Функции · урок 1 из 25

Функция

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG9U-001

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Функции» (25 ч), урок 1/25, единица R01.1 «Функция». Тип урока — Н (новый материал). Опора — 8 класс (ALG8U, строка «Функции»: способы задания, график, чтение свойств). Следующий урок ALG9U-002 — свойства функций (нули, знакопостоянство, монотонность, чётность, наибольшее и наименьшее значения).
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение функции) 3 · 6 (обозначения, способы задания) 2 · 8 (область определения) 1,5 · 10 (график функции) 2 · 12 (кусочно-заданная функция) 1,5 · 15 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 13, 14) по 2,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и вопрос «три точки» сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать функцию

каждому $x$ — единственное $y$ ; формула, таблица, график, описание (ПР-17)

Находить $D (f)$

область определения по формуле: знаменатели, корни (ПР-18)

Находить $E (f)$

множество значений — по графику и выделением квадрата (ПР-18)

Работать с кусочной функцией

значения, уравнения, график, прямая $y = m$ (ПР-17)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения, множество значений, …» — сегодня только область определения и множество значений, остальные свойства — ALG9U-002.
Вид деятельности ФРП по строке: «Описывать понятие «функция»».

разминка · 8 класс

Разминка · устно

Функции 8 класса

y = 2 x - 5

y

при

x = 3

1

y = \frac{12}{x}

y

при

x = - 4

- 3

y = x^{2}

y

при

x = - 1, 5

2, 25

y = x

y

при

x = 49

7

A (2; 8)

,

y = x^{3}

точка на графике?

да

y = - 3 x + 1

x

при

y = 7

- 2

\frac{6}{x - 2}

при каком

x

не имеет смысла?

2

x

при каких

x

имеет смысл?

x \geq 0

R01.1

Новое понятие · функция

Каждому $x$ из множества $D$ — единственное $y$

Функция — зависимость

y

от

x

, при которой каждому

x \in D

соответствует единственное значение

y

x

— аргумент (независимая переменная),

y

— значение функции

3 мин · теория
Определение (по учебнику): функция — такая зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x из множества D соответствует единственное значение y. Множество D — область определения.
Слева y = x² на множестве {−1; 0; 1; 2}: из каждого x выходит ровно одна стрелка; в одно y могут приходить несколько стрелок (−1 и 1 → 1) — это допустимо.
Справа (по клику) соответствие y² = x: из x = 4 выходят две стрелки (2 и −2) — нарушено слово «единственное».
Вопрос классу: можно ли, чтобы двум разным x соответствовало одно y? (Да.) А одному x — два y? (Нет.)

R01.1

Образец → сам · функция или нет

Задаёт ли соответствие $y$ как функцию от $x$ ?

Образец

$∣ y ∣ = x$

$x = 3$ : $y = 3$ или $y = - 3$ подставим

одному $x$ — два $y$ нарушено «единственное»

не функция одного контрпримера достаточно

Сам

база
$x$ 1 2 3 2
$y$ 5 6 7 8
нет: $x = 2$ — два значения
база $x^{2} + y^{2} = 25$ нет: $x = 0$ , $y = \pm 5$
повыш. $y^{3} = x$ да: $y = 3 x$ единственно

$x$	1	2	3	2
$y$	5	6	7	8

2,5 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем 1,5 мин в парах.
1) В таблице x = 2 встречается дважды с разными y (6 и 8) — не функция. Если бы оба раза было 6 — функция.
2) x² + y² = 25 — окружность; при x = 0 y = 5 или y = −5 — не функция (это увидим на сл. 10).
3) У любого числа ровно один кубический корень: y = ∛x — функция. Сравнить с y² = x (сл. 4): квадратный корень из положительного числа — два значения ±.
Ошибка: «нашли x с одним y — значит, функция». Для «да» нужно, чтобы единственность была при каждом x.

R01.1

Теория · обозначения и способы задания

$y = f (x)$ , область определения и множество значений

D (f)

— область определения: все значения аргумента

E (f)

— множество значений: все значения

f (x)

f (3)

— значение функции при

x = 3

Формулой

$f (x) = x^{2} - 3 x$

Таблицей

$x$	0	1	2
$y$	0	−2	−2

Графиком

Описанием

«каждому числу — его последняя цифра»

2 мин · теория
Запись y = f(x) читается «игрек равно эф от икс»; f — правило, по которому x сопоставляется y. Обозначения D(f) (domain) и E(f) — как в учебниках углублённого уровня.
Таблица — значения f(x) = x² − 3x: f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = −2. Таблица задаёт функцию только на конечном множестве.
Если функция задана формулой и область определения не указана, D(f) — все x, при которых формула имеет смысл (сл. 8).
Описание: «последняя цифра натурального числа» — D = ℕ, E = {0, 1, …, 9}.

R01.1

Образец → сам · значения функции

Значение по аргументу и аргумент по значению

Образец: $f (x) = x^{2} - 3 x$

$f (- 2) = 4 + 6 = 10$ подставили $- 2$

$f (a + 1) = a^{2} - a - 2$ $(a + 1)^{2} - 3 (a + 1)$

$f (x) = 4$ : $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ уравнение

$x = - 1$ или $x = 4$ Виета

Сам

база $g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ . Найдите $g (4)$ . $9$
базаПри каком $x$ $g (x) = 3$ ? $x = 10$
повыш. $f (x) = x^{2} - 3 x$ . Решите $f (2 x) = f (x)$ . $0; 1$

R01.1

Теория · область определения

Формула должна иметь смысл

В формуле есть	Условие	Пример
только многочлен	$x$ — любое	$y = x^{3} - 2 x$ : $R$
$\frac{A}{B}$	$B \neq = 0$	$y = \frac{1}{x + 2}$ : $x \neq = - 2$
$A$	$A \geq 0$	$y = x - 1$ : $x \geq 1$
$\frac{A}{B}$	$B > 0$	$y = \frac{1}{x}$ : $x > 0$

Условий несколько — выполняться должны все сразу (система)

R01.1

Образец → сам · область определения

Найдите область определения функции

Образец

$y = \frac{x + 3}{x ^{2} - 4}$

$x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3$ корень

$x^{2} - 4 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 2$ знаменатель

$[- 3; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ оба сразу

Сам

база $y = \frac{5}{x ^{2} - 9 x}$ $x \neq = 0, x \neq = 9$
база $y = 6 - 2 x$ $(- \infty; 3]$
повыш. $y = x - 2 + \frac{1}{7 - x}$ $[2; 7)$

R01.1

Теория · график функции

График — все точки $(x; f (x))$ , где $x \in D (f)$

Вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке

M (a; b)

на графике

\Leftrightarrow b = f (a)

R01.1 · опора ПР-18

Образец → сам · чтение графика

По графику функции $y = f (x)$

Образец

$D (f) = [- 4; 5]$ проекция на $O x$

$E (f) = [- 1; 3]$ проекция на $O y$

$f (0) = 1$ точка $(0; 1)$

база $f (- 2)$ $3$
базаРешите $f (x) = 1$ . $- 3; 0; 4$
повыш.При каких $a$ у $f (x) = a$ ровно два корня? $a = - 1$ ; $2 < a < 3$

2,5 мин · практика
График — ломаная через точки (−4; −1), (−2; 3), (2; −1), (5; 2); концы закрашены (входят). Звенья: y = 2x + 7 на [−4; −2], y = 1 − x на [−2; 2], y = x − 3 на [2; 5].
1) f(−2) = 3 (вершина). 2) f(x) = 1: 2x + 7 = 1 ⇒ −3; 1 − x = 1 ⇒ 0; x − 3 = 1 ⇒ 4. Горизонтальная прямая y = 1 пересекает график трижды.
3) Проводим y = a: a = −1 — точки x = −4 и x = 2 (два корня); −1 < a ≤ 2 — три корня (при a = 2: −2,5; −1; 5); 2 < a < 3 — два корня; a = 3 — один; вне [−1; 3] — нет. Ответ: a = −1 или 2 < a < 3 (проверено перебором в python).

R01.1 · ПР-17

Новое понятие · кусочно-заданная функция

На разных промежутках — разные формулы

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2, x^{2}, 4, x < - 1 - 1 \leq x \leq 2 x > 2

Сначала — в какой промежуток попал

x

, потом — формула этого промежутка

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0

— тоже кусочная

R01.1 · ПР-17

Образец → сам · кусочно-заданная функция

Уравнение $f (x) = a$ — по кускам, с проверкой промежутка

Образец: $f$ со сл. 12, $f (x) = 1$

$x + 2 = 1$ : $x = - 1 \neq < - 1$ не подходит

$x^{2} = 1$ : $x = \pm 1 \in [- 1; 2]$ оба подходят

$4 \neq = 1$ третий кусок

Ответ: $- 1; 1$

Сам: $g (x) = {2 x + 6, x^{2} - 2, x < - 2 x \geq - 2$

база $g (- 5)$ и $g (3)$ $- 4$ и $7$
база $g (x) = 2$ $- 2; 2$
повыш. $g (x) = 0$ $- 3; \pm 2$

R01.1 · опора ПР-18

Образец → сам · множество значений

Найдите $E (f)$ без графика

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$

$y = (x - 2)^{2} - 3$ выделили квадрат

$(x - 2)^{2} \geq 0 \Rightarrow y \geq - 3$ оценка

$y = t$ : $(x - 2)^{2} = t + 3$ решение есть при $t \geq - 3$

$E = [- 3; + \infty)$

Сам

база $y = 5 - x^{2}$ $(- \infty; 5]$
база $y = x + 2$ $[2; + \infty)$
повыш. $y = \frac{6}{x ^{2} + 2}$ $(0; 3]$

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Учли не всё

$y = \frac{x}{x - 1}$ : $x \neq = 1$

$x \geq 0, x \neq = 1$

корень тоже ограничивает $x$

Корень не из своего куска

$f (x) = {x + 3, x^{2}, x < 0 x \geq 0$

$f (x) = 4$ : $1; \pm 2$

только $2$

$1 \neq < 0$ , $- 2 \neq \geq 0$

$f (x + 1) \neq = f (x) + 1$

$f (x) = x^{2}$ : $f (x + 1) = x^{2} + 1$

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

подставляют всё выражение вместо $x$

R01.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите $D (f)$

$f (x) = \frac{x + 1}{4 - x}$

$4 - x \geq 0$ , $x \leq 4$

$D (f) = (- \infty; 4]$

Ошибка: корень в знаменателе, $4 - x > 0$

$D (f) = (- \infty; 4)$

Задача 2. Найдите $E (f)$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

$x^{2} \geq 0$ , значит, $f (x) \geq - 3$

$E (f) = [- 3; + \infty)$

Ошибка: $2 x$ бывает отрицательным; $f (- 1) = - 4$

$f (x) = (x + 1)^{2} - 4$ , $E (f) = [- 4; + \infty)$

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Значения, область определения, множество значений

$f (x) = 3 x^{2} - x$ . Найдите $f (- 2)$ . $14$
$f (x) = \frac{x + 4}{x - 1}$ . При каком $x$ $f (x) = 2$ ? $6$
$D$ : $y = \frac{7}{x + 5}$ $x \neq = - 5$

$D$ : $y = 2 x - 8$ $[4; + \infty)$
Задаёт ли $x = y^{2}$ функцию $y$ от $x$ ? нет
$E$ : $y = x^{2} + 4$ $[4; + \infty)$

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кусочные функции, $D$ и $E$

повыш. $D$ : $y = \frac{x + 2}{x ^{2} - 9}$ $[- 2; 3) \cup (3; + \infty)$
повыш. $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Решите $f (x - 1) = f (x)$ . $1, 5$
повыш. $E$ : $y = - x^{2} + 6 x - 5$ $(- \infty; 4]$
повыш. $D$ и $E$ : $y = x - 3 + 3 - x$ ${3}$ и ${0}$
повыш. $f (x) = {x + 4, x^{2}, x < - 1 x \geq - 1$ . Решите $f (x) = 3$ . $3$

R01.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Кусочная функция и прямая $y = m$

y = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 4 x + 4, - \frac{16}{x}, x \geq - 4 x < - 4

Ровно две общие точки? $m = 4$
Ровно три? $0 < m < 4$
Ровно одна? $m = 0$ или $m > 4$

(- 4; 4)

— на параболе:

x \geq - 4

2 мин · практика
Построение: x² + 4x + 4 = (x + 2)² — парабола с вершиной (−2; 0), берём часть x ≥ −4 (точка (−4; 4) закрашена). При x < −4 — ветвь гиперболы y = −16/x: (−8; 2), (−16; 1); значения в (0; 4), к точке (−4; 4) подходит, не достигая её.
Прямая y = m: m < 0 — нет точек; m = 0 — одна (вершина); 0 < m < 4 — три (гипербола x = −16/m и парабола x = −2 ± √m); m = 4 — две (x = −4 и x = 0 на параболе, гипербола 4 не достигает); m > 4 — одна (x = −2 + √m). Проверено численно в python.
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верный график (с выколотыми/закрашенными точками) и ответ. Типичная потеря — не учтена граница куска (−4; 4).

R01.1 · ПР-17

Задача из жизни

Такси: $150$ ₽ за первые $3$ км, далее $25$ ₽ за км

практикаЗадайте $C (s)$ кусочно $C = 150$ при $s \leq 3$ ; $C = 25 s + 75$ при $s > 3$
практика $C (2)$ и $C (10)$ $150$ и $325$ ₽
практикаСколько км на $400$ ₽? $13$ км

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $f (x) = 2 x^{2} - 3 x$ . Найдите $f (- 1)$ . $5$
база $D$ : $y = \frac{x + 1}{x - 4}$ $[- 1; 4) \cup (4; + \infty)$
повыш. $E$ : $y = x^{2} - 6 x + 10$ $[1; + \infty)$
повыш. $f (x) = {x + 5, x^{2}, x < - 2 x \geq - 2$ , $f (x) = 4$ $- 2; 2$

Вариант 2

база $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ . Найдите $f (- 2)$ . $8$
база $D$ : $y = \frac{5 - x}{x + 3}$ $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 5]$
повыш. $E$ : $y = - x^{2} + 4 x + 1$ $(- \infty; 5]$
повыш. $f (x) = {2 - x, x^{2}, x > 1 x \leq 1$ , $f (x) = 1$ $- 1; 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое слово главное в определении функции?
Как по формуле найти $D (f)$ ?
Что проверить у корня кусочного уравнения?

Домашнее задание

$D$ : $y = \frac{x + 4}{x ^{2} - x}$
$E$ : $y = 2 x^{2} - 8 x + 3$
Постройте $y = {- x, x, x < 0 x \geq 0$ , найдите $E$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-001 · Функция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Функции», 25 ч · урок 1/25 · тип Н
Единицы → слайды	R01.1 «Функция» → 2, 4–22 · опора 8 кл. (функции, графики) → 3 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16–22)
Результаты	ПР-17 (функция, график функции, кусочно-заданная функция) → 2, 4–7, 10–13, 15, 19–21 · ПР-18 (область определения, множество значений) → 6, 8, 9, 11, 14, 16–18, 21 · кодификатора у курса нет
Вне урока	нули, знакопостоянство, монотонность, чётность, наибольшее/наименьшее — ALG9U-002; преобразования графиков — ALG9U-003
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функция

Сегодня вы научитесь

Узнавать функцию

Находить D(f)

Находить E(f)

Работать с кусочной функцией

Функции 8 класса

Каждому x из множества D — единственное y

Задаёт ли соответствие y как функцию от x?

Образец

Сам

y=f(x), область определения и множество значений

Формулой

Таблицей

Графиком

Описанием

Значение по аргументу и аргумент по значению

Образец: f(x)=x2−3x

Сам

Формула должна иметь смысл

Найдите область определения функции

Образец

Сам

График — все точки (x; f(x)), где x∈D(f)

По графику функции y=f(x)

Образец

На разных промежутках — разные формулы

Уравнение f(x)=a — по кускам, с проверкой промежутка

Образец: f со сл. 12, f(x)=1

Сам: g(x)={2x+6,x2−2,​x<−2x≥−2​

Найдите E(f) без графика

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Учли не всё

Корень не из своего куска

f(x+1)=f(x)+1

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Найдите D(f)

Задача 2. Найдите E(f)

Значения, область определения, множество значений

Кусочные функции, D и E

Кусочная функция и прямая y=m

Такси: 150 ₽ за первые 3 км, далее 25 ₽ за км

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-001 · Функция

Находить $D (f)$

Находить $E (f)$

Каждому $x$ из множества $D$ — единственное $y$

Задаёт ли соответствие $y$ как функцию от $x$ ?

$y = f (x)$ , область определения и множество значений

Образец: $f (x) = x^{2} - 3 x$

График — все точки $(x; f (x))$ , где $x \in D (f)$

По графику функции $y = f (x)$

Уравнение $f (x) = a$ — по кускам, с проверкой промежутка

Образец: $f$ со сл. 12, $f (x) = 1$

Сам: $g (x) = {2 x + 6, x^{2} - 2, x < - 2 x \geq - 2$

Найдите $E (f)$ без графика

$f (x + 1) \neq = f (x) + 1$

Задача 1. Найдите $D (f)$

Задача 2. Найдите $E (f)$

Кусочные функции, $D$ и $E$

Кусочная функция и прямая $y = m$

Такси: $150$ ₽ за первые $3$ км, далее $25$ ₽ за км