Повторение · урок 8 из 10 · обобщение

Функции
и графический
метод

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-134

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 8/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Тип О. Тема этого урока повторения — функции (R06) и функционально-графический метод решения уравнений, неравенств, систем, в том числе с параметром (R03, R05.5). Было: ALG8U-133 — предыдущий урок повторения. Дальше: ALG8U-135 — следующий урок повторения.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Тип урока О: вся прежняя теория сохранена, практика добавлена.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3) · карта графиков и таблица свойств 3 (сл. 4–5, теория) · чтение графика 3 (сл. 6) · уравнение: образец 2 + сам 2 (сл. 7–8) · монотонность: образец 2 + сам 2 (сл. 9–10) · система с параметром: образец 2 + сам 2 (сл. 11–12) · неравенство, физика, модуль 3 (сл. 13–15, теория) · найди ошибку 2 (сл. 16) · самопроверка 2 + 2 (сл. 17–18) · закрепление 4 (сл. 19) · ОГЭ 3 (сл. 20) · самостоятельная 4 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22). Теория: 1+1+1+2+2+2+2+1+1+1 = 14; практика: 3+3+2+2+2+2+2+2+4+3+4+2 = 31.
Если не успеваете: сл. 15 («Дополнительно») пропустить или дать сильным на дом; на сл. 19 оставить задания 1–4, на сл. 18 — задания 1, 3, 5.

R09.1

Цели урока

График — инструмент, а не картинка

1Язык функций

значение функции по аргументу, свойства по графику (ПР-25)

2Графики

$y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ и их свойства (ПР-26)

3Исследование

сколько решений у уравнения и системы, в том числе с параметром (ПР-22)

4Применение

графическая иллюстрация неравенства, закон из физики (ПР-24, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику». ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-24 — «…давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства…». ПР-13 — применение к задачам смежных предметов.
Виды деятельности ФРП строки: «Использовать функционально-графические представления для решения задач», «Осуществлять самоконтроль… построений».

R09.1 · актуализация

Устная разминка · 6 вопросов

Ответьте устно

f (x) = \frac{12}{x}

,

f (- 3) = ?

- 4

y = x^{3}

,

y (- 2) = ?

- 8

Область определения

y = x - 3

x \geq 3

Лежит ли

(16; 4)

на графике

y = x

?да

y = \frac{k}{x}

проходит через

(2; - 5)

.

k = ?

k = - 10

Сколько корней у

x^{2} = - 4

?ни одного

R09.1 · ПР-26

Карта темы · четыре главных графика 8 класса

Узнай функцию по графику

R09.1 · ПР-26

Сводная таблица свойств

Свойства — прямо с графика

свойство	$y = x^{2}$	$y = x^{3}$	$y = x$	$y = \frac{k}{x}, k > 0$
область определения	$(- \infty; + \infty)$	$(- \infty; + \infty)$	$[0; + \infty)$	$x \neq = 0$
множество значений	$[0; + \infty)$	$(- \infty; + \infty)$	$[0; + \infty)$	$y \neq = 0$
нули	$x = 0$	$x = 0$	$x = 0$	нет
возрастает	$[0; + \infty)$	на всей прямой	$[0; + \infty)$	—
убывает	$(- \infty; 0]$	—	—	на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$

При

k < 0

гипербола — во II и IV четвертях и возрастает на каждом из промежутков

R09.1 · ПР-25

Чтение свойств функции по графику

Функция задана графиком на $[- 4; 5]$

Нули? $- 3; 0; 1, 5$

$f (x) > 0$ при $(- 3; 0) \cup (1, 5; 5]$

Наибольшее, наименьшее? $3$ и $- 2$

Возрастает на $[- 4; - 2]$ и $[1; 3]$

Сколько корней у $f (x) = 2$ ? $3$

3 мин · практика
Ученики отвечают по графику, ответы открываются по клику. Вершины ломаной: (−4; −2), (−2; 2), (1; −1), (3; 3), (5; 1).
Нули: на [−4; −2] прямая от −2 до 2 — ноль в середине, x = −3; на [−2; 1] от 2 до −1 (наклон −1) — x = 0; на [1; 3] от −1 до 3 (наклон 2) — x = 1,5 ✓. Положительна там, где график выше оси Ox: (−3; 0) и (1,5; 5] (f(5) = 1 > 0) ✓.
Множество значений [−2; 3]. Убывает на [−2; 1] и [3; 5].
f(x) = 2: прямая y = 2 проходит через вершину (−2; 2), пересекает звено [1; 3] при x = 2,5 (−1 + 2·1,5 = 2) и звено [3; 5] при x = 4 (3 − 1 = 2). Итого x = −2; 2,5; 4 — три корня ✓.
Ошибка: путать «f(x) > 0» (выше оси) и «f возрастает» (идёт вверх).

R09.1 · ПР-22

Графический метод · уравнение

Решите графически $x^{2} = x + 2$

f (x) = g (x)

корни — абсциссы точек пересечения

x_{1} = - 1, x_{2} = 2

x_{1} + x_{2} = 1, x_{1} x_{2} = - 2

проверка по теореме Виета:

x^{2} - x - 2 = 0

График даёт гипотезу — проверка обязательна

R09.1 · ПР-22

Образец → сам · графический метод

Сколько корней? Найдите их по рисунку

$x^{2} = 2 x + 3$ $- 1; 3$
$x^{2} = 2 - x$ $- 2; 1$
$x^{2} = 2 x - 1$ $1$ — касание
$x^{2} = - 1$ корней нет

Проверьте каждый корень подстановкой

R09.1 · ПР-22

Углублённо · «подбор + монотонность»

Решите уравнение $x = 6 - x$

x = 4 : 4 = 2 = 6 - 4

подобрали корень по графику

x ↗, 6 - x ↘

одна функция возрастает, другая убывает

корень единственный:

x = 4

графики пересекаются не более одного раза

R09.1 · ПР-22

Образец → сам · «подбор + монотонность»

Подберите корень и докажите, что он единственный

$x^{3} = 10 - x$

$x = 2$

$x^{3} ↗$ , $10 - x ↘$

$x = 12 - x$

$x = 9$

$x ↗$ , $12 - x ↘$

$x^{3} + 2 x = - 3$

$x = - 1$

левая часть $↗$ — сумма возрастающих

$\frac{8}{x} = x - 2, x > 0$

$x = 4$

$\frac{8}{x} ↘$ при $x > 0$ , $x - 2 ↗$

2 мин · практика
По образцу сл. 9: сначала подбор (по клику — корень), затем довод монотонности (по клику).
Ответы: 1) $2^{3} = 8 = 10 - 2$ ✓. 2) $9 = 3 = 12 - 9$ ✓ (возведение в квадрат дало бы ещё посторонний $x = 16$ : $4 \neq = - 4$ ). 3) $(- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1) = - 3$ ✓; возрастающая функция принимает каждое значение один раз. 4) $8 : 4 = 2 = 4 - 2$ ✓.
Вопрос сильным: «А если убрать условие $x > 0$ ?» — $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ , есть ещё $x = - 2$ ( $- 4 = - 4$ ✓): на всей области определения $\frac{8}{x}$ не убывает, довод работает только на одном промежутке.

R09.1 · ПР-22

Исследование системы с параметром

Сколько решений у системы ${x y = 4 y = k x$ ?

k x^{2} = 4

подставили

y = k x

в первое уравнение

k > 0

: два решения,

x = \pm \frac{2}{k}

k \leq 0

: решений нет

R09.1 · ПР-22

Образец → сам · число решений системы

Сколько решений у системы?

${x y = 6 y = 2 x$

2 решения

$2 x^{2} = 6$ , $x = \pm 3$

${x y = 6 y = - 3 x$

нет решений

$- 3 x^{2} = 6$ — невозможно

${x y = - 8 y = - 2 x$

2 решения

$(2; - 4)$ и $(- 2; 4)$

${y = x^{2} y = a$ при $a = 9; 0; - 1$

2; 1; 0

горизонтальная прямая и парабола

R09.1 · ПР-24

Графическая иллюстрация неравенства

Решите графически $x > x$

x = x \Rightarrow x = 0

или

x = 1

точки пересечения

x

выше прямой между ниминапример,

x = \frac{1}{4}

:

\frac{1}{2} > \frac{1}{4}

x \in (0; 1)

R09.1 · ПР-13

Задачи из других предметов · физика

Закон Бойля–Мариотта: $p V = const$

p = \frac{k}{V}

обратная пропорциональность,

T = const

k = 2 \cdot 12 = 24

по точке

(2; 12)

V = 6 л : p = \frac{24}{6} = 4 атм

объём

\times 4

→ давление

: 4

V = 8

:

p = 3

R09.1 · ПР-22

Дополнительно · уравнение с модулем и параметром

Сколько корней у $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

Часть графика ниже оси $O x$ отражаем вверх

$a$	корней
$a < 0$	0
$a = 0$ или $a > 4$	2
$0 < a < 4$	4
$a = 4$	3

1 мин · теория (дополнительно)
Слайд сверх обязательного: построение графика y = |f(x)| отражением — приём, который в полном виде изучают позже. Можно пропустить.
Число корней = число точек пересечения графика y = |x² − 4| с горизонтальной прямой y = a. a = 2: x² = 6 или x² = 2 → ±√6, ±√2 — 4 корня ✓. a = 4: x² − 4 = 4 → ±2√2; x² − 4 = −4 → 0 — 3 корня ✓. a = 0: x = ±2 ✓. a = 5: x² = 9 → ±3 (x² = −1 нет) — 2 корня ✓.
Вопрос: «Почему a = 4 — особое значение?» — прямая проходит через вершину «горба» (0; 4).

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки · функции и графики

Найдите ошибку

Утверждение ученика	Что не так	Верно
$y = \frac{2}{x}$ убывает на всей области определения	$f (- 1) = - 2 < f (1) = 2$	на каждом промежутке
Множество значений $y = x^{2}$ — все числа	$x^{2} \geq 0$	$[0; + \infty)$
$x = x - 2$ : корни $1$ и $4$	$x = 1$ : $1 \neq = - 1$	только $x = 4$
$f (x) > 0$ там, где график идёт вверх	путают знак и рост	где график выше $O x$
По рисунку корень $1, 9$ — точно	график даёт приближение	проверить подстановкой

R09.1 · ПР-25 · ПР-26

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

Значение и график

база $f (x) = x^{2} - 3 x$ . Найдите $f (- 2)$ . $10$
базаПроходит ли график $y = \frac{6}{x}$ через $(- 3; - 2)$ ? да
базаОбласть определения $y = 4 - x$ $x \leq 4$

Свойства функции

базаМножество значений $y = x + 1$ $[1; + \infty)$
база $y = - \frac{3}{x}$ при $x > 0$ возрастает или убывает? возрастает
базаНаибольшее и наименьшее значения $y = x^{2}$ на $[- 1; 3]$ $9$ и $0$

R09.1 · ПР-22 · ПР-24

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш.Сколько корней у уравнения $x^{3} = x$ ? 3
повыш.Решите графически неравенство $\frac{1}{x} < x$ . $(- 1; 0) \cup (1; + \infty)$
повыш.Сколько решений у системы $y = x^{2}$ , $y = x$ ? 2
параметрПри каком $b$ прямая $y = x + b$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $b = - \frac{1}{4}$
из жизниБассейн $360 м^{3}$ . Насос подаёт $v м^{3} / ч$ . За сколько часов $t$ он наполнит бассейн при $v = 40$ ? Какая $v$ нужна, чтобы успеть за 6 ч? 9 ч; 60

2 мин · практика
Сильные — все пять, остальные — 1, 3, 5. Ответы по клику, обоснование проговаривает ученик.
Ответы: 1) $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1) = 0$ → $- 1; 0; 1$ — три корня (график $y = x^{3}$ и прямая $y = x$ — три точки). 2) $x > 0$ : $1 < x^{2}$ → $x > 1$ ; $x < 0$ : умножаем на $x < 0$ , знак меняется: $1 > x^{2}$ → $- 1 < x < 0$ . Проверка: $x = - \frac{1}{2}$ : $- 2 < - \frac{1}{2}$ ✓; $x = - 2$ : $- \frac{1}{2} < - 2$ ✗; $x = 2$ : $\frac{1}{2} < 2$ ✓; $x = \frac{1}{2}$ : $2 < \frac{1}{2}$ ✗.
3) $x^{2} = x$ , $x \geq 0$ → $x^{4} = x$ , $x (x^{3} - 1) = 0$ → $(0; 0)$ и $(1; 1)$ — 2 решения. 4) $x^{2} - x - b = 0$ , $D = 1 + 4 b = 0$ → $b = - \frac{1}{4}$ , точка касания $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$ . 5) $t = \frac{360}{v}$ — обратная пропорциональность; $t = 360 : 40 = 9$ ч; $v = 360 : 6 = 60 м^{3} / ч$ .

R09.1 · решите сами

Закрепление · от базы к углублённому

Шесть заданий

базаГрафик $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 4; 3)$ . Найдите $k$ .
базаРешите графически $x^{3} = 4 x$ и проверьте.
повыш.Сколько решений у системы $y = x$ , $y = x - 2$ ?
повыш.Решите графически неравенство $\frac{4}{x} \geq x$ .
практикаПлощадь прямоугольника $36 см^{2}$ . Выразите длину $a$ через ширину $b$ ; найдите $a$ при $b = 4, 5$ .
углубл.При каких $b$ прямая $y = b - x$ имеет с гиперболой $y = \frac{4}{x}$ ровно одну общую точку?

Подсказки

2) три точки пересечения

4) отдельно $x > 0$ и $x < 0$

6) $D = 0$ — касание

4 мин · практика
Решают в тетрадях, сильные — все шесть, остальные — 1–4; разбор по ответам в заметках.
1) k = (−4)·3 = −12 ✓.
2) x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) = 0 → x = −2; 0; 2 ✓ (2³ = 8 = 4·2).
3) √x = x − 2 → (сл. 16) x = 4, одно решение (4; 2) ✓; графически: y = √x возрастает медленнее прямой после x = 4.
4) x > 0: 4 ≥ x² → 0 < x ≤ 2; x < 0: умножаем на отрицательное x — знак меняется: 4 ≤ x² → x ≤ −2. Ответ: (−∞; −2] ∪ (0; 2] ✓ (x = −4: −1 ≥ −4 ✓; x = −1: −4 ≥ −1 ✗; x = 1: 4 ≥ 1 ✓; x = 3: 4/3 ≥ 3 ✗). По графику: гипербола выше прямой y = x или на ней.
5) a = 36/b — обратная пропорциональность; a = 36 : 4,5 = 8 см ✓.
6) b − x = 4/x → x² − bx + 4 = 0 (x ≠ 0, 0 не корень); D = b² − 16 = 0 → b = ±4 ✓. b = 4: x = 2, точка (2; 2); b = −4: x = −2, точка (−2; −2).

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график, часть 2)

Постройте график и найдите $k$

y = \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x}

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

$y = \frac{x + 2}{x ( x + 2 )} = \frac{1}{x}$ , но $x \neq = 0, x \neq = - 2$

3 мин · практика
Самостоятельно, затем разбор.
Решение: при x ≠ 0, x ≠ −2 функция равна 1/x — гипербола с выколотой точкой (−2; −1/2). Прямая y = kx пересекает гиперболу y = 1/x при kx² = 1: для k > 0 — две точки x = ±1/√k, для k ≤ 0 — ни одной. Ровно одна точка останется, если одна из двух — выколотая: −1/√k = −2 → k = 1/4.
Проверка: k = 1/4: x²/4 = 1 → x = ±2; x = −2 выколота, остаётся (2; 1/2) ✓. Ответ: k = 0,25.
Критерии (2 балла): график построен верно, выколотая точка отмечена, найдено верное значение k; 1 балл — график верный, k найдено неверно или не найдено. Ошибка: забыть выколоть точку x = −2 и ответить «таких k нет».

R09.1 · решите сами

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(3; - 4)$ : $k = ?$ $- 12$
Решите графически: $x^{2} = 3 x$ $0; 3$
Число решений: $x y = 5$ , $y = x$ 2
Решите: $x = 2 - x$ $1$

Вариант 2

График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 2; - 6)$ : $k = ?$ $12$
Решите графически: $x^{2} = - 2 x$ $- 2; 0$
Число решений: $x y = - 3$ , $y = x$ 0
Решите: $x^{3} = 2 - x$ $1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графикам найти число корней уравнения $f (x) = g (x)$ ?
Почему графический ответ нужно проверять?
Когда корень заведомо единственный?

Домашнее задание

Решите графически и проверьте: $x = ∣ x - 2∣$ .
При каких $k$ система $x y = - 9$ , $y = k x$ имеет решения?
* Сколько корней у $∣ x^{2} - 1∣ = a$ в зависимости от $a$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-134 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 8/10 · тип О; тема повторения — функции и функционально-графический метод (R06, R03, R05.5)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–22 (задачи из других предметов → 14, 18, 19)
Результаты	ПР-25 → 3, 6, 17, 19, 21 · ПР-26 → 4, 5, 16, 17, 20 · ПР-22 → 7–12, 15, 18–22 · ПР-24 → 13, 18, 19 · ПР-19 → 7 · ПР-13 → 14, 18, 19 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	квадратичная функция $y = a x^{2} + b x + c$ и преобразования графиков — 9 класс (отражение $∣ f (x) ∣$ — только слайд «Дополнительно», 15); другие темы повторения — ALG8U-127…133, 135, 136
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функциии графическийметод

График — инструмент, а не картинка

1Язык функций

2Графики

3Исследование

4Применение

Ответьте устно

Узнай функцию по графику

Свойства — прямо с графика

Функция задана графиком на [−4;5]

Решите графически x2=x+2

Сколько корней? Найдите их по рисунку

Решите уравнение x​=6−x

Подберите корень и докажите, что он единственный

Сколько решений у системы {xy=4y=kx​?

Сколько решений у системы?

Решите графически x​>x

Закон Бойля–Мариотта: pV=const

Сколько корней у ∣x2−4∣=a?

Найдите ошибку

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Шесть заданий

Подсказки

Постройте график и найдите k

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-134 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Функции
и графический
метод

Функция задана графиком на $[- 4; 5]$

Решите графически $x^{2} = x + 2$

Решите уравнение $x = 6 - x$

Сколько решений у системы ${x y = 4 y = k x$ ?

Решите графически $x > x$

Закон Бойля–Мариотта: $p V = const$

Сколько корней у $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

Постройте график и найдите $k$