Повторение и систематизация · урок 10 из 10 · итоговый

Алгебра 8 класса:
весь курс одной картой

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-136

1 мин · теория
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 10/10 — последний урок курса, тип О. Единица R09.1. Задача урока — собрать курс в одну систему и решить «сквозные» задачи, где встречаются несколько тем сразу.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Теория: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · карта курса, числа, шпаргалка 6 (сл. 4, 5, 7) · сквозные образцы 1–3 разбирает учитель 6 (сл. 8, 10, 12).
Практика: блиц 2 (сл. 3) · «Образец → сам» после каждого образца 10 (сл. 6, 9, 11, 13, 15) · системы и физика решает класс 4 (сл. 14, 16) · ошибки 2 (сл. 17) · самопроверка 3 (сл. 18) · самостоятельная 6 (сл. 19) · ОГЭ 3 (сл. 20) · рефлексия 1 (сл. 21).
Если не успеваете — сл. 15 перенести в ДЗ, сл. 18 оставить заданиям 1–2.

R09.1

Цели урока

Сегодня вы покажете, что умеете за год

Числа

расширение числовых множеств, действия с корнями (ПР-2, ПР-3)

Делимость

находить остатки суммы и произведения по модулю (ПР-7)

Выражения

преобразовывать дроби, степени, корни (ПР-12, ПР-15, ПР-18)

Уравнения

исследовать уравнения с параметром графически (ПР-22)

Неравенства

решать системы и изображать решения (ПР-24)

Модели

решать задачи из других предметов (ПР-13, ПР-23)

1 мин · теория
ФРП дословно: ПР-2 «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств»; ПР-7 «…находить остатки суммы и произведения по данному модулю»; ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-15 «…выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем»; ПР-18 «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…»; ПР-24 «…решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию…»; ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики»; ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели…».
Вопрос классу: какая тема года далась труднее всего? Запомнить ответы — к ним вернуться на сл. 21.

R09.1

Блиц · по одному заданию из каждой главы

Устно: 20 секунд на каждое

Корни

0, 36 \cdot 25

Степени

2^{- 3} \cdot 2^{5}

Остаток при делении на 5

17 \cdot 23

Корни уравнения

x^{2} - 9 x + 14 = 0

Допустимые значения

\frac{1}{x ^{2} - 4}

Неравенство

- 2 x > 6

R09.1

Карта курса · что на что опирается

Восемь глав алгебры 8 класса

R09.1

Числа · расширение числовых множеств

$N \subset Z \subset Q \subset R$

Иррациональное число

бесконечная непериодическая десятичная дробь

Доказали в курсе

$2$ нельзя записать дробью $\frac{m}{n}$

R09.1

Сам · устно

Наименьшее множество, которому принадлежит число

49

N

- 16

Z

0, (3)

Q

12

иррац.

2 \cdot 18

N

(3)^{2} - 5

Z

2, 25

Q

π - 3

иррац.

R09.1

Сводная таблица · главные формулы года

Шпаргалка курса

Тема	Формулы и правила
Корни	$ab = a \cdot b (a, b \geq 0), a^{2} = ∣ a ∣$
Степени	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}$
Дроби	$\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c} (b \neq = 0, c \neq = 0)$
Квадратные	$D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}, x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Делимость	$a \equiv b (mod m) \Rightarrow a + c \equiv b + c, a c \equiv b c, a^{n} \equiv b^{n}$

R09.1

Сквозной образец 1 · корни, дроби, степени

Одно выражение — три темы курса

(\frac{1}{5 - 2} - \frac{1}{5 + 2}) \cdot 2^{- 2}

= \frac{( 5 + 2 ) - ( 5 - 2 )}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )} \cdot \frac{1}{4}

общий знаменатель;

2^{- 2} = \frac{1}{4}

= \frac{4}{5 - 4} \cdot \frac{1}{4}

разность квадратов в знаменателе

= 1

R09.1

Образец → сам · корни, дроби, степени

Вычислите по образцу

база $\frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{3 + 2}$ $= 23$
база $(7 - 3) (7 + 3) \cdot 2^{- 2}$ $= 1$
база $\frac{3 ^{- 4} \cdot 9 ^{3}}{2 7 ^{0}}$ $= 9$
повыш. $\frac{2}{5 - 3} - 5$ $= 3$

R09.1

Сквозной образец 2 · делимость и остатки

Остаток от деления $2^{100}$ на $7$

2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)

2^{100} = (2^{3})^{33} \cdot 2

\equiv 1^{33} \cdot 2 = 2 (mod 7)

Остаток:

2

R09.1

Образец → сам · остатки

Найдите остаток по образцу

базаОстаток от деления $2^{50}$ на $5$ $4$
базаОстаток от деления $17 \cdot 19 + 23$ на $4$ $2$
повыш.Остаток от деления $3^{100}$ на $7$ $4$
повыш.Последняя цифра числа $7^{2026}$ $9$

R09.1

Сквозной образец 3 · уравнение с параметром, модуль, график

Сколько корней у $x^{2} - 4∣ x ∣ + 3 = a$ ?

$a$	корней
$a < - 1$	0
$a = - 1$	2
$- 1 < a < 3$	4
$a = 3$	3
$a > 3$	2

число корней = число точек пересечения с прямой $y = a$

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Построение: при $x \geq 0$ это парабола $y = (x - 2)^{2} - 1$ с вершиной (2; −1); график симметричен относительно оси Oy, так как $∣ x ∣$ не меняется при замене x на −x. Точка (0; 3) — «излом».
Прямые на рисунке: a = 5 (синяя, 2 точки), a = 3 (3 точки), a = 1 (4 точки), a = −1 (2 точки, вершины). Подписи справа — число точек.
Проверка для a = 3: $x^{2} - 4∣ x ∣ = 0$ , $∣ x ∣ (∣ x ∣ - 4) = 0$ → x = 0, ±4 — три корня. Для a = −1: $(∣ x ∣ - 2)^{2} = 0$ → x = ±2.
Вопрос: при каких a ровно 4 корня? (−1 < a < 3.)

R09.1

Образец → сам · число корней по графику

Уравнение $∣ x^{2} - 4∣ = a$

$a = - 1$ 0 корней
$a = 0$ 2 корня
$a = 2$ 4 корня
$a = 4$ 3 корня
$a = 5$ 2 корня
ровно 4 корня? $0 < a < 4$

R09.1

Сквозной образец 4 · система неравенств

Целые решения системы

{2 (x - 1) \leq 3 x + 1 5 - x > 2 x - 7

- x \leq 3 \Rightarrow x \geq - 3

- 3 x > - 12 \Rightarrow x < 4

R09.1

Образец → сам · системы неравенств

Решите систему, найдите целые решения

база ${3 x - 1 > 5 x + 4 \leq 10$ $(2; 6]$ · целых: 4
база ${2 (x + 3) \geq x + 1 4 - x > 1$ $[- 5; 3)$ · целых: 8
повыш.Наибольшее целое решение ${- 2 x < 8 3 x - 7 \leq x + 4$ $5$

R09.1

Сквозной образец 5 · задача из физики

Параллельное соединение: $R = 6$ Ом

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}

x^{2} - 7 x - 30 = 0

x = 10

или

x = - 3

R_{2} = 10

Ом,

R_{1} = 15

Омx > 0 по смыслу задачи

2 мин · практика
Класс составляет уравнение и решает сам (1,5 мин), затем сверка по шагам на слайде.
Условие: сопротивление одного резистора на 5 Ом больше другого; при параллельном соединении общее сопротивление 6 Ом. Найдите сопротивления.
Умножаем на $6 x (x + 5)$ : $6 (x + 5) + 6 x = x (x + 5)$ , $12 x + 30 = x^{2} + 5 x$ , $x^{2} - 7 x - 30 = 0$ ; по Виету корни 10 и −3.
Проверка: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}$ . Верно. Корень −3 отбрасываем: сопротивление положительно (ПР-23 — интерпретация результата).
Вопрос: почему общее сопротивление меньше каждого? (Сумма обратных величин больше каждой из них.)

R09.1

Самоконтроль · ошибки года

Найдите ошибку

Корень из квадрата

✗

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

✓

= ∣1 - 3 ∣ = 3 - 1

Отрицательная степень

✗

(- 2)^{- 2} = 4

✓

(- 2)^{- 2} = \frac{1}{4}

«Сокращение» слагаемых

✗

\frac{x + 3}{x} = 3

✓

\frac{x + 3}{x} = 1 + \frac{3}{x}

Знак неравенства

✗

- 3 x < 12 \Rightarrow x < - 4

✓

x > - 4

R09.1

Задания с самопроверкой

База и повышенный уровень

базаРешите $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ $1; 5$
базаУпростите $(2 - 5)^{2}$ $5 - 2$
повыш.Сравните $10 + 3$ и $8 + 5$ первое меньше
параметрПри каких $a$ уравнение $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$ имеет два различных положительных корня? $a \in (0; 1) \cup (1; + \infty)$

R09.1

Итоговая самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{( 3 ^{- 2} ) ^{3} \cdot 3 ^{8}}{3 ^{- 1}}$ $27$
Сократите $\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} + 3 a}$ $\frac{a - 3}{a}$
$\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 1$ $0; 5$
Остаток $3^{50}$ при делении на $8$ $1$

Вариант 2

$\frac{( 2 ^{- 3} ) ^{2} \cdot 2 ^{9}}{2 ^{- 1}}$ $16$
Сократите $\frac{b ^{2} - 16}{b ^{2} - 4 b}$ $\frac{b + 4}{b}$
$\frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = 1$ $- 1; 6$
Остаток $2^{41}$ при делении на $3$ $2$

6 мин · практика
Варианты по партам: 5 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $3^{- 6 + 8 + 1} = 3^{3} = 27$ ; 2) $\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{a ( a + 3 )} = \frac{a - 3}{a}$ (при $a \neq = 0, a \neq = - 3$ ); 3) $2 (x + 1) + 3 (x - 1) = x^{2} - 1$ → $x^{2} - 5 x = 0$ → 0 и 5 (оба допустимы; проверка x = 5: 0,5 + 0,5 = 1; x = 0: −2 + 3 = 1); 4) $3^{2} = 9 \equiv 1 (mod 8)$ , $3^{50} = (3^{2})^{25} \equiv 1$ — остаток 1.
Вариант 2: 1) $2^{- 6 + 9 + 1} = 2^{4} = 16$ ; 2) $\frac{( b - 4 ) ( b + 4 )}{b ( b - 4 )} = \frac{b + 4}{b}$ (при $b \neq = 0, b \neq = 4$ ); 3) $3 (x + 2) + 2 (x - 2) = x^{2} - 4$ → $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ → −1 и 6 (проверка x = 6: 0,75 + 0,25 = 1; x = −1: −1 + 2 = 1); 4) $2 \equiv - 1 (mod 3)$ , $(- 1)^{41} = - 1 \equiv 2$ — остаток 2.

R09.1

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график, часть 2)

Постройте график и найдите $k$

Задание

Постройте график функции

y = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1}

и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек.

рефлексия · ДЗ

Итог урока и учебного года

Что вы берёте в 9 класс

Ответьте одной фразой

Какой приём года самый полезный?
Как по графику узнать число корней?
Какая ошибка была вашей «любимой»?

Летнее задание

Остаток от деления $5^{40}$ на $6$
При каких $a$ уравнение $x^{2} - 2∣ x ∣ = a$ имеет ровно два корня?
Вычислите $\frac{1}{3 - 2} - 3$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия, ДЗ)
Вернуться к ответам со сл. 2 (самые трудные темы) и посоветовать раздел тренажёра по каждой.
Ответы летнего задания: 1) $5 \equiv - 1 (mod 6)$ , $(- 1)^{40} = 1$ — остаток 1; 2) график $y = x^{2} - 2∣ x ∣$ : вершины (±1; −1), излом (0; 0); ровно два корня при a = −1 или a > 0; 3) $\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2$ , ответ $2$ .
В 9 классе понадобится всё: квадратичная функция опирается на квадратные уравнения, неравенства второй степени — на графики, прогрессии — на степени.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-136 · Итоговый урок: алгебра 8 класса одной картой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 10/10 · тип О · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R09.1 (повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, задачи из других предметов) → 2–21
Результаты	ПР-2, ПР-3 (числа, корни) → 3, 5, 6, 8, 9, 17, 18 · ПР-7 (остатки) → 3, 10, 11, 19 · ПР-12, ПР-15, ПР-18 (преобразования) → 7, 8, 9, 17, 18, 19 · ПР-19, ПР-20 (уравнения) → 3, 16, 18, 19 · ПР-22 (исследование графически) → 12, 13, 20 · ПР-24 (неравенства) → 14, 15, 17 · ПР-26 (графики функций) → 12, 13, 20 · ПР-13, ПР-23 (задачи) → 16
Вне урока	подробное повторение отдельных глав — уроки ALG8U-127…135; стандартный вид числа (R07) — урок 127
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Алгебра 8 класса:весь курс одной картой

Сегодня вы покажете, что умеете за год

Числа

Делимость

Выражения

Уравнения

Неравенства

Модели

Устно: 20 секунд на каждое

Корни

Степени

Остаток при делении на 5

Корни уравнения

Допустимые значения

Неравенство

Восемь глав алгебры 8 класса

N⊂Z⊂Q⊂R

Иррациональное число

Доказали в курсе

Наименьшее множество, которому принадлежит число

Шпаргалка курса

Одно выражение — три темы курса

Вычислите по образцу

Остаток от деления 2100 на 7

Найдите остаток по образцу

Сколько корней у x2−4∣x∣+3=a?

Уравнение ∣x2−4∣=a

Целые решения системы

Решите систему, найдите целые решения

Параллельное соединение: R=6 Ом

Найдите ошибку

Корень из квадрата

Отрицательная степень

«Сокращение» слагаемых

Знак неравенства

База и повышенный уровень

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график и найдите k

Задание

Что вы берёте в 9 класс

Ответьте одной фразой

Летнее задание

ALG8U-136 · Итоговый урок: алгебра 8 класса одной картой

Алгебра 8 класса:
весь курс одной картой

$N \subset Z \subset Q \subset R$

Остаток от деления $2^{100}$ на $7$

Сколько корней у $x^{2} - 4∣ x ∣ + 3 = a$ ?

Уравнение $∣ x^{2} - 4∣ = a$

Параллельное соединение: $R = 6$ Ом

Постройте график и найдите $k$