Функции · урок 4 из 25

Квадратный
трёхчлен

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-004

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 4/25, единица R01.4 «Квадратный трехчлен». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-003 — построение графиков с помощью преобразований (сдвиги — опора для вида a(x − m)² + n); следующий ALG9U-005 — корни квадратного трёхчлена.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение) 3 · 7 (вывод: выделение полного квадрата) 3 · 9 (наибольшее/наименьшее значение, знак) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11) 2 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

приводить к виду $a x^{2} + b x + c$ и называть коэффициенты (ПР-4)

Выделять полный квадрат

$a x^{2} + b x + c = a (x - m)^{2} + n$ (ПР-4)

Находить экстремум

наибольшее или наименьшее значение трёхчлена (ПР-4, R01.11)

Рассуждать с параметром

при каких значениях трёхчлен сохраняет знак (ПР-4, к ПР-7)

разминка · R01.3 · 8 кл.

Разминка · устно

Квадраты, сдвиги, значения

(x + 3)^{2}

раскройте скобки

x^{2} + 6 x + 9

x^{2} - 10 x + □

= (x - 5)^{2}

25

2 x^{2} - 3 x + 1

при

x = - 1

6

3 x^{2} - x^{3} + 1

степень многочлена

3

y = x^{2}

сдвиг на

2

вправо

y = (x - 2)^{2}

y = (x + 1)^{2} - 3

вершина параболы

(- 1; - 3)

(x - 4)^{2} + 5

наименьшее значение

5

7 - (x - 1)^{2}

наибольшее значение

7

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) (a + b)² = a² + 2ab + b²: x² + 6x + 9. 2) 2 · 5 = 10, 5² = 25. 3) 2 + 3 + 1 = 6. 4) Старшая степень — x³, степень 3: это не квадратный трёхчлен.
5) Сдвиг вправо на 2: x заменяем на x − 2 (прошлый урок). 6) y = (x + 1)² − 3 — сдвиг y = x² на 1 влево и на 3 вниз, вершина (−1; −3).
7) (x − 4)² ≥ 0, наименьшее значение 5 при x = 4. 8) (x − 1)² ≥ 0, наибольшее значение 7 при x = 1.
Карточки 1, 2 — к выделению полного квадрата (сл. 7); 5, 6 — к вершине; 7, 8 — к наибольшему и наименьшему значению (сл. 9).

R01.4

Новое понятие · квадратный трёхчлен

Многочлен $a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$

a x^{2} + b x + c

$a$ — старший коэффициент, $b$ — второй, $c$ — свободный член

a = 1

— приведённый трёхчлен:

x^{2} + p x + q

P (x_{0})

— значение трёхчлена при

x = x_{0}

Выражение	Трёхчлен?	$a; b; c$
$3 x^{2} - 5 x + 2$	да	$3; - 5; 2$
$4 - x^{2}$	да	$- 1; 0; 4$
$x (2 x - 3)$	да	$2; - 3; 0$
$5 x + 1$	нет	$a = 0$
$x^{3} + x^{2} + 1$	нет	степень $3$
$\frac{1}{x ^{2}} + x$	нет	не многочлен

3 мин · теория
Определение: квадратный трёхчлен — многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — числа, a ≠ 0. Название сохраняется и при b = 0 или c = 0 («неполный» трёхчлен): 4 − x² и 2x² − 3x — тоже квадратные трёхчлены.
Чтобы назвать коэффициенты, трёхчлен сначала приводят к стандартному виду: раскрывают скобки, приводят подобные, упорядочивают по убыванию степеней. Ловушка: в 4 − x² коэффициент a = −1, хотя x² стоит вторым.
Вопрос классу: почему 5x + 1 — не квадратный трёхчлен? (a = 0, это линейный двучлен.) Почему 1/x² + x — не многочлен? (переменная в знаменателе.)
Значение P(x₀) — подстановка: для P(x) = 3x² − 5x + 2 имеем P(1) = 0, P(2) = 4.

R01.4

Образец → сам · стандартный вид

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c$ и назовите коэффициенты

Образец

$(2 x - 1) (x + 3) - x (x - 5)$

$= 2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 5 x$ раскрыли скобки

$= x^{2} + 10 x - 3$ подобные

$a = 1, b = 10, c = - 3$ приведённый

Сам

база $(x - 4)^{2} - 3 x (x - 1)$ $- 2 x^{2} - 5 x + 16$
база $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$ — трёхчлен? нет: $4 x$ , $a = 0$
повыш.При каких $k$ выражение $(k x + 1) (x - 2) + x^{2}$ — квадратный трёхчлен? $k \neq = - 1$

R01.4

Образец → сам · значение трёхчлена

По значениям трёхчлена найдите коэффициенты

Образец

$P (x) = x^{2} + b x + c$ , $P (0) = - 3$ , $P (2) = 5$

$P (0) = c = - 3$ подставили $x = 0$

$4 + 2 b - 3 = 5$ подставили $x = 2$

$b = 2$ : $P (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Сам

база $P (x) = 2 x^{2} - 3 x + c$ , $P (- 1) = 10$ . Найдите $c$ . $c = 5$
база $P (x) = x^{2} + b x + c$ , $P (1) = 0$ , $P (- 1) = 8$ $b = - 4, c = 3$
повыш. $P (0) = 1$ , $P (1) = 3$ , $P (- 1) = 1$ . Найдите $P (x) = a x^{2} + b x + c$ . $x^{2} + x + 1$

R01.4 · опора R01.3

Вывод · выделение полного квадрата

Любой квадратный трёхчлен — это сдвинутый $a x^{2}$

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ вынесли $a$

$= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a} + c$ дополнили до квадрата

$= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$

a (x - m)^{2} + n

, где

m = - \frac{b}{2 a}

,

n = - \frac{D}{4 a}

,

D = b^{2} - 4 a c

3 мин · теория
Вывод по шагам (a ≠ 0): x² + (b/a)x дополняем до квадрата прибавлением (b/2a)² и тут же вычитаем a · (b/2a)² = b²/(4a). Свободные члены: c − b²/(4a) = −(b² − 4ac)/(4a).
Число D = b² − 4ac называют дискриминантом трёхчлена; на следующем уроке (ALG9U-005) от его знака будет зависеть число корней.
Смысл для графиков (связь с прошлым уроком): y = a(x − m)² + n — это y = ax², сдвинутый на m по оси x и на n по оси y. Пример на чертеже: x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 2 — сдвиг на 3 вправо и на 2 вниз, вершина (3; −2). Проверка: (x − 3)² − 2 = x² − 6x + 9 − 2 ✓.
Чертёж точный: клетка 1 × 1, параболы построены по точкам (python). Формулы m и n не заучиваем — каждый раз выделяем квадрат, как в образце на сл. 8.

R01.4

Образец → сам · полный квадрат

Представьте в виде $a (x - m)^{2} + n$

Образец

$2 x^{2} - 12 x + 5$

$= 2 (x^{2} - 6 x) + 5$ вынесли $a = 2$

$= 2 ((x - 3)^{2} - 9) + 5$ $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$

$= 2 (x - 3)^{2} - 13$ $- 18 + 5$

Сам

база $x^{2} + 10 x + 21$ $(x + 5)^{2} - 4$
база $3 x^{2} + 6 x - 1$ $3 (x + 1)^{2} - 4$
повыш. $2 x^{2} - 3 x + 1$ $2 (x - \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}$

R01.4 · R01.11

Свойство · наибольшее и наименьшее значение

Значения $a (x - m)^{2} + n$ : знак $a$ решает всё

$a > 0$

$a (x - m)^{2} \geq 0$ ⇒ наименьшее значение $n$ при $x = m$ ; наибольшего нет

$a < 0$

$a (x - m)^{2} \leq 0$ ⇒ наибольшее значение $n$ при $x = m$ ; наименьшего нет

D < 0

⇒

n = - \frac{D}{4 a}

того же знака, что

a

: трёхчлен сохраняет знак $a$ при всех

x

2 мин · теория
Обоснование: (x − m)² ≥ 0 при всех x и равно 0 только при x = m. При a > 0 произведение a(x − m)² ≥ 0, поэтому a(x − m)² + n ≥ n, и равенство достигается при x = m. При a < 0 неравенство меняет знак.
На графике (схема): при a > 0 ветви вверх, вершина (m; n) — самая низкая точка; при a < 0 — самая высокая. Подробно о параболе — уроки R01.7–R01.9.
Знак трёхчлена: если D < 0, то n = −D/(4a) имеет знак a, и a(x − m)² тоже «того же знака или 0», значит, сумма строго того же знака, что a, при всех x. Пример: x² + x + 1 > 0 при всех x (a = 1, D = −3).
Вопрос классу: есть ли у 2x² − 12x + 5 наибольшее значение? (Нет: a = 2 > 0; наименьшее −13 при x = 3, см. сл. 8.)

R01.4 · R01.11

Образец → сам · наименьшее и наибольшее

Найдите наибольшее или наименьшее значение

Образец

$x^{2} - 6 x + 11$

$= (x - 3)^{2} + 2$ выделили квадрат

$(x - 3)^{2} \geq 0$ ⇒ $\geq 2$ $a = 1 > 0$

наименьшее $2$ при $x = 3$ наибольшего нет

Сам

база $2 x^{2} + 8 x + 3$ наим. $- 5$ при $x = - 2$
база $- x^{2} + 2 x + 8$ наиб. $9$ при $x = 1$
повыш. $3 x^{2} - x + 1$ наим. $\frac{11}{12}$ при $x = \frac{1}{6}$

R01.4 · к ПР-7

Образец → сам · знак и параметр

Докажите и найдите параметр

Образец

Докажите: $2 x^{2} - 4 x + 3 > 0$ при всех $x$

$= 2 (x - 1)^{2} - 2 + 3$ выделили квадрат

$= 2 (x - 1)^{2} + 1$

$\geq 1 > 0$ $2 (x - 1)^{2} \geq 0$

Сам

базаДокажите: $x^{2} + x + 1 > 0$ при всех $x$ $(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$
базаПри каких $c$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 8 x + c$ положителен при всех $x$ ? $c > 16$
повыш.При каких $a$ квадратный трёхчлен $a x^{2} + 4 x + a$ отрицателен при всех $x$ ? $a < - 2$

3 мин · практика
Образец: 2(x² − 2x) + 3 = 2((x − 1)² − 1) + 3 = 2(x − 1)² + 1. Квадрат неотрицателен, поэтому сумма не меньше 1.
1) x² + x = (x + 1/2)² − 1/4; −1/4 + 1 = 3/4 > 0.
2) (x − 4)² + c − 16 — наименьшее значение c − 16. Положителен при всех x ⇔ c − 16 > 0 ⇔ c > 16. Граница: при c = 16 получаем (x − 4)², в точке x = 4 значение 0 — не подходит.
3) Квадратный трёхчлен ⇒ a ≠ 0. Отрицателен при всех x ⇔ a < 0 и наибольшее значение n < 0. n = a − 4/a (P(m) при m = −2/a). При a < 0: a − 4/a < 0 ⇔ a² − 4 > 0 (умножили на a < 0) ⇔ a < −2. Граница a = −2: −2x² + 4x − 2 = −2(x − 1)², при x = 1 значение 0 — не подходит. Иначе: a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки при выделении квадрата

Не умножили на $a$

$3 x^{2} + 12 x + 1$ $= 3 (x + 2)^{2} - 3$

$= 3 (x + 2)^{2} - 11$

вычитаем $3 \cdot 4 = 12$ , а не $4$

Знак у $m$

$(x + 3)^{2} - 7$ : наименьшее при $x = 3$

при $x = - 3$ : скобка равна $0$

$(x - m)^{2}$ : здесь $m = - 3$

Перепутали min и max

$- x^{2} + 2 x + 8$ : наименьшее $9$

наибольшее $9$ , наименьшего нет

$a < 0$ — ветви вниз

R01.4

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Выделите полный квадрат

$- x^{2} + 6 x - 4 = - (x^{2} + 6 x) - 4$

$= - (x + 3)^{2} + 9 - 4 = - (x + 3)^{2} + 5$

Ошибка: $- (x^{2} - 6 x)$ — при вынесении $- 1$ меняются все знаки

$= - (x - 3)^{2} + 5$

Задача 2. Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$

$x = 0$ : $10 > 0$ ; $x = 1$ : $5 > 0$ ; $x = - 1$ : $17 > 0$

Значит, при всех $x$ трёхчлен положителен.

Ошибка: проверка нескольких $x$ — не доказательство

$(x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) −x² + 6x − 4 = −(x² − 6x) − 4 = −((x − 3)² − 9) − 4 = −(x − 3)² + 9 − 4 = −(x − 3)² + 5. Самоконтроль подстановкой x = 0: исходный трёхчлен −4; у ученика −9 + 5 = −4 (совпало случайно!), а x = 1: исходный 1, у ученика −16 + 5 = −11 ≠ 1. Подстановка одного значения не всегда ловит ошибку — проверяйте двумя.
2) Частные значения не доказывают утверждение «при всех x». Верно: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0.

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Коэффициенты, значение, полный квадрат

$a, b, c$ трёхчлена $5 - 2 x^{2} + 3 x$ $- 2; 3; 5$
$P (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $P (- 2) = ?$ $13$
$x^{2} - 8 x + 20$ в виде $(x - m)^{2} + n$ $(x - 4)^{2} + 4$

Наименьшее значение $x^{2} + 6 x + 2$ $- 7$
Наибольшее значение $5 - 4 x - x^{2}$ $9$
При каком $x$ значение $2 x^{2} - 8 x + 3$ наименьшее? $x = 2$

R01.4 · к ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Тождества, параметр, две переменные

повыш. $x^{2} + b x + c = (x - 3)^{2} - 7$ при всех $x$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 6, c = 2$
повыш.Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 \geq 1$ при всех $x$ $(x - 3)^{2} + 1$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $x^{2} + 4 x + c$ равно $5$ ? $c = 9$
повыш.При каких $p$ квадратный трёхчлен $x^{2} + p x + 9$ положителен при всех $x$ ? $- 6 < p < 6$
повыш.Наименьшее значение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 20$ $7$

R01.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Вершину графика даёт полный квадрат

$y = x^{2} - 6 x + 5$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку? $m = - 4$
$y = - x^{2} + 4 x + 1$ . При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек? $m > 5$
повыш. $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ (график справа). При каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно три общие точки? $m = 3$

3 мин · практика
В ОГЭ задание 22 — 2 балла; график нужно построить, а вершину обосновать выделением квадрата.
1) (x − 3)² − 4: вершина (3; −4), ветви вверх. Одна общая точка — только прямая через вершину: m = −4.
2) −(x − 2)² + 5: вершина (2; 5), ветви вниз, наибольшее значение 5. Общих точек нет при m > 5.
3) При x ≥ 0: y = (x − 2)² − 1, при x < 0 — симметрично (функция чётная). Вершины (±2; −1), y(0) = 3. Прямая y = m: m < −1 — 0 точек; m = −1 — 2; −1 < m < 3 — 4; m = 3 — 3 точки (x = 0 и x = ±4); m > 3 — 2. Ответ m = 3. Чертёж точный, клетка 1 × 1 (python).

R01.4 · R01.11

Задача из жизни

Забором $40$ м огораживают участок у стены дома

практикаВыразите площадь $S$ через ширину $x$ $S = - 2 x^{2} + 40 x$
практикаПри каком $x$ площадь наибольшая? Найдите её. $x = 10$ ; $S = 200 м^{2}$
повыш.А если забор $60$ м? $15 \times 30$ м; $450 м^{2}$

R01.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $a, b, c$ трёхчлена $(x - 2) (3 x + 1)$ $3; - 5; - 2$
база $x^{2} - 10 x + 18$ в виде $(x - m)^{2} + n$ $(x - 5)^{2} - 7$
базаНаименьшее значение $2 x^{2} + 12 x + 7$ $- 11$ при $x = - 3$
повыш.При каких $c$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 2 x + c$ положителен при всех $x$ ? $c > 1$

Вариант 2

база $a, b, c$ трёхчлена $(2 x + 1) (x - 4)$ $2; - 7; - 4$
база $x^{2} + 8 x + 11$ в виде $(x - m)^{2} + n$ $(x + 4)^{2} - 5$
базаНаибольшее значение $- 3 x^{2} + 6 x + 2$ $5$ при $x = 1$
повыш.При каких $c$ квадратный трёхчлен $- x^{2} + 4 x + c$ отрицателен при всех $x$ ? $c < - 4$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 3x² + x − 6x − 2 = 3x² − 5x − 2. 2) (x − 5)² − 25 + 18 = (x − 5)² − 7. 3) 2(x + 3)² − 18 + 7 = 2(x + 3)² − 11: −11 при x = −3. 4) (x − 1)² + c − 1 > 0 при всех x ⇔ c > 1 (при c = 1 значение 0 в точке x = 1).
В-2. 1) 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4. 2) (x + 4)² − 16 + 11 = (x + 4)² − 5. 3) −3(x − 1)² + 3 + 2 = −3(x − 1)² + 5: 5 при x = 1. 4) −(x − 2)² + 4 + c < 0 при всех x ⇔ c < −4 (при c = −4 значение 0 в точке x = 2).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $5 x + 1$ — не квадратный трёхчлен?
Как выделить полный квадрат при $a \neq = 1$ ?
Как по знаку $a$ понять: наибольшее или наименьшее?

Домашнее задание

$- 2 x^{2} + 8 x - 1$ : выделите квадрат, найдите наибольшее значение
Докажите: $4 x^{2} - 4 x + 3 > 0$ при всех $x$
При каких $k$ квадратный трёхчлен $x^{2} - 2 k x + 9$ положителен при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-004 · Квадратный трехчлен

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 4/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.4 «Квадратный трехчлен» → 2, 4–19 · опора R01.3 (преобразования графиков) → 3, 7 · применение R01.11 → 9, 10, 17 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-4 (оперировать понятием квадратного трехчлена) → 2, 4–19 · подготовка к ПР-7 (параметр) → 11, 15, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	корни квадратного трехчлена и их число по знаку D — ALG9U-005; разложение на множители — R01.6; график квадратичной функции — R01.7–R01.9
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратныйтрёхчлен

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

Выделять полный квадрат

Находить экстремум

Рассуждать с параметром

Квадраты, сдвиги, значения

Многочлен ax2+bx+c, где a=0

Приведите к виду ax2+bx+c и назовите коэффициенты

Образец

Сам

По значениям трёхчлена найдите коэффициенты

Образец

Сам

Любой квадратный трёхчлен — это сдвинутый ax2

Представьте в виде a(x−m)2+n

Образец

Сам

Значения a(x−m)2+n: знак a решает всё

a>0

a<0

Найдите наибольшее или наименьшее значение

Образец

Сам

Докажите и найдите параметр

Образец

Сам

Три ошибки при выделении квадрата

Не умножили на a

Знак у m

Перепутали min и max

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Выделите полный квадрат

Задача 2. Докажите: x2−6x+10>0

Коэффициенты, значение, полный квадрат

Тождества, параметр, две переменные

Вершину графика даёт полный квадрат

Забором 40 м огораживают участок у стены дома

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-004 · Квадратный трехчлен

Квадратный
трёхчлен

Многочлен $a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c$ и назовите коэффициенты

Любой квадратный трёхчлен — это сдвинутый $a x^{2}$

Представьте в виде $a (x - m)^{2} + n$

Значения $a (x - m)^{2} + n$ : знак $a$ решает всё

$a > 0$

$a < 0$

Не умножили на $a$

Знак у $m$

Задача 2. Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$

Забором $40$ м огораживают участок у стены дома