Повторение · урок 9 из 10 · обобщение

Функции
и графический
метод

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-135

1 мин · теория (вступление). Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 9/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Тип О. Тема урока — «Функции и графики» (строка R06) в связке с исследованием уравнений и систем, в том числе с параметром (R03, R05). Предыдущий урок ALG8U-134 — обобщение по другой теме блока; следующий ALG8U-136 — итоговое занятие курса.
Хронометраж (45 мин): теория — титул и цели 2 (сл. 1–2), сводка функций 2 (сл. 5), графический метод 2 (сл. 6), параметр в уравнении и системе 4 (сл. 8–9), выколотая точка и касание 4 (сл. 11–12) = 14 мин; практика — разминка 2 (сл. 3), узнай график 2 (сл. 4), «образец → сам» 3 + 3 + 3 (сл. 7, 10, 13), свойства по графику 2 (сл. 14), задача из физики 2 (сл. 15), найди ошибку 2 (сл. 16), задания с самопроверкой 4 (сл. 17), ОГЭ 3 (сл. 18), самостоятельная работа 4 (сл. 19), рефлексия 1 (сл. 20) = 31 мин.
Рисунок: гипербола $y = \frac{4}{x}$ и прямая $y = x + 3$ пересекаются в точках (1; 4) и (−4; −1) — это слайд 6.

R09.1

Цели урока

Ученик повторит и научится

Свойства

определять свойства функции по её графику (ПР-25)

Графики

строить графики $y = k x + b$ , $y = \frac{k}{x}$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ (ПР-26)

Исследование

устанавливать число решений уравнения и системы по графикам (ПР-22)

Параметр

решать линейные уравнения и системы с параметром (ПР-21)

Уравнения

квадратные и дробно-рациональные — с проверкой ОДЗ (ПР-19, ПР-20)

Модель

переводить задачу из физики на язык графиков (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 «Решать квадратные уравнения»; ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-21 «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…»; ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели…»; ПР-25 «…определять свойства функции по её графику»; ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по её графику».
Виды деятельности ФРП (R09): «Использовать функционально-графические представления для решения задач».

повторение

Разминка · устно · 2 мин

Шесть вопросов — ответ одной фразой

1

f (x) = x^{2} - 3 x

.
Найдите

f (- 2)

10

2

Лежит ли точка

(2; 8)

на графике

y = x^{3}

?

да

3

При каком

x

\frac{6}{x} = 3

?

x = 2

4

По Виета:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

5

D

уравнения

x^{2} - 4 x + 5 = 0

- 4

, корней нет

6

Угловой коэффициент прямой

2 x + y = 7

- 2

повторение: R06

Актуализация · узнайте график

Какой формуле соответствует каждый график?

1) $y = x^{3}$ 2) $y = x$ 3) $y = - \frac{3}{x}$ 4) $y = 2 x - 1$ 5) $y = x^{2}$ 6) $y = ∣ x ∣$

R09.1 · сводка R06

Карта темы · функции курса

Шесть функций — область, множество значений, монотонность

функция	график	$D (y)$	$E (y)$	возрастает / убывает
$y = k x + b, k > 0$	прямая	$R$	$R$	возрастает на $R$
$y = \frac{k}{x}, k > 0$	гипербола	$x \neq = 0$	$y \neq = 0$	убывает на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$
$y = x^{2}$	парабола	$R$	$[0; + \infty)$	убывает на $(- \infty; 0]$ , возрастает на $[0; + \infty)$
$y = x^{3}$	кубическая парабола	$R$	$R$	возрастает на $R$
$y = x$	ветвь параболы	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$	возрастает на $[0; + \infty)$
$y = ∣ x ∣$	«угол»	$R$	$[0; + \infty)$	убывает на $(- \infty; 0]$ , возрастает на $[0; + \infty)$

R09.1 · ПР-22

Графический метод решения уравнений

Решите уравнение $\frac{4}{x} = x + 3$

Корни уравнения $f (x) = g (x)$ — абсциссы общих точек графиков

x^{2} + 3 x - 4 = 0, x \neq = 0

умножили обе части на

x

x_{1} = 1, x_{2} = - 4

по теореме Виета:

x_{1} + x_{2} = - 3

,

x_{1} x_{2} = - 4

Ответ:

- 4; 1

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Сначала графики (сколько корней? какие примерно?), потом точный расчёт — график даёт число корней и прикидку, алгебра — точные значения.
Проверка: $\frac{4}{1} = 4 = 1 + 3$ ✓; $\frac{4}{- 4} = - 1 = - 4 + 3$ ✓.
Вопрос: «Сколько корней у уравнения $\frac{4}{x} = x$ ? $\frac{4}{x} = - x$ ?» — два ( $\pm 2$ ) и ни одного (гипербола в I и III четвертях, прямая $y = - x$ — во II и IV).
Ошибка: читать с графика «точный» корень, если точка не в узле сетки; графический метод — для числа корней и проверки.

R09.1 · ПР-22

Образец → сам · 3 мин

Сколько корней? Найдите их

база $\frac{2}{x} = x + 1$ два корня: $- 2; 1$
база $x^{2} = 2 x + 3$ два корня: $- 1; 3$

база $\frac{3}{x} = - x$ корней нет
повыш. $x = x - 2$ один корень: $4$

3 мин · практика
По образцу сл. 6: сначала эскиз двух графиков в тетради (число общих точек), потом точное решение. Ответ открывать по клику после каждого номера.
Ответы. 1) $x^{2} + x - 2 = 0$ , $x \neq = 0$ : $x = - 2$ и $x = 1$ . Проверка: $\frac{2}{- 2} = - 1 = - 2 + 1$ ✓, $\frac{2}{1} = 2 = 1 + 1$ ✓. 2) $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ : $x = - 1$ и $x = 3$ (парабола и прямая, точки (−1; 1) и (3; 9)).
3) Гипербола $y = \frac{3}{x}$ — в I и III четвертях, прямая $y = - x$ — во II и IV (и в начале координат, где гипербола не определена): общих точек нет. Алгебра: $x^{2} = - 3$ — корней нет.
4) На графике одна общая точка. Алгебра: $x = (x - 2)^{2}$ , $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , $x = 1$ или $x = 4$ ; $x = 1$ — посторонний ( $1 = 1 \neq = - 1$ ). Ответ: $4$ . Здесь график защищает от постороннего корня.

R09.1 · ПР-21

Уравнение с параметром · разбор всех случаев

Решите уравнение $(a^{2} - 1) x = a + 1$ при всех $a$

R09.1 · ПР-21, ПР-22

Система с параметром · взаимное расположение прямых

${a x + 2 y = 4 2 x + y = b \Leftrightarrow {y = - \frac{a}{2} x + 2 y = - 2 x + b$

2 мин · теория
Число решений системы двух линейных уравнений = число общих точек двух прямых: одна, ни одной или бесконечно много.
Угловые коэффициенты $- \frac{a}{2}$ и $- 2$ равны при $a = 4$ . Тогда первая прямая $y = - 2 x + 2$ ; она совпадает со второй при $b = 2$ и параллельна ей при $b \neq = 2$ .
На рисунках: слева $a = 2$ , $b = 3$ — прямые $y = - x + 2$ и $y = - 2 x + 3$ пересекаются в точке (1; 1); в середине $b = - 1$ ; справа прямые совпадают.
Ответ: при $a \neq = 4$ — одно решение (при любом $b$ ); при $a = 4, b \neq = 2$ — решений нет; при $a = 4, b = 2$ — бесконечно много. Вопрос сильным: найдите это решение при $a = 2, b = 3$ — из $- x + 2 = - 2 x + 3$ получаем $x = 1$ , $y = 1$ (точка на левом рисунке).

R09.1 · ПР-21

Образец → сам · 3 мин

Уравнения и системы с параметром

базаРешите при всех $a$ : $(a - 2) x = 3$ $a = 2$ : корней нет; $a \neq = 2$ : $x = \frac{3}{a - 2}$
базаРешите при всех $a$ : $(a + 4) x = a^{2} - 16$ $a = - 4$ : $x$ — любое; $a \neq = - 4$ : $x = a - 4$

повыш.При каких $a$ система ${a x + 3 y = 6 2 x + y = 4$ имеет единственное решение? $a \neq = 6$
повыш.При каком $b$ система ${x - 2 y = 3 - 2 x + 4 y = b$ имеет бесконечно много решений? $b = - 6$

3 мин · практика
№1–2 — по образцу сл. 8 (сначала особые $a$ , при которых коэффициент при $x$ равен нулю), №3–4 — по образцу сл. 9 (сравнить угловые коэффициенты и свободные члены).
Ответы. 1) $a = 2$ : $0 \cdot x = 3$ — корней нет; иначе $x = \frac{3}{a - 2}$ . 2) $(a + 4) x = (a + 4) (a - 4)$ : $a = - 4$ — $0 \cdot x = 0$ , $x$ любое; иначе $x = a - 4$ . Проверка 2) при $a = 0$ : $4 x = - 16$ , $x = - 4 = 0 - 4$ ✓.
3) $y = - \frac{a}{3} x + 2$ и $y = - 2 x + 4$ : единственное решение, если $- \frac{a}{3} \neq = - 2$ , т. е. $a \neq = 6$ . При $a = 6$ : $2 x + y = 2$ и $2 x + y = 4$ — прямые параллельны, решений нет.
4) $y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ и $y = \frac{1}{2} x + \frac{b}{4}$ : угловые коэффициенты равны всегда; прямые совпадают при $\frac{b}{4} = - \frac{3}{2}$ , $b = - 6$ (второе уравнение — первое, умноженное на $- 2$ ).
Ошибка в 2): ответ «при $a = - 4$ корней нет» — на самом деле $0 \cdot x = 0$ .

R09.1 · ПР-20, ПР-22

Углублённо · ОДЗ на графике

Сколько корней имеет $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = a$ ?

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2, x \neq = 2

x + 2 = a \Rightarrow x = a - 2

корень годится, если

a - 2 \neq = 2

a \neq = 4

— один корень

a = 4

— корней нет

R09.1 · ПР-19, ПР-22

Квадратное уравнение с параметром · дискриминант на графике

При каких $k$ прямая $y = k x - 1$ касается параболы $y = x^{2}$ ?

x^{2} = k x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - k x + 1 = 0

D = k^{2} - 4

число общих точек = число корней

D = 0 : k = \pm 2

— касание

∣ k ∣ > 2

— две точки;

∣ k ∣ < 2

— нет

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Все прямые $y = k x - 1$ проходят через точку (0; −1) — «пучок»; меняя $k$ , поворачиваем прямую.
$k = 3$ : $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ , $D = 5$ , две точки ( $x = \frac{3 \pm 5}{2} \approx 0, 38$ и $2, 62$ ). $k = \pm 2$ : $D = 0$ , точки касания $x = \frac{k}{2} = \pm 1$ , т. е. (1; 1) и (−1; 1). $k = 1$ : $D = - 3 < 0$ — общих точек нет.
Вопрос: «А прямые $y = k x + 1$ — касаются ли параболы хоть раз?» — $D = k^{2} + 4 > 0$ всегда: нет, каждая пересекает её в двух точках (точка (0; 1) лежит «внутри» параболы). Это задание 4* в ДЗ — не раскрывать.
Ошибка: записать $D = k^{2} + 4$ (знак у свободного члена).

R09.1 · ПР-19, ПР-20, ПР-22

Образец → сам · 3 мин

Касание и «дырка» в графике

базаПри каких $k$ прямая $y = k x - 9$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $k = \pm 6$
базаСколько общих точек у $y = x^{2}$ и $y = 4 x - 3$ ?две: $(1; 1)$ и $(3; 9)$

повыш.При каком $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = a$ не имеет корней? $a = - 2$
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 5 x}{x} = a$ имеет корень? $a \neq = - 5$

3 мин · практика
№1–2 — по образцу сл. 12 (дискриминант), №3–4 — по образцу сл. 11 (выколотая точка).
Ответы. 1) $x^{2} - k x + 9 = 0$ , $D = k^{2} - 36 = 0$ , $k = \pm 6$ ; точки касания $x = \frac{k}{2} = \pm 3$ : (3; 9) и (−3; 9). 2) $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , $D = 4 > 0$ , $x = 1$ и $x = 3$ — две точки (1; 1) и (3; 9).
3) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 1} = x - 1$ при $x \neq = - 1$ ; $x = a + 1$ годится, если $a + 1 \neq = - 1$ . При $a = - 2$ корней нет (прямая $y = - 2$ проходит через «дырку» (−1; −2)).
4) $\frac{x ( x - 5 )}{x} = x - 5$ при $x \neq = 0$ ; $x = a + 5 \neq = 0$ — корень есть при $a \neq = - 5$ . Проверка $a = 1$ : $x = 6$ , $\frac{36 - 30}{6} = 1$ ✓.
Ошибка в 4): забыть «дырку» (0; −5) и ответить «при любом $a$ ».

R09.1 · ПР-25

Чтение свойств функции по графику

Функция задана графиком на $[- 5; 5]$

$E (y)$ : $[- 3; 3]$
нули: $- 3, 5; 1; 3$
возрастает: $[- 5; - 2]$ и $[2; 5]$
убывает: $[- 2; 2]$
$y > 0$ : $(- 3, 5; 1) \cup (3; 5]$
$y_{наиб} = 3, y_{наим} = - 3$

R09.1 · задачи из других предметов

Физика · графики движения

Когда и где встретятся велосипедисты?

Навстречу из пунктов в 30 км:
$v_{1} = 12$ км/ч, $v_{2} = 18$ км/ч

12 t = 30 - 18 t \Rightarrow t = 1

чвстреча в 12 км от первого пункта

∣30 - 30 t ∣ = 10

когда между ними 10 км?

t = \frac{2}{3}

ч

= 40

мин и

t = \frac{4}{3}

ч

= 80

мин

2 мин · практика (задача из жизни: ученики отвечают по графику, затем проверяют вычислением)
$s$ — расстояние от первого пункта. Встреча — общая точка графиков, решение системы $s = 12 t, s = 30 - 18 t$ .
Расстояние между велосипедистами — вертикальный отрезок между графиками: $∣30 - 18 t - 12 t ∣ = ∣30 - 30 t ∣$ . Два момента: до встречи и после неё. Проверка: $t = \frac{2}{3}$ : 8 км и 18 км; $t = \frac{4}{3}$ : 16 км и 6 км ✓.
Вопрос: «Что означает точка пересечения графика второго велосипедиста с осью $t$ ?» — он доехал до первого пункта ( $t = \frac{5}{3}$ ч = 1 ч 40 мин).

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 4 \Rightarrow x = 2$	забыто условие $x \neq = 2$	корней нет
$(a - 3) x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{a - 3}$	не разобран случай $a = 3$	при $a = 3$ корней нет
${y = 2 x + 1 y = 2 x - 3$ — одно решение	равные $k$ — прямые параллельны	решений нет
$y = - \frac{2}{x}$ убывает	$k < 0$ ; и не на всей $D (y)$	возрастает на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$
$y = x^{2}$ и $y = 2 x - 1$ : две общие точки	$D = 0$ — касание	одна точка $(1; 1)$

R09.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный · 4 мин

Шесть заданий

базаРешите графически и проверьте вычислением: $\frac{6}{x} = x + 1$ .
базаРешите уравнение $(a - 5) x = a^{2} - 25$ при всех $a$ .
повыш.При каких $b$ система ${3 x - y = 2 6 x - 2 y = b$ не имеет решений?
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x - 4$ имеет с параболой $y = x^{2}$ ровно одну общую точку?
повыш.Сколько корней имеет $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = a$ при разных $a$ ?
практикаИз пунктов А и В (24 км) навстречу вышел пешеход из А (4 км/ч) и выехал велосипедист (12 км/ч). Когда и где они встретятся?

Подсказки

2) $a^{2} - 25 = (a - 5) (a + 5)$

4) $D = 0$

5) где «дырка»?

Ответы

1) $- 3; 2$

2) $a \neq = 5$ : $x = a + 5$ ; $a = 5$ : любое

3) $b \neq = 4$

4) $k = \pm 4$

5) $a \neq = - 6$ : один; $a = - 6$ : нет

6) через 1,5 ч, в 6 км от А

4 мин · практика
1–4 — всем, 5–6 — успевающим, остальное — дома. Решают в парах; ответы справа открываются по клику по одному, пары сверяют тетради.
1) $x^{2} + x - 6 = 0$ , $x \neq = 0$ : $x = 2$ и $x = - 3$ ; точки (2; 3) и (−3; −2). Проверка: $6 : 2 = 3 = 2 + 1$ ✓, $6 : (- 3) = - 2 = - 3 + 1$ ✓.
2) $(a - 5) x = (a - 5) (a + 5)$ : при $a \neq = 5$ $x = a + 5$ ; при $a = 5$ $x$ — любое число.
3) $y = 3 x - 2$ и $y = 3 x - \frac{b}{2}$ параллельны при $\frac{b}{2} \neq = 2$ : $b \neq = 4$ (при $b = 4$ — бесконечно много решений).
4) $x^{2} - k x + 4 = 0$ , $D = k^{2} - 16 = 0$ : $k = \pm 4$ (точки касания (2; 4) и (−2; 4)).
5) $x - 3 = a$ , $x \neq = - 3$ : $x = a + 3 \neq = - 3$ ; при $a \neq = - 6$ один корень, при $a = - 6$ корней нет.
6) $4 t = 24 - 12 t$ , $t = 1, 5$ ч; в 6 км от пункта пешехода (пункт А на слайде).

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график)

Постройте график и исследуйте

y = \frac{4 x - 8}{x ^{2} - 2 x}

Постройте график функции и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

R09.1 · ПР-19–ПР-22

Самостоятельная работа · 4 мин

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Решите: $\frac{8}{x} = x + 2$ $- 4; 2$
Решите при всех $a$ : $(a - 6) x = a^{2} - 36$ $a = 6$ : $x$ — любое; иначе $x = a + 6$
При каких $k$ прямая $y = k x - 16$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $k = \pm 8$
При каком $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = a$ не имеет корней? $a = 8$

Вариант 2

Решите: $\frac{10}{x} = x + 3$ $- 5; 2$
Решите при всех $a$ : $(a + 7) x = a^{2} - 49$ $a = - 7$ : $x$ — любое; иначе $x = a - 7$
При каких $k$ прямая $y = k x - 25$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $k = \pm 10$
При каком $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 25}{x + 5} = a$ не имеет корней? $a = - 10$

4 мин · практика
3 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (открываются по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ , $x \neq = 0$ : $x = - 4$ и $x = 2$ ; проверка $\frac{8}{2} = 4 = 2 + 2$ ✓, $\frac{8}{- 4} = - 2 = - 4 + 2$ ✓. 2) $(a - 6) x = (a - 6) (a + 6)$ : $a = 6$ — $0 \cdot x = 0$ , $x$ любое; иначе $x = a + 6$ . 3) $x^{2} - k x + 16 = 0$ , $D = k^{2} - 64 = 0$ , $k = \pm 8$ . 4) $x + 4 = a$ , $x \neq = 4$ : $x = a - 4 \neq = 4$ ; при $a = 8$ корней нет.
Вариант 2: 1) $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ , $x \neq = 0$ : $x = - 5$ и $x = 2$ ; проверка $\frac{10}{2} = 5 = 2 + 3$ ✓, $\frac{10}{- 5} = - 2 = - 5 + 3$ ✓. 2) $(a + 7) x = (a + 7) (a - 7)$ : $a = - 7$ — $x$ любое; иначе $x = a - 7$ . 3) $D = k^{2} - 100 = 0$ , $k = \pm 10$ . 4) $x - 5 = a$ , $x \neq = - 5$ : $x = a + 5 \neq = - 5$ ; при $a = - 10$ корней нет.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графикам узнать число корней уравнения?
Когда $k x = b$ не имеет корней?
Что значит «касается» на языке $D$ ?

Домашнее задание

Решите графически: $\frac{8}{x} = 6 - x$ .
При каких $a$ уравнение $(a^{2} - 4) x = a - 2$ не имеет корней?
При каких $m$ система ${m x + 3 y = 6 2 x + y = 1$ не имеет решений?
* Есть ли $k$ , при котором прямая $y = k x + 1$ касается параболы $y = x^{2}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия: ответы одной фразой; ДЗ — с пояснением одной строкой)
Ответы ДЗ: 1) $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ , $x \neq = 0$ : $x = 2$ и $x = 4$ ; точки (2; 4) и (4; 2).
2) $(a - 2) (a + 2) x = a - 2$ : при $a = - 2$ $0 \cdot x = - 4$ — корней нет; при $a = 2$ $x$ любое; иначе $x = \frac{1}{a + 2}$ . Ответ: $a = - 2$ .
3) $y = - \frac{m}{3} x + 2$ и $y = - 2 x + 1$ : параллельны при $m = 6$ , свободные члены 2 и 1 различны — решений нет. Ответ: $m = 6$ .
4*) $x^{2} - k x - 1 = 0$ , $D = k^{2} + 4 > 0$ при любом $k$ — касания нет: каждая такая прямая пересекает параболу в двух точках.
Следующий урок ALG8U-136 — завершающее занятие курса.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-135 · Повторение: функции и графический метод

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 9/10 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–20 (содержание R06 «Функции» → 3–5, 14; R03 → 3, 6, 7, 12, 13; R05 → 6, 7, 11, 13, 18, 19; параметры → 8–10, 13, 19; задачи из физики → 15, 17)
Результаты	ПР-19 → 3, 6, 7, 12, 13, 19 · ПР-20 → 6, 7, 11, 13, 18, 19 · ПР-21 → 8–10, 17, 19 · ПР-22 → 6, 7, 9–13, 17–19 · ПР-23 → 15, 17 · ПР-25 → 5, 14 · ПР-26 → 4, 5, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 12) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 4, 7, 10, 13–20
Вне урока	квадратичная функция $y = a x^{2} + b x + c$ и сдвиги графиков — 9 класс; числа, корни, степени, дроби — ALG8U-127, 128; итог курса — ALG8U-136
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функциии графическийметод

Ученик повторит и научится

Свойства

Графики

Исследование

Параметр

Уравнения

Модель

Шесть вопросов — ответ одной фразой

Какой формуле соответствует каждый график?

Шесть функций — область, множество значений, монотонность

Решите уравнение x4​=x+3

Сколько корней? Найдите их

Решите уравнение (a2−1)x=a+1 при всех a

{ax+2y=42x+y=b​ ⇔ {y=−2a​x+2y=−2x+b​

Уравнения и системы с параметром

Сколько корней имеет x−2x2−4​=a?

При каких k прямая y=kx−1 касается параболы y=x2?

Касание и «дырка» в графике

Функция задана графиком на [−5;5]

Когда и где встретятся велосипедисты?

Найдите ошибку

Шесть заданий

Подсказки

Ответы

Постройте график и исследуйте

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-135 · Повторение: функции и графический метод

Функции
и графический
метод

Решите уравнение $\frac{4}{x} = x + 3$

Решите уравнение $(a^{2} - 1) x = a + 1$ при всех $a$

${a x + 2 y = 4 2 x + y = b \Leftrightarrow {y = - \frac{a}{2} x + 2 y = - 2 x + b$

Сколько корней имеет $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = a$ ?

При каких $k$ прямая $y = k x - 1$ касается параболы $y = x^{2}$ ?

Функция задана графиком на $[- 5; 5]$