Повторение · урок 6 из 10 · обобщение

Текстовые
задачи: от условия
к модели

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-132

0 мин · титул (входит в цели)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 6/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Тип О. Тема урока в блоке повторения — текстовые задачи (содержание строки R05 «Дробно-рациональные уравнения» и R03 «Квадратные уравнения»: составление модели). Предыдущий урок ALG8U-131 — продолжение повторения; следующий ALG8U-133.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: цели 1 (сл. 2, т) · разминка 3 и актуализация 2 (сл. 3–4, п) · алгоритм и сводка моделей 4 (сл. 5–6, т) · четыре сюжета «образец → сам» 16 (сл. 7–14: образцы 6 — т, «сам» 10 — п) · графический способ 2 + «сам» 2 (сл. 15 т, 16 п) · исследование 1 (сл. 17, т) · найди ошибку 2 (сл. 18) · самопроверка 3 + 3 (сл. 19–20) · самостоятельная 3 (сл. 21) · ОГЭ 2 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Рисунок: лодка и течение — по течению скорость v + u, против — v − u.

R09.1

Цели урока

Ученик повторит и научится

Модель

переходить от условия к уравнению или системе (ПР-23)

Уравнения

решать дробно-рациональные и квадратные уравнения (ПР-19, ПР-20)

Смысл

отбирать корни и толковать ответ по условию (ПР-23)

Другие предметы

физика, химия, финансы — одна схема (ПР-13)

Графики

решать задачу графиком движения (ПР-25)

Исследование

выяснять, сколько решений имеет задача (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат»; ПР-19 «Решать квадратные уравнения»; ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики»; ПР-25 «…определять свойства функции по ее графику»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько…)».
Виды деятельности ФРП (R09): «Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи. Использовать функционально-графические представления для решения задач».

разминка · R03, R05

Разминка · устно

Посчитайте в уме

\frac{60}{x} = 4

,

x = ?

15

корни

x^{2} - 9 x + 20 = 0

4

и

5

\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

\frac{1}{2}

1, 21

1, 1

20%

от

350

70

1, 2 \cdot 0, 8

0, 96

2

ч

15

мин —
сколько часов?

2, 25

ч

45

км за

\frac{3}{4}

ч —
скорость?

60

км/ч

3 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик называет ответ и коротко объясняет; ответ открывается по клику. Всё это понадобится в задачах урока.
Ответы: 1) $x = 60 : 4 = 15$ ; 2) по теореме Виета: сумма 9, произведение 20 → 4 и 5; 3) $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (так складываются производительности); 4) $1, 1^{2} = 1, 21$ → 1,1; 5) $0, 2 \cdot 350 = 70$ ; 6) $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ (два изменения цены, сл. 13); 7) 15 мин = 0,25 ч → 2,25 ч $= \frac{9}{4}$ ч; 8) $45 : \frac{3}{4} = 45 \cdot \frac{4}{3} = 60$ км/ч.
Карточки 7–8 — единицы времени: самая частая потеря баллов в задачах на движение.

повторение: R03, R05

Актуализация · устно

Запишите выражением

условие	выражение
время на путь $40$ км со скоростью $x$ км/ч	$\frac{40}{x}$ ч
скорость лодки против течения: своя $v$ , течение $3$	$v - 3$
часть бака, которую труба наполняет за $1$ ч, если весь — за $x$ ч	$\frac{1}{x}$
соли в $m$ г $15%$ -го раствора	$0, 15 m$ г
цена $a$ после повышения на $p %$	$a (1 + \frac{p}{100})$

R09.1 · карта метода

Обобщение · метод математического моделирования

Пять шагов решения любой текстовой задачи

R09.1 · другие предметы

Сводная таблица · одна формула — четыре сюжета

$величина = скорость процесса \cdot время (или доля)$

сюжет	формула	что складывается	предмет
движение	$S = v \cdot t$	пути; по реке $v \pm u$	физика
работа	$A = p \cdot t, A = 1$	производительности	физика, экономика
смеси, сплавы	$m_{в - ва} = c \cdot m$	массы вещества	химия
проценты	$a \cdot (1 \pm \frac{p}{100})^{n}$	множители, а не проценты	финансы

Неизвестное в знаменателе → дробно-рациональное уравнение → ОДЗ!

R09.1 · движение

Образец 1 · движение по реке

Против течения $80$ км, обратно — на $3$ ч быстрее

Собственная скорость лодки $13$ км/ч. Найдите скорость течения.

	$v$ , км/ч	$t$ , ч	$S$ , км
против	$13 - x$	$\frac{80}{13 - x}$	$80$
по течению	$13 + x$	$\frac{80}{13 + x}$	$80$

$0 < x < 13$ — иначе лодка не поплывёт против течения

\frac{80}{13 - x} - \frac{80}{13 + x} = 3

160 x = 3 (169 - x^{2})

умножили на

(13 - x) (13 + x) \neq = 0

3 x^{2} + 160 x - 507 = 0

D = 25600 + 6084 = 31684 = 17 8^{2}

x_{1} = 3, x_{2} = - \frac{169}{3}

x_{2} < 0

— не подходит по смыслу

Ответ:

3

км/ч

R09.1 · движение

Образец → сам · движение

Составьте уравнение и решите

Модель

t = \frac{S}{v}

по течению: $v + u$

против: $v - u$

разность или сумма времён — уравнение

Сам

Своя скорость лодки $15$ км/ч, течение $3$ км/ч. За сколько часов она пройдёт $36$ км по течению? $2$ ч
Своя скорость лодки $10$ км/ч. $24$ км против течения и $24$ км обратно — за $5$ ч. Найдите скорость течения. $2$ км/ч
Течение $2$ км/ч. Теплоход прошёл $48$ км по течению и вернулся; обратный путь — на $1$ ч дольше. Своя скорость? $14$ км/ч
Путь $12$ км. Если бы пешеход шёл на $1$ км/ч быстрее, он пришёл бы на $1$ ч раньше. Его скорость? $3$ км/ч

R09.1 · работа

Образец 2 · совместная работа

Две трубы вместе — за $6$ ч, первая одна — на $5$ ч быстрее второй

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}, x > 0

6 (2 x + 5) = x (x + 5)

x^{2} - 7 x - 30 = 0

по теореме Виета:

x_{1} x_{2} = - 30, x_{1} + x_{2} = 7

x_{1} = 10, x_{2} = - 3

- 3

— время не бывает отрицательным

Ответ:

10

ч

R09.1 · работа

Образец → сам · совместная работа

Складываем производительности

Модель

вся работа $= 1$

p = \frac{1}{t}

\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t}

Сам

Первая бригада выполняет работу за $12$ дней, вторая — за $6$ . За сколько дней — вместе? $4$ дня
Две трубы вместе наполняют бак за $4$ ч, первая одна — за $6$ ч. За сколько часов — одна вторая? $12$ ч
Две трубы вместе — за $12$ ч, первая одна — на $10$ ч быстрее второй. За сколько часов наполнит бак первая? $20$ ч
Мастер делает в час на $2$ детали больше ученика, а $48$ деталей — на $2$ ч быстрее. Сколько деталей в час у ученика? $6$

3 мин · практика
По образцу сл. 9; ответы по клику. Задания 1–2 — устно или в одну строку, 3–4 — в тетрадях.
1) $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ → 4 дня.
2) $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$ → 12 ч.
3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}$ → $12 (2 x + 10) = x^{2} + 10 x$ → $x^{2} - 14 x - 120 = 0$ , $D = 196 + 480 = 676 = 2 6^{2}$ , $x = \frac{14 + 26}{2} = 20$ ( $x = - 6$ не подходит). Проверка: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{1}{12}$ ✓.
4) $x$ — деталей в час у ученика: $\frac{48}{x} - \frac{48}{x + 2} = 2$ → $96 = 2 x (x + 2)$ → $x^{2} + 2 x - 48 = 0$ → $x = 6$ ( $x = - 8$ не подходит). Проверка: $48 : 6 = 8$ ч, $48 : 8 = 6$ ч, разность 2 ✓. Мастер — 8 деталей в час.
Здесь «работа» — не 1, а 48 деталей: производительность = работа : время.

R09.1 · смеси · химия

Образец 3 · смеси и растворы

$30%$ + $10%$ = $600$ г раствора $15%$

0, 3 x + 0, 1 (600 - x) = 90 \Rightarrow 0, 2 x = 30

x = 150

г и

450

г

R09.1 · смеси · химия

Образец → сам · смеси и растворы

Складываем массы вещества

Модель

m_{в - ва} = c \cdot m

вещество смеси = сумма веществ частей

выпаривание: вещество не меняется

Сам

Сколько граммов соли в $250$ г $12%$ -го раствора? $30$ г
Смешали $200$ г $10%$ -го и $300$ г $20%$ -го раствора. Какова концентрация смеси? $16%$
Сколько граммов $40%$ -го и $15%$ -го раствора взять, чтобы получить $500$ г $25%$ -го? $200$ г и $300$ г
Из $20$ кг $30%$ -го раствора выпарили воду, концентрация стала $40%$ . Сколько воды выпарили? $5$ кг

R09.1 · проценты · финансы

Образец 4 · два изменения подряд

Цену подняли на $p %$ , потом снизили на $p %$ — стало на $4%$ меньше

(1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p}{100}) = 0, 96

1 - \frac{p ^{2}}{10000} = 0, 96

разность квадратов

p^{2} = 400, p = \pm 20

p > 0

— берём

20

Ответ:

20%

R09.1 · проценты · финансы

Образец → сам · проценты

Перемножаем множители

Модель

$+ p %$ → множитель

1 + \frac{p}{100}

$- p %$ → множитель

1 - \frac{p}{100}

Сам

Цену $800$ ₽ повысили на $15%$ . Какой стала цена? $920$ ₽
Товар подешевел на $10%$ , затем ещё на $10%$ . На сколько процентов он подешевел всего? на $19%$
Цену дважды повысили на одно и то же число процентов, итог — рост на $44%$ . Найдите это число. $20%$
Цену снизили на $20%$ . На сколько процентов надо повысить новую цену, чтобы вернуть прежнюю? на $25%$

R09.1 · графики

Функционально-графический способ

Когда и где встретятся велосипедисты?

AB $= 60$ км. Из A в 9:00 — $12$ км/ч, из B в 10:00 навстречу — $24$ км/ч

12 t = 60 - 24 (t - 1)

36 t = 84, t = \frac{7}{3}

ч

встреча в 11:20, в

28

км от A

2 мин · теория (учитель разбирает образец; дальше — сл. 16 «сам»)
t — часы после 9:00. Второй выехал при t = 1 и приближается к A: s = 60 − 24(t − 1).
t = 7/3 ч = 2 ч 20 мин → 11:20; s = 12 · 7/3 = 28 км. Проверка: второй был в пути 1 ч 20 мин = 4/3 ч, проехал 24 · 4/3 = 32 км; 28 + 32 = 60 ✓.
Вопросы по графику: «Где был велосипедист, когда выехал второй?» — 12 км от A. «Кто раньше доедет до цели?» — второй: он в A в 12:30 (60 : 24 = 2,5 ч), велосипедист в B — в 14:00.
Угловой коэффициент прямой = скорость; знак показывает направление.

R09.1 · графики · ПР-25

Образец → сам · читаем график движения

Из A и B навстречу друг другу, AB $= 60$ км

Скорость первого (I)? $15$ км/ч
Скорость второго (II)? $30$ км/ч
Когда и где они встретились? $t = 2$ ч, $30$ км от A
Где был первый, когда второй прибыл в A? $45$ км от A
Проверьте встречу уравнением. $15 t = 60 - 30 (t - 1)$

R09.1 · углублённо · ПР-22

Исследование модели

Всегда ли у задачи о двух трубах ровно один ответ?

Вместе — за $T$ ч, первая быстрее второй на $d$ ч; $T > 0, d > 0$

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + d} = \frac{1}{T}

x^{2} + (d - 2 T) x - d T = 0

x_{1} x_{2} = - d T < 0

по теореме Виета: корни разных знаков

ровно один положительный корень — при любых

T

и

d

1 мин · теория (вывод показывает учитель)
Вывод: T(2x + d) = x(x + d) → x² + dx − 2Tx − dT = 0.
Графический смысл: ветви параболы вверх, а y(0) = −dT < 0 — парабола обязательно пересекает ось Ox слева и справа от нуля. По смыслу нужен только корень x > 0 — время первой трубы.
Дискриминант здесь проверять не надо: при отрицательном произведении корней D > 0 автоматически (D = (d − 2T)² + 4dT > 0).
Вопрос сильным: «Всегда ли первая труба одна работает дольше T?» — да: x > T, так как 1/x < 1/T.

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки

Найдите ошибку в модели

Запись ученика	Что не так	Верно
$v_{по теч .} = v \cdot u$	скорости складываются	$v + u$
за $20$ мин при $60$ км/ч: $S = 60 \cdot 20$	разные единицы	$60 \cdot \frac{1}{3} = 20$ км
вместе: $t = t_{1} + t_{2}$	складываются производительности	$\frac{1}{t} = \frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}$
$+ 10%$ , затем $- 10%$ : без изменений	второй процент — от новой величины	$1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$
ответ: $x = - 3$ ч	нет отбора по смыслу	отбросить

R09.1

Задания с самопроверкой · 1

Пять задач — пять сюжетов

базаВелосипедист проехал $40$ км, обратно ехал на $10$ км/ч быстрее и потратил на $2$ ч меньше. Найдите первоначальную скорость. $10$ км/ч
базаЧисло увеличили на $25%$ , затем уменьшили на $20%$ . Как изменилось число? не изменилось
повыш.Двое рабочих вместе выполняют заказ за $2$ ч $40$ мин; первый один — на $4$ ч быстрее второго. За сколько часов выполнит заказ первый? $4$ ч
повыш.Сколько литров воды добавить к $12$ л $40%$ -го раствора соли, чтобы получить $30%$ -й? $4$ л
практикаВклад $50000$ ₽ за $2$ года вырос до $60500$ ₽ (проценты каждый год начисляются на всю сумму). Найдите ставку. $10%$

Подсказки

3) $2$ ч $40$ мин $= \frac{8}{3}$ ч

4) соли не прибавилось

5) $(1 + r)^{2}$

R09.1

Задания с самопроверкой · 2

Уравнения в задачах: база и повышенный уровень

базаСумма двух чисел $20$ , произведение $96$ . Найдите числа. $8$ и $12$
базаПоезд прошёл $120$ км. Будь его скорость на $20$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше. Найдите скорость. $40$ км/ч
повыш.Из A в B ( $45$ км) одновременно выехали велосипедист и мотоциклист; мотоциклист на $30$ км/ч быстрее и приехал на $2$ ч раньше. Скорость велосипедиста? $15$ км/ч
повыш.Числитель несократимой дроби с натуральными членами на $2$ меньше знаменателя; сумма дроби и обратной ей равна $130/63$ . Найдите дробь. $7/9$
практикаТелефон стоил $20000$ ₽, после двух снижений на одно и то же число процентов — $16200$ ₽. На сколько процентов снижали? $10%$

Подсказки

1) теорема Виета

2) $\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$

4) $x$ — числитель

5) $(1 - r)^{2}$

3 мин · практика
Работа в тетрадях, затем проверка всем классом: ответы открываются по клику. Задачи 4–5 — для успевающих.
1) $t^{2} - 20 t + 96 = 0$ → по Виету 8 и 12 ( $8 + 12 = 20$ , $8 \cdot 12 = 96$ ✓).
2) $\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$ → $2400 = x^{2} + 20 x$ → $x^{2} + 20 x - 2400 = 0$ , $D = 400 + 9600 = 10000 = 10 0^{2}$ , $x = \frac{- 20 + 100}{2} = 40$ . Проверка: $120 : 40 = 3$ , $120 : 60 = 2$ ✓.
3) $\frac{45}{x} - \frac{45}{x + 30} = 2$ → $1350 = 2 x (x + 30)$ → $x^{2} + 30 x - 675 = 0$ , $D = 900 + 2700 = 3600 = 6 0^{2}$ , $x = \frac{- 30 + 60}{2} = 15$ . Проверка: $45 : 15 = 3$ ч, $45 : 45 = 1$ ч ✓.
4) $\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x} = \frac{130}{63}$ → $63 (2 x^{2} + 4 x + 4) = 130 (x^{2} + 2 x)$ → $4 x^{2} + 8 x - 252 = 0$ → $x^{2} + 2 x - 63 = 0$ → $x = 7$ ( $x = - 9$ — не натуральное). Проверка: $\frac{7}{9} + \frac{9}{7} = \frac{49 + 81}{63} = \frac{130}{63}$ ✓.
5) $(1 - r)^{2} = 16200 : 20000 = 0, 81$ → $1 - r = 0, 9$ → 10 %. Проверка: $20000 \to 18000 \to 16200$ ✓.

R09.1

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$30%$ от $240$ $72$
своя скорость лодки $12$ км/ч, по течению $30$ км за $2$ ч; течение? $3$ км/ч
трубы: одна — за $3$ ч, другая — за $6$ ч; вместе? $2$ ч
$120$ км; на $10$ км/ч быстрее — на $1$ ч раньше; скорость? $30$ км/ч

Вариант 2

$15%$ от $420$ $63$
своя скорость лодки $10$ км/ч, против течения $16$ км за $2$ ч; течение? $2$ км/ч
трубы: одна — за $4$ ч, другая — за $12$ ч; вместе? $3$ ч
$60$ км; на $5$ км/ч быстрее — на $1$ ч раньше; скорость? $15$ км/ч

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (текстовая задача, часть 2)

Решите задачу с полным обоснованием

Два автомобиля одновременно отправляются в пробег длиной $300$ км. Первый едет со скоростью на $10$ км/ч больше второго и прибывает на финиш на $1$ ч раньше. Найдите скорость первого автомобиля.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что складывают в задаче на работу?
Зачем нужен пятый шаг?
Почему $+ p %$ и $- p %$ не дают $0$ ?

Тренажёр

reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Домашнее задание

Лодка проходит $45$ км по течению за $3$ ч, против — за $5$ ч. Найдите скорость течения.
Из сплавов меди $20%$ и $50%$ получить $30$ кг $40%$ -го.
Числитель дроби на $3$ меньше знаменателя; если к обоим прибавить $2$ , дробь увеличится на $\frac{2}{21}$ . Найдите дробь.
* Цену дважды снизили на одно и то же число процентов: $2500$ ₽ → $1600$ ₽. На сколько процентов?

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-132 · Повторение: текстовые задачи — от условия к модели

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 6/10 · тип О (обобщение) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–23 (содержание R05 «Дробно-рациональные уравнения» → 3–4, 6–10, 17, 19–22; R03 «Квадратные уравнения» → 3, 7–10, 13–14, 17, 19–22)
Результаты	ПР-23 → 5, 7–16, 18–22 · ПР-19 → 3, 7–10, 13–14, 19–22 · ПР-20 → 7–10, 17, 19–21 · ПР-13 → 6, 11–14, 19–21 · ПР-25 → 15, 16 · ПР-22 → 17, 20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	числа и корни — ALG8U-127; другие темы блока повторения — ALG8U-128…131, 133…136
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Текстовыезадачи: от условияк модели

Ученик повторит и научится

Модель

Уравнения

Смысл

Другие предметы

Графики

Исследование

Посчитайте в уме

Запишите выражением

Пять шагов решения любой текстовой задачи

величина=скорость процесса⋅время (или доля)

Против течения 80 км, обратно — на 3 ч быстрее

Составьте уравнение и решите

Модель

Сам

Две трубы вместе — за 6 ч, первая одна — на 5 ч быстрее второй

Складываем производительности

Модель

Сам

30% + 10% = 600 г раствора 15%

Складываем массы вещества

Модель

Сам

Цену подняли на p%, потом снизили на p% — стало на 4% меньше

Перемножаем множители

Модель

Сам

Когда и где встретятся велосипедисты?

Из A и B навстречу друг другу, AB =60 км

Всегда ли у задачи о двух трубах ровно один ответ?

Найдите ошибку в модели

Пять задач — пять сюжетов

Подсказки

Уравнения в задачах: база и повышенный уровень

Подсказки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите задачу с полным обоснованием

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Тренажёр

Домашнее задание

ALG8U-132 · Повторение: текстовые задачи — от условия к модели

Текстовые
задачи: от условия
к модели

$величина = скорость процесса \cdot время (или доля)$

Против течения $80$ км, обратно — на $3$ ч быстрее

Две трубы вместе — за $6$ ч, первая одна — на $5$ ч быстрее второй

$30%$ + $10%$ = $600$ г раствора $15%$

Цену подняли на $p %$ , потом снизили на $p %$ — стало на $4%$ меньше

Из A и B навстречу друг другу, AB $= 60$ км