Функции · урок 2 из 25

Свойства
функций

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-002

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 2/25, единица R01.2 «Свойства функций: нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки возрастания и убывания функции, четные и нечетные функции, наибольшее и наименьшее значения функции». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-001 — функция, область определения и множество значений; следующий ALG9U-003 — построение графиков с помощью преобразований.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (нули и знаки) 2,5 · 6 (возрастание, убывание, наибольшее и наименьшее) 2,5 · 8 (чётность) 2,5 · 10 (сводка) 1,5 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Нули и знаки

находить нули функции и промежутки, где $f (x) > 0$ и $f (x) < 0$ (ПР-18)

Монотонность

доказывать возрастание и убывание по определению (ПР-18)

Чётность

исследовать функцию на чётность и нечётность (ПР-18)

Экстремальные значения

находить наибольшее и наименьшее значения, читать свойства по графику (ПР-17, ПР-18)

разминка · R01.1

Разминка · устно

Функция, область определения, значения

f (x) = x^{2} - 4

f (- 3)

= ?

5

f (x) = 2 x - 6

f (x) = 0

при

x

= ?

3

y = \frac{1}{x - 5}

D (y)

x \neq = 5

y = x + 2

D (y)

x \geq - 2

f (x) = x^{3}

f (2)

и

f (- 2)

8

и

- 8

f (x) = x^{2}

f (- 5) = f (?)

f (5)

y = x^{2} + 1

E (y)

[1; + \infty)

(x + 2) (x - 3)

знак при

x = 0

«−»

R01.2

Новое · нули и знакопостоянство

Где график пересекает ось $O x$ и где он выше неё

Нуль функции — значение $x$ из $D (f)$ , при котором $f (x) = 0$ .

нули: решить

f (x) = 0

Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых $f (x) > 0$ (график выше $O x$ ) или $f (x) < 0$ (ниже $O x$ ).

Знак может смениться только в нуле или в точке разрыва

R01.2

Образец → сам · нули и знаки

Найдите нули и промежутки знакопостоянства

Образец

$y = x^{2} - 2 x - 8 = (x + 2) (x - 4)$

нули: $x = - 2, x = 4$ произведение $= 0$

$x > 4$ : $(+) (+)$ , $y > 0$ оба множителя $> 0$

$- 2 < x < 4$ : $(+) (-)$ , $y < 0$ разные знаки

$x < - 2$ : $(-) (-)$ , $y > 0$ оба $< 0$

Сам

база $y = 12 - 3 x$ нуль $4$ ; $y > 0$ при $x < 4$
база $y = x^{2} - 9$ $\pm 3$ ; $y < 0$ на $(- 3; 3)$
повыш. $y = x (x - 2) (x + 5)$ $- 5; 0; 2$ ; $y > 0$ на $(- 5; 0)$ и $(2; + \infty)$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель), затем 2 мин самостоятельно. Разложение x² − 2x − 8 = (x + 2)(x − 4) — по Виета (8 кл.); проверка: f(0) = −8 < 0 ✓ (0 ∈ (−2; 4)).
1) 12 − 3x = 0 ⇒ x = 4; y > 0 при x < 4, y < 0 при x > 4 (убывающая линейная).
2) (x − 3)(x + 3): нули ±3; y < 0 на (−3; 3); y > 0 на (−∞; −3) и (3; +∞).
3) Нули −5; 0; 2. Проверки: y(1) = −6 < 0, y(−1) = 12 > 0, y(3) = 24 > 0, y(−6) = −48 < 0. Итог: y > 0 на (−5; 0) и (2; +∞); y < 0 на (−∞; −5) и (0; 2). Знаки чередуются — каждый множитель в первой степени.

R01.2

Новое · возрастание и убывание

Больше аргумент — больше значение?

Возрастает на промежутке:
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$

Убывает на промежутке:
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$

Наибольшее значение $f (x_{0})$ : $f (x) \leq f (x_{0})$ для всех $x \in D (f)$ ; наименьшее — $f (x) \geq f (x_{0})$

Доказать: взять любые

x_{1} < x_{2}

и оценить знак

f (x_{2}) - f (x_{1})

2,5 мин · теория
Ключевое слово — «любые»: две выбранные точки ничего не доказывают. График — иллюстрация, доказательство — по определению (образец на сл. 7).
На рисунке f(x) = 5 − 0,45(x − 3)²: возрастает на [0; 3], убывает на [3; 6,3]; наибольшее значение 5 при x = 3. Наибольшее значение — это число на оси Oy (5), а не точка x₀ = 3.
Вопрос классу: есть ли наибольшее значение у y = x на всей прямой? (Нет: значения неограниченно растут.) А наименьшее у y = x² ? (0 при x = 0.)

R01.2

Образец → сам · доказательство монотонности

Докажите по определению

Образец: $y = 3 - 2 x$ убывает на $R$

пусть $x_{1} < x_{2}$ любые

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2 (x_{2} - x_{1})$ раскрыли скобки

$x_{2} - x_{1} > 0 \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ знак разности

убывает по определению

Сам

база $y = 5 x + 1$ возрастает на $R$ $f (x_{2}) - f (x_{1}) = 5 (x_{2} - x_{1}) > 0$
база $y = x^{2}$ возрастает на $[0; + \infty)$ $(x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1}) > 0$
повыш. $y = \frac{6}{x}$ убывает на $(0; + \infty)$ $f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{6 ( x _{2} - x _{1} )}{x _{1} x _{2}} > 0$

R01.2

Новое · чётные и нечётные функции

Симметрия графика — по формуле

Шаг 1:

D (f)

симметрична:

x \in D \Rightarrow - x \in D

Чётная: $f (- x) = f (x)$ — график симметричен относительно $O y$

Нечётная: $f (- x) = - f (x)$ — симметричен относительно $O (0; 0)$

Ни то ни другое: достаточно одного

x

, где равенства нарушены

2,5 мин · теория
Симметрия области определения — необходимое условие: у y = x² на [−2; 3] нет пары для x = 3, и функция не чётная (сл. 13).
Почему график чётной функции симметричен относительно Oy: точка (x; f(x)) на графике ⇒ (−x; f(−x)) = (−x; f(x)) тоже на графике — это отражение относительно Oy. Для нечётной: (−x; −f(x)) — отражение относительно начала координат.
По клику на рисунке: пары симметричных точек (±2; 4) и (±1; ±1). Если нечётная функция определена в 0, то f(0) = −f(0), т. е. f(0) = 0.
Функция может быть ни чётной, ни нечётной: y = x + 1 (f(1) = 2, f(−1) = 0). Единственная функция, которая и чётная, и нечётная на симметричной области, — f(x) = 0.

R01.2

Образец → сам · чётность

Исследуйте функцию на чётность

Образец

$f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}$

$D$ : $x \neq = \pm 2$ — симметрична шаг 1

$f (- x) = \frac{- x ^{3}}{x ^{2} - 4}$ $(- x)^{3} = - x^{3}$

$f (- x) = - f (x)$ : нечётная определение

Сам

база $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ чётная
база $f (x) = x^{2} + 2 x$ ни та ни другая
повыш. $f (x) = x + 3 + 3 - x$ чётная
повыш. $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ ни та ни другая

R01.2

Сводка · свойства функции

Как найти по формуле и как увидеть на графике

Свойство	По формуле	На графике
Нули	решить $f (x) = 0$	пересечение с осью $O x$
Знакопостоянство	решить $f (x) > 0$ , $f (x) < 0$	выше / ниже оси $O x$
Возрастание	$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$	слева направо идёт вверх
Убывание	$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$	слева направо идёт вниз
Чётность	$D$ симметрична, $f (- x) = \pm f (x)$	симметрия: $O y$ / точка $O$
Наиб. / наим.	$f (x) \leq f (x_{0})$ / $f (x) \geq f (x_{0})$ на $D$	самая высокая / низкая точка

R01.2

Образец → сам · свойства по графику

Функция $y = f (x)$ задана графиком на $[- 5; 6]$

Образец

$D (f) = [- 5; 6], E (f) = [- 2; 4]$

нули: $- 4; - 1; 2$ пересечения с $O x$

Сам

Где $f (x) > 0$ ? $(- 4; - 1)$ и $(2; 6]$
Промежутки возрастания? $[- 5; - 3]$ и $[1; 4]$
Наибольшее и наименьшее значения? $4$ и $- 2$

R01.2

Образец → сам · наибольшее и наименьшее

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 5]$

$y = (x - 2)^{2} - 3$ выделили квадрат

$y \geq - 3$ , $y (2) = - 3$ $(x - 2)^{2} \geq 0$ , $2 \in [0; 5]$

$y (0) = 1, y (5) = 6$ концы отрезка

наим. $- 3$ , наиб. $6$ $(x - 2)^{2} \leq 9$

Сам

базаНаименьшее: $y = x^{2} + 6 x + 5$ $- 4$ при $x = - 3$
базаНаибольшее: $y = 3 - ∣ x - 1∣$ $3$ при $x = 1$
повыш. $y = 2 x - x^{2}$ на $[- 1; 3]$ наиб. $1$ , наим. $- 3$

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в исследовании функции

Объединили промежутки

$y = \frac{1}{x}$ убывает на $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

убывает на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$

$- 1 < 1$ , но $f (- 1) < f (1)$

Забыли про $D (f)$

$y = x^{2}$ , $x \in [- 2; 3]$ — «чётная»

ни чётная, ни нечётная

$3 \in D$ , а $- 3 \in / D$

Точка вместо значения

$y = (x - 1)^{2} + 5$ : наименьшее значение $1$

наименьшее значение $5$ (при $x = 1$ )

значение — это $y$ , а не $x$

R01.2

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Чётность $f (x) = x^{3} + x^{2}$

$D = R$ — симметрична

$f (- x) = - x^{3} - x^{2} = - f (x)$

Ответ: нечётная

Ошибка: $(- x)^{2} = x^{2}$ , $f (- x) = - x^{3} + x^{2}$

$f (1) = 2, f (- 1) = 0$ — ни та ни другая

2. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[4; 6]$

$y = (x - 3)^{2} - 4$

$(x - 3)^{2} \geq 0$ , значит, $y \geq - 4$

Ответ: $- 4$

Ошибка: $x = 3 \in / [4; 6]$ , $- 4$ не достигается

на $[4; 6]$ возрастает: $y (4) = - 3$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) Знак сменили у обоих слагаемых, хотя квадрат чётен. Верно: f(−x) = −x³ + x² — не равно ни f(x), ни −f(x); контрпример f(1) = 2, f(−1) = 0.
2) Оценка y ≥ −4 верна, но значение −4 принимается только при x = 3, а 3 не входит в отрезок. На [4; 6] x − 3 ∈ [1; 3], (x − 3)² возрастает, наименьшее y(4) = 16 − 24 + 5 = −3 (наибольшее y(6) = 5). Правило: нижняя оценка — ещё не наименьшее значение, нужна точка, где оно достигается.

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Нули, знаки, чётность, наименьшее значение

Нули $y = 3 x + 12$ $- 4$
Нули $y = x^{2} - 7 x$ $0; 7$
Где $y = 10 - 2 x$ отрицательна? $x > 5$

$f (x) = x^{6} - 5 x^{2}$ чётная
$f (x) = 2 x^{3} - x$ нечётная
Наименьшее: $y = (x + 4)^{2} - 1$ $- 1$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства с рассуждением

повыш.Нули $y = x^{3} - 4 x$ $- 2; 0; 2$
повыш.Множество значений $y = 2 - x + 1$ $(- \infty; 2]$
повыш.При каком $a$ функция $f (x) = x^{2} + (a - 3) x + 1$ чётная? $a = 3$
повыш. $f$ нечётная, $D (f) = R$ , $f (2) = 5$ . Найдите $f (- 2) + f (0)$ . $- 5$
повыш.Наибольшее значение $y = \frac{6}{x ^{2} + 2}$ $3$

R01.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

$y = {x - 1, x^{2} - 4 x + 3, x < 1 x \geq 1$

Постройте график. см. рисунок
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки? $m = - 1; m = 0$
При каких $m$ — ровно три общие точки? $- 1 < m < 0$

2 мин · практика
Построение: луч y = x − 1 при x < 1 (подходит к точке (1; 0), значения (−∞; 0)); при x ≥ 1 — часть параболы y = (x − 2)² − 1 с вершиной (2; −1), нули 1 и 3, значения [−1; +∞).
m > 0: одна точка (парабола, x > 3). m = 0: x = 1 и x = 3 — две. −1 < m < 0: одна на луче (x = m + 1 < 1) и две на параболе — три. m = −1: x = 0 и вершина x = 2 — две. m < −1: одна. Проверено перебором m в python.
Ответ: две общие точки при m = −1 и m = 0. Связь со свойствами: функция возрастает на (−∞; 1] и [2; +∞), убывает на [1; 2]; E = ℝ.
ОГЭ, задание 22 — 2 балла: нужен точный график (вершина, нули, «стыковка» в (1; 0)) и обоснование числа общих точек.

R01.2 · применение

Задача из жизни

Температура воздуха за сутки

практикаНаибольшая и наименьшая температура? $6^{\circ}$ C в 14 ч; $- 6^{\circ}$ C в 4 ч
практикаКогда температура повышалась? с 4 до 14 ч
повыш.Сколько часов было выше нуля? $12, 5$ ч (с 9:30 до 22:00)

R01.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаНули $y = x^{2} - 5 x$ $0; 5$
базаЧётность $f (x) = x^{3} - 2 x$ нечётная
базаНаименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 11$ $2$
повыш.Где $y = x^{2} - 6 x + 8$ отрицательна? $(2; 4)$

Вариант 2

базаНули $y = x^{2} + 7 x$ $0; - 7$
базаЧётность $f (x) = x^{4} + 3 x^{2}$ чётная
базаНаибольшее значение $y = - x^{2} + 4 x + 1$ $5$
повыш.Где $y = x^{2} - 8 x + 15$ положительна? $(- \infty; 3)$ и $(5; + \infty)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем нуль функции отличается от точки пересечения?
Почему два значения не доказывают возрастание?
С чего начинают проверку чётности?

Домашнее задание

Исследуйте $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ : нули, знаки, чётность, наибольшее значение
Докажите: $y = x^{2} + 2 x$ убывает на $(- \infty; - 1]$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-002 · Свойства функций

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 2/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.2 «Свойства функций: нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки возрастания и убывания функции, четные и нечетные функции, наибольшее и наименьшее значения функции» → 2, 4–20 · опора R01.1 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-18 (свойства функций по графику и формуле) → 2, 4–19 · ПР-17 (функция, график, кусочно-заданная функция) → 11, 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	преобразования графиков — ALG9U-003; асимптоты — при изучении гиперболы; квадратичная функция — R01.7–R01.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойствафункций

Сегодня вы научитесь

Нули и знаки

Монотонность

Чётность

Экстремальные значения

Функция, область определения, значения

Где график пересекает ось Ox и где он выше неё

Найдите нули и промежутки знакопостоянства

Образец

Сам

Больше аргумент — больше значение?

Докажите по определению

Образец: y=3−2x убывает на R

Сам

Симметрия графика — по формуле

Исследуйте функцию на чётность

Образец

Сам

Как найти по формуле и как увидеть на графике

Функция y=f(x) задана графиком на [−5; 6]

Образец

Сам

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

Сам

Три ошибки в исследовании функции

Объединили промежутки

Забыли про D(f)

Точка вместо значения

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Чётность f(x)=x3+x2

2. Наименьшее значение y=x2−6x+5 на [4; 6]

Нули, знаки, чётность, наименьшее значение

Свойства с рассуждением

y={x−1,x2−4x+3,​x<1x≥1​

Температура воздуха за сутки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-002 · Свойства функций

Свойства
функций

Где график пересекает ось $O x$ и где он выше неё

Образец: $y = 3 - 2 x$ убывает на $R$

Функция $y = f (x)$ задана графиком на $[- 5; 6]$

Забыли про $D (f)$

1. Чётность $f (x) = x^{3} + x^{2}$

2. Наименьшее значение $y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[4; 6]$

$y = {x - 1, x^{2} - 4 x + 3, x < 1 x \geq 1$