-012 · Степенные функции с натуральными показателями, их графики и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 12/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.12 «Степенные функции с натуральными показателями, их графики и свойства» → 2, 4–22 · опора R01.2 (свойства функций) → 3, 7, 8 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4–9) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 10–22)
Результаты	ПР-17 (функция, график) → 4–6, 19 · ПР-18 (свойства по графику, наиб./наим.) → 5–9, 16–18, 21 · ПР-3 (сравнение чисел) → 9, 10, 15–17, 21 · ПР-13, ПР-14 (уравнения и неравенства, число корней графически) → 12–14, 16–19, 21 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графики y = √x, y = ∛x, y = \|x\| — ALG9U-013; корень n-й степени — строка R05; уравнения 3-й и 4-й степеней — R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Степенные функциис натуральнымипоказателями

Сегодня вы научитесь

Строить графики y=xn

Описывать свойства

Сравнивать степени

Решать xn=a и xn<a

Степени и чётность — за 10 секунд каждое

Степенная функция с натуральным показателем

n чётное: y=x2, x4, x6,…

n нечётное: y=x, x3, x5,…

Свойства y=xn, n∈N, n≥2

Почему свойства именно такие

Чётность

Возрастание на [0; +∞)

Чей график выше: x2, x3 или x4?

Сравните, не вычисляя

Сам

Обратная задача: найдите показатель n

Сам: найдите n

Сколько точек у y=xn и прямой y=a?

Сам

Где график ниже прямой?

Сам

x3=10−x: монотонность даёт единственность

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) x4>81

б) Сравнить (−1,5)3 и (−1,2)3

в) Свойства y=x6

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Постройте график y=x2−1x5−x3​

Ветер и мощность ветряка: P=kv3

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-012 · Степенные функции с натуральными показателями, их графики и свойства

Степенные функции
с натуральными
показателями

Строить графики $y = x^{n}$

Решать $x^{n} = a$ и $x^{n} < a$

$n$ чётное: $y = x^{2}, x^{4}, x^{6}, \dots$

$n$ нечётное: $y = x, x^{3}, x^{5}, \dots$

Свойства $y = x^{n}$ , $n \in N$ , $n \geq 2$

Возрастание на $[0; + \infty)$

Чей график выше: $x^{2}$ , $x^{3}$ или $x^{4}$ ?

Обратная задача: найдите показатель $n$

Сам: найдите $n$

Сколько точек у $y = x^{n}$ и прямой $y = a$ ?

$x^{3} = 10 - x$ : монотонность даёт единственность

а) $x^{4} > 81$

б) Сравнить $(- 1, 5)^{3}$ и $(- 1, 2)^{3}$

в) Свойства $y = x^{6}$

Постройте график $y = \frac{x ^{5} - x ^{3}}{x ^{2} - 1}$

Ветер и мощность ветряка: $P = k v^{3}$