Повторение · урок 2 из 10 · обобщение

Повторение:
алгебраические
дроби и степени

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-128

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 2/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов». Тип О. Тема этого урока повторения — дробно-рациональные выражения (R04) и степени с целым показателем (R07). Было: ALG8U-127 — первый урок повторения. Дальше: ALG8U-129 — следующий урок повторения (уравнения).
Хронометраж (45 мин): теория — цели 1 (сл. 2), карта 1 (сл. 4), образцы по 1–1,5 мин (сл. 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19), итог 1 (сл. 25); практика — разминка 3 (сл. 3), «образец → сам» и закрепление после каждого правила 2–2,5 мин (сл. 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), найди ошибку 2 (сл. 21), задания с самопроверкой 4 (сл. 22), самостоятельная работа 5 (сл. 23), ОГЭ 1,5 (сл. 24).
Тип урока О (обобщение): образцы-слайды учитель проводит быстро, как напоминание, основное время — работа учеников. Если не успеваете: сл. 18 (телескоп, сами) и задания 5–6 сл. 22 перенести в ДЗ.

R09.1

Цели урока

Дроби и степени — одна система приёмов

1Допустимые значения

находить и не терять при преобразованиях (ПР-9)

2Основное свойство

сокращать и приводить к общему знаменателю (ПР-10, ПР-11)

3Преобразования

дроби и степени с целым показателем, доказательство тождеств (ПР-12, ПР-15)

4Применение

формулы физики, задачи на работу и движение (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-10 «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-11 «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП строки: выбирать и оценивать способы тождественных преобразований, осуществлять самоконтроль, решать задачи из реальной жизни.

R09.1 · актуализация

Устная разминка · 6 вопросов

Ответьте устно

2^{- 3}

= \frac{1}{8}

(\frac{3}{4})^{- 2}

= \frac{16}{9}

\frac{5}{x + 4}

не имеет смысла при

x = - 4

\frac{6 a ^{2} b}{9 a b ^{3}}

= \frac{2 a}{3 b ^{2}}

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

= \frac{x + y}{x y}

\frac{a - b}{b - a}

= - 1, a \neq = b

R09.1 · карта

Карта повторения · что на что опирается

От разложения на множители к тождествам

R09.1 · ПР-9

Допустимые значения · углублённо: «многоэтажная» дробь

Где определено $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ ?

x \neq = 0

внутренняя дробь

1 - \frac{1}{x} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

внешний знаменатель

\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x}{x - 1}

R09.1 · ПР-9

Образец → сам · допустимые значения

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Образец: $\frac{x}{x ^{2} - 9} + \frac{1}{x}$

x^{2} - 9 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 3

x \neq = 0

Ответ:

x \neq = 0; \pm 3

✓

Сам

$\frac{3}{x ^{2} + 4 x}$ $x \neq = 0; - 4$
$\frac{x + 2}{x ^{2} - 25}$ $x \neq = \pm 5$
$\frac{5}{x ^{2} + 1}$ любое $x$
$\frac{1}{2 - \frac{4}{x}}$ $x \neq = 0; 2$

R09.1 · ПР-10

Основное свойство дроби · сокращение

Сокращают только множители

\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}, b \neq = 0, c \neq = 0

= \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}

при

x \neq = \pm 2

\frac{3 - x}{x ^{2} - 9} = \frac{- ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = - \frac{1}{x + 3}

вынесли «−1»,

x \neq = \pm 3

R09.1 · ПР-10

Образец → сам · сокращение дробей

Разложите и сократите

Образец: $\frac{a ^{2} - ab}{a ^{2} - b ^{2}}$

= \frac{a ( a - b )}{( a - b ) ( a + b )}

= \frac{a}{a + b}

при

a \neq = \pm b

✓

Сам

$\frac{5 x - 15}{x ^{2} - 3 x}$ $\frac{5}{x}$
$\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ $\frac{x + 2}{x - 2}$
$\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - x + 1}$ $x + 1$
$\frac{2 - a}{a ^{2} - 4 a + 4}$ $\frac{1}{2 - a}$

R09.1 · ПР-11

Сложение и вычитание · алгоритм

Упростите $\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x}$

\frac{2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{1}{x ( x - 2 )}

1) разложили знаменатели

= \frac{2 \cdot x - 1 \cdot ( x + 2 )}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )}

2–3) общий знаменатель, доп. множители

x

и

x + 2

= \frac{x - 2}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x ( x + 2 )}

4) сократили,

x \neq = 0, \pm 2

R09.1 · ПР-11

Сам по алгоритму · сложение и вычитание

Упростите — ответы по клику

база $\frac{3}{x} - \frac{2}{x + 1}$ $\frac{x + 3}{x ( x + 1 )}$
база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$

повыш. $\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} - 9}$ $\frac{1}{x + 3}$
повыш. $\frac{2}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x ^{2} + x}$ $\frac{1}{x ( x - 1 )}$

Шаги: разложить знаменатели → общий знаменатель → доп. множители → сложить и сократить

R09.1 · ПР-11 · ПР-12

Умножение, деление, возведение в степень

Сначала разложить — потом сокращать

: деление — умножить на обратную

\frac{a ^{2} - 9}{2 a} : \frac{a + 3}{4 a ^{2}} = \frac{( a - 3 ) ( a + 3 ) \cdot 4 a ^{2}}{2 a ( a + 3 )}

= 2 a (a - 3)

a \neq = 0, a \neq = - 3

^ степень дроби

(\frac{- 2 x ^{2}}{3 y})^{3} = - \frac{8 x ^{6}}{27 y ^{3}}

(\frac{2 a}{b ^{2}})^{- 2} = \frac{b ^{4}}{4 a ^{2}}

минус в показателе — перевернуть дробь

Нечётная степень сохраняет знак «−», чётная — убирает

R09.1 · ПР-11 · ПР-12

Образец → сам · умножение, деление, степень

Выполните действия

база $\frac{x ^{2} - 4}{3 x} \cdot \frac{6 x ^{2}}{x + 2}$ $2 x (x - 2)$
база $\frac{a ^{2} - 1}{a} : \frac{a + 1}{a ^{2}}$ $a (a - 1)$

база $(\frac{- 3 a}{b ^{2}})^{3}$ $- \frac{27 a ^{3}}{b ^{6}}$
повыш. $(\frac{x ^{2}}{2 y})^{- 3}$ $\frac{8 y ^{3}}{x ^{6}}$

Деление — умножить на обратную; не забыть: делитель

\neq = 0

R09.1 · ПР-15

Степени с целым показателем → дроби

Упростите $\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$

= \frac{b - a}{ab} \cdot \frac{a ^{2} b ^{2}}{( b - a ) ( b + a )}

деление дробей

= \frac{ab}{a + b}

Условия:

a \neq = 0, b \neq = 0, a \neq = b, a \neq = - b

R09.1 · ПР-15

Сам · степени с целым показателем

Вычислите и упростите

база $5^{- 2} \cdot 5^{4}$ $25$
база $\frac{2 ^{- 3} \cdot 2 ^{5}}{2 ^{- 1}}$ $8$
база $(\frac{2}{3})^{- 2} - (\frac{1}{2})^{- 1}$ $\frac{1}{4}$

повыш. $(a^{- 2})^{3} \cdot a^{8}$ $a^{2}$
повыш. $\frac{x ^{- 1} + y ^{- 1}}{x ^{- 1} y ^{- 1}}$ $x + y$

R09.1 · ПР-12

Углублённо · доказательство тождества

Докажите: значение не зависит от $x$

(\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) : \frac{2 x}{x ^{2} - 1}

\frac{x ( x + 1 ) - x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x}{x ^{2} - 1}

скобка

\frac{2 x}{x ^{2} - 1} : \frac{2 x}{x ^{2} - 1} = 1

при всех допустимых

x

R09.1 · ПР-12

Сам · доказательство тождеств

Докажите, что значение не зависит от переменной

база $\frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a - 1}$ $= 1$
повыш. $(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{2}$ $= 2$
углубл. $\frac{x ^{2} + 2 x}{x + 2} - \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ $= - 3$

Укажите, при каких значениях переменной тождество верно

R09.1 · ПР-12

Нестандартный приём · «телескоп»

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

R09.1 · ПР-12

Сам · приём «телескоп»

Найдите сумму

база $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5}$ $\frac{3}{10}$
повыш. $\frac{1}{( x - 1 ) x} + \frac{1}{x ( x + 1 )}$ $\frac{2}{x ^{2} - 1}$
углубл. $\frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{9 \cdot 11}$ $\frac{10}{11}$

Подсказка к 3:

\frac{2}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}

R09.1 · ПР-13

Задачи из других предметов

Средняя скорость — не среднее арифметическое

v_{1} = 60, v_{2} = 40 км / ч

v_{ср} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48

а не 50 км/ч

Та же дробь — резисторы параллельно:

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

R09.1 · ПР-13

Сам · задачи из физики и из жизни

Одна дробь $\frac{ab}{a + b}$ — много задач

Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно. Общее сопротивление? 3 Ом
Велосипедист ехал туда со скоростью 12 км/ч, обратно — 6 км/ч. Средняя скорость? 8 км/ч

Один мастер выполняет заказ за 10 ч, другой — за 15 ч. За сколько часов вдвоём? 6 ч
Линза: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ , $d = 30$ см, $f = 15$ см. Найдите $F$ . 10 см

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки · дроби и степени

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$	сократили слагаемые	не сокращается
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$	сложили знаменатели	$\frac{a d + b c}{b d}$
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ при всех $x$	потеряли ограничение	при $x \neq = 2$
$- \frac{a - b}{c} = \frac{- a - b}{c}$	минус — ко всему числителю	$\frac{b - a}{c}$
$(a + b)^{- 1} = a^{- 1} + b^{- 1}$	нет свойства для суммы	$\frac{1}{a + b}$
$(\frac{2 x}{y})^{2} = \frac{2 x ^{2}}{y ^{2}}$	в степень — каждый множитель	$\frac{4 x ^{2}}{y ^{2}}$

R09.1 · решите сами

Задания с самопроверкой · от базы к углублённому

Шесть заданий — ответы по клику

базаПри каких $x$ определено $\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x}$ ? $x \neq = 0; 5$
базаСократите $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ . $\frac{x - 3}{x + 3}$
повыш.Упростите $\frac{a}{a - 2} - \frac{4}{a ^{2} - 2 a}$ . $\frac{a + 2}{a}$
повыш.Упростите $\frac{x ^{- 2} - y ^{- 2}}{x ^{- 1} + y ^{- 1}}$ . $\frac{y - x}{x y}$
практикаДве трубы наполняют бассейн за 3 ч и 6 ч. За сколько часов — вместе? 2 ч
углубл.При каких целых $n$ дробь $\frac{n ^{2} + 3 n + 7}{n + 1}$ — целое число? $- 6; - 2; 0; 4$

Подсказки

2) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$

5) производительности: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$

6) выделите целую часть

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин проверка по клику)
1) x(x − 5) ≠ 0 → x ≠ 0, x ≠ 5 ✓.
2) (x − 3)²/((x − 3)(x + 3)) = (x − 3)/(x + 3), x ≠ ±3 ✓ (при x = 0: 9/(−9) = −1 и −3/3 = −1).
3) (a² − 4)/(a(a − 2)) = (a + 2)/a, a ≠ 0, a ≠ 2 ✓ (при a = 1: −1 + 4 = 3 и 3/1 = 3).
4) (y² − x²)/(x²y²) : ((x + y)/(xy)) = (y − x)/(xy), x, y ≠ 0, x ≠ −y ✓ (при x = 1, y = 2: (1 − 1/4) : (3/2) = 1/2 и (2 − 1)/2 = 1/2).
5) 1/3 + 1/6 = 1/2 → 2 ч ✓ (общая формула ab/(a + b) = 18/9 = 2).
6) n² + 3n + 7 = (n + 1)(n + 2) + 5, значит n + 1 — делитель 5: n + 1 ∈ {±1; ±5} → n ∈ {−6; −2; 0; 4} ✓ (n = 4: 35/5 = 7; n = −6: 25/(−5) = −5; n = −2: 5/(−1) = −5; n = 0: 7).

R09.1 · самостоятельная работа

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

При каких $x$ определено $\frac{7}{x ^{2} - 6 x}$ ? $x \neq = 0; 6$
Сократите $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ . $\frac{x - 4}{x}$
Упростите $\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 2}$ . $\frac{2}{a ( a + 2 )}$
Найдите $\frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{7}}{3 ^{2}}$ . $3$

Вариант 2

При каких $x$ определено $\frac{4}{x ^{2} + 8 x}$ ? $x \neq = 0; - 8$
Сократите $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}$ . $\frac{x + 5}{x}$
Упростите $\frac{1}{b - 3} - \frac{1}{b}$ . $\frac{3}{b ( b - 3 )}$
Найдите $\frac{2 ^{- 3} \cdot 2 ^{8}}{2 ^{3}}$ . $4$

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (алгебраическое выражение, часть 2)

Сократите дробь

\frac{1 8 ^{n + 3}}{3 ^{2 n + 5} \cdot 2 ^{n - 2}}

запишите полное решение

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему допустимые значения ищут по исходному выражению?
Что можно сокращать в дроби?
Как проверить ответ подстановкой?

Домашнее задание

Докажите:
$(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}) : \frac{b}{a ^{2} - b ^{2}} = 2$
Найдите $\frac{2 5 ^{n + 1}}{5 ^{2 n - 1}}$ .
* Найдите $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-128 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 2/10 · тип О; тема повторения — дробно-рациональные выражения и степени; хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний для решения задач из других предметов» → 2–25 (задачи из других предметов → 19, 20, 22)
Результаты	ПР-9 → 3, 5, 6, 15, 22, 23 · ПР-10 → 3, 7, 8, 22, 23 · ПР-11 → 3, 9–12, 22, 23 · ПР-12 → 13–18, 21, 22, 25 · ПР-15 → 3, 11–14, 22–25 · ПР-13 → 19, 20, 22 · ПР-6 (делимость) → 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные уравнения и задачи на составление уравнений — следующие уроки повторения (ALG8U-129 и далее); стандартный вид числа — ALG8U-119
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:алгебраическиедроби и степени

Дроби и степени — одна система приёмов

1Допустимые значения

2Основное свойство

3Преобразования

4Применение

Ответьте устно

От разложения на множители к тождествам

Где определено 1−x1​1​?

При каких x выражение имеет смысл?

Образец: x2−9x​+x1​

Сам

Сокращают только множители

Разложите и сократите

Образец: a2−b2a2−ab​

Сам

Упростите x2−42​−x2−2x1​

Упростите — ответы по клику

Сначала разложить — потом сокращать

Выполните действия

Упростите a−2−b−2a−1−b−1​

Вычислите и упростите

Докажите: значение не зависит от x

Докажите, что значение не зависит от переменной

k(k+1)1​=k1​−k+11​

Найдите сумму

Средняя скорость — не среднее арифметическое

Одна дробь a+bab​ — много задач

Найдите ошибку

Шесть заданий — ответы по клику

Подсказки

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Сократите дробь

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-128 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
алгебраические
дроби и степени

Где определено $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ ?

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Образец: $\frac{x}{x ^{2} - 9} + \frac{1}{x}$

Образец: $\frac{a ^{2} - ab}{a ^{2} - b ^{2}}$

Упростите $\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x}$

Упростите $\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$

Докажите: значение не зависит от $x$

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

Одна дробь $\frac{ab}{a + b}$ — много задач