Функции · урок 6 из 25

Разложение
квадратного трёхчлена
на линейные множители

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-006

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 6/25, единица R01.6 «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-005 — корни квадратного трёхчлена; следующий ALG9U-007 — квадратичная функция и её свойства.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (теорема и доказательство) 3 · 5 (три случая) 2 · 6 (алгоритм, пример учителя) 1,5 · 9 (сокращение дробей, пример учителя) 1,5 · 11 (множитель и корень, параметр) 2 · 14 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 10, 12, 13) 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ 20 (сл. 18) 2 · ОГЭ 22 (сл. 19) 2,5 · задача из жизни (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 4,5 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и сл. 20 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 5, 11) не сокращать.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать трёхчлен

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (ПР-5)

Решать, можно ли разложить

по знаку дискриминанта, не раскладывая (ПР-4, ПР-5)

Применять разложение

сокращать дроби, решать уравнения, строить графики (ПР-6)

Рассуждать с параметром

при каких значениях параметра трёхчлен раскладывается (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-4: «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена». ПР-6: «Решать … дробно-рациональные уравнения». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром».
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители, раскладывать на линейные множители квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом» — это и есть план урока.

разминка · R01.5

Разминка · устно

Корни трёхчлена и скобки

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

2 x^{2} - x - 1

1

— корень?

да

x^{2} - 6 x + 9

найдите

D_{1}

0

x^{2} + x + 5

есть ли корни?

нет

(x - 2) (x + 3)

раскройте скобки

x^{2} + x - 6

2 (x - \frac{1}{2})

раскройте скобки

2 x - 1

x^{2} - 16

разложите

(x - 4) (x + 4)

сумма

- 7

произведение

12

- 3; - 4

R01.6

Новое · теорема о разложении

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни трёхчлена, то

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Доказательство: раскроем скобки справа

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) =$

$= a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2})$ раскрыли

$= a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ Виета

$= a x^{2} + b x + c$ что и требовалось

3 мин · теория
Формулировка: если квадратный трёхчлен ax² + bx + c (a ≠ 0) имеет корни x₁ и x₂ (D ≥ 0), то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). При D = 0 считаем x₁ = x₂.
Доказательство по шагам (открывать по клику): раскрываем скобки; по теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a, значит, −(x₁ + x₂) = b/a; умножаем на a. Вопрос классу: где использовано, что корни существуют? (Теорема Виета верна только при D ≥ 0.)
Рисунок: y = x² − 5x + 4, корни 1 и 4 — точки пересечения с осью Ox; каждому корню соответствует множитель (x − корень). Проверка: (x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4 ✓. Масштаб по осям разный (схема).
Другой путь (для сильных): ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a) и выделение полного квадрата a((x + b/2a)² − D/4a²) = a(x − x₁)(x − x₂) как разность квадратов.

R01.6

Теория · три случая

Знак $D$ решает, можно ли разложить

$D > 0$

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

$D = 0$

a (x - x_{0})^{2}

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

$D < 0$

не раскладывается

x^{2} + x + 1

— нет линейных множителей

Почему при

D < 0

нельзя: если

a x^{2} + b x + c = a (x - p) (x - q)

, то

p

— корень, а корней нет

2 мин · теория
D > 0 — два различных корня, два различных множителя. D = 0 — один корень x₀ = −b/(2a), трёхчлен — полный квадрат с множителем a: 4x² − 12x + 9 = 4(x − 1,5)² = (2x − 3)².
D < 0 — доказательство от противного (последняя строка): если бы a(x − p)(x − q) равнялось трёхчлену при всех x, то при x = p трёхчлен равен 0 — p корень, противоречие. Вывод ФРП: раскладываем трёхчлен «с неотрицательным дискриминантом».
Вопрос классу: разложится ли x² − 2 на линейные множители? (Да: D = 8 > 0, (x − √2)(x + √2) — множители с иррациональными числами допустимы.)

R01.6

Алгоритм · пример учителя

Разложим $6 x^{2} - x - 2$

Шаг	Что делаем	Пример
1	Находим корни ( $D$ , $D_{1}$ , Виета, $a \pm b + c$ )	$D = 49$ , $x = \frac{1 \pm 7}{12}$ : $\frac{2}{3}; - \frac{1}{2}$
2	Пишем $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , $a$ не теряем	$6 (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1}{2})$
3	Вносим множители $a$ в скобки	$= (3 x - 2) (2 x + 1)$
4	Проверяем: раскрываем скобки	$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2$ ✓

Знак в скобке противоположен знаку корня:

x_{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow (x + \frac{1}{2})

R01.6

Образец → сам · два корня

Разложите на линейные множители

Образец

$2 x^{2} - 7 x + 3$

$D = 49 - 24 = 25$ $b^{2} - 4 a c$

$x = \frac{7 \pm 5}{4}$ : $3; \frac{1}{2}$ формула корней

$2 (x - 3) (x - \frac{1}{2})$ $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

$= (x - 3) (2 x - 1)$ $a = 2$ — в скобку

Сам

база $x^{2} - x - 12$ $(x - 4) (x + 3)$
база $3 x^{2} + 5 x - 2$ $(3 x - 1) (x + 2)$
повыш. $- x^{2} + 2 x + 8$ $(4 - x) (x + 2)$

R01.6

Образец → сам · особые случаи

Один корень, иррациональные корни, нет корней

Образец

$4 x^{2} - 12 x + 9$

$D_{1} = 36 - 36 = 0$ $k = - 6$

$x_{0} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ $- \frac{k}{a}$

$4 (x - \frac{3}{2})^{2} = (2 x - 3)^{2}$ $4 = 2^{2}$

Сам

база $9 x^{2} + 6 x + 1$ $(3 x + 1)^{2}$
база $x^{2} + x + 1$ не раскладывается: $D = - 3$
повыш. $x^{2} - 4 x + 1$ $(x - 2 - 3) (x - 2 + 3)$

R01.6

Применение · сокращение дробей

Разложить числитель и знаменатель — сократить общий множитель

\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x ^{2} - 9}

$2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (2 x + 1)$ корни $3; - 1/2$

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ разность квадратов

$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ $x \neq = \pm 3$

Сокращают только множители, не слагаемые

Ограничения

x \neq = \pm 3

записывают до сокращения — они нужны в уравнениях и графиках

R01.6

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{3 x ^{2} - 7 x + 2}{x ^{2} - 4}$

$3 x^{2} - 7 x + 2 = (x - 2) (3 x - 1)$ $D = 25$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

$= \frac{3 x - 1}{x + 2}$ $x \neq = \pm 2$

Сам

база $\frac{x ^{2} - 3 x - 10}{x ^{2} - 25}$ $\frac{x + 2}{x + 5}$
база $\frac{2 x ^{2} + x - 1}{4 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 1}{2 x + 1}$
повыш. $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{3 x ^{2} - 8 x - 3}$ $\frac{x - 3}{3 x + 1}$

R01.6 · ПР-7

Теория · множитель и корень

$(x - t)$ — множитель трёхчлена $\Leftrightarrow$ $t$ — его корень

Раскладывается $\Leftrightarrow D \geq 0$

$x^{2} - 6 x + m$ : $D_{1} = 9 - m \geq 0$

раскладывается при $m \leq 9$

Параметр при

x^{2}

? Сначала

a \neq = 0

— иначе это не квадратный трёхчлен

Множитель известен

$(x - 2)$ — множитель $x^{2} + p x - 6$

$4 + 2 p - 6 = 0, p = 1$

$x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$

2 мин · теория
Утверждение в заголовке: если ax² + bx + c = (x − t)·(…), то при x = t трёхчлен равен 0; обратно — если t корень, то по теореме (сл. 4) множитель (x − t) есть.
Демонстрация 1: D₁ = 9 − m. m < 9 — два различных множителя, m = 9 — (x − 3)², m > 9 — не раскладывается. Граница m = 9 входит в ответ.
Демонстрация 2: подставили корень 2; второй множитель — по Виета: x₁x₂ = −6, x₂ = −3. Проверка: (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6 ✓.
Если параметр стоит при x² (kx² + …), выражение при k = 0 линейное — это не квадратный трёхчлен. Условие k ≠ 0 пишем первым шагом (сл. 12).

R01.6 · ПР-7

Образец → сам · обратная задача и параметр

Найдите коэффициент или параметр

Образец

$(x + 3)$ — множитель $2 x^{2} + b x - 6$ . Найдите $b$ , разложите.

$18 - 3 b - 6 = 0, b = 4$ $- 3$ — корень

$2 (x^{2} + 2 x - 3)$ вынесли $a$

$= 2 (x + 3) (x - 1)$ Виета

Сам

базаПри каких $c$ трёхчлен $x^{2} - 8 x + c$ раскладывается на линейные множители? $c \leq 16$
повыш.При каких $k$ квадратный трёхчлен $(k - 1) x^{2} + 4 x + 1$ не раскладывается? $k > 5$
повыш.Запишите трёхчлен с $a = 3$ и корнями $2$ и $- \frac{1}{3}$ $3 x^{2} - 5 x - 2$

R01.6

Образец → сам · две переменные и степень 4

Тот же приём — для «трёхчлена» относительно $x$ или $x^{2}$

Образец

$x^{2} - 5 x y + 6 y^{2}$

$D = 25 y^{2} - 24 y^{2} = y^{2}$ трёхчлен от $x$

$x = \frac{5 y \pm y}{2}$ : $3 y; 2 y$

$= (x - 2 y) (x - 3 y)$ $a = 1$

Сам

база $2 a^{2} + ab - b^{2}$ $(2 a - b) (a + b)$
повыш. $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ $(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$
повыш. $x^{4} + x^{2} - 6$ $(x^{2} + 3) (x - 2) (x + 2)$

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки при разложении

Потеряли $a$

$5 x^{2} - 7 x + 2 =$

$= (x - 1) (x - \frac{2}{5})$

$5 (x - 1) (x - \frac{2}{5}) =$

$= (x - 1) (5 x - 2)$

при $x^{2}$ слева $5$ , справа $1$

Перепутали знаки

корни $- 2$ и $5$ : $(x - 2) (x + 5)$

$(x + 2) (x - 5)$

множитель $x - x_{1}$ : $x - (- 2) = x + 2$

Разложили при $D < 0$

$x^{2} + 9 = (x - 3) (x + 3)$

не раскладывается: $D = - 36$

$(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$

R01.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите $\frac{x ^{2} + x - 6}{2 x ^{2} + 7 x + 3}$

$x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$

$2 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 3) (x + \frac{1}{2})$

Ответ: $\frac{x - 2}{x + \frac{1}{2}}$

Ошибка: потерян $a = 2$ : $(x + 3) (2 x + 1)$

Ответ: $\frac{x - 2}{2 x + 1}$

Задача 2. Разложите $- 3 x^{2} + 5 x + 2$

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ : $x = 2; - \frac{1}{3}$

$- 3 x^{2} + 5 x + 2 = (x - 2) (3 x + 1)$

Ошибка: $a = - 3$ , знак «−» потерян

$- (x - 2) (3 x + 1) = (2 - x) (3 x + 1)$

2 мин · практика
Пары, по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) 2x² + 7x + 3: D = 49 − 24 = 25, x = (−7 ± 5)/4: −1/2 и −3; 2(x + 3)(x + 1/2) = (x + 3)(2x + 1). Ответ ученика отличается от верного в 2 раза: (x − 2)/(x + 1/2) = 2(x − 2)/(2x + 1). Проверка x = 0: исходная −6/3 = −2, верный ответ −2/1 = −2 ✓, у ученика −4.
2) Корни найдены верно (умножили уравнение на −1 — корни те же), но трёхчлен −3x² … имеет a = −3: −3(x − 2)(x + 1/3) = −(x − 2)(3x + 1) = (2 − x)(3x + 1). Проверка: (2 − x)(3x + 1) = 6x + 2 − 3x² − x = −3x² + 5x + 2 ✓.

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Разложите на линейные множители

$x^{2} + 5 x + 6$ $(x + 2) (x + 3)$
$x^{2} - 2 x - 15$ $(x - 5) (x + 3)$
$2 x^{2} - 3 x + 1$ $(x - 1) (2 x - 1)$

$5 x^{2} + 9 x - 2$ $(5 x - 1) (x + 2)$
$4 x^{2} + 4 x + 1$ $(2 x + 1)^{2}$
$x^{2} - 2 x - 1$ $(x - 1 - 2) (x - 1 + 2)$

R01.6 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Разложение в задачах

повыш.Сократите $\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{9 - x ^{2}}$ $\frac{4 - x}{x + 3}$
повыш.Разложите $6 x^{2} - 5 x y + y^{2}$ $(2 x - y) (3 x - y)$
повыш.Разложите $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ $(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 3)$
повыш.При каких $b$ трёхчлен $x^{2} + b x + 16$ — квадрат двучлена? $b = \pm 8$
повыш. $(x - 2)$ — множитель $3 x^{2} + p x - 2$ . Найдите $p$ . $p = - 5$

R01.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Сократите дробь · решите уравнение

Сократите $\frac{2 x ^{2} - 3 x - 2}{x ^{2} - 4}$ $\frac{2 x + 1}{x + 2}$
Сократите $\frac{3 x ^{2} - 10 x + 3}{9 x - 3 x ^{2}}$ $\frac{1 - 3 x}{3 x}$
Решите $\frac{x ^{2} - 3 x - 4}{x ^{2} - 1} = 2$ $- 2$

2: в знаменателе вынесите

- 3 x

3: сначала ОДЗ

x \neq = \pm 1

, потом сокращение

R01.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - x - 6}{x + 2}$

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$

$y = x - 3, x \neq = - 2$

точка $(- 2; - 5)$ выколота

При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек? $k = 1; k = 2, 5$

2,5 мин · практика
Построение: D(y): x ≠ −2. Числитель: корни 3 и −2 (Виета), сокращаем на (x + 2): y = x − 3 — прямая без точки (−2; −5). Масштаб 1 клетка = 1.
Прямая y = kx проходит через начало координат. Нет общих точек, если она параллельна графику (k = 1: x = x − 3 — решений нет) или проходит через выколотую точку: −5 = −2k, k = 2,5 (тогда уравнение 2,5x = x − 3 даёт x = −2, а эта точка выколота).
Проверка в python: при k = 2,5 единственное решение x = −2 исключено ✓. Типичная потеря баллов — не выколоть точку и не найти k = 2,5.

R01.6 · R01.11

Задача из жизни

Площадь грядки $x^{2} + 7 x + 12$ м², стороны — $x + \dots$

практикаНайдите длины сторон $x + 3$ и $x + 4$
практикаРазмеры и периметр при $x = 10$ $13 \times 14$ ; $54$ м
повыш.При каком $x$ площадь $30$ м²? $x = 2$

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаРазложите $x^{2} - 3 x - 10$ $(x - 5) (x + 2)$
базаРазложите $3 x^{2} - 8 x + 5$ $(x - 1) (3 x - 5)$
базаСократите $\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 5}{x + 1}$
повыш. $(x + 2)$ — множитель $2 x^{2} + b x - 2$ . Найдите $b$ , разложите. $b = 3$ ; $(x + 2) (2 x - 1)$

Вариант 2

базаРазложите $x^{2} + 4 x - 21$ $(x + 7) (x - 3)$
базаРазложите $2 x^{2} + 7 x + 5$ $(x + 1) (2 x + 5)$
базаСократите $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - x - 6}$ $\frac{x + 3}{x + 2}$
повыш. $(x - 3)$ — множитель $3 x^{2} + b x - 6$ . Найдите $b$ , разложите. $b = - 7$ ; $(x - 3) (3 x + 2)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда трёхчлен раскладывается на линейные множители?
Как связаны множитель $(x - t)$ и корень?
Зачем писать ограничения до сокращения дроби?

Домашнее задание

Разложите $10 x^{2} - 9 x + 2$ и $x^{2} - 6 x y + 8 y^{2}$
Сократите $\frac{4 x ^{2} - 1}{2 x ^{2} - 5 x - 3}$
При каких $a$ квадратный трёхчлен $a x^{2} - 4 x + a$ раскладывается на линейные множители?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-006 · Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 6/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.6 «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители» → 2, 4–22 · опора R01.5 → 3 · применение R01.11 → 20 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 14) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 7, 8, 10, 12, 13, 15–22)
Результаты	ПР-5 (раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители) → 2, 4–8, 10–17, 20–22 · ПР-4 (корни трехчлена) → 3, 5–7 · ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 9, 18 · ПР-7 (параметр) → 11, 12, 17, 22 · график (линия 22) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратичная функция и её свойства — ALG9U-007; вершина и ось симметрии параболы — ALG9U-008
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Разложениеквадратного трёхчленана линейные множители

Сегодня вы научитесь

Раскладывать трёхчлен

Решать, можно ли разложить

Применять разложение

Рассуждать с параметром

Корни трёхчлена и скобки

Если x1​ и x2​ — корни трёхчлена, то

Знак D решает, можно ли разложить

D>0

D=0

D<0

Разложим 6x2−x−2

Разложите на линейные множители

Образец

Сам

Один корень, иррациональные корни, нет корней

Образец

Сам

Разложить числитель и знаменатель — сократить общий множитель

Сократите дробь

Образец

Сам

(x−t) — множитель трёхчлена ⇔ t — его корень

Раскладывается ⇔D≥0

Множитель известен

Найдите коэффициент или параметр

Образец

Сам

Тот же приём — для «трёхчлена» относительно x или x2

Образец

Сам

Три ошибки при разложении

Потеряли a

Перепутали знаки

Разложили при D<0

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите 2x2+7x+3x2+x−6​

Задача 2. Разложите −3x2+5x+2

Разложите на линейные множители

Разложение в задачах

Сократите дробь · решите уравнение

Постройте график y=x+2x2−x−6​

Площадь грядки x2+7x+12 м², стороны — x+…

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-006 · Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Разложение
квадратного трёхчлена
на линейные множители

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни трёхчлена, то

Знак $D$ решает, можно ли разложить

$D > 0$

$D = 0$

$D < 0$

Разложим $6 x^{2} - x - 2$

$(x - t)$ — множитель трёхчлена $\Leftrightarrow$ $t$ — его корень

Раскладывается $\Leftrightarrow D \geq 0$

Тот же приём — для «трёхчлена» относительно $x$ или $x^{2}$

Потеряли $a$

Разложили при $D < 0$

Задача 1. Сократите $\frac{x ^{2} + x - 6}{2 x ^{2} + 7 x + 3}$

Задача 2. Разложите $- 3 x^{2} + 5 x + 2$

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - x - 6}{x + 2}$

Площадь грядки $x^{2} + 7 x + 12$ м², стороны — $x + \dots$