Функции · урок 8 из 25

Парабола:
вершина и ось
симметрии

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 8/25, единица R01.8 «Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-007 — квадратичная функция и её свойства; следующий ALG9U-009 — построение графика квадратичной функции.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (парабола и её элементы) 2,5 · 5 (вывод координат вершины) 2,5 · 6 (ось симметрии: доказательство и следствия) 2 · 10 (ветви и наибольшее/наименьшее значение) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 9, 11, 12, 13) 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2,5 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить вершину

по формуле $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и выделением полного квадрата (ПР-17, ПР-21)

Видеть ось симметрии

по корням и по точкам с равными значениями (ПР-17, ПР-20)

Находить $y_{m i n}$ и $y_{m a x}$

и множество значений через вершину (ПР-21, ПР-22)

Решать обратные задачи

по вершине — коэффициенты, по параметру — положение вершины (ПР-20, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно, начало): «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, … парабола…». ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
Вид деятельности ФРП по строке: «Определять координаты вершины параболы, ось симметрии параболы». Построение графика по точкам — следующий урок ALG9U-009.

разминка · R01.7

Разминка · устно

Квадрат, значения, корни

y = x^{2}

вершина параболы

(0; 0)

(x - 3)^{2} + 5

наименьшее значение

5

x^{2} - 6 x + 11

= (x - 3)^{2} + □

2

x^{2} + 10 x

= (x + 5)^{2} + □

- 25

2 x^{2} - 8 x + 1

- \frac{b}{2 a} = ?

2

f (x) = x^{2} - 4 x

f (1)

и

f (3)

- 3

и

- 3

(2; 5)

и

y = x^{2} + 1

точка на графике?

да

(x + 1) (x - 5)

корни и их середина

- 1; 5; 2

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) (0; 0) — вершина «эталонной» параболы. 2) Квадрат ≥ 0, наименьшее значение 5 при x = 3. 3) (x − 3)² = x² − 6x + 9, добавить 2. 4) (x + 5)² = x² + 10x + 25, вычесть 25.
5) −(−8)/(2 · 2) = 2. 6) f(1) = 1 − 4 = −3, f(3) = 9 − 12 = −3 — значения равны (заметка к сл. 6: середина 1 и 3 — это 2, ось симметрии). 7) 2² + 1 = 5 — да. 8) Корни −1 и 5, середина (−1 + 5)/2 = 2.
Карточки 2–4 — к выводу вершины выделением квадрата (сл. 5); 6 и 8 — к оси симметрии (сл. 6, 9).

R01.8

Новое понятие · парабола

График $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , — парабола

Вершина — точка, в которой ветви «поворачивают»

Ось симметрии — прямая $x = x_{0}$ через вершину, параллельная $O y$

Ветви: вверх при $a > 0$ , вниз при $a < 0$

y = x^{2} - 4 x + 3

: точки

(0; 3)

и

(4; 3)

симметричны относительно

x = 2

2,5 мин · теория
На чертеже y = x² − 4x + 3 (масштаб — клетка = 1): вершина (2; −1), ось x = 2, корни 1 и 3, точки (−1; 8) и (5; 8), (0; 3) и (4; 3) — симметричные пары. Проверено подстановкой.
Вопрос классу: какие точки параболы y = x² мы уже знаем как симметричные? ((−a; a²) и (a; a²) — ось Oy.) Сегодня докажем, что у любой параболы есть ось симметрии, и найдём её.
Терминология учебника: вершина параболы, ось симметрии параболы, ветви параболы. Ось — прямая, её записываем уравнением x = x₀, а не числом.

R01.8

Вывод · координаты вершины

Выделим полный квадрат в общем виде

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ вынесли $a \neq = 0$

$= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a} + c$ добавили и вычли $a (\frac{b}{2 a})^{2}$

$= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$ общий знаменатель

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

y_{0} = - \frac{D}{4 a} = f (x_{0})

Вершинная форма:

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

— парабола

y = a x^{2}

, сдвинутая так, что вершина

(0; 0)

перешла в

(x_{0}; y_{0})

2,5 мин · теория
Вывод ведёт учитель у доски, класс проговаривает каждый шаг. Шаг 2: x² + (b/a)x = (x + b/(2a))² − b²/(4a²); умножаем на a — получаем −b²/(4a).
Почему (x₀; y₀) — вершина: (x − x₀)² ≥ 0 и равно 0 только при x = x₀. При a > 0 значение функции наименьшее в x₀, при a < 0 — наибольшее (сл. 10).
y₀ удобнее искать подстановкой x₀ в формулу функции: меньше дробей и ошибок со знаком. Формула −D/(4a) — для проверки и для задач с параметром.
Связь с уроком ALG9U-003 (преобразования): y = a(x − x₀)² + y₀ получается из y = ax² сдвигом на x₀ по Ox и на y₀ по Oy.

R01.8

Свойство · ось симметрии

Прямая $x = x_{0}$ — ось симметрии параболы

$f (x) = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

$f (x_{0} + t) = a t^{2} + y_{0}$

$f (x_{0} - t) = a (- t)^{2} + y_{0} = a t^{2} + y_{0}$

Точки с абсциссами $x_{0} \pm t$ — на одной высоте

Если $f (p) = f (q)$ , $p \neq = q$ , то $x_{0} = \frac{p + q}{2}$

Корни: $x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$

2 мин · теория
Доказательство: значения функции в точках x₀ + t и x₀ − t равны при любом t, значит, точки (x₀ − t; f) и (x₀ + t; f) симметричны относительно прямой x = x₀. Это и есть ось симметрии.
Следствие 1 (обратное рассуждение): если f(p) = f(q) и p ≠ q, то p и q симметричны относительно x₀, т. е. x₀ = (p + q)/2 (у параболы на одной высоте не больше двух точек, ⇐ (x − x₀)² = const).
Следствие 2: корни — точки на высоте 0, поэтому x₀ = (x₁ + x₂)/2. Согласуется с Виета: x₁ + x₂ = −b/a ⇒ x₀ = −b/(2a).
Чертёж: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4; ось x = 1, корни −1 и 3, точки (−2; 5) и (4; 5) при t = 3. Масштаб — клетка = 1.

R01.8

Образец → сам · вершина по формуле

Найдите координаты вершины параболы

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

$x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$ $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

$y_{0} = 8 - 16 + 5 = - 3$ $y_{0} = f (x_{0})$

$- \frac{64 - 40}{8} = - 3$ проверка: $- \frac{D}{4 a}$

$(2; - 3)$ , ось $x = 2$ ответ

Сам

база $y = x^{2} + 6 x + 4$ $(- 3; - 5)$
база $y = - x^{2} + 4 x + 1$ $(2; 5)$
повыш. $y = 3 x^{2} - 5 x + 2$ $(\frac{5}{6}; - \frac{1}{12})$

R01.8

Образец → сам · вершинная форма

Выделите полный квадрат и назовите вершину

Образец

$y = - 2 x^{2} + 12 x - 13$

$= - 2 (x^{2} - 6 x) - 13$ вынесли $a = - 2$

$= - 2 (x - 3)^{2} + 18 - 13$ $- 2 \cdot (- 9) = 18$

$= - 2 (x - 3)^{2} + 5$ вершина $(3; 5)$

Сам

база $y = x^{2} - 10 x + 21$ $(x - 5)^{2} - 4; (5; - 4)$
база $y = 2 x^{2} + 4 x + 7$ $2 (x + 1)^{2} + 5; (- 1; 5)$
повыш. $y = - x^{2} - x + 2$ $- (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{4}; (- \frac{1}{2}; \frac{9}{4})$

R01.8

Образец → сам · ось по корням и равным значениям

Ось симметрии — посередине

Образец

$y = (x + 1) (x - 5)$

$x_{1} = - 1, x_{2} = 5$ нули множителей

$x_{0} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ середина корней

$y_{0} = 3 \cdot (- 3) = - 9$ $y_{0} = f (2)$

Сам

базаВершина $y = (x - 2) (x + 6)$ $(- 2; - 16)$
базаПарабола проходит через $(- 3; 5)$ и $(9; 5)$ . Ось? $x = 3$
повыш. $y = x^{2} + b x + c$ , $f (1) = f (7)$ . Найдите $b$ . $b = - 8$

R01.8 · опора R01.7

Теория · ветви и вершина

В вершине — наименьшее или наибольшее значение

$a > 0$ : ветви вверх

$E (f) = [y_{0}; + \infty)$

убывает на $(- \infty; x_{0}]$ , возрастает на $[x_{0}; + \infty)$

$a < 0$ : ветви вниз

$E (f) = (- \infty; y_{0}]$

возрастает на $(- \infty; x_{0}]$ , убывает на $[x_{0}; + \infty)$

R01.8 · ПР-21

Образец → сам · наибольшее и наименьшее значение

Найдите экстремум и множество значений

Образец

$y = - x^{2} + 6 x - 4$

$a = - 1 < 0$ ветви вниз

$x_{0} = 3, y_{0} = - 9 + 18 - 4 = 5$ вершина

$y_{m a x} = 5, E (f) = (- \infty; 5]$ ответ

Сам

база $y = x^{2} - 2 x - 3$ $y_{m i n} = - 4; [- 4; + \infty)$
база $y = - 2 x^{2} - 8 x + 1$ $y_{m a x} = 9; (- \infty; 9]$
повыш. $y = 4 x^{2} + 4 x + 5$ $y_{m i n} = 4; [4; + \infty)$

R01.8 · ПР-20

Образец → сам · обратная задача

По вершине — коэффициенты

Образец

Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(2; - 3)$ . Найдите $b$ и $c$ .

$y = (x - 2)^{2} - 3$ вершинная форма, $a = 1$

$= x^{2} - 4 x + 1$ раскрыли

$b = - 4, c = 1$ ответ

Сам

база $y = x^{2} + p x + q$ , вершина $(- 1; 4)$ . Найдите $p, q$ . $p = 2, q = 5$
повыш. $y = a x^{2} + 4 x + c$ , вершина $(- 2; 1)$ . Найдите $a, c$ . $a = 1, c = 5$
повыш. $y = - x^{2} + b x + c$ : ось $x = 3$ , проходит через $(0; - 4)$ $b = 6, c = - 4$

R01.8 · ПР-20

Образец → сам · вершина и параметр

Где окажется вершина при разных значениях параметра

Образец

При каких $m$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 m x + 3 m + 4$ лежит на оси $O x$ ?

$x_{0} = m, y_{0} = - m^{2} + 3 m + 4$ $f (m)$

$- m^{2} + 3 m + 4 = 0$ $y_{0} = 0$

$m = 4$ или $m = - 1$ ответ

Сам: при каких значениях параметра…

база…вершина $y = x^{2} - 4 x + k$ лежит на оси $O x$ ? $k = 4$
повыш.…вершина $y = x^{2} + 2 m x + 5$ лежит на прямой $y = 1$ ? $m = \pm 2$
повыш.…вершина $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 a - 3$ лежит в III четверти? $a < 0$

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки с вершиной

Потерян «минус»

$y = x^{2} - 6 x$ : $x_{0} = - 3$

$x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$ , вершина $(3; - 9)$

в формуле $- \frac{b}{2 a}$ знак меняется

Забыли $a$ в $- \frac{D}{4 a}$

$y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ : $y_{0} = - \frac{8}{4} = - 2$

$y_{0} = - \frac{8}{8} = - 1$

проверка: $f (1) = 2 - 4 + 1 = - 1$

Знак в вершинной форме

$y = (x + 2)^{2} - 1$ : вершина $(2; - 1)$

$(- 2; - 1)$

$x + 2 = x - (- 2)$ , значит, $x_{0} = - 2$

R01.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите $E (f)$

$y = - x^{2} + 4 x - 3$

$x_{0} = 2, y_{0} = - 4 + 8 - 3 = 1$

$E (f) = [1; + \infty)$

Ошибка: $a = - 1 < 0$ , ветви вниз, $1$ — наибольшее

$E (f) = (- \infty; 1]$

Задача 2. Найдите вершину

$y = 3 x^{2} + 6 x - 1 = 3 (x^{2} + 2 x) - 1$

$= 3 (x + 1)^{2} - 1 - 1 = 3 (x + 1)^{2} - 2$

Вершина $(- 1; - 2)$

Ошибка: вычитать надо $3 \cdot 1 = 3$ , а не $1$

$3 (x + 1)^{2} - 4$ , вершина $(- 1; - 4)$

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Вершина, ось, экстремум

Вершина $y = x^{2} - 8 x + 7$ $(4; - 9)$
Вершина $y = - x^{2} + 2 x + 3$ $(1; 4)$
Ось $y = 2 x^{2} + 12 x - 1$ $x = - 3$

Вершина $y = (x + 3) (x - 7)$ $(2; - 25)$
$E (f)$ для $y = 5 (x - 2)^{2} + 1$ $[1; + \infty)$
$y_{m a x}$ для $y = - 3 x^{2} + 6 x$ $3$

R01.8 · ПР-20, ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи и параметр

повыш.Парабола проходит через $(- 1; 3)$ и $(5; 3)$ . Найдите ось. $x = 2$
повыш.Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(3; - 2)$ . Найдите $b, c$ . $- 6; 7$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + c$ равно $5$ ? $c = 14$
повыш.Расстояние от вершины $y = x^{2} - 4 x + 1$ до начала координат? $13$
повыш.При каких $p$ вершина $y = x^{2} - 2 p x + p + 2$ лежит на оси $O x$ ? $- 1; 2$

R01.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

При каких $c$ прямая $y = c$ и график — одна общая точка?

y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}

$x \neq = 3, x \neq = - 2$ ОДЗ

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)$

$y = (x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6$ сократили

вершина $(- 0, 5; - 6, 25)$ $x_{0} = \frac{- 3 + 2}{2}$

выколоты $(3; 6)$ и $(- 2; - 4)$

$c = - 6, 25; c = - 4; c = 6$

2,5 мин · практика
Ученики решают в тетрадях 1,5 мин, затем шаги по клику. x⁴ − 13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9) — биквадратный трёхчлен раскладывается по корням x² = 4 и x² = 9.
Парабола y = x² + x − 6 с выколотыми точками x = 3 (y = 6) и x = −2 (y = −4). Ось x = −0,5 — середина корней −3 и 2; y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25.
Прямая y = c: c = −6,25 — касается в вершине (одна точка); c = −4: x² + x − 2 = 0, корни −2 (выколота) и 1 — одна точка; c = 6: x² + x − 12 = 0, корни 3 (выколота) и −4 — одна точка. Остальные c > −6,25 дают две точки, c < −6,25 — ни одной. Проверено в python.
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верный график с выколотыми точками и полный ответ. Типичная потеря — забыли случаи c = −4 и c = 6.

R01.8 · R01.11

Задача из жизни

Мяч подбросили вверх: $h (t) = 1, 5 + 12 t - 5 t^{2}$ (м)

практикаЧерез сколько секунд мяч на наибольшей высоте? $1, 2$ с
практикаКакова наибольшая высота? $8, 7$ м
повыш.Когда мяч снова окажется на высоте $1, 5$ м? $2, 4$ с

R01.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = x^{2} - 6 x + 8$ $(3; - 1)$
базаОсь $y = - 2 x^{2} + 8 x + 3$ $x = 2$
база $E (f)$ для $y = - x^{2} - 4 x + 1$ $(- \infty; 5]$
повыш.Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — $(1; 4)$ . Найдите $b, c$ . $b = - 2, c = 5$

Вариант 2

базаВершина $y = x^{2} + 4 x - 5$ $(- 2; - 9)$
базаОсь $y = 3 x^{2} + 12 x - 2$ $x = - 2$
база $E (f)$ для $y = 2 x^{2} - 8 x + 3$ $[- 5; + \infty)$
повыш.Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — $(- 2; - 1)$ . Найдите $b, c$ . $b = 4, c = 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Три способа найти $x_{0}$ ?
Как по знаку $a$ понять: $y_{m i n}$ или $y_{m a x}$ ?
Почему у параболы есть ось симметрии?

Домашнее задание

Вершина и $E (f)$ : $y = - 3 x^{2} + 12 x - 7$
Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; 5)$ , вершина $(2; 1)$ . Найдите $a, b, c$ .
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ ровно три общие точки?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-008 · Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 8/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.8 «Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы» → 2, 4–21 · опора R01.7 → 3, 10 · применение R01.11 → 19 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 10, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7–9, 11–13, 15–21)
Результаты	ПР-17 (понятие параболы) → 2, 4–6 · ПР-20 (положение графика по коэффициентам) → 12, 13, 17 · ПР-21 (свойства квадратичной функции по графику) → 7–11, 14–16, 20 · ПР-22 (свойства для решения задач) → 17–19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	построение графика по точкам — ALG9U-009; положение графика в зависимости от знаков a, b, c — ALG9U-010
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Парабола:вершина и осьсимметрии

Сегодня вы научитесь

Находить вершину

Видеть ось симметрии

Находить ymin​ и ymax​

Решать обратные задачи

Квадрат, значения, корни

График y=ax2+bx+c, a=0, — парабола

Выделим полный квадрат в общем виде

Прямая x=x0​ — ось симметрии параболы

Найдите координаты вершины параболы

Образец

Сам

Выделите полный квадрат и назовите вершину

Образец

Сам

Ось симметрии — посередине

Образец

Сам

В вершине — наименьшее или наибольшее значение

a>0: ветви вверх

a<0: ветви вниз

Найдите экстремум и множество значений

Образец

Сам

По вершине — коэффициенты

Образец

Сам

Где окажется вершина при разных значениях параметра

Образец

Сам: при каких значениях параметра…

Три ошибки с вершиной

Потерян «минус»

Забыли a в −4aD​

Знак в вершинной форме

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите E(f)

Задача 2. Найдите вершину

Вершина, ось, экстремум

Обратные задачи и параметр

При каких c прямая y=c и график — одна общая точка?

Мяч подбросили вверх: h(t)=1,5+12t−5t2 (м)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-008 · Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы

Парабола:
вершина и ось
симметрии

Находить $y_{m i n}$ и $y_{m a x}$

График $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , — парабола

Прямая $x = x_{0}$ — ось симметрии параболы

$a > 0$ : ветви вверх

$a < 0$ : ветви вниз

Забыли $a$ в $- \frac{D}{4 a}$

Задача 1. Найдите $E (f)$

При каких $c$ прямая $y = c$ и график — одна общая точка?

Мяч подбросили вверх: $h (t) = 1, 5 + 12 t - 5 t^{2}$ (м)