Повторение и систематизация · урок 3 из 10

Уравнения 7–8 классов:
выбор метода
и исследование

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-129

Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 3/10, единица R09.1. Тип урока — О (обобщение). Блок повторения этого урока — уравнения (курс 7–8 классов): линейные с параметром, квадратные, Виета, разложение, замена, дробно-рациональные, графическое исследование.
1 мин · теория (вступление). Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): титул и цели (сл. 1–2) 2 · карта методов (сл. 4) 1 · образцы учителя — линейное с параметром (сл. 5) 2, дискриминант (сл. 7) 1, Виета (сл. 8) 1, разложение (сл. 10) 1, замена (сл. 11) 1, дробное (сл. 13) 1, график (сл. 15) 2, параметр у $x^{2}$ (сл. 16) 2.
Практика (31 мин): блиц (сл. 3) 3 · «решите сами» после каждого образца (сл. 6, 9, 12, 14, 17) 13 · «найдите ошибку» (сл. 18) 2 · задания с самопроверкой (сл. 19) 5 · ОГЭ, линия 20 (сл. 20) 3 · самостоятельная работа в 2 вариантах (сл. 21) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 22) 1.
Тип О: теорию учитель повторяет коротко, по готовым образцам; основное время — ученики решают сами, ответы открываются по клику.

R09.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Решать квадратные уравнения

выбирая самый короткий способ: формула, $D_{1}$ , Виета, разложение (ПР-19)

Решать дробно-рациональные уравнения

с ОДЗ и отбором корней (ПР-20)

Решать уравнения с параметром

линейные и сводящиеся к ним, разбирая все случаи (ПР-21)

Исследовать число корней

в том числе по графику (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-19: «Решать квадратные уравнения»; ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами»; ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». Также деятельность строки R09: «выбирать, применять, оценивать способы… решения уравнений», «осуществлять самоконтроль».

повторение

Разминка · устно · 3 мин

Блиц: сколько корней и какие?

1

2 (x - 1) = 2 x - 2

x

— любое

2

x^{2} = 49

\pm 7

3

x^{2} + 4 = 0

корней нет

4

x (x - 5) = 0

0; 5

5

x^{2} - 6 x + 9 = 0

3

6

\frac{x - 2}{x + 3} = 0

2

3 мин · практика
Все шесть уравнений видны сразу; ученики отвечают устно (или на карточках), ответ под каждым открывается по клику.
Ответы: 1) любое число (тождество $0 \cdot x = 0$ ); 2) ±7; 3) корней нет; 4) 0 и 5; 5) 3 (полный квадрат $(x - 3)^{2}$ ); 6) 2 (при $x = 2$ знаменатель 5 ≠ 0).
Вопрос к №1: почему здесь бесконечно много корней? Мостик к сл. 5 (линейное уравнение с параметром).
Типичная ошибка в №2: только 7. В №5 говорят «два корня 3 и 3» — правильно «один корень».

R09.1

Карта темы

Вид уравнения → способ решения

R09.1 · ПР-21

Линейное уравнение с параметром

Решите уравнение $(a^{2} - 4) x = a + 2$ при всех $a$

(a - 2) (a + 2) x = a + 2

R09.1 · ПР-21

Образец → сам · 2 мин

Решите уравнение при всех значениях $a$

база $(a + 1) x = 2$ $a = - 1$ : корней нет; $a \neq = - 1$ : $x = \frac{2}{a + 1}$
база $(a - 3) x = a^{2} - 9$ $a = 3$ : $x$ — любое; $a \neq = 3$ : $x = a + 3$

база $a x = a^{2} + 2 a$ $a = 0$ : $x$ — любое; $a \neq = 0$ : $x = a + 2$
повыш. $(a^{2} - 1) x = a - 1$ $a = 1$ : $x$ — любое; $a = - 1$ : корней нет; $a \neq = \pm 1$ : $x = \frac{1}{a + 1}$

R09.1 · ПР-19

Квадратное уравнение

Знак дискриминанта = число корней

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

D_{1} = k^{2} - a c, x_{1, 2} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}

если

b = 2 k

(чётный коэффициент)

R09.1 · ПР-19, ПР-22

Теорема Виета

Корни можно исследовать, не находя их

x^{2} + p x + q = 0

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

$x^{2} - 5 x + 3 = 0$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 25 - 6 = 19$

Условие ( $D \geq 0$ )	Знаки корней
$q < 0$	разных знаков
$q > 0, p < 0$	оба положительны
$q > 0, p > 0$	оба отрицательны
$q = 0$	один из корней 0

при $q < 0$ условие $D > 0$ выполнено само

R09.1 · ПР-19, ПР-22

Образец → сам · 3 мин

Дискриминант, $D_{1}$ и теорема Виета

базаСколько корней: $3 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ ?корней нет ( $D = - 23$ )
база $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ $3; 7$
база $3 x^{2} + 14 x - 5 = 0$ $- 5; \frac{1}{3}$

устноПо Виета: $x^{2} + x - 12 = 0$ $- 4; 3$
повыш. $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $28$
повыш.Не решая, определите знаки корней: $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ оба отрицательны

R09.1 · ПР-19

Разложение на множители

$(x - 2)^{2} (x - 3) = 12 (x - 2)$ : делить на $x - 2$ нельзя

Так решать неверно

(x - 2) (x - 3) = 12

x^{2} - 5 x - 6 = 0

x = 6, x = - 1

потерян корень $x = 2$

Верно: всё в одну часть

(x - 2) ((x - 2) (x - 3) - 12) = 0

(x - 2) (x^{2} - 5 x - 6) = 0

(x - 2) (x - 6) (x + 1) = 0

$x = - 1; 2; 6$

Произведение равно нулю ⇔ хотя бы один множитель равен нулю, а остальные имеют смысл.

R09.1 · ПР-19, ПР-22

Замена переменной

Биквадратное уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

t = x^{2}, t \geq 0

t^{2} - 5 t + 4 = 0

Виета:

t_{1} + t_{2} = 5, t_{1} t_{2} = 4

t = 1

или

t = 4

оба

\geq 0

— подходят

x^{2} = 1

или

x^{2} = 4

x = \pm 1; \pm 2

R09.1 · ПР-19

Образец → сам · 3 мин

Разложите на множители или сделайте замену

база $x^{3} = 9 x$ $- 3; 0; 3$
база $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$ $- 1; 1; 2$
повыш. $(x + 1)^{2} (x - 4) = 6 (x + 1)$ $- 2; - 1; 5$

база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
база $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ $\pm 1$
повыш. $(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$ $- 3; - 2; 1; 2$

R09.1 · ПР-20

Дробно-рациональное уравнение

$\frac{2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ : ОДЗ решает всё

ОДЗ:

x \neq = \pm 1

2 (x + 1) + x (x - 1) = 4

умножили на

(x - 1) (x + 1) \neq = 0

x^{2} + x - 2 = 0

x_{1} = 1, x_{2} = - 2

Виета: сумма

- 1

, произведение

- 2

Ответ:

x = - 2

R09.1 · ПР-20

Образец → сам · 2 мин

Решите: сначала ОДЗ, в конце — отбор корней

база $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$ $2$
база $\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$ $0$

повыш. $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{3}{4}$ $- \frac{4}{3}; 2$
повыш. $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3}{x ^{2} - x}$ $- 3$

R09.1 · ПР-22

Исследование по графику

Сколько корней у уравнения $x^{2} - 4∣ x ∣ = a$ ?

$a$	корней
$a < - 4$	0
$a = - 4$	2
$- 4 < a < 0$	4
$a = 0$	3
$a > 0$	2

R09.1 · ПР-21, ПР-22

Квадратное уравнение с параметром

При каких $a$ уравнение $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$ имеет ровно один корень?

Ответ:

a = 1

или

a = 2

R09.1 · ПР-21, ПР-22

Образец → сам · 3 мин

Исследуйте число корней

графикСколько корней у $x^{2} - 2∣ x ∣ = a$ при $a = - 2; - 1; - 0, 5; 0; 3$ ? $0; 2; 4; 3; 2$
базаПри каких $a$ уравнение $x^{2} + a x + 9 = 0$ имеет один корень? $a = \pm 6$
повыш.При каких $a$ уравнение $(a + 2) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ имеет ровно один корень? $a = - 2; a = 2$
повыш.При каких $a$ корни $x^{2} - 6 x + a = 0$ разных знаков? $a < 0$

R09.1 · самоконтроль

Найдите ошибку

Три решения — три ловушки

Решение ученика	Где ошибка	Верный ответ
$x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5$	разделил на $x$ — потерян корень	$0; 5$
$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	не учтена ОДЗ: $x \neq = 3$	$- 3$
$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ имеет один корень $\Rightarrow D_{1} = 1 - a = 0, a = 1$	забыт случай $a = 0$ : $2 x + 1 = 0$	$a = 0$ или $a = 1$

R09.1 · ПР-19–ПР-23

Задания с самопроверкой · база и повышенный · 5 мин

Решите все типы вперемешку

база $5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ $0, 6; 1$
базаОдин корень уравнения $x^{2} + p x - 12 = 0$ равен 3. Найдите $p$ и второй корень. $p = 1; x_{2} = - 4$
повыш. $\frac{x + 3}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{36}{x ^{2} - 9}$ корней нет

повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ $- 1; 1; 3$
исслед.При каком $a$ система ${a x + 2 y = 3 2 x + a y = a + 1$ не имеет решений? $a = - 2$
практикаВысота мяча $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Когда мяч на высоте 15 м?через 1 с и 3 с

5 мин · практика
Решают в парах; ответ открывать по клику после каждого номера, пары сверяют тетради.
Ответы. 1) $D_{1} = 16 - 15 = 1$ , $x = 1$ и $x = 0, 6$ .
2) По Виета $x_{1} x_{2} = - 12$ → $x_{2} = - 4$ ; $x_{1} + x_{2} = - 1 = - p$ → $p = 1$ . Проверка: $9 + 3 - 12 = 0$ .
3) ОДЗ $x \neq = \pm 3$ ; $(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 36$ → $12 x = 36$ → $x = 3$ — вне ОДЗ. Ответ: корней нет.
4) $t = x^{2} - 2 x$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , $t = 3$ или $t = - 1$ ; $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ → $3; - 1$ ; $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ → $1$ . Ответ: $- 1; 1; 3$ .
5) Нет единственного решения при $a^{2} - 4 = 0$ . $a = 2$ : оба уравнения $2 x + 2 y = 3$ — бесконечно много решений; $a = - 2$ : $- 2 x + 2 y = 3$ и $2 x - 2 y = - 1$ , т. е. $- 2 x + 2 y = 1$ — противоречие. Ответ: $a = - 2$ .
6) $5 t^{2} - 20 t + 15 = 0$ → $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ → $t = 1$ с (на подъёме) и $t = 3$ с (на спуске). Оба ответа имеют смысл — обсудить интерпретацию (ПР-23).
Если не хватает времени — №5 перенести в ДЗ.

R09.1 · ПР-19

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение

x^{3} + 3 x^{2} = 4 x + 12

Развёрнутое решение: каждый переход — обоснован, ответ — все корни.

Ответ:

- 3; - 2; 2

Баллы	Критерий
2	обоснованно получен верный ответ
1	решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка или описка
0	другие случаи

R09.1 · ПР-19–ПР-21

Самостоятельная работа · 4 мин

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ $0, 5; 3$
$x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ $- 2$
При каком $a$ уравнение $(a^{2} - 1) x = a + 1$ не имеет корней? $a = 1$

Вариант 2

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ $\frac{1}{3}; 3$
$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ $\pm 3$
$\frac{x ^{2}}{x + 5} = \frac{25}{x + 5}$ $5$
При каком $a$ уравнение $(a^{2} - 9) x = a - 3$ не имеет корней? $a = - 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда нельзя делить на выражение с переменной?
Откуда берутся посторонние корни?
Какой случай нельзя забыть при параметре у $x^{2}$ ?

Домашнее задание

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ; $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$
При каких $a$ уравнение $a x^{2} + 4 x + a = 0$ имеет ровно один корень?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-129 · Повторение, обобщение, систематизация знаний: уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 3/10 · тип О
Единицы → слайды	R09.1 (повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов) → 2–22; блок урока — уравнения
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 16) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 9, 12, 14, 17–22)
Результаты	ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 7–12, 19–21 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 13, 14, 18, 19, 21 · ПР-21 (уравнения и системы с параметрами) → 5, 6, 16, 17, 19, 21 · ПР-22 (исследование, графики) → 8, 9, 11, 15–17 · ПР-23 (алгебраическая модель задачи) → 19
Вне урока	неравенства и системы неравенств, числа и корни, дроби и степени, функции, текстовые задачи — другие уроки R09; делимость — R08
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнения 7–8 классов:выбор методаи исследование

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Решать квадратные уравнения

Решать дробно-рациональные уравнения

Решать уравнения с параметром

Исследовать число корней

Блиц: сколько корней и какие?

Вид уравнения → способ решения

Решите уравнение (a2−4)x=a+2 при всех a

Решите уравнение при всех значениях a

Знак дискриминанта = число корней

Корни можно исследовать, не находя их

x2−5x+3=0. Найдите x12​+x22​

Дискриминант, D1​ и теорема Виета

(x−2)2(x−3)=12(x−2): делить на x−2 нельзя

Так решать неверно

Верно: всё в одну часть

Биквадратное уравнение x4−5x2+4=0

Разложите на множители или сделайте замену

x−12​+x+1x​=x2−14​: ОДЗ решает всё

Решите: сначала ОДЗ, в конце — отбор корней

Сколько корней у уравнения x2−4∣x∣=a?

При каких a уравнение (a−1)x2−2ax+a+2=0 имеет ровно один корень?

Исследуйте число корней

Три решения — три ловушки

Решите все типы вперемешку

Решите уравнение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-129 · Повторение, обобщение, систематизация знаний: уравнения

Уравнения 7–8 классов:
выбор метода
и исследование

Решите уравнение $(a^{2} - 4) x = a + 2$ при всех $a$

Решите уравнение при всех значениях $a$

$x^{2} - 5 x + 3 = 0$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

Дискриминант, $D_{1}$ и теорема Виета

$(x - 2)^{2} (x - 3) = 12 (x - 2)$ : делить на $x - 2$ нельзя

Биквадратное уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

$\frac{2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ : ОДЗ решает всё

Сколько корней у уравнения $x^{2} - 4∣ x ∣ = a$ ?

При каких $a$ уравнение $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$ имеет ровно один корень?