Функции · урок 5 из 25

Корни
квадратного
трёхчлена

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-005

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 5/25, единица R01.5 «Корни квадратного трехчлена». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-004 — квадратный трёхчлен (коэффициенты, выделение полного квадрата); следующий ALG9U-006 — разложение трёхчлена на линейные множители.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение) 2 · 5 (вывод через полный квадрат) 3 · 6 (теорема о числе корней) 2 · 7 (формула корней) 1 · 9 (формула с D₁) 1,5 · 11 (свойства: знаки a и c, неполные) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 8, 10, 12, 13, 14) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · ошибки (сл. 15, 16) 2 + 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое корень

корень трёхчлена = корень уравнения = нуль функции (ПР-4)

Доказывать, сколько корней

по знаку $D$ , не решая до конца (ПР-4)

Находить корни

по формулам через $D$ и $D_{1}$ , решать обратные задачи (ПР-4)

Исследовать параметр

число корней в зависимости от параметра (ПР-7)

разминка · R01.4

Разминка · устно

Трёхчлен и полный квадрат

2 x^{2} - 3 x + 5

a, b, c

= ?

2, - 3, 5

x^{2} - 3 x + 2

значение при

x = 1

0

x^{2} + 6 x + 9

= (\dots)^{2}

(x + 3)^{2}

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

вычислите

1

(x - 4)^{2} = 9

корни

1; 7

x^{2} = 7

корни

\pm 7

(x + 1)^{2} = - 4

корни

нет

81 + 40

вычислите

11

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) a = 2, b = −3, c = 5 (b со своим знаком). 2) 1 − 3 + 2 = 0 — значит, 1 обращает трёхчлен в нуль (так сегодня определим корень). 3) x² + 2 · 3 · x + 3² = (x + 3)². 4) 25 − 24 = 1 — так будем считать дискриминант.
5) x − 4 = ±3: x = 7 или x = 1. 6) x = ±√7. 7) Квадрат не бывает отрицательным — корней нет. 8) √121 = 11.
Карточки 5–7 — ровно три случая, которые получатся в выводе на сл. 5–6: квадрат равен положительному числу, нулю, отрицательному.

R01.5

Определение · корень трёхчлена

Корень трёхчлена — значение $x$ , при котором трёхчлен равен $0$

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

Корни трёхчлена — это корни уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

На графике

y = a x^{2} + b x + c

— абсциссы точек пересечения с осью

O x

(нули функции)

$x^{2} - 2 x - 3$ : $(- 1)^{2} + 2 - 3 = 0$ $- 1$ — корень

R01.5 · опора R01.4

Вывод · выделение полного квадрата

Преобразуем трёхчлен в общем виде

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ $a \neq = 0$

$= a ((x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} + \frac{c}{a})$ полный квадрат

$= a ((x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}})$ общий знаменатель

$a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a ^{2}}$

D = b^{2} - 4 a c

D

— дискриминант («различитель»). Знаменатель

4 a^{2} > 0

, значит, знак правой части — знак

D

R01.5

Теорема · число корней

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a ^{2}}$ — смотрим на знак $D$

$D < 0$

квадрат $\geq 0$ , справа $< 0$

корней нет

$D = 0$

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$

один корень $x = - \frac{b}{2 a}$

$D > 0$

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{D}{2 a}$

два корня

2 мин · теория
Доказательство по случаям (опора — равносильность сл. 5). D < 0: левая часть неотрицательна, правая отрицательна — равенство невозможно ни при каком x. D = 0: квадрат равен нулю ⇔ x = −b/(2a). D > 0: x + b/2a = ±√(D/4a²) = ±√D/(2|a|); знак ± поглощает знак a, поэтому можно писать ±√D/(2a). Два значения различны, так как √D ≠ 0.
Рисунки схематичные (при a > 0; при a < 0 парабола отражается, число точек на оси то же).
Вывод: у квадратного трёхчлена не больше двух корней. Число корней узнаём по знаку D, не решая до конца.

R01.5

Формула · корни трёхчлена

Если $D \geq 0$

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

при

D = 0

формула даёт один корень

x = - \frac{b}{2 a}

Порядок

выписать $a, b, c$ со знаками
вычислить $D$ , посмотреть на знак
$D \geq 0$ — формула; проверка

R01.5

Образец → сам · формула корней

Найдите корни трёхчлена

Образец

$2 x^{2} - 7 x + 3$

$a = 2, b = - 7, c = 3$ со знаками

$D = 49 - 24 = 25 > 0$ два корня

$x = \frac{7 \pm 5}{4}$ $\frac{- b \pm D}{2 a}$

$x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{2}$ проверка: $18 - 21 + 3 = 0$

Сам

база $3 x^{2} + 5 x - 2$ $\frac{1}{3}; - 2$
база $5 x^{2} - x + 1$ нет корней ( $D = - 19$ )
повыш. $x^{2} - 2 x - 4$ $1 \pm 5$

R01.5

Формула · чётный второй коэффициент

Если $b = 2 k$ , числа можно уменьшить

$D = 4 k^{2} - 4 a c = 4 (k^{2} - a c)$ $b = 2 k$

$D_{1} = \frac{D}{4} = k^{2} - a c$ тот же знак

$x = \frac{- 2 k \pm 2 D _{1}}{2 a} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}$ $: 2$

x_{1, 2} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}

Знаменатель —

a

, а не

2 a

R01.5

Образец → сам · формула с $D_{1}$

Найдите корни через $D_{1}$

Образец

$5 x^{2} - 8 x + 3$

$k = - 4$ $b = - 8$ чётное

$D_{1} = 16 - 15 = 1$ $k^{2} - a c$

$x = \frac{4 \pm 1}{5}$ $\frac{- k \pm D _{1}}{a}$

$x_{1} = 1, x_{2} = \frac{3}{5}$ проверка: $5 - 8 + 3 = 0$

Сам

база $x^{2} + 10 x + 21$ $- 3; - 7$
база $3 x^{2} - 4 x - 4$ $2; - \frac{2}{3}$
повыш. $2 x^{2} + 6 x + 1$ $\frac{- 3 \pm 7}{2}$

R01.5

Свойство · число корней без вычислений

Иногда ответ виден по коэффициентам

Признак	Вывод	Почему
$a$ и $c$ разных знаков: $a c < 0$	два корня	$b^{2} \geq 0, - 4 a c > 0$ ⇒ $D > 0$
$c = 0$	$0$ и $- \frac{b}{a}$	$x (a x + b) = 0$
$b = 0$	$\pm - \frac{c}{a}$ , если $\frac{c}{a} \leq 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$

R01.5

Образец → сам · число корней

Сколько корней? Корни не находите

Образец

а) $3 x^{2} - 5 x + 4$ б) $- 2 x^{2} + 3 x + 7$

а) $D = 25 - 48 = - 23 < 0$ нет корней

б) $a c = - 14 < 0$ свойство

б) два корня $D$ не считали

Сам

база $4 x^{2} - 12 x + 9$ один ( $D_{1} = 0$ )
база $x^{2} + x - 2026$ два ( $a c < 0$ )
база $7 x^{2} + 2 x + 1$ нет ( $D_{1} = - 6$ )

R01.5

Образец → сам · обратная задача

Известен корень — найдите коэффициент

Образец

$2$ — корень $3 x^{2} + b x - 10$ . Найдите $b$ и второй корень.

$12 + 2 b - 10 = 0, b = - 1$ $x = 2$

$3 x^{2} - x - 10$ : $D = 121$ $1 + 120$

$x = \frac{1 \pm 11}{6}$ : $2; - \frac{5}{3}$ второй корень

Сам

база $- 1$ — корень $2 x^{2} + b x - 3$ . Найдите $b$ и второй корень. $b = - 1; 1, 5$
база $3$ — корень $x^{2} - 5 x + c$ . Найдите $c$ и второй корень. $c = 6; 2$
повыш. $3 + 2$ — корень $x^{2} - 6 x + c$ . Найдите $c$ . $c = 7$

R01.5 · ПР-7

Образец → сам · параметр

Число корней в зависимости от параметра

Образец

Квадратный трёхчлен $m x^{2} - 6 x + 3$

$m \neq = 0$ трёхчлен квадратный

$D_{1} = 9 - 3 m$ $k = - 3$

$m < 3, m \neq = 0$ : два $D_{1} > 0$

$m = 3$ : один; $m > 3$ : нет

Сам: при каких значениях параметра…

база…у $x^{2} + b x + 16$ один корень? $b = \pm 8$
база…у $2 x^{2} - 5 x + c$ нет корней? $c > \frac{25}{8}$
повыш.…уравнение $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ имеет ровно один корень? $a = 1$ или $a = 2$

3 мин · практика
Образец: при m = 3 трёхчлен 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)², корень 1 ✓. При m = 0 выражение −6x + 3 — не квадратный трёхчлен, поэтому m = 0 исключаем.
1) D = b² − 64 = 0, b = ±8 (корни −4 и 4 соответственно: x² ± 8x + 16 = (x ± 4)²).
2) D = 25 − 8c < 0 ⇔ c > 25/8 = 3,125. Граница c = 25/8: D = 0, один корень — не входит.
3) Это уравнение, а не «квадратный трёхчлен», поэтому вырожденный случай разбираем. a = 1: −2x + 1 = 0, x = 1/2 — один корень, подходит. a ≠ 1: D₁ = 1 − (a − 1) = 2 − a = 0 ⇔ a = 2; тогда x² − 2x + 1 = 0, x = 1. Ответ: a = 1 или a = 2.

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Потеряли знак $c$

$2 x^{2} - 3 x - 2$ : $D = 9 - 16 < 0$

$- 4 a c = - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = + 16$

$D = 25$ : $2; - \frac{1}{2}$

Знак $- b$

$x^{2} + 5 x + 6$ : $x = \frac{5 \pm 1}{2}$

$b = 5$ , значит, $- b = - 5$

$x = \frac{- 5 \pm 1}{2}$ : $- 2; - 3$

$D_{1}$ , но делят на $2 a$

$x^{2} - 8 x + 7$ : $x = \frac{4 \pm 3}{2}$

с $D_{1}$ знаменатель — $a$

$x = \frac{4 \pm 3}{1}$ : $7; 1$

R01.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите корни $3 x^{2} - 2 x - 1$

$D = 4 - 12 = - 8 < 0$

Ответ: корней нет.

Ошибка: $- 4 \cdot 3 \cdot (- 1) = + 12$ , $D = 16$

$x = \frac{2 \pm 4}{6}$ : $1; - \frac{1}{3}$

Задача 2. При каких $b$ у $x^{2} + b x + 9$ два корня?

$D = b^{2} - 36 > 0$

$b^{2} > 36$ , $b > 6$

Ошибка: потеряли отрицательные $b$

$b < - 6$ или $b > 6$

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Найдите корни трёхчлена

$x^{2} - 8 x + 15$ $3; 5$
$2 x^{2} + x - 3$ $1; - 1, 5$
$4 x^{2} + 4 x + 1$ $- 0, 5$

$x^{2} - 3 x + 4$ нет корней
$3 x^{2} - 10 x + 3$ $3; \frac{1}{3}$
$x^{2} + 2 x - 1$ $- 1 \pm 2$

R01.5 · ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Иррациональные коэффициенты и параметр

повыш.Сколько корней у $x^{2} - 23 x + 3$ ? один: $3$
повыш.Найдите корни $x^{2} - (2 + 5) x + 25$ $2; 5$
повыш.При каких $a$ квадратный трёхчлен $a x^{2} + 4 x + 1$ имеет два корня? $a < 4, a \neq = 0$
повыш.Докажите: $x^{2} + p x - 1$ имеет два корня при любом $p$ $D = p^{2} + 4 > 0$

R01.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 9 и 20

Всё сводится к корням трёхчлена

линия 9 $5 x^{2} + 9 x + 4 = 0$ . Запишите меньший корень. $- 1$
линия 20 $x^{3} + 3 x^{2} = 16 x + 48$ $- 4; - 3; 4$
линия 20 $(x^{2} - 25)^{2} + (x^{2} + 3 x - 10)^{2} = 0$ $- 5$

2: группировка, вынести

x + 3

3: сумма квадратов

= 0

⇔ оба

= 0

R01.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаКорни $x^{2} - 7 x + 12$ $3; 4$
базаКорни $3 x^{2} - 8 x + 5$ $1; \frac{5}{3}$
базаСколько корней у $5 x^{2} - 3 x + 1$ ? нет
повыш.При каких $c$ у $x^{2} + 8 x + c$ два корня? $c < 16$

Вариант 2

базаКорни $x^{2} + x - 12$ $3; - 4$
базаКорни $2 x^{2} + 7 x + 3$ $- 0, 5; - 3$
базаСколько корней у $4 x^{2} - 20 x + 25$ ? один
повыш.При каких $c$ у $x^{2} - 10 x + c$ нет корней? $c > 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое корень трёхчлена на графике?
Почему при $D < 0$ корней нет?
Когда число корней видно без $D$ ?

Домашнее задание

Корни $6 x^{2} + x - 2$
При каких $m$ квадратный трёхчлен $(m + 2) x^{2} - 2 m x + m - 1$ имеет корни?
Докажите: $x^{2} + a x + a - 2$ имеет два корня при любом $a$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-005 · Корни квадратного трехчлена

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 5/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.5 «Корни квадратного трехчлена» → 2, 4–21 · опора R01.4 → 3, 5 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 8, 10, 12–21)
Результаты	ПР-4 (находить корни квадратного трехчлена) → 2, 4–13, 15–21 · ПР-7 (квадратные уравнения с параметром) → 14, 16, 18, 20 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	разложение на линейные множители — ALG9U-006; практикум по корням (особые коэффициенты, следствия Виета) — ALG9U-018
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Корниквадратноготрёхчлена

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое корень

Доказывать, сколько корней

Находить корни

Исследовать параметр

Трёхчлен и полный квадрат

Корень трёхчлена — значение x, при котором трёхчлен равен 0

Преобразуем трёхчлен в общем виде

(x+2ab​)2=4a2D​ — смотрим на знак D

D<0

D=0

D>0

Если D≥0

Порядок

Найдите корни трёхчлена

Образец

Сам

Если b=2k, числа можно уменьшить

Найдите корни через D1​

Образец

Сам

Иногда ответ виден по коэффициентам

Сколько корней? Корни не находите

Образец

Сам

Известен корень — найдите коэффициент

Образец

Сам

Число корней в зависимости от параметра

Образец

Сам: при каких значениях параметра…

Неверно → почему → верно

Потеряли знак c

Знак −b

D1​, но делят на 2a

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите корни 3x2−2x−1

Задача 2. При каких b у x2+bx+9 два корня?

Найдите корни трёхчлена

Иррациональные коэффициенты и параметр

Всё сводится к корням трёхчлена

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-005 · Корни квадратного трехчлена

Корни
квадратного
трёхчлена

Корень трёхчлена — значение $x$ , при котором трёхчлен равен $0$

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a ^{2}}$ — смотрим на знак $D$

$D < 0$

$D = 0$

$D > 0$

Если $D \geq 0$

Если $b = 2 k$ , числа можно уменьшить

Найдите корни через $D_{1}$

Потеряли знак $c$

Знак $- b$

$D_{1}$ , но делят на $2 a$

Задача 1. Найдите корни $3 x^{2} - 2 x - 1$

Задача 2. При каких $b$ у $x^{2} + b x + 9$ два корня?