Функции · урок 3 из 25

Построение графиков
функций с помощью
преобразований

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-003

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 3/25, единица R01.3 «Построение графиков функций с помощью преобразований». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-002 — свойства функций (нули, знакопостоянство, монотонность, чётность, наибольшее и наименьшее значения); следующий ALG9U-004 — квадратный трёхчлен.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сдвиг вдоль Oy) 2 · 5 (сдвиг вдоль Ox) 2 · 7 (растяжение, отражение) 2 · 9 (модуль) 2 · 11 (сводная таблица) 1,5 · 14 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 3 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.
На титуле: график y = x² сдвинут на 2 вправо и на 1 вверх — вершина (0; 0) переходит в (2; 1). Вопрос классу: какая формула у розового графика? (Ответ появится к сл. 6.)

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сдвигать графики

строить $y = f (x) + c$ и $y = f (x + b)$ по графику $y = f (x)$ (ПР-23)

Растягивать и отражать

строить $y = k f (x)$ , $y = - f (x)$ и $y = a f (x + b) + c$ (ПР-23)

Работать с модулем

строить $y = ∣ f (x) ∣$ и $y = f (∣ x ∣)$ (ПР-17, ПР-18)

Решать графически

сколько решений у уравнения с параметром — по графику (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-23 (ФРП дословно): «На примере квадратичной функции строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y = f(x)». ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, … парабола, гипербола, кусочно-заданная функция». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений».
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять построение графиков функций с помощью преобразований вида: f(x) → f(x) + а; f(x) → f(x + а); f(x) → kf(x), f(x) → f(|x|), f(x) → |f(x)|» — все пять преобразований есть на уроке (сл. 4, 5, 7, 9).

разминка · R01.2

Разминка · устно

Значения и свойства функций

f (x) = x^{2} - 3

f (- 2) = ?

1

y = x + 2

значение при

x = 9

5

y = ∣ x + 4∣

значение при

x = - 6

2

y = (x - 3)^{2}

нули функции

x = 3

y = x

область определения

x \geq 0

y = ∣ x ∣

наименьшее значение

0

y = x^{2}

чётная или нечётная?

чётная

y = x^{3}

чётная или нечётная?

нечётная

R01.3

Новое · сдвиг вдоль оси $O y$

$y = f (x) + c$ : каждая точка сдвигается по вертикали на $c$

$y = x^{2}$ исходный, пунктир

$y = x^{2} + 2$ вверх на $2$

$y = x^{2} - 3$ вниз на $3$

Точка

(x_{0}; y_{0})

переходит в

(x_{0}; y_{0} + c)

:

c > 0

— вверх,

c < 0

— вниз на

∣ c ∣

R01.3

Новое · сдвиг вдоль оси $O x$

$y = f (x - b)$ : сдвиг вправо на $b$ (при $b > 0$ )

$y = x$ исходный

$y = x - 2$ вправо на $2$

$y = x + 3$ влево на $3$

Значение

f (x_{0})

функция

f (x - 2)

принимает при

x = x_{0} + 2

— на

2

правее

R01.3

Образец → сам · два сдвига

Постройте график, назовите «опорную» точку

Образец

$y = x + 1 - 2$

$y = x$ базовый график, начало $(0; 0)$

$y = x + 1$ влево на $1$

$y = x + 1 - 2$ вниз на $2$

начало $(- 1; - 2)$ $(0; 0) \to (- 1; - 2)$

$x = 3$ : $4 - 2 = 0$ проверка: точка $(3; 0)$

Сам

базаВершина графика $y = (x - 3)^{2} + 1$ $(3; 1)$
базаВершина и нули $y = ∣ x + 2∣ - 4$ $(- 2; - 4)$ ; нули $- 6$ и $2$
повыш.Каким сдвигом $y = x^{2}$ переходит в $y = x^{2} - 6 x + 9$ ? вправо на $3$ : это $(x - 3)^{2}$

R01.3

Новое · растяжение и отражение

$y = k f (x)$ : ординаты умножаются на $k$

$y = x^{2}$ точка $(1; 1)$

$y = 2 x^{2}$ растяжение от $O x$ в $2$ раза: $(1; 2)$

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ сжатие к $O x$ в $2$ раза: $(2; 2)$

$y = - x^{2}$ симметрия относительно $O x$

y = f (- x)

— симметрия относительно

O y

;

y = f (k x)

,

k > 1

— сжатие к

O y

в

k

раз

2 мин · теория
При k > 1 график «вытягивается» вверх от оси Ox, при 0 < k < 1 — «прижимается» к ней. Нули функции при этом не меняются (0 · k = 0).
y = −f(x): точка (x; y) → (x; −y), наибольшее и наименьшее значения меняются местами. y = f(−x): (x; y) → (−x; y).
y = f(kx) (ПР-23, af(kx + b) + c): значение f(x₀) принимается при x = x₀ / k — при k = 2 график сжимается к Oy вдвое. Пример: √(4x) = 2√x — сжатие к Oy в 4 раза даёт то же, что растяжение от Ox в 2 раза.
Вопрос: где вершина y = −2x² + 3? ((0; 3), ветви вниз.)

R01.3

Образец → сам · цепочка преобразований

Постройте график по шагам

Образец

$y = - 2 (x + 1)^{2} + 3$

$(x + 1)^{2}$ $x^{2}$ влево на $1$

$2 (x + 1)^{2}$ растяжение от $O x$ в $2$ раза

$- 2 (x + 1)^{2}$ отражение относительно $O x$

$- 2 (x + 1)^{2} + 3$ вверх на $3$

вершина $(- 1; 3)$ , ветви вниз $x = 0$ : $y = 1$

Сам

базаОбласть значений $y = 3 - x$ $(- \infty; 3]$
базаВершина $y = \frac{1}{2} (x - 4)^{2}$ и значение при $x = 0$ $(4; 0)$ ; $y (0) = 8$
повыш.Нули и наибольшее значение $y = - ∣ x + 2∣ + 4$ нули $- 6$ и $2$ ; $y_{m a x} = 4$

3 мин · практика
Порядок в образце: сначала сдвиг по Ox, затем растяжение и отражение, в конце сдвиг по Oy. Проверка точкой: x = 0 — y = −2 · 1 + 3 = 1, x = −2 — тоже 1 (симметрия относительно x = −1).
1) 3 − √x = −√x + 3: отражение √x относительно Ox (значения ≤ 0), затем вверх на 3 — значения ≤ 3. Область значений (−∞; 3], наибольшее значение 3 при x = 0.
2) Сдвиг вправо на 4, сжатие к Ox вдвое: вершина (4; 0); y(0) = 16/2 = 8.
3) −|x + 2| + 4 = 0 ⇔ |x + 2| = 4 ⇔ x = 2 или x = −6; вершина «крышки» (−2; 4) — наибольшее значение 4.

R01.3

Новое · графики с модулем

Модуль снаружи меняет $y$ , модуль внутри — $x$

$y = ∣ f (x) ∣$

часть ниже $O x$ отражаем вверх

$y = f (∣ x ∣)$

правую часть ( $x \geq 0$ ) отражаем влево

2 мин · теория
Исходная функция на обоих рисунках — f(x) = (x − 2)² − 1 (вершина (2; −1), нули 1 и 3); на левом она показана пунктиром, на правом совпадает с графиком при x ≥ 0.
|f(x)| = f(x), если f(x) ≥ 0, и −f(x), если f(x) < 0. Поэтому часть графика над осью остаётся, часть под осью (при 1 < x < 3) отражается вверх: вершина (2; −1) → (2; 1). График |f| не опускается ниже Ox.
f(|x|) — чётная функция: f(|−x|) = f(|x|). При x ≥ 0 это f(x), а левую часть строим симметрично относительно Oy. Прежняя левая часть графика f (при x < 0) отбрасывается. Получаем «W»: вершины (±2; −1), точка (0; 3), нули ±1 и ±3.
Вопрос классу: можно ли получить y = |x| из y = x? (Да, обоими способами: |x| = |f(x)| = f(|x|) при f(x) = x.)

R01.3

Образец → сам · модуль

Постройте график с двумя модулями

Образец

$y = ∣ x ∣ - 2$

$y = ∣ x ∣$ «галочка», вершина $(0; 0)$

$y = ∣ x ∣ - 2$ вниз на $2$ , нули $\pm 2$

$y = ∣ x ∣ - 2$ часть ниже $O x$ — вверх

точки $(\pm 2; 0)$ , $(0; 2)$ график «W» (сл. 13)

Сам

базаНули функции $y = ∣ x - 3∣ - 1$ $2; 4$
база $y = ∣ x^{2} - 4∣$ : значение при $x = 0$ и нули $4$ ; нули $\pm 2$
повыш. $y = (∣ x ∣ - 2)^{2}$ : наименьшее значение, где оно достигается? $0$ при $x = \pm 2$

3 мин · практика
Образец: при −2 < x < 2 значение |x| − 2 отрицательно — эту часть («перевёрнутую галочку» с вершиной (0; −2)) отражаем вверх, вершина становится (0; 2). Итоговый график понадобится на сл. 13.
1) |x − 3| = 1 ⇔ x − 3 = ±1 ⇔ x = 2 или x = 4.
2) |0 − 4| = 4; x² − 4 = 0 ⇔ x = ±2. Построение: парабола x² − 4 (вершина (0; −4)), часть при −2 < x < 2 отражаем вверх — «горб» с вершиной (0; 4).
3) Это f(|x|) при f(x) = (x − 2)²: правая ветвь — парабола с вершиной (2; 0), левая — симметрично, вершина (−2; 0). Квадрат ≥ 0, наименьшее значение 0 при |x| = 2. Значение в нуле — 4 (локальный максимум).

R01.3

Сводка · преобразования графиков

Как получить график из графика $y = f (x)$

Формула	Что делаем с графиком $y = f (x)$
$y = f (x) + c$	сдвиг вдоль $O y$ на $c$ (вверх при $c > 0$ )
$y = f (x + b)$	сдвиг вдоль $O x$ на $- b$ (влево при $b > 0$ )
$y = k f (x), k > 0$	растяжение от $O x$ в $k$ раз (сжатие при $k < 1$ )
$y = f (k x), k > 0$	сжатие к $O y$ в $k$ раз (растяжение при $k < 1$ )
$y = - f (x)$ , $y = f (- x)$	симметрия относительно $O x$ , относительно $O y$
$y = ∣ f (x) ∣$	часть ниже $O x$ отражаем вверх
$y = f (∣ x ∣)$	часть при $x \geq 0$ оставляем и отражаем влево

y = a f (x + b) + c

: сдвиг вдоль

O x

→ растяжение и отражение → сдвиг вдоль

O y

R01.3

Образец → сам · формула по графику

Запишите формулу функции

Образец

Парабола — сдвиг $y = x^{2}$

вершина $(- 1; 2)$ по рисунку

влево на $1$ , вверх на $2$

$y = (x + 1)^{2} + 2$

$x = 0$ : $1 + 2 = 3$ точка $(0; 3)$ ✓

Сам

база $y = x$ сдвинули вправо на $3$ и вниз на $1$ $y = x - 3 - 1$
база $y = x^{2}$ отразили относительно $O x$ и подняли на $4$ $y = 4 - x^{2}$
повыш.Сдвинутая $y = x^{2}$ проходит через $(1; 0)$ и $(5; 0)$ $y = (x - 3)^{2} - 4$

R01.3 · ПР-14

Образец → сам · графический метод с параметром

Сколько решений у уравнения $∣ x ∣ - 2 = m$ ?

$m < 0$ : нет; $m = 0$ : $2$ ; $0 < m < 2$ : $4$ ; $m = 2$ : $3$ ; $m > 2$ : $2$

Сам

базаПри каких $m$ у $∣ x^{2} - 4∣ = m$ ровно $3$ решения? $m = 4$
базаСколько решений у $x + 4 = ∣ x ∣$ ? $2$
повыш.При каких $m$ у $∣ (x - 1)^{2} - 4∣ = m$ ровно $4$ решения? $0 < m < 4$

3 мин · практика
Образец: число решений = число общих точек графика y = ||x| − 2| (сл. 10) и горизонтальной прямой y = m. Двигаем прямую снизу вверх: m < 0 — нет точек; m = 0 — две (±2); 0 < m < 2 — четыре (m = 1: ±1, ±3); m = 2 — три (0, ±4); m > 2 — две (m = 3: ±5).
1) График |x² − 4| — «горб» высотой 4 между −2 и 2. Прямая y = 4 касается горба в (0; 4) и пересекает ветви при x² = 8: всего 3 решения (0; ±2√2).
2) Графики √(x + 4) (начало (−4; 0)) и |x| пересекаются дважды. Проверка: x² = x + 4, x = (1 ± √17)/2 ≈ 2,56 и −1,56; обе точки подходят (|x| = √(x + 4) > 0).
3) Парабола (x − 1)² − 4 с вершиной (1; −4), нули −1 и 3; модуль поднимает «горб» до (1; 4). Четыре точки — при 0 < m < 4. Граничные значения: m = 0 — 2 решения, m = 4 — 3 решения. Проверено перебором в python.

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых график «уезжает»

Не в ту сторону

$y = (x + 3)^{2}$ : вершина $(3; 0)$

вершина $(- 3; 0)$ , сдвиг влево

$x + 3 = 0$ при $x = - 3$

Не вынесли $k$

$y = 2 x - 4$ : $2 x$ вправо на $4$

$2 (x - 2)$ : вправо на $2$

начало графика: $2 x - 4 = 0$ , $x = 2$

Перепутали модули

$y = ∣ x^{2} - 4∣$ : отразили левую половину

отражаем часть ниже $O x$ : $- 2 < x < 2$

модуль снаружи — меняет знак $y$

1,5 мин · теория
1) (x + 3)² = f(x + 3) при f(x) = x² — сдвиг на −3 по Ox. Проверка: при x = −3 значение 0 — это вершина.
2) √(2x − 4) = √(2(x − 2)): график √(2x) сдвигаем вправо на 2. Проверка: начало графика там, где 2x − 4 = 0, т. е. x = 2, а не 4.
3) Отражение левой половины относительно Oy — это f(|x|). Для |x² − 4| ось Oy и так ось симметрии, «отражение половины» ничего не меняет — график остаётся параболой с отрицательными значениями, а |…| ≥ 0. Признак ошибки: у графика модуля есть точки ниже Ox.

R01.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Постройте $y = - (x + 2)^{2} + 1$

$x^{2}$ сдвинули вправо на $2$ , отразили относительно $O x$ , подняли на $1$ .

Вершина $(2; 1)$ , ветви вниз.

Ошибка: $x + 2$ — сдвиг влево на $2$

Верно: вершина $(- 2; 1)$

2. Сколько решений у $∣ x^{2} - 4∣ = 4$ ?

$x^{2} - 4 = 4$ , $x^{2} = 8$ , $x = \pm 22$ .

Ответ: $2$ решения.

Ошибка: забыт случай $x^{2} - 4 = - 4$ : $x = 0$

Верно: $3$ решения — прямая $y = 4$ касается «горба»

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Ответьте, не строя график точно

Как из $y = x^{2}$ получить $y = x^{2} + 5$ ? вверх на $5$
Вершина $y = (x - 4)^{2}$ $(4; 0)$
Начало графика $y = x + 2 - 1$ $(- 2; - 1)$

Наибольшее значение $y = 3 - x^{2}$ $3$
Нули $y = ∣ x + 1∣ - 2$ $- 3; 1$
Асимптоты $y = \frac{1}{x - 3} + 2$ $x = 3, y = 2$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Растяжения, модули, число решений

повыш.Область значений $y = 2 x - 1 + 3$ $[3; + \infty)$
повыш.Каким сдвигом $y = 2 x$ переходит в $y = 2 x + 6$ ? влево на $3$
повыш.Нули $y = (∣ x ∣ - 3)^{2} - 4$ $\pm 1; \pm 5$
повыш.Наибольшее значение $y = ∣ x^{2} - 2 x - 3∣$ на $[- 1; 3]$ $4$
повыш.Сколько решений у $∣ x^{2} - 2 x - 3∣ = 3$ ? $4$

2 мин · практика
1) √(x − 1) ≥ 0, после растяжения ≥ 0, после подъёма ≥ 3: [3; +∞). 2) √(2x + 6) = √(2(x + 3)) — влево на 3 (не на 6!).
3) f(|x|) при f(x) = (x − 3)² − 4: (|x| − 3)² = 4 ⇔ |x| − 3 = ±2 ⇔ |x| = 5 или |x| = 1: x = ±1, ±5.
4) x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4; на [−1; 3] значения от −4 до 0, модуль — от 0 до 4; наибольшее 4 при x = 1.
5) (x − 1)² − 4 = 3 ⇒ (x − 1)² = 7 — два корня 1 ± √7; (x − 1)² − 4 = −3 ⇒ (x − 1)² = 1 — корни 0 и 2. Всего 4. Графически: 0 < 3 < 4 — прямая ниже вершины «горба». Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R01.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?

1. $x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1$

2. Это $f (∣ x ∣)$ : правую часть отражаем относительно $O y$

3. Вершины $(\pm 2; - 1)$ , точка $(0; 3)$ , нули $\pm 1, \pm 3$

Ответ: $m = 3$

Сам: при каких

m

общих точек ровно две?

m = - 1

или

m > 3

3 мин · практика
Задание 22 ОГЭ — 2 балла: нужен верно построенный график и верный ответ. Оформление: x² = |x|², поэтому y = |x|² − 4|x| + 3 = f(|x|), f(x) = x² − 4x + 3; при x ≥ 0 — парабола с вершиной (2; −1), функция чётная.
Ровно три точки: прямая проходит через «средний» локальный максимум (0; 3): m = 3, точки x = 0 и x = ±4 (x² − 4x + 3 = 3 ⇔ x = 0 или x = 4).
Сам: m = −1 — касание обеих вершин (2 точки); −1 < m < 3 — 4 точки; m > 3 — 2 точки. Ответ: m = −1 или m > 3. Проверено перебором в python.
Типичная потеря баллов: построили только правую ветвь или «отразили вниз» (спутали f(|x|) и |f(x)|).

R01.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = (x + 5)^{2} - 2$ $(- 5; - 2)$
базаНули $y = ∣ x - 2∣ - 3$ $- 1; 5$
база $y = x$ сдвинули влево на $4$ и вниз на $2$ . Формула? $y = x + 4 - 2$
повыш.Сколько решений у $∣ x^{2} - 9∣ = 5$ ? $4$

Вариант 2

базаВершина $y = (x - 6)^{2} + 3$ $(6; 3)$
базаНули $y = ∣ x + 3∣ - 5$ $- 8; 2$
база $y = x^{2}$ отразили относительно $O x$ и сдвинули вправо на $1$ . Формула? $y = - (x - 1)^{2}$
повыш.Сколько решений у $∣ x^{2} - 1∣ = 1$ ? $3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Куда сдвигается график $y = f (x + b)$ при $b > 0$ ?
Чем отличаются $∣ f (x) ∣$ и $f (∣ x ∣)$ ?
В каком порядке строить $y = a f (x + b) + c$ ?

Домашнее задание

Постройте $y = 3 - x - 2$ , найдите область значений
Число решений $∣ x ∣ - 3 = m$ при всех $m$
Постройте $y = x^{2} - 2∣ x ∣ - 3$ ; при каких $m$ у прямой $y = m$ с графиком ровно $2$ общие точки?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) Вправо на 2, отражение относительно Ox, вверх на 3; начало (2; 3); область значений (−∞; 3].
2) m < 0 — нет решений; m = 0 — 2; 0 < m < 3 — 4; m = 3 — 3; m > 3 — 2.
3) f(|x|), f(x) = (x − 1)² − 4: вершины (±1; −4), точка (0; −3). Ровно 2 общие точки: m = −4 или m > −3 (при −4 < m < −3 — 4 точки, при m = −3 — 3).
Следующий урок ALG9U-004 — квадратный трёхчлен: выделение полного квадрата превратит ax² + bx + c в a(x − m)² + n, и график построим сегодняшними преобразованиями.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-003 · Построение графиков функций с помощью преобразований

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 3/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.3 «Построение графиков функций с помощью преобразований» → 2, 4–20 · опора R01.2 (свойства функций) → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12, 13, 15–20)
Результаты	ПР-23 (af(kx + b) + c) → 2, 4–8, 11, 12, 16, 17, 19 · ПР-17 (график функции, кусочно-заданная функция) → 9, 10 · ПР-18 (свойства по графику) → 3, 6, 8, 10, 16, 17 · ПР-14 (исследование уравнений графически) → 13, 15, 18, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	квадратный трёхчлен и выделение полного квадрата — ALG9U-004; парабола и её вершина в общем виде — R01.8–R01.9; графики кубического корня и степенных функций — R01.12–R01.13
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Построение графиковфункций с помощьюпреобразований

Сегодня вы научитесь

Сдвигать графики

Растягивать и отражать

Работать с модулем

Решать графически

Значения и свойства функций

y=f(x)+c: каждая точка сдвигается по вертикали на c

y=f(x−b): сдвиг вправо на b (при b>0)

Постройте график, назовите «опорную» точку

Образец

Сам

y=kf(x): ординаты умножаются на k

Постройте график по шагам

Образец

Сам

Модуль снаружи меняет y, модуль внутри — x

y=∣f(x)∣

y=f(∣x∣)

Постройте график с двумя модулями

Образец

Сам

Как получить график из графика y=f(x)

Запишите формулу функции

Образец

Сам

Сколько решений у уравнения ​∣x∣−2​=m?

Сам

Три ошибки, из-за которых график «уезжает»

Не в ту сторону

Не вынесли k

Перепутали модули

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Постройте y=−(x+2)2+1

2. Сколько решений у ∣x2−4∣=4?

Ответьте, не строя график точно

Растяжения, модули, число решений

Постройте график y=x2−4∣x∣+3. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно три общие точки?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-003 · Построение графиков функций с помощью преобразований

Построение графиков
функций с помощью
преобразований

$y = f (x) + c$ : каждая точка сдвигается по вертикали на $c$

$y = f (x - b)$ : сдвиг вправо на $b$ (при $b > 0$ )

$y = k f (x)$ : ординаты умножаются на $k$

Модуль снаружи меняет $y$ , модуль внутри — $x$

$y = ∣ f (x) ∣$

$y = f (∣ x ∣)$

Как получить график из графика $y = f (x)$

Сколько решений у уравнения $∣ x ∣ - 2 = m$ ?

Не вынесли $k$

1. Постройте $y = - (x + 2)^{2} + 1$

2. Сколько решений у $∣ x^{2} - 4∣ = 4$ ?

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?