Функции · урок 10 из 25

Положение графика
квадратичной функции
и её коэффициенты

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 10/25, единица R01.10 «Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-009 — построение графика квадратичной функции (вершина, ось, нули, таблица); следующий ALG9U-011 — использование свойств квадратичной функции для решения задач.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (коэффициент a) 2 · 5 (коэффициент c) 1 · 7 (коэффициент b) 2 · 9 (дискриминант и ось Ox) 2 · 11 (сводная таблица) 1,5 · 13 (расположение корней) 1,5 · 15 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 14) по 2,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ 11 (сл. 19) 1,5 · ОГЭ 22 (сл. 20) 2 · задача из жизни (сл. 21) 1,5 · самостоятельная (сл. 22) 5 · итог (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и задача 2 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Читать формулу

по $a$ , $b$ , $c$ — куда ветви, где точка на $O y$ , где вершина (ПР-20)

Читать график

по рисунку — знаки $a$ , $b$ , $c$ , $D$ и значений $f (\pm 1)$ (ПР-20, ПР-21)

Положение относительно $O x$

выше, ниже, касается, пересекает — по $a$ и $D$ (ПР-20)

Рассуждать с параметром

где лежат вершина и корни (ПР-7, ПР-14)

1 мин · теория
ПР-20 (ФРП дословно): «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром». ПР-14: «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений».
Вид деятельности ФРП по строке: «Выявлять и обобщать особенности графика квадратичной функции y = ax² + bx + c» — это и есть тема урока.

разминка · R01.8, R01.9

Разминка · устно

Вершина, значения, корни

y = x^{2} - 4 x + 1

абсцисса вершины

2

y = 2 x^{2} - 3 x + 5

y (0) = ?

5

x^{2} + 2 x + 5

найдите

D

- 16

y = - 3 x^{2} + x

ветви вверх или вниз?

вниз

y = (x + 1)^{2} - 4

вершина

(- 1; - 4)

y = 2 x^{2} - 5 x + 1

y (1) = ?

- 2

x^{2} - 6 x + 9 = 0

корни

3

y = x^{2} + 1

общие точки с

O x

?

нет

R01.10

Теория · коэффициент a

Знак $a$ — направление ветвей, $∣ a ∣$ — «ширина»

$y = 2 x^{2}$

$y = x^{2}$

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

$y = - x^{2}$

a > 0

— ветви вверх,

a < 0

— вниз

∣ a ∣

больше — парабола круче (уже)

2 мин · теория
Графики точные (масштаб 1 клетка = 1). y = 2x² — растяжение y = x² от оси Ox в 2 раза, y = ½x² — сжатие в 2 раза, y = −x² — симметрия относительно Ox.
Почему это верно для любой y = ax² + bx + c: выделим полный квадрат, y = a(x − x₀)² + y₀. График — та же парабола y = ax², сдвинутая так, что вершина в (x₀; y₀). Сдвиг не меняет ни направления ветвей, ни «ширины» — их задаёт только a.
Вопрос классу: какая из парабол y = −3x² + 7x и y = 0,2x² − 9 круче? (первая: |−3| > |0,2|; ветви вниз.)

R01.10

Теория · коэффициент c

$c$ — ордината точки пересечения с осью $O y$

y (0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c

$y = x^{2} - 2 x + 3$

$y = x^{2} - 2 x$

$y = x^{2} - 2 x - 3$

c > 0

— выше начала координат,

c = 0

— через

O

,

c < 0

— ниже

R01.10

Образец → сам · ветви и ось Oy

Опишите положение параболы по формуле

Образец

$y = - 2 x^{2} + 3 x - 5$

$a = - 2 < 0$ : ветви вниз знак $a$

круче, чем $y = - x^{2}$ $∣ a ∣ = 2 > 1$

точка на $O y$ : $(0; - 5)$ $y (0) = c$

Сам

база $y = 0, 5 x^{2} - 4 x + 7$ : ветви и точка на $O y$ вверх; $(0; 7)$
базаВетви $y = a x^{2} + b x + c$ вниз, график проходит через $(0; - 2)$ . Что известно об $a$ и $c$ ? $a < 0, c = - 2$
повыш. $y = a x^{2} + 3 x + c$ проходит через $O (0; 0)$ и $(1; 5)$ . Найдите $a$ и $c$ . $a = 2, c = 0$

R01.10

Теория · коэффициент b

$b$ вместе с $a$ задаёт, где вершина

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

$y = x^{2} + 2 x - 1$ : $a, b$ одного знака → $x_{0} < 0$

$y = x^{2} - 4 x + 2$ : знаки разные → $x_{0} > 0$

b = 0

— вершина на оси

O y

b > 0

— в точке

(0; c)

график идёт вверх,

b < 0

— вниз

2 мин · теория
Вывод: x₀ = −b/(2a) < 0 ⇔ b/a > 0 ⇔ a и b одного знака. Розовая: a = 1, b = 2 → x₀ = −1; бирюзовая: a = 1, b = −4 → x₀ = 2.
Второе правило (по клику) — пунктирные отрезки в точках (0; c). Обоснование: при a > 0 и b > 0 вершина левее Oy, точка x = 0 на возрастающей ветви; при a < 0 и b > 0 вершина правее Oy, x = 0 тоже на возрастающей (левой) ветви. Значит, знак b = «вверх или вниз идёт график, проходя ось Oy» — удобно читать b по рисунку.
Вопрос классу: у y = −x² + 6x + 1 вершина левее или правее Oy? (x₀ = 3 — правее; знаки a и b разные.)

R01.10

Образец → сам · знаки по графику

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$

Образец

ветви вниз → $a < 0$

$O y$ выше $O$ → $c > 0$

$x_{0} > 0, a < 0$ → $b > 0$

проверка: в $(0; c)$ идёт вверх

Сам

1

a > 0, b > 0,

c > 0

2

a > 0, b < 0,

c < 0

3

a < 0, b < 0,

c < 0

R01.10 · опора R01.5

Теория · дискриминант и ось Ox

Общие точки с $O x$ — корни $a x^{2} + b x + c = 0$

D = b^{2} - 4 a c

число общих точек с

O x

= число корней

D < 0, a > 0

: график выше

O x

;

a < 0

— ниже

R01.10 · ПР-7

Образец → сам · положение относительно Ox

При каких значениях параметра…

Образец

…парабола $y = x^{2} - 4 x + c$ лежит выше оси $O x$ ?

$a = 1 > 0$ ветви вверх

$D < 0$ нет общих точек с $O x$

$D_{1} = 4 - c < 0$ $k = - 2$

$c > 4$ ответ

Сам

база… $y = - x^{2} + 2 x + c$ ниже оси $O x$ ? $c < - 1$
база… $y = 2 x^{2} + b x + 8$ касается $O x$ ? $b = \pm 8$
повыш.…парабола $y = k x^{2} - 6 x + k$ лежит ниже оси $O x$ ? $k < - 3$

R01.10

Сводка · коэффициенты и график

Что видно на графике $y = a x^{2} + b x + c$

Число	Что задаёт	Как увидеть на рисунке
$a$	направление ветвей, «ширину»	$a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз
$c$	точку $(0; c)$	пересечение с осью $O y$
$b$ (с $a$ )	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	вершина левее / правее $O y$ ; ход в точке $(0; c)$
$D$	число нулей функции	общие точки с осью $O x$ : 2, 1, 0
$a + b + c$ , $a - b + c$	$y (1)$ и $y (- 1)$	точки графика при $x = 1$ и $x = - 1$

R01.10 · ПР-21

Образец → сам · чтение графика

Знаки и значения по рисунку

Образец

$a < 0$ , $c = 3 > 0$

$x_{0} = 1 > 0$ → $b > 0$

2 нуля → $D > 0$

$a + b + c = y (1) = 4$

$a - b + c = y (- 1) = 0$

Сам

базаЗнаки $a$ , $b$ , $c$ все $> 0$
базаЗнаки $D$ и $a - b + c$ $D > 0$ ; $0$
повыш.Найдите $a$ , $b$ , $c$ $1, 4, 3$

R01.10 · ПР-14

Теория · расположение корней

Где корни — видно по трём условиям

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a > 0$ . Два различных положительных корня ⇔

D > 0, x_{0} > 0, f (0) > 0

оба отрицательны:

D > 0, x_{0} < 0, f (0) > 0

разных знаков: достаточно

a \cdot f (0) < 0

1,5 мин · теория
Чертёж: f(x) = x² − 5x + 4, корни 1 и 4, x₀ = 2,5, f(0) = 4. По клику: D > 0 (две точки на Ox), x₀ > 0 (вершина правее Oy), f(0) > 0 (график пересекает Oy выше O).
Почему трёх условий достаточно: D > 0 — два корня; f(0) > 0 при a > 0 — число 0 вне отрезка между корнями (между корнями f < 0); x₀ > 0 — отрезок между корнями правее нуля. Без x₀ ловушка: x² + 5x + 4 тоже имеет D > 0 и f(0) > 0, но корни −1 и −4.
Разных знаков: при a > 0 f(0) < 0 — точка (0; f(0)) ниже оси, значит, ноль между корнями. Для a < 0 всё отражается — общее условие a·f(0) < 0. Через Виета: c/a < 0 — то же самое.

R01.10 · ПР-7 · ПР-14

Образец → сам · параметр

Расположение корней и вершины

Образец

При каких $m$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 2 m x + m + 2$ имеет два различных положительных корня?

$D_{1} = m^{2} - m - 2 > 0$ : $m < - 1$ или $m > 2$

$x_{0} = m > 0$

$f (0) = m + 2 > 0$ : $m > - 2$

$m > 2$ пересечение

Сам

базаПри каких $c$ трёхчлен $x^{2} - 6 x + c$ имеет корни разных знаков? $c < 0$
повыш.При каких $m$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 m x + 3 m + 4$ лежит в I четверти? $0 < m < 4$
повыш.При каких $a$ трёхчлен $x^{2} + 2 (a + 1) x + 9$ имеет два различных отрицательных корня? $a > 2$

2,5 мин · практика
Образец: D₁ = m² − (m + 2) = (m − 2)(m + 1). Границы: m = 2 — x² − 4x + 4 = (x − 2)², один корень, не подходит (нужны различные); m = −1 — один корень −1. Пересечение {m < −1 или m > 2} ∩ {m > 0} ∩ {m > −2} = (2; +∞). Пример m = 3: x² − 6x + 5, корни 1 и 5 ✓.
1) a = 1 > 0, условие f(0) = c < 0. Граница c = 0: корни 0 и 6 — ноль не положителен и не отрицателен, не подходит.
2) Вершина: x₀ = m, y₀ = f(m) = −m² + 3m + 4 = −(m − 4)(m + 1). I четверть: m > 0 и y₀ > 0 ⇔ −1 < m < 4. Ответ: 0 < m < 4 (при m = 0 и m = 4 вершина на оси).
3) D₁ = (a + 1)² − 9 > 0 ⇔ a > 2 или a < −4; x₀ = −(a + 1) < 0 ⇔ a > −1; f(0) = 9 > 0 всегда. Ответ a > 2. Граница a = 2: (x + 3)², один корень. Проверено sympy.

R01.10

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки чтения коэффициентов

$c$ — это не вершина

$y = x^{2} - 4 x + 3$ : «вершина на высоте $3$ »

$(0; 3)$ — точка на $O y$ ; вершина $(2; - 1)$

$c = y (0)$ , а $y_{0} = y (x_{0})$

Знак $b$ без $a$

Ветви вниз, вершина правее $O y$ : « $x_{0} > 0$ , значит, $b < 0$ »

$- \frac{b}{2 a} > 0, a < 0 \Rightarrow b > 0$

правее $O y$ ⇔ знаки $a$ и $b$ разные

$D < 0$ — ещё не «выше»

$y = - x^{2} + x - 1$ : $D = - 3 < 0$ , «график выше $O x$ »

$a = - 1 < 0$ — весь график ниже $O x$

сторону задаёт знак $a$

R01.10

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Ветви вверх, вершина левее $O y$ , график пересекает $O y$ ниже $O$ . Знаки?

$a > 0, c < 0$

вершина левее $O y$ ⇒ $b < 0$

Ошибка: $- \frac{b}{2 a} < 0, a > 0 \Rightarrow b > 0$

2. При каких $c$ парабола $y = x^{2} + 6 x + c$ не имеет общих точек с $O x$ ?

$D = 36 - 4 c < 0$

$- 4 c < - 36$ , $c < 9$

Ошибка: деление на $- 4$ меняет знак

$c > 9$

R01.10

Задания с самопроверкой · база

Ответьте по формуле, не строя график

$y = 3 - 2 x^{2} + x$ : куда ветви? вниз
$y = 4 x^{2} - x - 7$ : точка на $O y$ $(0; - 7)$
$y = 2 x^{2} - 12 x + 1$ : абсцисса вершины $3$

$y = x^{2} - 6 x + 9$ : общих точек с $O x$ $1$
$y = - x^{2} + 4 x - 5$ : общих точек с $O x$ $0$
$y = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ : вершина левее или правее $O y$ ? левее

R01.10 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Коэффициенты, вершина и параметр

повыш. $a < 0, b < 0, c > 0$ . В какой четверти вершина параболы? во II
повыш. $y = x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; - 3)$ и $(2; 5)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = 2, c = - 3$
повыш.При каком $m$ вершина параболы $y = x^{2} - 4 x + m$ лежит на оси $O x$ ? $m = 4$
повыш.Парабола $y = x^{2} + p x + q$ касается оси $O x$ в точке $x = 3$ . Найдите $p$ и $q$ . $p = - 6, q = 9$
повыш.При каких $a$ парабола $y = a x^{2} - 4 x + a - 3$ лежит выше оси $O x$ ? $a > 4$

R01.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

Установите соответствие: график — знаки $a$ и $c$

А

Б

В

1)

a > 0, c > 0

2)

a < 0, c > 0

3)

a > 0, c < 0

4)

a < 0, c < 0

А2 · Б3 · В4

R01.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Коэффициенты по точкам и число общих точек

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $A (0; 3)$ , $B (1; 0)$ , $C (3; 0)$ . Найдите $a$ , $b$ , $c$ и вершину. $y = x^{2} - 4 x + 3$ ; $(2; - 1)$
Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки? $m = 3$

R01.10 · R01.11

Задача из жизни

Арка моста — парабола $y = a x^{2} + c$ : пролёт $40$ м, высота $8$ м

практикаНайдите $c$ и $a$ . $c = 8, a = - 0, 02$
практикаВысота арки в $5$ м от опоры? $3, 5$ м
повыш.На каком участке пролёта высота не меньше $6$ м? $20$ м

R01.10

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $y = - 3 x^{2} + 5 x + 2$ : ветви; точка на $O y$ вниз; $(0; 2)$
база $y = 2 x^{2} + 8 x - 1$ : $x_{0}$ ; левее или правее $O y$ ? $- 2$ ; левее
базаОбщих точек с $O x$ у $y = x^{2} - 2 x + 5$ $0$
повыш.При каких $c$ парабола $y = x^{2} + 8 x + c$ лежит выше $O x$ ? $c > 16$

Вариант 2

база $y = 4 x^{2} - x - 3$ : ветви; точка на $O y$ вверх; $(0; - 3)$
база $y = - x^{2} + 6 x + 4$ : $x_{0}$ ; левее или правее $O y$ ? $3$ ; правее
базаОбщих точек с $O x$ у $y = 4 x^{2} - 4 x + 1$ $1$
повыш.При каких $c$ парабола $y = - x^{2} + 10 x + c$ лежит ниже $O x$ ? $c < - 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что показывают знак $a$ и число $c$ ?
Как по графику узнать знак $b$ ?
Когда парабола целиком ниже $O x$ ?

Домашнее задание

Парабола проходит через $(0; 4)$ , $(1; 3)$ , $(- 1; 9)$ . Найдите $a$ , $b$ , $c$ .
При каких $m$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 5$ имеет два различных положительных корня?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: a — направление ветвей и «ширина», c — точка (0; c); b — по ходу графика в точке (0; c) или по стороне вершины вместе со знаком a; ниже Ox — при a < 0 и D < 0.
Ответы ДЗ: 1) c = 4; a + b = −1, a − b = 5 ⇒ a = 2, b = −3: y = 2x² − 3x + 4. 2) D₁ = (m − 1)² − (m + 5) = m² − 3m − 4 > 0 ⇔ m < −1 или m > 4; x₀ = m − 1 > 0; f(0) = m + 5 > 0. Ответ m > 4 (m = 4: (x − 3)², один корень). Проверено sympy.
Следующий урок ALG9U-011 — использование свойств квадратичной функции для решения задач (наибольшее и наименьшее значения, задачи на оптимизацию).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-010 · Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 10/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.10 «Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов» → 2, 4–23 · опора R01.8, R01.9 → 3 · R01.5 → 9 · применение R01.11 → 21 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12, 14, 16–23)
Результаты	ПР-20 (положение графика по коэффициентам) → 2–23 · ПР-21 (свойства по графику) → 8, 12, 19, 20 · ПР-7 (квадратные уравнения с параметром) → 10, 14, 18, 22 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 13, 14, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	наибольшее и наименьшее значения в задачах — ALG9U-011; степенные функции — ALG9U-012; практикум по теме — ALG9U-023
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Положение графикаквадратичной функциии её коэффициенты

Сегодня вы научитесь

Читать формулу

Читать график

Положение относительно Ox

Рассуждать с параметром

Вершина, значения, корни

Знак a — направление ветвей, ∣a∣ — «ширина»

c — ордината точки пересечения с осью Oy

Опишите положение параболы по формуле

Образец

Сам

b вместе с a задаёт, где вершина

Определите знаки a, b, c

Образец

Сам

Общие точки с Ox — корни ax2+bx+c=0

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Что видно на графике y=ax2+bx+c

Знаки и значения по рисунку

Образец

Сам

Где корни — видно по трём условиям

Расположение корней и вершины

Образец

Сам

Три ошибки чтения коэффициентов

c — это не вершина

Знак b без a

D<0 — ещё не «выше»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Ветви вверх, вершина левее Oy, график пересекает Oy ниже O. Знаки?

2. При каких c парабола y=x2+6x+c не имеет общих точек с Ox?

Ответьте по формуле, не строя график

Коэффициенты, вершина и параметр

Установите соответствие: график — знаки a и c

Коэффициенты по точкам и число общих точек

Арка моста — парабола y=ax2+c: пролёт 40 м, высота 8 м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-010 · Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов

Положение графика
квадратичной функции
и её коэффициенты

Положение относительно $O x$

Знак $a$ — направление ветвей, $∣ a ∣$ — «ширина»

$c$ — ордината точки пересечения с осью $O y$

$b$ вместе с $a$ задаёт, где вершина

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$

Общие точки с $O x$ — корни $a x^{2} + b x + c = 0$

Что видно на графике $y = a x^{2} + b x + c$

$c$ — это не вершина

Знак $b$ без $a$

$D < 0$ — ещё не «выше»

1. Ветви вверх, вершина левее $O y$ , график пересекает $O y$ ниже $O$ . Знаки?

2. При каких $c$ парабола $y = x^{2} + 6 x + c$ не имеет общих точек с $O x$ ?

Установите соответствие: график — знаки $a$ и $c$

Арка моста — парабола $y = a x^{2} + c$ : пролёт $40$ м, высота $8$ м