Функции · урок 9 из 25

Построение графика квадратичной функции

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 9/25, единица R01.9 «Построение графика квадратичной функции». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-008 — вершина параболы и ось симметрии; следующий ALG9U-010 — положение графика в зависимости от коэффициентов.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (алгоритм) 2,5 · 5 (демонстрация построения) 2,5 · 7 (шаблон от вершины) 1,5 · 9 (свойства по графику) 2 · 12 (график y = f(|x|)) 2 · 14 (типичные ошибки) 1.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11, 13) 2,5 × 5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2,5 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Каждому ученику — лист в клетку; графики строим в тетради, единичный отрезок — 1 клетка (на сл. 19 — свой масштаб).
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить параболу по алгоритму

ветви, вершина, ось, точки на осях, симметричные точки (ПР-21)

Строить по шаблону от вершины

выделить квадрат: $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ (ПР-23)

Читать свойства по графику

$E (y)$ , монотонность, знаки, наибольшее и наименьшее (ПР-21, ПР-18)

Решать задачи ОГЭ, линия 22

графики с модулем и прямая $y = m$ (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-21 (ФРП дословно): «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-23: «На примере квадратичной функции строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y = f(x)». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Вид деятельности ФРП: «Строить графики квадратичных функций, заданных формулами вида y = ax², y = ax² + q, y = (x + b)² + с, y = ax² + bx + c».

разминка · R01.7–R01.8

Разминка · устно

Вершина, ветви, нули

y = x^{2} - 4 x + 3

x_{0} = ?

2

y = x^{2} - 4 x + 3

y (2) = ?

- 1

y = (x - 3)^{2} + 1

вершина

(3; 1)

y = - 2 (x + 1)^{2} + 4

куда ветви?

вниз

y = 2 x^{2} - 3 x + 5

точка на оси

O y

(0; 5)

x^{2} - 5 x + 6 = 0

корни

2; 3

(0; 3)

, ось

x = 2

симметричная точка

(4; 3)

y = x^{2} + 2 x + 5

есть ли нули?

нет,

D < 0

R01.9

Новое · алгоритм построения

График $y = a x^{2} + b x + c$ за шесть шагов

1Ветви

$a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз

2Вершина

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$

3Ось симметрии

прямая $x = x_{0}$

4Точки на осях

$(0; c)$ ; нули — корни $a x^{2} + b x + c = 0$

5Симметричные точки

$(0; c) \to (2 x_{0}; c)$ , ещё 1–2 пары

6Плавная линия

через все точки, в вершине — без «острия»

R01.9

Новое · построение по алгоритму

Строим вместе

R01.9

Образец → сам · по алгоритму

Постройте график и назовите вершину и нули

Образец

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

$a = - 1 < 0$ ветви вниз

$x_{0} = 1, y_{0} = 4$ $- \frac{2}{- 2}$ ; $- 1 + 2 + 3$

нули $- 1; 3$ $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$(0; 3)$ и $(2; 3)$ симметрия

Сам

база $y = x^{2} + 2 x - 3$ $(- 1; - 4)$ ; нули $- 3; 1$
база $y = - x^{2} + 4 x$ $(2; 4)$ ; нули $0; 4$
повыш. $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ $(1; - 8)$ ; нули $- 1; 3$

2,5 мин · практика
Образец — 40 секунд (учитель открывает шаги и график), затем ученики строят в тетради 1–2, сильные — 3.
Образец: x₀ = −2/(2·(−1)) = 1, y₀ = −1 + 2 + 3 = 4; −x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x² − 2x − 3 = 0: −1 и 3; (0; 3) ↔ (2; 3). Множество значений (−∞; 4].
1) x₀ = −1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4; нули −3 и 1; (0; −3) ↔ (−2; −3). 2) x₀ = 2, y₀ = −4 + 8 = 4; нули 0 и 4 (вынести x). 3) x₀ = 1, y₀ = 2 − 4 − 6 = −8; 2x² − 4x − 6 = 2(x + 1)(x − 3): нули −1 и 3; (0; −6) ↔ (2; −6).
Ошибка в 3): «y₀ = 1 − 4 − 6» — забыли коэффициент 2 при x².

R01.9 · опора R01.3

Новое · шаблон от вершины

От вершины: шаг вправо на 1 — подъём на $a$ , $3 a$ , $5 a$

от вершины по $x$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$
$y = x^{2}$ фиолетовая	$+ 1$	$+ 4$	$+ 9$
$y = 2 x^{2}$ розовая	$+ 2$	$+ 8$	$+ 18$
$y = a x^{2}$	$+ a$	$+ 4 a$	$+ 9 a$

a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

— тот же шаблон от вершины

R01.9 · ПР-23

Образец → сам · полный квадрат и шаблон

Приведите к виду $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

$= 2 (x^{2} - 4 x) + 5$ вынесли $a$

$= 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5$ полный квадрат

$= 2 (x - 2)^{2} - 3$ вершина $(2; - 3)$

$\pm 1$ : $+ 2$ ; $\pm 2$ : $+ 8$ шаблон $a = 2$

Сам

база $y = x^{2} - 6 x + 7$ $(x - 3)^{2} - 2$
база $y = - 2 x^{2} - 4 x + 1$ $- 2 (x + 1)^{2} + 3$
повыш. $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1$ $\frac{1}{2} (x + 2)^{2} - 3$

2,5 мин · практика
Образец: точки по шаблону (1; −1), (3; −1), (0; 5), (4; 5). Проверка: y(0) = 5 = c ✓, y(1) = 2 − 8 + 5 = −1 ✓.
1) x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2; вершина (3; −2), шаблон 1, 4. 2) −2(x² + 2x) + 1 = −2((x + 1)² − 1) + 1 = −2(x + 1)² + 3; вершина (−1; 3), от вершины ±1 — вниз на 2, ±2 — вниз на 8. 3) ½(x² + 4x) − 1 = ½((x + 2)² − 4) − 1 = ½(x + 2)² − 3; вершина (−2; −3), ±2 — вверх на 2.
Проверка раскрытием скобок: −2(x + 1)² + 3 = −2x² − 4x − 2 + 3 ✓; ½(x + 2)² − 3 = ½x² + 2x + 2 − 3 ✓.
Ошибка: в 2) после вынесения −2 забывают умножить «−1» на −2 (получают −2(x + 1)² − 1 + 1).

R01.9 · R01.7

Новое · свойства по графику

Всё о функции видно из вершины и направления ветвей

Свойство	$a > 0$ (ветви вверх)	$a < 0$ (ветви вниз)
значения $E (y)$	$[y_{0}; + \infty)$	$(- \infty; y_{0}]$
убывает	на $(- \infty; x_{0}]$	на $[x_{0}; + \infty)$
возрастает	на $[x_{0}; + \infty)$	на $(- \infty; x_{0}]$
в вершине	наименьшее значение $y_{0}$	наибольшее значение $y_{0}$
знаки при $D > 0$	$y < 0$ между нулями	$y > 0$ между нулями

R01.9 · ПР-18

Образец → сам · свойства

Опишите свойства функции по её графику

Образец

$y = x^{2} - 2 x - 3$

вершина $(1; - 4)$ , нули $- 1; 3$

$E (y) = [- 4; + \infty)$ $a > 0$

убывает на $(- \infty; 1]$

возрастает на $[1; + \infty)$

$y < 0$ при $x \in (- 1; 3)$

$y_{наим} = - 4$ при $x = 1$

Сам: $y = - x^{2} - 2 x + 8$

база $E (y)$ $(- \infty; 9]$
базапромежуток возрастания $(- \infty; - 1]$
базагде $y > 0$ ? $(- 4; 2)$
повыш. $y = x^{2} + 4 x + 5$ : где $y < 0$ ? нигде: $E (y) = [1; + \infty)$

2,5 мин · практика
Образец: нули −1 и 3 (Виета), вершина x₀ = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Фиолетовая область — где график ниже оси Ox.
Сам: −x² − 2x + 8 = −(x + 4)(x − 2); x₀ = −1, y₀ = −1 + 2 + 8 = 9; a < 0. 1) E = (−∞; 9]. 2) Возрастает на (−∞; −1] (слева от вершины при ветвях вниз). 3) y > 0 между нулями: (−4; 2).
4) x₀ = −2, y₀ = 4 − 8 + 5 = 1 > 0, ветви вверх ⇒ y ≥ 1 при всех x; D = 16 − 20 = −4 < 0. Неравенство y < 0 решений не имеет.
Ошибка: путают «возрастает» для a < 0 — опираться на рисунок, а не на заученную таблицу.

R01.9 · ОГЭ 11

Образец → сам · обратная задача

По вершине и точке — формула параболы

Образец (по графику)

вершина $(- 1; 2)$

$y = a (x + 1)^{2} + 2$

$(0; 0)$ : $0 = a + 2, a = - 2$

$y = - 2 x^{2} - 4 x$

$(- 2; 0)$ : $- 8 + 8 = 0$ проверка

Сам: найдите формулу

базавершина $(- 2; 3)$ , точка $(0; - 1)$ $y = - x^{2} - 4 x - 1$
базавершина $(2; 1)$ , точка $(0; 9)$ $y = 2 x^{2} - 8 x + 9$
повыш.нули $- 1$ и $5$ , точка $(0; - 5)$ $y = x^{2} - 4 x - 5$

R01.9 · опора R01.3

Новое · график с модулем аргумента

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : строим правую половину и отражаем

при

x \geq 0

:

y = x^{2} - 4 x + 3

f (∣ - x ∣) = f (∣ x ∣)

— функция чётная, график симметричен относительно

O y

часть при

x < 0

стираем, правую половину отражаем влево

R01.9 · ПР-14

Образец → сам · число общих точек

Сколько общих точек у графика и прямой $y = m$ ?

Образец

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

$m < - 1$ : нет точек

$- 1 < m < 3$ : четыре

$m = 3$ : три через $(0; 3)$

$m = - 1$ , $m > 3$ : две

Сам: при каких $m$ …

база $y = x^{2} - 2∣ x ∣ - 3$ : ровно три точки? $m = - 3$
повыш.то же, ровно две точки? $m = - 4$ или $m > - 3$
повыш. $y = - x^{2} + 6∣ x ∣ - 5$ : ровно четыре? $- 5 < m < 4$

2,5 мин · практика
Образец: «двигаем» горизонтальную прямую снизу вверх, считаем пересечения. Особые уровни — вершины (y = −1) и излом (y = 3).
1) При x ≥ 0: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4, вершины (±1; −4), излом (0; −3). Три точки — только через излом: m = −3. 2) Две: m = −4 (обе вершины) или m > −3. При −4 < m < −3 — четыре, при m < −4 — ни одной.
3) При x ≥ 0: −(x − 3)² + 4, вершины (±3; 4), излом (0; −5). Четыре точки при −5 < m < 4; m = −5 — три; m = 4 или m < −5 — две; m > 4 — нет.
Все ответы проверены перебором m в python (подсчёт корней уравнения f(x) = m).

R01.9

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых парабола «уезжает»

Знак в $x_{0}$

$y = x^{2} - 6 x + 1$ : $x_{0} = - 3$

$x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$

в формуле $- \frac{b}{2 a}$ минус уже есть

Вершина из скобки

$y = (x + 2)^{2} - 1$ : вершина $(2; - 1)$

вершина $(- 2; - 1)$

$(x + 2) = (x - (- 2))$ : сдвиг влево

Шаблон без $a$

$y = 2 x^{2}$ : от вершины $\pm 1$ — вверх на $1$

вверх на $2$ , при $\pm 2$ — на $8$

подъёмы $a, 4 a, 9 a$

R01.9

Найди ошибку

Ученик описал два графика. Где ошибки?

$y = - x^{2} + 4 x - 3$

$a = - 1$ , ветви вниз; вершина $(2; 1)$

нули $1$ и $3$

$E (y) = [1; + \infty)$

возрастает на $[2; + \infty)$

$E (y) = (- \infty; 1]$

возрастает на $(- \infty; 2]$

$y = 2 x^{2} + 4 x$

вершина $(- 1; - 2)$

с осью $O y$ : $(0; 4)$

нули $0$ и $2$

$c = 0$ : точка $(0; 0)$

$2 x (x + 2) = 0$ : нули $0$ и $- 2$

2 мин · практика
Пары 1 мин ищут ошибки (в каждой карточке их две), затем открываем исправления по клику. Ошибочные строки: слева — E(y) и промежуток возрастания, справа — точка на оси Oy и нули.
1) Вершина: x₀ = −4/(−2) = 2, y₀ = −4 + 8 − 3 = 1 ✓; нули 1 и 3 ✓. При ветвях вниз вершина — наибольшее значение: E = (−∞; 1]; возрастает левее вершины: (−∞; 2].
2) x₀ = −4/4 = −1, y₀ = 2 − 4 = −2 ✓. Ученик взял b вместо c: c = 0, значит, график проходит через начало координат. Нули 0 и −2 — симметричны относительно x = −1 (проверка: середина −1 ✓).
Признак ошибки во 2): нули 0 и 2 несимметричны относительно оси x = −1.

R01.9

Задания с самопроверкой · база

Найдите вершину и нули; постройте эскиз

$y = x^{2} - 8 x + 12$ $(4; - 4)$ ; $2, 6$
$y = - x^{2} + 2 x + 8$ $(1; 9)$ ; $- 2, 4$
$y = 3 x^{2} - 6 x$ $(1; - 3)$ ; $0, 2$

$y = x^{2} + 6 x + 9$ $(- 3; 0)$ ; $- 3$
$y = - 2 x^{2} + 4 x - 5$ $(1; - 3)$ ; нулей нет
$y = x^{2} - 2 x + 4$ : $E (y)$ $[3; + \infty)$

R01.9 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Вершина, коэффициенты, параметр

повыш.Вершина параболы $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(3; - 2)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 6, c = 7$
повыш.Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; 3)$ , $(1; 0)$ , $(3; 0)$ . Найдите $a, b, c$ . $1, - 4, 3$
повыш.При каком $p$ наименьшее значение функции $y = x^{2} - 4 x + p$ равно $5$ ? $p = 9$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k$ не пересекает параболу $y = - x^{2} + 6 x - 4$ ? $k > 5$
повыш.При каких $a$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 a x + 3$ лежит на прямой $y = - 1$ ? $a = \pm 2$

R01.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x ∣ x ∣ - 4 x$

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x$ , вершина $(2; - 4)$

$x < 0$ : $y = - x^{2} - 4 x$ , вершина $(- 2; 4)$

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки? $- 4 < m < 4$
Ровно две общие точки? $m = \pm 4$

2,5 мин · практика
Раскрываем модуль: x ≥ 0 — |x| = x, y = x² − 4x (нули 0 и 4, вершина (2; −4)); x < 0 — |x| = −x, y = −x² − 4x (нуль −4, вершина (−2; 4)). Функция нечётная — график симметричен относительно начала координат.
Прямая y = m: при −4 < m < 4 — три точки (по одной на каждом из трёх участков монотонности); m = ±4 — две (одна в вершине); |m| > 4 — одна. Проверено перебором m в python.
ОГЭ, задание 22 — 2 балла: график с верными вершинами и нулями + ответ с обоснованием. Типичная потеря: ответ «−4 ≤ m ≤ 4» (концы включены).

R01.9 · R01.11

Задача из жизни

Арка моста: $y = - 0, 02 x^{2} + 1, 2 x$ (м)

практикаКакова ширина арки у основания? $60$ м
практикаКакова наибольшая высота арки? $18$ м
повыш.На каком расстоянии от левого основания высота арки $10$ м? $10$ и $50$ м

R01.9

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина параболы $y = x^{2} - 6 x + 5$ $(3; - 4)$
базаЕё нули и $E (y)$ $1; 5$ ; $[- 4; + \infty)$
база $y = - x^{2} + 2 x + 3$ : промежуток возрастания $(- \infty; 1]$
повыш.Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(- 1; 5)$ . Найдите $b, c$ . $b = 2, c = 6$

Вариант 2

базаВершина параболы $y = x^{2} + 4 x - 5$ $(- 2; - 9)$
базаЕё нули и $E (y)$ $- 5; 1$ ; $[- 9; + \infty)$
база $y = - x^{2} - 4 x + 1$ : промежуток убывания $[- 2; + \infty)$
повыш.Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(2; - 3)$ . Найдите $b, c$ . $b = - 4, c = 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите шесть шагов построения параболы.
Как по шаблону строить $y = - 3 x^{2}$ ?
Как получить график $y = f (∣ x ∣)$ из $y = f (x)$ ?

Домашнее задание

Постройте $y = x^{2} + 2 x - 8$ , опишите свойства
Постройте $y = - x^{2} + 4∣ x ∣$ ; при каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно три общие точки?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: ветви, вершина, ось, точки на осях, симметричные точки, линия; для y = −3x² — от вершины ±1 вниз на 3, ±2 вниз на 12; f(|x|) — правая половина и её отражение относительно Oy.
Ответы ДЗ: 1) вершина (−1; −9), нули −4 и 2, (0; −8); E = [−9; +∞), убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞), y < 0 на (−4; 2). 2) При x ≥ 0: −(x − 2)² + 4, вершины (±2; 4), излом (0; 0); ровно три точки при m = 0 (при 0 < m < 4 — четыре, m = 4 или m < 0 — две). Проверено в python.
Следующий урок ALG9U-010 — положение графика в зависимости от коэффициентов a, b, c: по картинке определять их знаки.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-009 · Построение графика квадратичной функции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 9/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.9 «Построение графика квадратичной функции» → 2, 4–21 · опора R01.7–R01.8 → 3, 9 · R01.3 (преобразования, f(\|x\|)) → 7, 12, 13, 18 · применение R01.11 → 19 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 14) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 6, 8, 10, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-21 (строить график квадратичной функции, свойства по графику) → 2–21 · ПР-23 (преобразования графика) → 7, 8, 12 · ПР-18 (исследовать функцию по графику) → 9, 10, 15 · ПР-14 (графическое исследование уравнений) → 13, 18 · ПР-7 (параметр) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	положение графика в зависимости от коэффициентов — ALG9U-010; задачи на наибольшее/наименьшее значение — ALG9U-011; y = \|f(x)\| — только упоминание (R01.3)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Построение графика квадратичной функции

Сегодня вы научитесь

Строить параболу по алгоритму

Строить по шаблону от вершины

Читать свойства по графику

Решать задачи ОГЭ, линия 22

Вершина, ветви, нули

График y=ax2+bx+c за шесть шагов

1Ветви

2Вершина

3Ось симметрии

4Точки на осях

5Симметричные точки

6Плавная линия

Строим вместе

Постройте график и назовите вершину и нули

Образец

Сам

От вершины: шаг вправо на 1 — подъём на a, 3a, 5a

Приведите к виду a(x−x0​)2+y0​

Образец

Сам

Всё о функции видно из вершины и направления ветвей

Опишите свойства функции по её графику

Образец

Сам: y=−x2−2x+8

По вершине и точке — формула параболы

Образец (по графику)

Сам: найдите формулу

y=x2−4∣x∣+3: строим правую половину и отражаем

Сколько общих точек у графика и прямой y=m?

Образец

Сам: при каких m…

Три ошибки, из-за которых парабола «уезжает»

Знак в x0​

Вершина из скобки

Шаблон без a

Ученик описал два графика. Где ошибки?

y=−x2+4x−3

y=2x2+4x

Найдите вершину и нули; постройте эскиз

Вершина, коэффициенты, параметр

Постройте график y=x∣x∣−4x

Арка моста: y=−0,02x2+1,2x (м)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-009 · Построение графика квадратичной функции

График $y = a x^{2} + b x + c$ за шесть шагов

От вершины: шаг вправо на 1 — подъём на $a$ , $3 a$ , $5 a$

Приведите к виду $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

Сам: $y = - x^{2} - 2 x + 8$

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : строим правую половину и отражаем

Сколько общих точек у графика и прямой $y = m$ ?

Сам: при каких $m$ …

Знак в $x_{0}$

Шаблон без $a$

$y = - x^{2} + 4 x - 3$

$y = 2 x^{2} + 4 x$

Постройте график $y = x ∣ x ∣ - 4 x$

Арка моста: $y = - 0, 02 x^{2} + 1, 2 x$ (м)