Повторение · урок 1 из 10 · обобщение

Действительные
числа: корни
и степени

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R09 · ALG8U-127

Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 1/10, единица R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…». Тип О. Тема этого урока выбрана как первая в блоке повторения: «Числа и вычисления» — строки R02 «Квадратный корень» и R07 «Степени». Предыдущий урок ALG8U-126 — обобщение по делимости. Следующие уроки блока (ALG8U-128 и далее) — уравнения, неравенства, дроби, функции.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин, все слайды сохранены полностью): цели 1 (сл. 2) · карта множеств, √2, прямая 5 (сл. 4–6) · сводка по корням и |a| 3 (сл. 8–9) · степени и стандартный вид 3 (сл. 11–12) · два демонстрационных образца 2 (сл. 14–15).
Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · «образец → сам» 3 + 3 + 3 + 3 (сл. 7, 10, 13, 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · самопроверка 3 + 3 (сл. 18–19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22).
Рисунок: вложенные числовые множества; π лежит в R, но вне Q.

R09.1

Цели урока

Ученик повторит и научится

Множества

понимать расширение $N \subset Z \subset Q \subset R$ (ПР-2)

Корни

находить, оценивать и преобразовывать $a$ (ПР-3, ПР-18)

Прямая

сравнивать и изображать действительные числа (ПР-4)

Степени

преобразовывать выражения с $a^{- n}$ (ПР-15)

Стандартный вид

записывать $a \cdot 1 0^{n}$ для реальных величин (ПР-5)

Самоконтроль

выбирать способ и проверять результат (R09)

1 мин · теория
ПР-2 «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств»; ПР-3 «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число…»; ПР-4 «…изображать действительные числа точками на координатной прямой»; ПР-5 «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10…»; ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем…»; ПР-18 «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».
Виды деятельности ФРП (R09): «Выбирать, применять, оценивать способы сравнения чисел, вычислений, тождественных преобразований… Осуществлять самоконтроль».

повторение: R02, R07

Разминка · устно

Восемь вычислений устно

$0, 49$	$2 \cdot 18$	$\frac{75}{3}$	$(- 7)^{2}$
$0, 7$	$6$	$5$	$7$
$2^{- 3}$	$(\frac{2}{3})^{- 2}$	$5^{- 4} \cdot 5^{6}$	$1 0^{- 2}$
$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{4} = 2, 25$	$25$	$0, 01$

Какие свойства мы применили? Назовите каждое формулой.

R09.1 · карта темы

Обобщение · расширение числовых множеств

Зачем понадобилось каждое новое множество

R09.1 · доказательство

Ключевое доказательство курса

$2$ — иррациональное число

От противного: пусть $2 = \frac{p}{q}$ — несократимая дробь

p^{2} = 2 q^{2}

p^{2}

чётно, значит,

p

чётно

p = 2 k : 4 k^{2} = 2 q^{2}

q^{2} = 2 k^{2}

q

тоже чётно

p

и

q

делятся на

2

— дробь сократима!

R09.1 · ПР-4

Действительные числа на координатной прямой

Как точно отложить $2$ и $5$

R09.1 · ПР-2, ПР-4

Образец → сам · числовые множества и прямая

Оцените число и найдите его множество

Образец: число $40$

36 < 40 < 49 \Rightarrow 6 < 40 < 7

40 \neq = n^{2} \Rightarrow 40 \in / Q

Сам

Наименьшее множество для $49$ $N$
Наименьшее множество для $- 0, 09$ $Q$
Запишите дробью $0, (36)$ $\frac{4}{11}$
Между какими целыми лежит $90$ ? $9$ и $10$
Какие катеты дадут $13$ на прямой? $3$ и $2$

R09.1 · сводка R02

Сводная таблица · арифметический квадратный корень

Пять свойств — и условие для каждого

свойство	условие	пример
$(a)^{2} = a$	$a \geq 0$	$(7)^{2} = 7$
$a^{2} = ∣ a ∣$	любое $a$	$(- 5)^{2} = 5$
$ab = a \cdot b$	$a \geq 0, b \geq 0$	$50 = 25 \cdot 2 = 52$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$a \geq 0, b > 0$	$\frac{9}{49} = \frac{3}{7}$
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$	$b \geq 0$	$8 x^{2} = 2∣ x ∣ 2$

Сравнение корней: при

0 \leq a < b

верно

a < b

R09.1 · углублённо

Главная ловушка · $a^{2} = ∣ a ∣$

График $y = x^{2}$ — это график $y = ∣ x ∣$

Упростите $(2 - 5)^{2}$

= 2 - 5

2 < 5

так как

4 < 5

: под модулем отрицательное

= 5 - 2

x^{2} - 6 x + 9 = ∣ x - 3∣

R09.1 · ПР-3, ПР-18

Образец → сам · свойства корней

Вынесите множитель и упростите

Образец: $72 - 8 + 18$

72 = 36 \cdot 2 = 62

8 = 22, 18 = 32

62 - 22 + 32 = 72

Сам

$48 + 27 - 75$ $23$
$\frac{32}{50}$ $0, 8$
$(3 - 10)^{2}$ $10 - 3$
$x^{2} - 10 x + 25$ при $x = 2$ $3$

R09.1 · сводка R07

Сводная таблица · степень с целым показателем

Правила действий со степенями ( $a \neq = 0, b \neq = 0$ )

правило	пример
$a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$7^{- 2} = \frac{1}{49}$
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{- 5} \cdot 2^{8} = 2^{3} = 8$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$3^{- 4} : 3^{- 6} = 3^{2} = 9$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(5^{- 1})^{- 2} = 25$
$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	$(\frac{2}{3})^{- 3} = \frac{27}{8}$

R09.1 · ПР-5

Стандартный вид числа · реальные величины

$a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10, n \in Z$

(2, 4 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (5 \cdot 1 0^{7}) = 12 \cdot 1 0^{4} = 1, 2 \cdot 1 0^{5}

1 мин · теория
Порядок числа — показатель n. Ось — логарифмическая шкала: каждое деление в 10 раз больше предыдущего (точки поставлены по lg значения).
Значения (приблизительно): диаметр атома водорода ≈ 1 · 10⁻¹⁰ м; диаметр эритроцита ≈ 7 · 10⁻⁶ м (7 мкм); высота Эльбруса 5642 м; радиус Земли ≈ 6371 км ≈ 6,4 · 10⁶ м.
Вопрос: «Во сколько раз радиус Земли больше роста человека?» 6,4 · 10⁶ : 1,7 ≈ 3,8 · 10⁶.
Ошибка в последней строке: оставить 12 · 10⁴ — это не стандартный вид, ведь 12 ≥ 10.

R09.1 · ПР-5, ПР-15

Образец → сам · степени и стандартный вид

Приведите к одному основанию

Образец: $\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{2}}{8 ^{- 1}}$

4^{2} = 2^{4}, 8^{- 1} = 2^{- 3}

2^{- 3 + 4 - (- 3)} = 2^{4}

= 16

Сам

$\frac{5 ^{- 2} \cdot 2 5 ^{3}}{125}$ $5$
$(a^{- 3})^{2} \cdot a^{8}$ $a^{2}$
Стандартный вид $0, 000082$ $8, 2 \cdot 1 0^{- 5}$
$(6 \cdot 1 0^{- 5}) \cdot (4 \cdot 1 0^{8})$ $2, 4 \cdot 1 0^{4}$

R09.1 · углублённо

Образец · выделение полного квадрата под корнем

Упростите $7 + 43$

7 + 43 = 4 + 2 \cdot 23 + 3

ищем

a^{2} + 2 ab + b^{2}

:

ab = 23

,

a^{2} + b^{2} = 7

= (2 + 3)^{2}

7 + 43 = 2 + 3

7 - 43 = 2 - 3 = 2 - 3

R09.1 · ПР-4

Образец · сравнение без калькулятора

Сравните $7 + 3$ и $25$

Оба числа положительны — сравним квадраты

(7 + 3)^{2} = 10 + 221

(25)^{2} = 20

221 \lor 10 \Leftrightarrow 21 \lor 5

21 < 25

7 + 3 < 25

R09.1 · ПР-4, ПР-18

По образцам слайдов 14–15 · сам

Упростите и сравните — ответы по клику

Упростите

$6 + 25$ $5 + 1$
$8 - 27$ $7 - 1$
повыш. $12 + 63$ $3 + 3$

Сравните

$32$ и $23$ $>$
$10 + 2$ и $26$ $<$
повыш. $11 - 10$ и $10 - 3$ $<$

R09.1 · самоконтроль

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$9 + 16 = 3 + 4$	корень суммы ≠ сумма корней	$25 = 5$
$(1 - 2)^{2} = 1 - 2$	корень не бывает отрицательным	$2 - 1$
$(- 3)^{- 2} = - \frac{1}{9}$	чётная степень	$\frac{1}{9}$
$2^{- 3} = - 8$	минус в показателе — не знак числа	$\frac{1}{8}$
$0, 00047 = 4, 7 \cdot 1 0^{4}$	малое число — $n < 0$	$4, 7 \cdot 1 0^{- 4}$

R09.1

Задания с самопроверкой 1 · по всем единицам темы

Решите — ответы откроются по клику

базаВычислите $12 \cdot 27 - \frac{98}{2}$ . $11$
базаВычислите $\frac{3 ^{- 5} \cdot 9 ^{2}}{2 7 ^{- 1}}$ . $9$
базаЗапишите в стандартном виде $(3, 2 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (5 \cdot 1 0^{9})$ . $1, 6 \cdot 1 0^{6}$
повыш.Избавьтесь от корня в знаменателе: $\frac{6}{7 + 1}$ . $7 - 1$
повыш.Упростите $11 - 62$ . $3 - 2$
практикаКвадратный участок имеет площадь $50$ м². Найдите его диагональ. $10$ м

Подсказки

2) всё — степени $3$

4) $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

5) $11 = 9 + 2$

R09.1 · ОГЭ · из жизни

Задания с самопроверкой 2 · ОГЭ, повышенный уровень, задачи из жизни

Решите — ответы откроются по клику

ОГЭ, линия 8Найдите значение $\frac{( 2 7 ) ^{2}}{14}$ . $2$
ОГЭ, линия 8Найдите $\frac{a ^{- 4} \cdot a ^{10}}{a ^{3}}$ при $a = 3$ . $27$
повыш.Вычислите $\frac{1}{5 - 2} - 5$ . $2$

повыш.При каких $x$ верно $x^{2} = - x$ ? $x \leq 0$
из жизниСвет летит $3 \cdot 1 0^{8}$ м/с, до Солнца $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м. Сколько секунд идёт свет? $500$ с
из жизниМолекула воды — $3 \cdot 1 0^{- 26}$ кг. Сколько молекул в капле массой $3 \cdot 1 0^{- 5}$ кг? $1 0^{21}$

R09.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$3 \cdot 12 + 0, 25$ $6, 5$
$\frac{2 ^{- 6} \cdot 2 ^{9}}{4}$ $2$
Стандартный вид: $(1, 5 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (4 \cdot 1 0^{6})$ $6 \cdot 1 0^{3}$
Сравните $8 + 2$ и $17$ $>$

Вариант 2

$5 \cdot 20 - 0, 64$ $9, 2$
$\frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{7}}{9}$ $3$
Стандартный вид: $(2, 5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (6 \cdot 1 0^{9})$ $1, 5 \cdot 1 0^{6}$
Сравните $18 - 2$ и $7$ $>$

R09.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения

\frac{( 13 - 7 ) ( 13 + 7 )}{3}

Ответ — одно число в бланк.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $2 \in / Q$ ?
Когда $a^{2} \neq = a$ ?
Как сравнить две суммы корней?

Домашнее задание

Вычислите $0, 36 \cdot 81$ .
Вычислите $\frac{4 ^{- 3} \cdot 2 ^{9}}{8 ^{0}}$ .
Сравните $6 + 2$ и $3 + 5$ .
* Упростите $9 + 45$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-127 · Повторение: действительные числа, корни, степени

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 1/10 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R09.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…» → 2–22 (содержание R02 «Квадратный корень» → 3–10, 14–21; R07 «Степени» → 3, 11–13, 17–20) · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-2 → 4, 7 · ПР-3 → 3, 5–10, 14, 16 · ПР-4 → 6, 7, 15, 16, 20 · ПР-5 → 12, 13, 18–20 · ПР-15 → 11, 13, 17–20 · ПР-18 → 9, 10, 14, 16, 18, 19, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	уравнения и неравенства, дроби, функции — следующие уроки R09 (ALG8U-128…136); делимость — ALG8U-120…126
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Действительныечисла: корнии степени

Ученик повторит и научится

Множества

Корни

Прямая

Степени

Стандартный вид

Самоконтроль

Восемь вычислений устно

Зачем понадобилось каждое новое множество

2​ — иррациональное число

Как точно отложить 2​ и 5​

Оцените число и найдите его множество

Образец: число 40​

Сам

Пять свойств — и условие для каждого

График y=x2​ — это график y=∣x∣

Вынесите множитель и упростите

Образец: 72​−8​+18​

Сам

Правила действий со степенями (a=0, b=0)

a⋅10n,1≤a<10,n∈Z

Приведите к одному основанию

Образец: 8−12−3⋅42​

Сам

Упростите 7+43​​

Сравните 7​+3​ и 25​

Упростите и сравните — ответы по клику

Упростите

Сравните

Найдите ошибку

Решите — ответы откроются по клику

Подсказки

Решите — ответы откроются по клику

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-127 · Повторение: действительные числа, корни, степени

Действительные
числа: корни
и степени

$2$ — иррациональное число

Как точно отложить $2$ и $5$

Образец: число $40$

График $y = x^{2}$ — это график $y = ∣ x ∣$

Образец: $72 - 8 + 18$

Правила действий со степенями ( $a \neq = 0, b \neq = 0$ )

$a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10, n \in Z$

Образец: $\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{2}}{8 ^{- 1}}$

Упростите $7 + 43$

Сравните $7 + 3$ и $25$