Итоговое повторение · урок 5 из 10 · обобщение

Дробно-
рациональные
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-131

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 5/10, тип О. Единица R09.1. Фокус урока — повторение строки R05 «Дробно-рациональные уравнения» (и связанных R03 «квадратные уравнения», R04 «допустимые значения»), применение к задачам из физики и практики. Предыдущие уроки строки R09 — ALG8U-127…130, следующий — ALG8U-132.
Хронометраж (45 мин): орг. момент и цели 2 (сл. 1–2, теория) · устная разминка 4 (сл. 3–4, практика) · алгоритм и сводная таблица 4 (сл. 5–6, теория) · пять типов «образец → сам» 21 (сл. 7–16: образцы — теория 8 мин, задания ученикам — практика 13 мин) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 3 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · ОГЭ 3 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Рисунок: $\frac{6}{x} = x + 1$ — гипербола и прямая пересекаются в двух точках; точка $x = 0$ «выколота». Вернёмся к нему на слайде 11.

R09.1

Цели урока

Ученик научится

Решать

дробно-рациональные уравнения, отсеивая посторонние корни (ПР-20, ПР-9)

Выбирать способ

общий знаменатель, пропорция, замена $t$ , график (ПР-20, ПР-22)

Исследовать

число корней в зависимости от параметра $a$ (ПР-22)

Моделировать

задачи о движении, работе, резисторах уравнением (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать… полученный результат».
Единица R09.1: «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Виды деятельности ФРП: выбирать и оценивать способы решения уравнений, осуществлять самоконтроль, решать текстовые задачи, использовать функционально-графические представления.
Вопрос классу: «Какой из четырёх пунктов кажется самым трудным?» — вернуться к ответу на рефлексии.

повторение: R03 · R04

Вспомним · устно

Четыре вопроса за четыре минуты

Вопрос	Ответ
При каких $x$ имеет смысл $\frac{5}{x - 3}$ ?	$x \neq = 3$
При каких $x$ имеет смысл $\frac{x}{x ^{2} - 16}$ ?	$x \neq = \pm 4$
Общий знаменатель $\frac{1}{x - 2}$ и $\frac{3}{x ^{2} - 4}$	$(x - 2) (x + 2)$
Корни $x^{2} + x - 6 = 0$ по теореме Виета	$2$ и $- 3$

повторение: R03 · R04 · R05

Разминка · устно

Ещё четыре вопроса — в темпе

Вопрос	Ответ
Решите $\frac{x - 5}{x} = 0$	$x = 5$
При каком $x$ не имеет смысла $\frac{x + 1}{x - 7}$ ?	$x = 7$
Сложите $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$	$\frac{2 x + 1}{x ( x + 1 )}$
Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ ?	ни одного

R09.1 · карта темы

Обобщение · алгоритм

Пять шагов решения дробно-рационального уравнения

R09.1 · сводная таблица

Обобщение · какой приём выбрать

Вид уравнения подсказывает способ

Вид	Приём	Пример
$\frac{A}{B} = 0$	$A = 0$ и $B \neq = 0$	$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0 \Rightarrow x = 3$
$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$	пропорция $A D = BC$	$\frac{x}{2} = \frac{4}{x - 2} \Rightarrow x = 4; - 2$
сумма дробей	общий знаменатель	слайд 7
повторяется блок	замена $t$	слайд 9
$\frac{k}{x} = m x + b$	графики	слайд 11

R09.1 · повторение R05

Тип 1 · общий знаменатель

Решите $\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}$

ОДЗ:

x \neq = 2, x \neq = - 2

x (x + 2) - 8 = x - 2

умножили на

(x - 2) (x + 2)

x^{2} + x - 6 = 0

x_{1} = 2, x_{2} = - 3

Ответ:

- 3

R09.1 · повторение R05

Образец → сам · тип 1

Решите по образцу слайда 7

база $\frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $0$
база $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $2$
повыш. $\frac{x}{x + 3} + \frac{3}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ корней нет

R09.1 · повторение R05

Тип 2 · замена переменной · углублённо

Решите $\frac{x ^{2} + 1}{x} + \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{5}{2}$

t = \frac{x ^{2} + 1}{x} : t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

t = 2 или t = \frac{1}{2}

\frac{x ^{2} + 1}{x} = 2 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 0

x = 1

\frac{x ^{2} + 1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x^{2} - x + 2 = 0

D = 1 - 16 < 0

— корней нет

Ответ:

1

R09.1 · повторение R05

Образец → сам · тип 2 · замена

Введите замену и решите

база $\frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x - 1} = \frac{5}{2}$ $- 1; 2$
база $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - 6 = 0$ $\frac{1}{2}; - \frac{1}{3}$
повыш. $(\frac{x}{x - 1})^{2} - \frac{3 x}{x - 1} + 2 = 0$ $2$

R09.1 · повторение R05, R06

Тип 3 · графическое решение

Решите $\frac{6}{x} = x + 1$ двумя способами

Аналитически, $x \neq = 0$

6 = x^{2} + x

x^{2} + x - 6 = 0

x = 2; x = - 3

Абсциссы точек пересечения — корни

1 мин · теория (учитель показывает образец; сами графики ученики строят на сл. 12)
Точки для построения: гипербола $(1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1)$ и симметричные; прямая через $(0; 1)$ и $(2; 3)$ .
Проверка: $6/2 = 3 = 2 + 1$ ✓; $6/ (- 3) = - 2 = - 3 + 1$ ✓.
Вопрос (ПР-22): «Сколько корней у $\frac{6}{x} = x + b$ при любом $b$ ?» — всегда два: $x^{2} + b x - 6 = 0$ , $D = b^{2} + 24 > 0$ , и $x = 0$ не корень. А у $\frac{6}{x} = - x + b$ ? — $x^{2} - b x + 6 = 0$ : два корня при $∣ b ∣ > 26$ , один при $∣ b ∣ = 26$ , ни одного при $∣ b ∣ < 26$ (прямая касается гиперболы или проходит мимо).
График даёт приближённый ответ; точный — только аналитически.

R09.1 · повторение R05, R06

Образец → сам · тип 3 · графики

Решите графически и проверьте

база $\frac{4}{x} = x$ $- 2; 2$
база $- \frac{2}{x} = x - 3$ (рисунок) $1; 2$
база Сколько корней у $\frac{1}{x} = - x$ ? ни одного
повыш. При каких $b$ у $\frac{4}{x} = - x + b$ ровно один корень? $b = \pm 4$

3 мин · практика
Графики в тетрадях строят ученики; на слайде по клику — прямая и точки пересечения для задания 2.
1) $x^{2} = 4$ , $x = \pm 2$ (оба $\neq = 0$ ). Проверка: $\frac{4}{2} = 2$ ✓, $\frac{4}{- 2} = - 2$ ✓.
2) $- 2 = x^{2} - 3 x$ , $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ → $1$ ; $2$ . Проверка: $- \frac{2}{1} = - 2 = 1 - 3$ ✓; $- \frac{2}{2} = - 1 = 2 - 3$ ✓.
3) Гипербола $y = \frac{1}{x}$ — в I и III четвертях, прямая $y = - x$ — во II и IV: общих точек нет; аналитически $x^{2} = - 1$ — корней нет.
4) $x^{2} - b x + 4 = 0$ , один корень при $D = b^{2} - 16 = 0$ , $b = \pm 4$ ; корень $x = \frac{b}{2} = \pm 2 \neq = 0$ — подходит. Прямая касается гиперболы в $(2; 2)$ или $(- 2; - 2)$ .

R09.1 · исследование

Тип 4 · параметр · углублённо

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 1} = 0$ в зависимости от $a$ ?

кандидаты:

x = 2, x = a

условие:

x \neq = 1

особые:

a = 1, a = 2

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
План исследования: (1) кандидаты из числителя; (2) запрет из знаменателя; (3) значения параметра, при которых кандидат запрещён или кандидаты совпадают.
Ответ: при $a = 1$ и $a = 2$ — один корень ( $x = 2$ ); при остальных $a$ — два корня ( $2$ и $a$ ).
Проверка $a = 1$ : $\frac{( x - 2 ) ( x - 1 )}{x - 1} = 0$ — при $x = 1$ знаменатель 0, остаётся $x = 2$ ✓. $a = 2$ : $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x - 1} = 0 \Rightarrow x = 2$ ✓.
Вопрос: «Может ли корней не быть?» — нет: $x = 2$ подходит всегда ( $2 \neq = 1$ ). Ошибка: забывают случай совпадения корней.

R09.1 · исследование

Образец → сам · тип 4 · параметр

Исследуйте по плану: кандидаты → запрет → особые $a$

база Сколько корней у $\frac{( x + 1 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ ? $a = - 1; 3$ — один, иначе два
база При каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ( x - 4 )} = 0$ не имеет корней? $a = 0; 4$
повыш. При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 2} = 0$ ровно один корень? $a = 0; \pm 2$

R09.1 · задачи из других предметов

Тип 5 · текстовая задача · математика и физика

Одна модель — две задачи

Работа

Две бригады вместе — за 6 дней. Первая одна — на 5 дней быстрее второй. За сколько дней каждая?

Физика

Параллельно: $\frac{1}{R _{общ}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}

производительность — доля работы за день

x^{2} - 7 x - 30 = 0

x = 10; x = - 3

не по смыслу

10

и

15

дней ·

10

и

15

Ом

1 мин · теория (учитель показывает модель; задачи решают на сл. 16)
Ключ: за 1 день первая делает $\frac{1}{x}$ работы, вторая $\frac{1}{x + 5}$ , вместе $\frac{1}{6}$ . Для резисторов: $R$ и $R + 5$ , общее $6$ Ом — то же уравнение (обобщение знаний для задач из других предметов, R09.1).
Решение: умножаем на $6 x (x + 5)$ : $6 (x + 5) + 6 x = x (x + 5)$ , $12 x + 30 = x^{2} + 5 x$ , $x^{2} - 7 x - 30 = 0$ , $D = 49 + 120 = 169$ , $x = \frac{7 \pm 13}{2}$ : $10$ или $- 3$ .
Проверка: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}$ ✓.
Вопрос: «Почему $- 3$ отбрасываем, хотя он входит в ОДЗ уравнения?» — время и сопротивление положительны: ОДЗ задачи уже ОДЗ уравнения.

R09.1 · задачи из других предметов

Образец → сам · тип 5 · задачи из жизни

Составьте уравнение и решите

Бассейн

Две трубы вместе наполняют бассейн за $4$ ч. Первая одна — на $6$ ч быстрее второй. За сколько часов наполняет каждая?

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$ → $6$ ч и $12$ ч

Дорога

До дачи $60$ км. Второй автомобиль едет на $10$ км/ч быстрее первого и приезжает на $30$ мин раньше. Найдите скорости.

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{2}$ → $30$ и $40$ км/ч

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	$x = - 3$ обнуляет знаменатель	$x = 3$
$\frac{2}{x} + 1 = \frac{3}{x} \Rightarrow 2 + 1 = 3$ , «любое $x$ »	$1$ не умножили на $x$	$2 + x = 3, x = 1$
замена дала $t = 2, t = \frac{1}{2}$ — это ответ	не вернулись к $x$	решить $\frac{x ^{2} + 1}{x} = t$
скорость лодки $v = - 0, 4$ км/ч	не по смыслу задачи	$v > 0$ , корень отбросить

R09.1

Задания с самопроверкой

Шесть заданий по всем типам

базаРешите $\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$ . $4$
базаРешите $\frac{3}{x} = x - 2$ . $3; - 1$
повыш.Решите $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ . корней нет
повыш.Решите $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$ . $- 2; 1$
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ^{2} - 9} = 0$ не имеет корней? $a = \pm 3$
практикаДва резистора параллельно дают $2$ Ом, один на $3$ Ом больше другого. Найдите их. $3$ и $6$ Ом

Подсказки

1) ОДЗ $x \neq = - 4$

3) сверить с ОДЗ

4) $t = \frac{x}{x + 1}$

5) $x = a$ — запрещён?

3 мин · практика
Решают в тетрадях (сильные — все шесть, остальные — 1–4), ответы открываются по клику, проверка всем классом.
1) $x^{2} = 16$ , $x = \pm 4$ , $x = - 4$ вне ОДЗ → $4$ .
2) $3 = x^{2} - 2 x$ , $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ → $3$ ; $- 1$ (оба $\neq = 0$ ). Проверка: $3/3 = 1 = 3 - 2$ ✓; $3/ (- 1) = - 3 = - 1 - 2$ ✓.
3) $(x + 1) + (x - 1) = 2$ , $2 x = 2$ , $x = 1$ — вне ОДЗ → корней нет.
4) $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ → $t = 2$ или $\frac{1}{2}$ . $\frac{x}{x + 1} = 2 \Rightarrow x = - 2$ ; $\frac{x}{x + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1$ . Проверка: $x = - 2$ : $2 + \frac{1}{2}$ ✓; $x = 1$ : $\frac{1}{2} + 2$ ✓. Ответ: $- 2$ ; $1$ .
5) Кандидат $x = a$ запрещён при $a^{2} = 9$ → $a = 3$ или $a = - 3$ .
6) $\frac{1}{R} + \frac{1}{R + 3} = \frac{1}{2}$ → $2 (R + 3) + 2 R = R (R + 3)$ → $R^{2} - R - 6 = 0$ → $R = 3$ ( $- 2$ отбросить). Ответ: $3$ и $6$ Ом. Проверка: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ ✓.

R09.1 · самоконтроль

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

$\frac{x ^{2}}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$ $- 5$
$\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $1$
$\frac{8}{x} = x + 2$ $- 4; 2$

Вариант 2

$\frac{x ^{2}}{x + 6} = \frac{36}{x + 6}$ $6$
$\frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $1$
$\frac{10}{x} = x + 3$ $- 5; 2$

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (текстовая задача, часть 2)

Лодка прошла $24$ км по течению и $24$ км против течения за $5$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

	$v$ , км/ч	$s$ , км	$t$ , ч
по течению	$x + 2$	$24$	$\frac{24}{x + 2}$
против	$x - 2$	$24$	$\frac{24}{x - 2}$

Составьте уравнение и решите его. Оценка: 0–2 балла.

3 мин · практика
Письменно. Решение: $\frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = 5$ , $x > 2$ . Умножаем на $(x + 2) (x - 2)$ : $24 (x - 2) + 24 (x + 2) = 5 (x^{2} - 4)$ , $48 x = 5 x^{2} - 20$ , $5 x^{2} - 48 x - 20 = 0$ , $D = 2304 + 400 = 2704 = 5 2^{2}$ , $x = \frac{48 \pm 52}{10}$ : $10$ или $- 0, 4$ . Ответ: 10 км/ч.
Проверка: $\frac{24}{12} + \frac{24}{8} = 2 + 3 = 5$ ✓.
Критерии (по образцу ОГЭ, задание 21): 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ; 1 балл — верная модель, допущена вычислительная ошибка; 0 — иначе.
Типичная потеря балла: не обосновано отбрасывание $- 0, 4$ (скорость против течения $x - 2$ должна быть положительной).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда берутся посторонние корни?
Как по виду уравнения выбрать приём?
Какой корень задачи отбросить, хотя он в ОДЗ?

Домашнее задание

Решите $\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$ .
Решите графически и аналитически $\frac{4}{x} = 5 - x$ .
* При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - a} = 0$ имеет ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики)
Вернуться к вопросу со слайда 2: какая цель была самой трудной.
Ответы ДЗ: 1) $(x + 2) (x + 1) + x (x - 1) = 6$ → $2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ → $x^{2} + x - 2 = 0$ → $x = 1$ (вне ОДЗ), $x = - 2$ . Проверка: $\frac{0}{- 3} + \frac{- 2}{- 1} = 2$ , $\frac{6}{3} = 2$ ✓. Ответ: $- 2$ .
2) $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ → $1$ ; $4$ . Точки пересечения $(1; 4)$ и $(4; 1)$ .
3*) Кандидаты $2$ и $3$ , запрет $x = a$ : ровно один корень при $a = 2$ или $a = 3$ .
Тренажёр углублённого курса — сводная страница; для R05 полезен раздел дробей и квадратных уравнений. Следующий урок ALG8U-132 — продолжение итогового повторения.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-131 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 5/10 · тип О (обобщение и систематизация); фокус — дробно-рациональные уравнения (повторение R05 с опорой на R03, R04, R06)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–21 (задачи из других предметов → 15, 16, 18, 20)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 3, 4, 5, 7, 8, 17, 19 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 4–12, 17–19, 21 · ПР-22 (исследование, графики) → 11–14, 18, 21 · ПР-23 (модель текстовой задачи) → 15, 16, 18, 20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные неравенства (метод интервалов) — не вводятся; системы с параметром — не рассматриваются; другие темы итогового повторения — ALG8U-127…130, 132…136
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 4, 8, 10, 12, 14, 16–21)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробно-рациональныеуравнения

Ученик научится

Решать

Выбирать способ

Исследовать

Моделировать

Четыре вопроса за четыре минуты

Ещё четыре вопроса — в темпе

Пять шагов решения дробно-рационального уравнения

Вид уравнения подсказывает способ

Решите x−2x​−x2−48​=x+21​

Решите по образцу слайда 7

Решите xx2+1​+x2+1x​=25​

Введите замену и решите

Решите x6​=x+1 двумя способами

Решите графически и проверьте

Сколько корней у x−1(x−2)(x−a)​=0 в зависимости от a?

Исследуйте по плану: кандидаты → запрет → особые a

Одна модель — две задачи

Работа

Физика

Составьте уравнение и решите

Бассейн

Дорога

Найдите ошибку

Шесть заданий по всем типам

Подсказки

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

Вариант 2

Лодка прошла 24 км по течению и 24 км против течения за 5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-131 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Дробно-
рациональные
уравнения

Решите $\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}$

Решите $\frac{x ^{2} + 1}{x} + \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{5}{2}$

Решите $\frac{6}{x} = x + 1$ двумя способами

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 1} = 0$ в зависимости от $a$ ?

Исследуйте по плану: кандидаты → запрет → особые $a$

Лодка прошла $24$ км по течению и $24$ км против течения за $5$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки.