Повторение и систематизация · урок 4 из 10

Уравнения:
как выбрать
способ решения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-130

1 мин · теория (организационный момент) · Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · итого 45 мин
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 4/10, тип О. Единица R09.1. Тема этого урока повторения — уравнения (строки R03 и R05 курса, линейные уравнения с параметром).
Хронометраж: цели 1 мин (сл. 2) · разминка 4 (сл. 3–4) · схема, формулы, график 5 (сл. 5–7) · образец + «сам» по дробно-рациональным 5 (сл. 8–9) · по замене 3 (сл. 10–11) · по Виету 3 (сл. 12–13) · параметр 4 (сл. 14–15) · графически 1 (сл. 16) · задачи из других предметов 5 (сл. 17–18) · ошибки 2 (сл. 19) · самопроверка 6 (сл. 20–21) · самостоятельная 4 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Если класс сильный — сл. 6 пройти устно, освободившееся время отдать на сл. 16 (параметр графически) и сл. 21.

R09.1

Цели урока

Сегодня вы приведёте в систему

Квадратные

решать квадратные уравнения и сводящиеся к ним (ПР-19)

Дробно-рациональные

решать дробно-рациональные уравнения (ПР-20)

С параметром

решать линейные уравнения с параметрами (ПР-21)

Исследование

устанавливать, есть ли решения и сколько, в том числе графически (ПР-22)

Модель задачи

составлять уравнение по условию и толковать результат (ПР-23)

Самоконтроль

выбирать способ и проверять ответ

1 мин · теория
ФРП дословно: ПР-19 «Решать квадратные уравнения»; ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-21 «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…»; ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели…».
Самоконтроль — из видов деятельности строки R09: «Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата».

R09.1

Устная разминка · 30 секунд на каждое

Решите устно и назовите способ

x^{2} = 49

x^{2} - 5 x = 0

x^{2} - 5 x + 6 = 0

\frac{x - 3}{x + 3} = 0

R09.1

Разминка · блиц устно

Ответьте за 20 секунд

x^{2} + 7 x - 8 = 0

сумма и произведение корней

- 7; - 8

x^{2} - 3 x - 4 = 0

дискриминант

D = 25

x^{2} + 4 = 0

сколько корней?

ни одного

x^{2} - 6 x + 9 = 0

корни

x = 3

2 x^{2} - 8 = 0

корни

\pm 2

\frac{5}{x ^{2} - 4}

при каких

x

не имеет смысла?

x = \pm 2

R09.1

Схема-конспект

Вид уравнения → способ решения

R09.1

Сводная таблица формул

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq = 0$

Что	Формула	Когда удобно
Дискриминант	$D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$	всегда
Чётный коэффициент $b = 2 k$	$D_{1} = k^{2} - a c, x_{1, 2} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}$	$b$ чётное
Теорема Виета	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$	подбор, проверка, параметр
Разложение	$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	сокращение дробей
Число корней	$D > 0$ — два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет	исследование

R09.1

Функционально-графический взгляд

Корни — точки пересечения параболы с осью $O x$

R09.1

Образец 1 · дробно-рациональное уравнение

Посторонний корень: найти и отбросить

\frac{x}{x - 3} - \frac{6}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}

x (x + 3) - 6 (x - 3) = 18

умножили на

(x - 3) (x + 3)

, при

x \neq = \pm 3

x^{2} - 3 x = 0, x (x - 3) = 0

x = 0

x = 3

— посторонний корень

R09.1

Образец → сам · дробно-рациональные уравнения

Решите по образцу: не забудьте отбор корней

база $\frac{x ^{2} - x}{x + 1} = \frac{2}{x + 1}$ $2$
база $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $0$
повыш. $\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$ корней нет
повыш. $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ $- 4; 3$

R09.1

Образец 2 · введение новой переменной

Повторяющееся выражение → замена

(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0

R09.1

Образец → сам · введение новой переменной

Сделайте замену и вернитесь к $x$

база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
база $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ $\pm 1$
повыш. $(x^{2} + 3 x)^{2} - 14 (x^{2} + 3 x) + 40 = 0$ $- 5; - 4; 1; 2$
повыш. $(x + 1)^{4} - 5 (x + 1)^{2} + 4 = 0$ $- 3; - 2; 0; 1$

R09.1

Образец 3 · теорема Виета без нахождения корней

Симметрические выражения от корней

x^{2} - 6 x + 2 = 0

x_{1} + x_{2} = 6, x_{1} x_{2} = 2

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 32

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = 3

R09.1

Образец → сам · теорема Виета

Корни $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ не находите — найдите

база $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $19$
база $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ $\frac{5}{3}$
повыш. $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ $15$
повыш.Один корень уравнения $x^{2} + p x - 12 = 0$ равен $3$ . Найдите $p$ и второй корень. $p = 1, x_{2} = - 4$

R09.1

Углублённый уровень · линейное уравнение с параметром

Решить — значит разобрать все значения $a$

(a^{2} - 4) x = a + 2

R09.1

Образец → сам · линейное уравнение с параметром

Решите при всех значениях $a$

база $(a - 3) x = a^{2} - 9$ $a = 3$ : $x$ — любое; $a \neq = 3$ : $x = a + 3$
повыш. $(a^{2} - 1) x = a - 1$ $a = 1$ : $x$ — любое; $a = - 1$ : корней нет; иначе $x = \frac{1}{a + 1}$
исслед.При каких $a$ корень уравнения $(a + 2) x = 5$ отрицателен? $a < - 2$

R09.1

Исследование графически

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 3 = a$ ?

y = x^{2} - 4 x + 3

y = a

— прямая

Число корней = число общих точек параболы и прямой

R09.1

Задачи из других предметов · физика

Мяч брошен вверх: когда он на высоте 15 м?

h = 20 t - 5 t^{2}

20 t - 5 t^{2} = 15

t^{2} - 4 t + 3 = 0

t = 1

и

t = 3

оба корня имеют смысл

2 мин · практика (задача из жизни: ученики сами составляют и решают уравнение 1,5 мин, затем открыть шаги)
Формула высоты при броске вверх: $h = v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}$ , здесь $v_{0} = 20$ м/с, $g \approx 10$ м/с².
Разделили обе части на −5: $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , корни 1 и 3 (сумма 4, произведение 3).
Интерпретация (ПР-23): на высоте 15 м мяч дважды — через 1 с при подъёме и через 3 с при падении; выше 15 м он находится 2 с.
Вопрос: когда мяч упадёт? ( $h = 0$ : $t = 0$ или $t = 4$ ; ответ 4 с — корень t = 0 описывает момент броска.)

R09.1

Текстовая задача · модель — дробно-рациональное уравнение

Лодка: 24 км по течению и 24 км обратно за 5 ч

	$v$ , км/ч	$s$ , км	$t$ , ч
по течению	$x + 2$	$24$	$\frac{24}{x + 2}$
против	$x - 2$	$24$	$\frac{24}{x - 2}$

скорость течения 2 км/ч; $x$ — собственная скорость лодки

\frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = 5

5 x^{2} - 48 x - 20 = 0

x = 10

или

x = - 0, 4

Ответ:

10

км/ч

x > 2

по смыслу задачи

R09.1

Самоконтроль

Найдите ошибку

Деление на переменную

✗

x^{2} = 3 x \Rightarrow x = 3

✓

x (x - 3) = 0 : x = 0, x = 3

Нет отбора корней

✗

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x = \pm 1

✓

x \neq = 1

, ответ:

x = - 1

Знак в теореме Виета

✗

x^{2} + 5 x + 6 = 0 : x_{1} + x_{2} = 5

✓

x_{1} + x_{2} = - 5

: корни

- 2

и

- 3

Параметр при $x^{2}$

✗

a x^{2} + 2 x + 1 = 0

: только

D = 0

✓ ещё

a = 0

:

2 x + 1 = 0

R09.1

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите и сверьте ответ

база $3 x^{2} - 12 = 0$ $\pm 2$
база $x^{2} + 6 x - 16 = 0$ $- 8; 2$
повыш. $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ $3$
повыш. $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 1; \pm 2$

параметрПри каких $a$ уравнение $x^{2} + a x + 4 = 0$ имеет ровно один корень? $a = \pm 4$
ОГЭ, линия 20Решите уравнение $(x - 2)^{2} (x - 3) = 12 (x - 2)$ . $- 1; 2; 6$

R09.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и сверьте ответ

ОГЭ, линия 20 $x^{4} = (x - 6)^{2}$ $- 3; 2$
ОГЭ, линия 20 $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{3}{x} - 10 = 0$ $- 0, 2; 0, 5$
параметрПри каких $a$ уравнение $x^{2} - 2 a x + a + 6 = 0$ имеет два корня? $a < - 2$ или $a > 3$
ОГЭ, линия 21Велосипедист проехал 40 км из A в B, а обратно ехал на 10 км/ч быстрее и потратил на 2 ч меньше. Найдите его скорость из A в B. $10$ км/ч

R09.1

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ $3; 5$
$\frac{x ^{2}}{x - 4} = \frac{16}{x - 4}$ $- 4$
$x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
$(a - 5) x = a^{2} - 25$ $a = 5$ : любое; иначе $x = a + 5$

Вариант 2

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ $- 5; 3$
$\frac{x ^{2}}{x + 5} = \frac{25}{x + 5}$ $5$
$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ $\pm 2; \pm 3$
$(a + 4) x = a^{2} - 16$ $a = - 4$ : любое; иначе $x = a - 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой способ быстрее для $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ ?
Откуда берутся посторонние корни?
Почему при параметре отдельно смотрят коэффициент при $x$ ?

Домашнее задание

$(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3 = 0$
При каких $a$ уравнение $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ имеет один корень?
$h = 25 t - 5 t^{2}$ : сколько секунд мяч выше 30 м?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-130 · Повторение: уравнения — выбор способа решения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 4/10 · тип О
Единицы → слайды	R09.1 (повторение основных понятий и методов, задачи из других предметов) → 3–23 · теория 14 мин (сл. 1–2, 5–8, 10, 12, 14, 16) · практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-19 (квадратные уравнения) → 3–7, 10–13, 20–22 · ПР-20 (дробно-рациональные) → 4, 5, 8, 9, 18, 20–22 · ПР-21 (линейные с параметром) → 14, 15, 19, 22 · ПР-22 (исследование, графически) → 7, 16, 20, 21 · ПР-23 (модель задачи) → 17, 18, 21
Вне урока	неравенства и системы, корни, дроби, степени, функции, делимость — другие уроки повторения R09 (ALG8U-127…136)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнения:как выбратьспособ решения

Сегодня вы приведёте в систему

Квадратные

Дробно-рациональные

С параметром

Исследование

Модель задачи

Самоконтроль

Решите устно и назовите способ

Ответьте за 20 секунд

Вид уравнения → способ решения

Квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a=0

Корни — точки пересечения параболы с осью Ox

Посторонний корень: найти и отбросить

Решите по образцу: не забудьте отбор корней

Повторяющееся выражение → замена

Сделайте замену и вернитесь к x

Симметрические выражения от корней

Корни x2−5x+3=0 не находите — найдите

Решить — значит разобрать все значения a

Решите при всех значениях a

Сколько корней у x2−4x+3=a?

Мяч брошен вверх: когда он на высоте 15 м?

Лодка: 24 км по течению и 24 км обратно за 5 ч

Найдите ошибку

Деление на переменную

Нет отбора корней

Знак в теореме Виета

Параметр при x2

Решите и сверьте ответ

Решите и сверьте ответ

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-130 · Повторение: уравнения — выбор способа решения

Уравнения:
как выбрать
способ решения

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq = 0$

Корни — точки пересечения параболы с осью $O x$

Сделайте замену и вернитесь к $x$

Корни $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ не находите — найдите

Решить — значит разобрать все значения $a$

Решите при всех значениях $a$

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 3 = a$ ?

Параметр при $x^{2}$