Повторение · урок 7 из 10 · обобщение

Повторение:
текстовые задачи
и модели

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-133

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 7/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Тип О. Тема этого урока повторения — текстовые задачи: переход от условия к уравнению или системе (R05) и задачи из физики, химии, экономики. Было: ALG8U-132 — предыдущий урок повторения. Дальше: ALG8U-134 — следующий урок повторения.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3, практика) · схема и сводная таблица 4 (сл. 4–5, теория) · река: образец 3 (теория) → сам 3 (сл. 6–7) · работа: образец 2 (теория) → сам 3 (сл. 8–9) · растворы, физика — решают ученики 4 (сл. 10–11) · плот — приём углублённого уровня 2 (сл. 12, теория) · проценты 2, отбор корней 2, найди ошибку 2 (сл. 13–15, практика) · задания с самопроверкой 4 (сл. 16) · самостоятельная работа 5 (сл. 17) · ОГЭ 3 (сл. 18) · итог и ДЗ 1 (сл. 19, теория).
Тип О: правила уже знакомы, поэтому на слайдах 10, 11, 13 ученики сначала сами составляют модель и решают (1–1,5 мин), а учитель открывает шаги для проверки. Если не успеваете: на сл. 16 оставить 1–4, задачу ОГЭ (сл. 18) — разобрать только модель.

R09.1

Цели урока

От слов — к уравнению и обратно

1Модель

составлять уравнение или систему по условию (ПР-23)

2Решение

квадратные и дробно-рациональные уравнения (ПР-19, ПР-20)

3Интерпретация

отбирать корни по смыслу, читать ответ на графике (ПР-23, ПР-25)

4Другие предметы

физика, химия, экономика (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат». ПР-19 «Решать квадратные уравнения». ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-25 «…определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП строки: решать текстовые задачи, сравнивать и выбирать способы решения; решать задачи из реальной жизни; использовать функционально-графические представления; осуществлять самоконтроль.

R09.1 · актуализация

Устная разминка · переведите на язык алгебры

Запишите выражением

время на 60 км при скорости

x

км/ч

\frac{60}{x}

скорость лодки против течения: своя

x

, течение 2

x - 2

доля работы за 1 день, если вся — за

x

дней

\frac{1}{x}

40 минут в часах

\frac{2}{3}

ч

число

a

, увеличенное на 20%

1, 2 a

соль в

m

г 15%-го раствора

0, 15 m

г

R09.1 · схема

Обобщение · четыре шага любой текстовой задачи

Модель — это мост от условия к ответу

R09.1 · сводка

Обобщение · сводная таблица

Одна формула — три величины

Тип задачи	Главная формула	Ключевой приём
движение	$s = v t, t = \frac{s}{v}$	таблица $s, v, t$
по реке	$v_{по} = v + u, v_{пр} = v - u$	плот плывёт со скоростью $u$
совместная работа	$A = pt, p = \frac{1}{t}$	вся работа $= 1$
растворы, сплавы	$m_{в - ва} = c \cdot m$	масса вещества сохраняется
проценты	$a (1 + \frac{p}{100})$	цепочка множителей
бросок вверх	$h = v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}$	квадратное уравнение

R09.1 · ПР-20 · ПР-23

Тип 1 · движение по реке · дробно-рациональное уравнение

Лодка: 24 км туда и обратно за 5 ч

	$s$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч
по течению	24	$x + 2$	$\frac{24}{x + 2}$
против	24	$x - 2$	$\frac{24}{x - 2}$

\frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = 5

всё время — 5 ч

48 x = 5 (x^{2} - 4)

x \neq = \pm 2

5 x^{2} - 48 x - 20 = 0, D = 5 2^{2}

x = 10 (x = - 0, 4 не подходит)

3 мин · теория (образец)
Условие: «Моторная лодка прошла 24 км по течению реки и 24 км обратно, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки».
Решение: 24(x − 2) + 24(x + 2) = 5(x² − 4) → 48x = 5x² − 20 → 5x² − 48x − 20 = 0; D = 2304 + 400 = 2704 = 52²; x = (48 ± 52)/10 → 10 или −0,4. Скорость положительна и больше 2 (иначе лодка не поднимется против течения) → 10 км/ч.
Проверка: 24/12 = 2 ч, 24/8 = 3 ч, 2 + 3 = 5 ✓.
Вопрос: «Почему для ответа нужно x > 2, а не просто x > 0?»

R09.1 · ПР-20 · ПР-23

Образец → сам · движение по реке

Составьте уравнение по таблице $s, v, t$ и решите

базаЛодка прошла 15 км по течению и 15 км обратно за 4 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
$\frac{15}{x + 2} + \frac{15}{x - 2} = 4 \Rightarrow x = 8$ км/ч
повыш.Катер прошёл 40 км по течению и 16 км против течения за 3 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость катера.
$\frac{40}{x + 2} + \frac{16}{x - 2} = 3 \Rightarrow x = 18$ км/ч $(x = \frac{2}{3} < 2 не подходит)$
углубл.Собственная скорость теплохода 18 км/ч. 80 км туда и 80 км обратно он прошёл за 9 ч. Найдите скорость течения.
$\frac{80}{18 + u} + \frac{80}{18 - u} = 9 \Rightarrow u = 2$ км/ч

3 мин · практика
По образцу сл. 6: таблица s, v, t в тетради, затем уравнение. 2 мин работы, ответы по клику.
1) 15(x − 2) + 15(x + 2) = 4(x² − 4) → 4x² − 30x − 16 = 0 → 2x² − 15x − 8 = 0; D = 225 + 64 = 289 = 17²; x = (15 ± 17)/4 → 8 или −0,5. Ответ 8 км/ч ✓ (15/10 = 1,5 ч; 15/6 = 2,5 ч; 1,5 + 2,5 = 4).
2) 40(x − 2) + 16(x + 2) = 3(x² − 4) → 56x − 48 = 3x² − 12 → 3x² − 56x + 36 = 0; D = 3136 − 432 = 2704 = 52²; x = (56 ± 52)/6 → 18 или 2/3. Корень 2/3 меньше скорости течения — отбрасываем. Ответ 18 км/ч ✓ (40/20 = 2 ч; 16/16 = 1 ч; 2 + 1 = 3).
3) 80 · 36 = 9(324 − u²) → 2880 = 2916 − 9u² → u² = 4 → u = 2 км/ч ✓ (80/20 = 4 ч; 80/16 = 5 ч; 4 + 5 = 9).

R09.1 · ПР-19 · ПР-23

Тип 2 · совместная работа · вся работа = 1

Вместе — 6 дней, первая быстрее на 5 дней

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}

производительности складываются

6 (2 x + 5) = x (x + 5)

x > 0

x^{2} - 7 x - 30 = 0

по теореме Виета:

10

и

- 3

x = 10, x + 5 = 15

2 мин · теория (образец)
Условие: «Две бригады, работая вместе, выполняют задание за 6 дней. Первая бригада одна выполнила бы его на 5 дней быстрее второй. За сколько дней выполнит задание каждая бригада?»
x — дни первой, x + 5 — второй. 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) → x² + 5x − 12x − 30 = 0 → x² − 7x − 30 = 0 → (x − 10)(x + 3) = 0. Ответ: 10 и 15 дней.
Полоса-модель: длина одинаковая (вся работа = 1), клеток столько, сколько дней.
Ошибка: «вместе за 6, разница 5 → 6 + 5 = 11» или складывать времена вместо производительностей.

R09.1 · ПР-19 · ПР-23

Образец → сам · совместная работа

Вся работа $= 1$ , производительности складываются

базаДве трубы вместе наполняют бассейн за 12 ч, одна первая — за 20 ч. За сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба?
$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30} \Rightarrow 30$ ч
повыш.Первый рабочий выполняет заказ на 6 ч быстрее второго, вместе они справляются за 4 ч. За сколько часов выполнит заказ каждый?
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4} \Rightarrow 6$ ч и $12$ ч
углубл.Первая бригада, работая одна, выполнит задание за 10 дней. Она проработала 2 дня одна, потом вместе со второй ещё 3 дня и закончила. За сколько дней выполнит задание одна вторая бригада?
$\frac{5}{10} + \frac{3}{y} = 1 \Rightarrow y = 6$ дней

R09.1 · ПР-13 · ПР-23

Тип 3 · химия · растворы

Сколько воды добавить к 200 г 30%-го раствора, чтобы получить 20%?

0, 3 \cdot 200 = 60

гсоль не меняется

0, 2 (200 + x) = 60

x = 100

г

Два раствора — система:

{x + y = 300 0, 1 x + 0, 4 y = 60

2 мин · практика
Ученики сами составляют уравнение по массе соли (1 мин), затем учитель открывает шаги и рисунок для проверки.
Масса растворённого вещества при разбавлении не меняется — уравнение составляем именно по ней.
Решение: 200 + x = 60 : 0,2 = 300 → x = 100 г. Проверка: 60/300 = 0,2 = 20% ✓.
Система (для сильных): смешали 10%-й и 40%-й растворы, получили 300 г 20%-го. x + 4y = 600 и x + y = 300 → 3y = 300, y = 100, x = 200. Проверка: 20 + 40 = 60 г = 20% от 300 ✓.
Ошибка: «30% − 20% = 10%, значит, добавить 10% воды».

R09.1 · ПР-13 · ПР-25

Тип 4 · физика · бросок вверх

$h = 20 t - 5 t^{2}$ . Когда мяч на высоте 15 м?

20 t - 5 t^{2} = 15

t^{2} - 4 t + 3 = 0

разделили на

- 5

t_{1} = 1, t_{2} = 3

оба корня подходят

Над 15 м мяч был

3 - 1 = 2

с

2 мин · практика
Ученики решают уравнение сами (1 мин, по теореме Виета), затем учитель открывает график и шаги.
Мяч брошен вверх со скоростью 20 м/с (g ≈ 10 м/с²). Корни по теореме Виета: сумма 4, произведение 3 → 1 и 3 ✓. Проверка: 20 − 5 = 15 ✓; 60 − 45 = 15 ✓.
Интерпретация: здесь оба корня имеют смысл — мяч проходит высоту 15 м дважды. На графике — две точки пересечения с прямой h = 15.
Вопрос: «Достигнет ли мяч 25 м?» — 5t² − 20t + 25 = 0 → t² − 4t + 5 = 0, D = 16 − 20 < 0, нет; на графике прямая h = 25 выше вершины (2; 20).

R09.1 · ПР-23

Углублённо · вспомогательные неизвестные

Катер: по течению 3 ч, обратно 6 ч. А плот?

v + u = \frac{s}{3}, v - u = \frac{s}{6}

2 u = \frac{s}{3} - \frac{s}{6} = \frac{s}{6}

вычли уравнения

t_{плота} = \frac{s}{u} = 12

ч

R09.1 · ПР-13 · ПР-23

Тип 5 · экономика · проценты

Цену повысили на $p %$ , потом снизили на $p %$ — стало 96%

(1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p}{100}) = 0, 96

1 - \frac{p ^{2}}{10 000} = 0, 96

разность квадратов

p^{2} = 400, p = 20

2 мин · практика
Ученики составляют уравнение и решают его сами (1 мин); при проверке учитель открывает шаги и площадную модель.
Площадная модель: прямоугольник (1 + p) × (1 − p) короче квадрата 1 × 1 ровно на p² (полоса p × (1 − p) справа равна полосе p × (1 − p) сверху, остаётся угловой квадрат p²). Здесь p — доля, на рисунке p = 0,2.
Проверка: 1,2 · 0,8 = 0,96 ✓. Корень p = −20 не подходит по смыслу.
Вывод: «+20% и −20%» не возвращают цену к исходной — всегда потеря (p/100)².

R09.1 · ПР-23 · интерпретация

Обобщение · отбор корней по смыслу задачи

Уравнение решено — ответ ещё нет

Задача	Корни модели	Ограничение	Ответ
скорость лодки	$10; - 0, 4$	$v > u = 2$	10 км/ч
время бригады	$10; - 3$	$t > 0$	10 и 15 дней
высота мяча	$1; 3$	$0 \leq t \leq 4$	оба: вверх и вниз
число учеников	$12; 7, 5$	натуральное	12 (7,5 — нет)
процент	$20; - 20$	$p > 0$	20%

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки · текстовые задачи

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
45 мин $= 0, 45$ ч	в часе 60 минут	$\frac{3}{4}$ ч
против течения $x + u$	перепутали знак	$x - u$
вместе: $t = t_{1} + t_{2}$	складывают производительности	$\frac{1}{t} = \frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}$
$+ 20%$ , потом $- 20%$ = исходная цена	проценты от разных баз	$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$
нашли $x$ — записали в ответ	спрашивали другое	перечитать вопрос

R09.1 · решите сами

Задания с самопроверкой · от базы к углублённому

Шесть задач

базаПоезд прошёл 240 км. Будь скорость на 20 км/ч больше, он потратил бы на 1 ч меньше. Найдите скорость. 60 км/ч
базаСколько граммов воды выпарить из 500 г 12%-го раствора, чтобы получить 15%-й? 100 г
повыш.Один насос наполняет бак на 4 ч быстрее другого, вместе — за 3 ч 45 мин. За сколько часов наполняет каждый? 6 ч и 10 ч
практика $h = 1 + 14 t - 5 t^{2}$ . Сколько секунд прошло между моментами, когда мяч был на высоте 9 м? 1,2 с
повыш.Цену дважды повысили на одно и то же число процентов: 2500 р. → 3025 р. На сколько процентов? 10%
углубл.Пешеход и велосипедист вышли навстречу из A и B, встретились через 1 ч. Пешеход дошёл до B ещё за 3 ч. Сколько минут велосипедист ехал до A после встречи? 20 мин

Подсказки

3) $3 ч 45 мин = \frac{15}{4}$ ч

5) $(1 + q)^{2} = \frac{3025}{2500}$

6) путь до встречи каждого — путь другого после

4 мин · практика
Работа в парах: каждая пара решает 1–4, сильные — 5–6; ответы открываются по клику, класс отмечает «+».
1) 240/x − 240/(x + 20) = 1 → x² + 20x − 4800 = 0, D = 400 + 19200 = 19600 = 140², x = 60 км/ч ✓ (240/60 = 4 ч, 240/80 = 3 ч).
2) Соли 60 г; 60 = 0,15(500 − x) → 500 − x = 400 → 100 г ✓.
3) 1/x + 1/(x + 4) = 4/15 → 15(2x + 4) = 4x(x + 4) → 2x² − 7x − 30 = 0, D = 49 + 240 = 289, x = (7 + 17)/4 = 6 → 6 ч и 10 ч ✓ (1/6 + 1/10 = 16/60 = 4/15).
4) 5t² − 14t + 8 = 0, D = 196 − 160 = 36, t = 0,8 и 2 → 2 − 0,8 = 1,2 с ✓ (1 + 11,2 − 3,2 = 9; 1 + 28 − 20 = 9).
5) (1 + q)² = 1,21 → 1 + q = 1,1 → 10% ✓ (2500 · 1,1 = 2750, · 1,1 = 3025).
6) Скорости v₁, v₂; до встречи пешеход прошёл v₁ (за 1 ч), велосипедист v₂. После встречи пешеход идёт v₂ км за 3 ч: v₂ = 3v₁. Велосипедист едет v₁ км: v₁/v₂ = 1/3 ч = 20 мин ✓. Общее правило: (время до встречи)² = произведение времён после встречи: 1² = 3 · 1/3 ✓.

R09.1 · самостоятельная работа

Самостоятельная работа · два варианта

Три задачи — три типа модели

Вариант 1

Велосипедист проехал 60 км. Будь скорость на 3 км/ч больше, он ехал бы на 1 ч меньше. Найдите скорость.
12 км/ч
Сколько граммов соли добавить к 180 г 10%-го раствора, чтобы получить 25%-й?
36 г
$h = 25 t - 5 t^{2}$ . В какие моменты мяч на высоте 30 м?
2 с и 3 с

Вариант 2

Автомобиль проехал 120 км. Будь скорость на 10 км/ч больше, он ехал бы на 1 ч меньше. Найдите скорость.
30 км/ч
Сколько граммов воды добавить к 240 г 15%-го раствора, чтобы получить 12%-й?
60 г
$h = 30 t - 5 t^{2}$ . В какие моменты мяч на высоте 40 м?
2 с и 4 с

5 мин · практика
Варианты по партам; 4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3».
Вариант 1: 1) 60/x − 60/(x + 3) = 1 → x² + 3x − 180 = 0; D = 9 + 720 = 729 = 27²; x = (−3 + 27)/2 = 12 км/ч ✓ (60/12 = 5 ч, 60/15 = 4 ч). 2) соли 18 г; 18 + y = 0,25(180 + y) → 0,75y = 27 → y = 36 г ✓ (54/216 = 0,25). 3) 5t² − 25t + 30 = 0 → t² − 5t + 6 = 0 → t = 2 и 3 ✓ (50 − 20 = 30; 75 − 45 = 30).
Вариант 2: 1) 120/x − 120/(x + 10) = 1 → x² + 10x − 1200 = 0; D = 100 + 4800 = 4900 = 70²; x = (−10 + 70)/2 = 30 км/ч ✓ (120/30 = 4 ч, 120/40 = 3 ч). 2) соли 36 г; 36 = 0,12(240 + x) → 240 + x = 300 → x = 60 г ✓ (36/300 = 0,12). 3) t² − 6t + 8 = 0 → t = 2 и 4 ✓ (60 − 20 = 40; 120 − 80 = 40).

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (текстовая задача)

Плот и яхта

Расстояние между пристанями A и B — 72 км. Из A в B отправился плот, через 1 ч за ним — яхта. Дойдя до B, яхта сразу вернулась в A; к этому времени плот прошёл 33 км. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость яхты в неподвижной воде.

запишите полное решение

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие четыре шага у любой текстовой задачи?
Почему всю работу принимают за 1?
Когда оба корня — ответ?

Домашнее задание

Катер прошёл 54 км по течению и 24 км против течения за 5 ч. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость катера.
Смешали 30%-й и 10%-й растворы и получили 400 г 15%-го. Сколько взяли каждого?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-133 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 7/10 · тип О; тема повторения — текстовые задачи и математические модели
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–19 (задачи из других предметов → 10, 11, 13, 16, 17)
Результаты	ПР-23 → 3–10, 12–18 · ПР-19 → 6–9, 11, 16–18 · ПР-20 → 6, 7, 16–18 · ПР-25 → 11 · ПР-13 → 10, 11, 13, 16, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4–6, 8, 12, 19) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 7, 9–11, 13–18
Вне урока	решение уравнений и систем с параметрами, неравенства, функции и графики — другие уроки повторения строки R09; квадратные неравенства — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:текстовые задачии модели

От слов — к уравнению и обратно

1Модель

2Решение

3Интерпретация

4Другие предметы

Запишите выражением

Модель — это мост от условия к ответу

Одна формула — три величины

Лодка: 24 км туда и обратно за 5 ч

Составьте уравнение по таблице s, v, t и решите

Вместе — 6 дней, первая быстрее на 5 дней

Вся работа =1, производительности складываются

Сколько воды добавить к 200 г 30%-го раствора, чтобы получить 20%?

h=20t−5t2. Когда мяч на высоте 15 м?

Катер: по течению 3 ч, обратно 6 ч. А плот?

Цену повысили на p%, потом снизили на p% — стало 96%

Уравнение решено — ответ ещё нет

Найдите ошибку

Шесть задач

Подсказки

Три задачи — три типа модели

Вариант 1

Вариант 2

Плот и яхта

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-133 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
текстовые задачи
и модели

Составьте уравнение по таблице $s, v, t$ и решите

Вся работа $= 1$ , производительности складываются

$h = 20 t - 5 t^{2}$ . Когда мяч на высоте 15 м?

Цену повысили на $p %$ , потом снизили на $p %$ — стало 96%