Функции · урок 11 из 25

Свойства квадратичной функции в задачах

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-011

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 11/25, единица R01.11 «Использование свойств квадратичной функции для решения задач». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-010 — положение графика в зависимости от коэффициентов; следующий ALG9U-012 — степенные функции с натуральными показателями.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (вершина: наибольшее и наименьшее значения) 3 · 5 (значения на отрезке) 2 · 8 (задача на оптимизацию: алгоритм и демонстрация) 2 · 10 (графический метод: число корней f(x) = a) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 3 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и вопрос 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить наибольшее и наименьшее

значение функции — на всей прямой и на отрезке (ПР-22)

Решать задачи на оптимизацию

наибольшая площадь, выручка, высота — через вершину (ПР-15, ПР-22)

Считать корни по графику

число корней $f (x) = a$ — прямая $y = a$ и парабола (ПР-14)

Рассуждать с параметром

вершина, наибольшее значение, линия 22 ОГЭ (ПР-7, ПР-21)

1 мин · теория
ПР-22 (ФРП дословно): «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром».
Вид деятельности ФРП по строке: «Анализировать и применять свойства изученных функций для их построения…».

разминка · R01.8–R01.10

Разминка · устно

Вершина и ветви параболы

y = x^{2} - 6 x + 5

x_{0} = ?

3

y = 2 (x - 1)^{2} + 4

вершина

(1; 4)

y = - x^{2} + 4 x

ветви

вниз

y = x^{2} - 4 x + 7

y_{0} = ?

3

y = (x + 3)^{2} - 2

наименьшее значение

- 2

y = - 2 x^{2} + 8 x - 1

x_{0} = ?

2

y = x^{2} + 2 x + c

проходит через

(0; 5)

c = 5

y = 3 x^{2}

множество значений

[0; + \infty)

R01.11

Свойство · вершина параболы

Значение в вершине — наименьшее или наибольшее

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

a > 0

: наименьшее

y_{0}

,

E = [y_{0}; + \infty)

a < 0

: наибольшее

y_{0}

,

E = (- \infty; y_{0}]

3 мин · теория
Почему: при a > 0 слагаемое a(x − x₀)² ≥ 0 и равно 0 только при x = x₀, значит, y ≥ y₀ — это наименьшее значение; наибольшего нет (ветви уходят вверх). При a < 0 наоборот.
Множество значений E(y) и промежутки монотонности читаются по вершине: при a > 0 функция убывает на (−∞; x₀] и возрастает на [x₀; +∞).
y₀ удобно считать подстановкой x₀ в формулу; формула y₀ = −D/(4a) — проверка.
Вопрос классу: есть ли у y = x² − 2x наибольшее значение? (Нет: a > 0, значения сколь угодно большие.)

R01.11

Схема · значения на отрезке

На отрезке $[p; q]$ сравните вершину и концы

Вершина на отрезке — кандидаты

y (x_{0})

,

y (p)

,

y (q)

; вершина вне отрезка — функция монотонна, ответы на концах

2 мин · теория
Схема для a > 0. Если x₀ ∈ [p; q], наименьшее значение — y(x₀), наибольшее — на том конце, который дальше от x₀ (парабола симметрична относительно x = x₀).
Если x₀ < p, на отрезке функция возрастает: min = y(p), max = y(q). Если x₀ > q — убывает: min = y(q), max = y(p).
Для a < 0 картинка переворачивается: в вершине — наибольшее значение.
Надёжный способ без запоминания: вычислить значения во всех кандидатах (концы и вершина, если она на отрезке) и выбрать.

R01.11

Образец → сам · значение в вершине

Найдите наименьшее или наибольшее значение

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ : наименьшее значение и $E (y)$

$a = 2 > 0$ ветви вверх — есть наименьшее

$x_{0} = \frac{8}{4} = 2$ $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

$y_{0} = 8 - 16 + 5 = - 3$ подстановка

$y_{m i n} = - 3, E = [- 3; + \infty)$ ответ

Сам

базаНаименьшее значение $y = x^{2} + 6 x + 2$ $- 7$
базаНаибольшее значение $y = - 3 x^{2} + 12 x - 5$ $7$
повыш.Множество значений $y = 5 - 4 x - 2 x^{2}$ $(- \infty; 7]$

R01.11

Образец → сам · значения на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 5]$

$x_{0} = 2 \in [0; 5]$ вершина на отрезке

$y (2) = - 3$ $a > 0$ — это минимум

$y (0) = 1, y (5) = 6$ значения на концах

$y_{m i n} = - 3, y_{m a x} = 6$ выбираем

Сам

база $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[- 2; 2]$ $min = - 4, max = 5$
база $y = - x^{2} + 6 x$ на $[0; 2]$ $min = 0, max = 8$
повыш.Наибольшее значение $y = x^{2} - 6 x + 4$ на $[1; 4]$ $- 1$

R01.11

Алгоритм · задача на оптимизацию

Наибольшая площадь прямоугольника с периметром $40$

Обозначить $x$ , указать границы
Выразить величину функцией $f (x)$
Найти вершину $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
Проверить, что $x_{0}$ подходит
Ответить на вопрос задачи

$S = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x$ $0 < x < 20$

$x_{0} = 10, S = 100$ квадрат $10 \times 10$

R01.11

Образец → сам · текстовая задача

Найдите наибольшее или наименьшее

Образец

Участок у стены огородили с трёх сторон забором $60$ м. Наибольшая площадь?

$x$ — боковая сторона, $0 < x < 30$ границы

$S = x (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 60 x$ модель

$x_{0} = 15, S = 15 \cdot 30 = 450$ вершина

$450 м^{2}$ ответ

Сам

базаСумма двух чисел $14$ . Наибольшее произведение? $49$
база $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $20$ м при $t = 2$ с
повыш.Разность двух чисел $8$ . Наименьшее произведение? $- 16$ ( $4$ и $- 4$ )

R01.11 · ПР-14

Графический метод · число корней

Сколько корней у уравнения $- x^{2} + 2 x + 3 = a$ ?

Корни

f (x) = a

— абсциссы общих точек параболы

y = f (x)

и прямой

y = a

Вершина $(1; 4)$ , ветви вниз

a < 4

— два,

a = 4

— один,

a > 4

— нет корней

R01.11 · ПР-14

Образец → сам · число корней

Исследуйте уравнение с помощью вершины

Образец

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 3 = a$ ?

Вершина $(2; - 1)$ , ветви вверх $y (2) = - 1$

$a > - 1$ : два корня прямая выше вершины

$a = - 1$ : один; $a < - 1$ : нет касание / ниже

Сам: при каких значениях параметра…

база… $x^{2} + 2 x - 3 = a$ имеет один корень? $a = - 4$
база…парабола $y = x^{2} - 6 x + c$ лежит выше оси $O x$ ? $c > 9$
повыш.… $- x^{2} + 2 x + 8 = a$ имеет два корня? $a < 9$

R01.11 · ПР-7

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…наименьшее значение $y = x^{2} - 2 a x + 3 a$ равно $2$ ?

$x_{0} = \frac{2 a}{2} = a$ $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1}$

$y_{0} = a^{2} - 2 a^{2} + 3 a = 3 a - a^{2}$ подстановка

$3 a - a^{2} = 2, a = 1$ или $a = 2$ ответ

Сам

база…вершина параболы $y = x^{2} - 4 x + c$ лежит на оси $O x$ ? $c = 4$
база…наибольшее значение $y = - x^{2} + 4 x + c$ равно $7$ ? $c = 3$
повыш.…вершина параболы $y = x^{2} + b x + 5$ лежит на прямой $y = 1$ ? $b = \pm 4$

R01.11

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Взяли $x_{0}$ вместо $y_{0}$

Наименьшее значение $x^{2} + 6 x + 5$ равно $- 3$

$y (- 3) = 9 - 18 + 5 = - 4$

$- 3$ — это где, а не сколько

На отрезке — «всегда вершина»

$x^{2} - 4 x$ на $[3; 5]$ : $min = - 4$

$x_{0} = 2 \in / [3; 5]$ , $min = y (3) = - 3$

вершина вне отрезка — смотрим концы

Ветви вниз — «наименьшее»

$- x^{2} + 2 x + 3$ : наименьшее значение $4$

$4$ — наибольшее; наименьшего нет

при $a < 0$ в вершине максимум

R01.11

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Периметр прямоугольника $24$ . Наибольшая площадь?

$S = x (24 - x) = - x^{2} + 24 x$

$x_{0} = 12, S = 144$

Ошибка: вторая сторона $12 - x$ (полупериметр)

$S = x (12 - x)$ , $x_{0} = 6$ , $S = 36$

Задача 2. Найдите $E (y)$ , $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

$x_{0} = - \frac{8}{4} = - 2$

$y (- 2) = - 27$ , $E = [- 27; + \infty)$

Ошибки: $x_{0} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 2 )} = 2$ ; при $a < 0$ — $(- \infty; y_{0}]$

$y (2) = 5$ , $E = (- \infty; 5]$

R01.11

Задания с самопроверкой · база

Значения квадратичной функции

Наименьшее значение $y = x^{2} - 10 x + 21$ $- 4$
Наибольшее значение $y = - x^{2} - 2 x + 8$ $9$
$E (y)$ , $y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ $[- 2; + \infty)$

Промежуток убывания $y = x^{2} + 8 x$ $(- \infty; - 4]$
Наибольшее значение $y = x^{2} - 2 x$ на $[- 1; 2]$ $3$
Сумма двух чисел $10$ . Наибольшее произведение? $25$

R01.11 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отрезок, параметр, оптимизация

повыш.Наименьшее значение $y = x^{2} + 4 x - 1$ на $[0; 3]$ $- 1$
повыш.При каком $c$ наибольшее значение $y = - 2 x^{2} + 4 x + c$ равно $5$ ? $3$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{2} - 6 x + 5 = a$ имеет два корня? $a > - 4$
повыш.При каких $p$ парабола $y = x^{2} + p x + 9$ касается оси $O x$ ? $\pm 6$
повыш.Сумма катетов прямоугольного треугольника $12$ . Наименьшая гипотенуза? $62$

R01.11 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

$x \geq 0$ : $y = (x - 2)^{2} - 1$ вершина $(2; - 1)$

$x < 0$ : $y = (x + 2)^{2} - 1$ чётная функция

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки? $m = 3$
…ровно две общие точки? $m = - 1$ или $m > 3$

3 мин · практика
Построение: при x ≥ 0 |x| = x, y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1; график симметричен относительно Oy, так как y(−x) = y(x). Контрольные точки: (0; 3), (±1; 0), (±3; 0), (±2; −1), (±4; 3).
1) y = 3 проходит через (0; 3) и (±4; 3) — три точки. 2) Две точки: m = −1 (две вершины) или m > 3 (по одной на каждой внешней ветви). При −1 < m < 3 — четыре точки, при m < −1 — ни одной.
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: верный график с контрольными точками и ответ. Типичная потеря — график только правой части или забытая точка m = −1.

R01.11 · ПР-16

Задача из жизни

Лимонад: $120$ стаканов в день по $50$ руб.

Каждые

+ 5

руб. к цене — на

6

стаканов меньше.

k

— число повышений.

практикаВыразите выручку $R (k)$ $(50 + 5 k) (120 - 6 k)$
практикаПри какой цене выручка наибольшая? $75$ руб.
повыш.Какова наибольшая выручка? $6750$ руб.

R01.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаНаименьшее значение $y = x^{2} - 8 x + 10$ $- 6$
база $E (y)$ , $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $(- \infty; 5]$
база $min$ и $max$ $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[0; 3]$ $- 4; 0$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{2} + 4 x + 1 = a$ имеет один корень? $a = - 3$

Вариант 2

базаНаибольшее значение $y = - x^{2} - 4 x + 3$ $7$
база $E (y)$ , $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ $[3; + \infty)$
база $min$ и $max$ $y = x^{2} + 4 x$ на $[- 3; 1]$ $- 4; 5$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + c$ равно $1$ ? $c = 10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда в вершине наибольшее значение, а когда — наименьшее?
Где искать наибольшее значение на отрезке?
Как по вершине узнать число корней $f (x) = a$ ?

Домашнее задание

$min$ и $max$ $y = - x^{2} + 4 x + 1$ на $[- 1; 3]$
Участок с перегородкой, забор $120$ м: наибольшая площадь?
При каких $a$ у $x^{2} - 2∣ x ∣ = a$ ровно два корня?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-011 · Использование свойств квадратичной функции для решения задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 11/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.11 «Использование свойств квадратичной функции для решения задач» → 2, 4–20 · опора R01.8–R01.10 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-22 (свойства квадратичной функции в задачах) → 2–20 · ПР-21 (график и свойства) → 4, 5, 17 · ПР-14 (исследование уравнений графически) → 10, 11, 16, 17, 19 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, модели) → 8, 9, 18 · ПР-7 (параметр) → 12, 16, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	степенные функции — ALG9U-012; квадратные неравенства по графику — строка R02
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства квадратичной функции в задачах

Сегодня вы научитесь

Находить наибольшее и наименьшее

Решать задачи на оптимизацию

Считать корни по графику

Рассуждать с параметром

Вершина и ветви параболы

Значение в вершине — наименьшее или наибольшее

На отрезке [p; q] сравните вершину и концы

Найдите наименьшее или наибольшее значение

Образец

Сам

Найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Образец

Сам

Наибольшая площадь прямоугольника с периметром 40

Найдите наибольшее или наименьшее

Образец

Сам

Сколько корней у уравнения −x2+2x+3=a?

Исследуйте уравнение с помощью вершины

Образец

Сам: при каких значениях параметра…

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Взяли x0​ вместо y0​

На отрезке — «всегда вершина»

Ветви вниз — «наименьшее»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Периметр прямоугольника 24. Наибольшая площадь?

Задача 2. Найдите E(y), y=−2x2+8x−3

Значения квадратичной функции

Отрезок, параметр, оптимизация

Постройте график y=x2−4∣x∣+3

Лимонад: 120 стаканов в день по 50 руб.

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-011 · Использование свойств квадратичной функции для решения задач

На отрезке $[p; q]$ сравните вершину и концы

Наибольшая площадь прямоугольника с периметром $40$

Сколько корней у уравнения $- x^{2} + 2 x + 3 = a$ ?

Взяли $x_{0}$ вместо $y_{0}$

Задача 1. Периметр прямоугольника $24$ . Наибольшая площадь?

Задача 2. Найдите $E (y)$ , $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

Лимонад: $120$ стаканов в день по $50$ руб.